Z Z Z Z Z Z

Vorlesung über Schemata
Oliver Röndigs
Wintersemester 2004/2005
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation
1
2 Primspektren
1
3 Garben
6
4 Schemata
12
5 Morphismen
23
6 Moduln
33
1
Motivation
TBW
2
Primspektren
Konvention 2.1. Ein Ring ist im folgenden immer kommutativ und hat ein Einselement. Ein
Ideal I / A in einem Ring ist eine Untergruppe I ≤ (A, +) mit der folgenden Eigenschaft: Ist a ∈ A
und b ∈ I, so ist ab ∈ I. Das Symbol A/I bezeichnet den Restklassenring. Ist A ein Ring und
a ∈ A, so bezeichnet (a) das von a in A erzeugte Ideal. Eine analoge Schreibweise gelte für ein von
mehreren Elementen erzeugtes Ideal.
Definition 2.2. Ein Primideal ist ein Ideal P / A mit der Eigenschaft, dass A/P nullteilerfrei ist.
Ein maximales Ideal ist ein Ideal M / A derart, dass A/M ein Körper ist.
Achtung: Ist A ein Ring, so ist A / A kein Primideal, da A/A = ∗ nicht nullteilerfrei ist.
Definition 2.3. Sei A ein Ring. Das Primspektrum von A ist die Menge
Spec(A) : = {P / A | P ist Primideal}
aller Primideale in A.
Beispiel 2.4.
1.
ist ein Hauptidealring. Beachte: /(0) =
ist nullteilerfrei, also ist das
Nullideal (0) ein Primideal. Für eine Primzahl p ist /(p) = p . Ist n keine Primzahl, so hat
/(n) Nullteiler. Demnach ist
Spec( ) = {(2), (3), (5), . . . , (0)}.
2. Ist k ein Körper, so ist (0) das einzige Primideal. Also ist Spec(k) = {(0)}.
1
3. Der Polynomring [X] in einer Variablen ist ein nullteilerfreier Hauptidealring. Jedes nichtkonstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Also ist
Spec( [X]) = {(X − z)}z∈ ∪ {(0)}.
Bis auf das Nullideal ist jedes Primideal maximal, mit Restklassenring .
4. Der Polynomring [X] in einer Variablen ist ebenfalls ein nullteilerfreier Hauptidealring.
Jedes nichtkonstante Polynom zerfällt in irreduzible Faktoren. Diese sind entweder linear
oder quadratisch. Es folgt
Spec( [X]) = {(X − a)}a∈ ∪ {(X 2 + bX + c)}a2 −4c<0 ∪ {(0)}.
Bis auf das Nullideal ist jedes Primideal maximal, mit Restklassenring
oder .
Ist f : A
B ein Ringhomomorphismus, so ist das Urbild f −1 (P ) / A eines Primideals
P / B wieder ein Primideal. Das Urbild eines maximalen Ideals ist nicht notwendigerweise wieder
maximal, wie man an ⊂ sehen kann.
Lemma 2.5. Die Zuordnung
Spec : Ringeop
A
Mengen
Spec(A)
ist ein Funktor.
Beweis. Das ist klar.
Beispiel 2.6. Vergleiche mit Beispiel 2.4.
1. Die Inklusion ⊂ induziert einen Ringhomomorphismus f : [X] ⊂ [X]. Das
Urbild von (X − a) unter Spec(f ) ist wieder (X − a), das Urbild von (X 2 + bX + c) für
d : = b2 − 4c < 0 ist dagegen
√
√
b + i −d
b − i −d
{(X −
), (X −
)}.
2
2
2. Sei f : ⊂ [i] die Inklusion. Der Ring [i] ist ein nullteilerfreier Hauptidealring. Insbesondere erzeugt jedes irreduzible Element ein Primideal. Ist p eine Primzahl in , so
ist f (p) nicht unbedingt eine Primzahl. So ist 2 = (1 + i)(1 − i), 5 = (2 + i)(2 − i) und
13 = (3 + 2i)(3 − 2i). Im allgemeinen gilt: f (p) ist Primzahl in [i] genau dann, wenn p ≡ 3
mod 4. Beachte: 1 + i erzeugt das gleiche Ideal wie 1 − i. Für grössere Primzahlen ist dies
nicht der Fall. Jedes Ideal ausser (0) ist maximal. Siehe [Sha94, Seite 7].
Notation 2.7. Sei I / A ein Ideal im Ring A. Setze
V (I) : = {P ∈ Spec(A) | I ⊆ P }.
Ist a ∈ A, schreibe V (a) für V (a) . Setze D(a) : = Spec(A) V (a).
Proposition 2.8. Sei A ein Ring, I und J seien Ideale in A, und {Iα }α∈Ω sei eine Familie von
Idealen in A.
1. V (0) = Spec(A) und V (A) = ∅
2. V (I) ∪ V (J) = V (I ∩ J)
T
P
3. α∈Ω V (Iα ) = V ( α∈Ω Iα )
2
Beweis. Aussage 1 ist klar, ebenso Aussage 3. Die Inklusion V (I) ∪ V (J) ⊆ V (I ∩ J) ist ebenfalls
klar. Sei also P Primideal von A mit I ∩ J ⊆ P . Ist I keine Teilmenge von P , so gibt es a ∈ I mit
a∈
/ P . Aber für jedes b ∈ J ist ab ∈ P , also auch b ∈ P – weil P ja ein Primideal ist. Demnach ist
J ⊆ P.
Korollar 2.9. Für jeden Ring ist Spec(A) ein topologischer Raum derart, dass die Mengen der
Form V (I) gerade die abgeschlossenen Mengen sind. Jede offene Menge in Spec(A) ist Vereinigung
von offenen Mengen der Form D(a), und D(a) ∩ D(b) = D(ab).
Beweis. Dies ist klar.
Im folgenden sei Spec(A) immer mit der in Korollar 2.9 beschriebenen Topologie versehen. Sie
wird Zariski-Topologie genannt. Die Zariski-Topologie ist etwas sonderbar. Betrachte zum Beispiel
Spec( ) (siehe Beispiel 2.4). Der Punkt (0) ist nicht abgeschlossen. Insbesondere ist Spec( ) kein
Hausdorff-Raum. Der Abschluss {(0)} von {(0)} in Spec( ) ist Spec( ).
Lemma 2.10. Sei A ein Ring.
1. Der topologische Raum Spec(A) ist quasi-kompakt.
2. Ein Punkt P ∈ Spec(A) ist abgeschlossen genau dann, wenn P ein maximales Ideal ist.
Beweis. Zu Aussage 1: Sei {Uα }α∈Ω eine offene Überdeckung von Spec(A). Diese lässt sich – wegen
Korollar 2.9 – verfeinern zu einer Überdeckung, die nur aus Mengen der Form D(a) besteht. Gibt
es für diese eine endliche Teil-Überdeckung, so auch für die ursprüngliche Überdeckung. Also ist
ohne Einschränkung Uα = D(α) für alle α ∈ Ω. Die Gleichung
[
D(α) = Spec(A)
α∈Ω
ist äquivalent zu der Gleichung
\
α∈Ω
V (α) = ∅.
Bezeichne I das kleinste Ideal von A mit α ∈ I ∀ α ∈ Ω. Dann ist nach Proposition 2.8 V (I) = ∅.
Nun ist wegen Zorn’s Lemma jedes von A verschiedene Ideal in einem maximalen Ideal enthalten.
Also ist I = A. Demnach existieren Elemente α1 , . . . , αn ∈ Ω und b1 , . . . , bn ∈ A. so dass
b1 α1 + b2 α2 + · · · + bn αn = 1.
Dann ist aber A = (α1 , . . . , αn ) und somit
n
[
D(αi ) = Spec(A).
i=1
Aussage 2 ist klar.
Definition 2.11. Sei S ⊆ A eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Insbesondere ist 1 ∈ S.
Die Lokalisierung S −1 A von A bezüglich S ist ein Ringhomomorphismus
lS : A
S −1 A
mit der universellen Eigenschaft, dass die Bilder von Elementen aus S invertierbar sind. “Universell” bedeutet, dass jeder andere Ringhomomorphismus f : A
T mit der Eigenschaft, dass
f (S) Teilmenge der invertierbaren Elemente von T ist, über lS eindeutig faktorisiert.
3
Die Lokalisierung existiert immer, und ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. Eine
Konstruktion ist gegeben über Äquivalenzklassen von Brüchen as , wobei a ∈ A und s ∈ S ist. Zwei
Brüche as , bt sind äquivalent, wenn es ein u ∈ S gibt, so dass u(ta − sb) = 0.
Notation 2.12. Ist P / A ein Primideal, so wird die Lokalisierung von A bezüglich A P mit
AP bezeichnet. Ist a ∈ A, so bezeichnet Aa die Lokalisierung von A bezüglich {1, a, a2 , a3 , . . .}.
Sei p ∈
eine Primzahl. Es gibt also einen feinen Unterschied zwischen
na
na
o
o
∈ | p teilt b nicht
∈
.
und
|n ∈
p=
(p) =
b
pn
Ein Element a ∈ A ist nilpotent genau dann, wenn Aa = ∗.
Definition 2.13. Sei I / A ein Ideal. Das Radikal von I ist das Ideal
√
I : = {a ∈ A | ∃n > 0 mit an ∈ I}.
p
Das Nilradikal ist das Radikal (0).
Lemma 2.14. Seien I und J Ideale in A. Es gilt
\
√
I=
P.
(1)
P ∈V (I)
Insbesondere ist V (I) ⊆ V (J) genau dann, wenn J ⊆
√
I ist.
Beweis. Sei I / A 6= ∗ ein Ideal. Ist I ⊆ P und an ∈ I für ein n > 0, so ist a ∈ P – weil P ein
Primideal ist. Also ist eine Inklusion in Gleichung (1) offensichtlich.
Um die andere T
Inklusion zu zeigen, betrachte den speziellen Fall I = (0). Zu zeigen ist dann
Folgendes: Ist p ∈ P ∈Spec(A) P , so ist p nilpotent. Nimm an, p ist nicht nilpotent. Dann ist die
Ap 6= ∗. Insbesondere existiert ein Primideal Q ∈ Ap , und l−1 (Q) ist ein
Lokalisierung l : A
Primideal von A, welches p nicht enthält. Das ist ein Widerspruch, also ist p nilpotent.
Der allgemeine Fall folgt aus dem speziellen Fall nach Übergang zum Restklassenring A/I. Die
zweite Aussage ist dann offensichtlich.
Insbesondere zeigt Lemma 2.14, dass das Ideal
√ I durch die abgeschlossene Menge V (I) nicht
eindeutig bestimmt ist, wohl aber das Radikal I.
Korollar 2.15. Die Zuordnung
Spec : Ringeop
A
Top
Spec(A)
ist ein Funktor.
Beweis. Sei f : A
B ein Ringhomomorphismus. Wegen Lemma 2.5 reicht es, zu zeigen, dass
Spec(f ) stetig ist. Sei also V (I) eine abgeschlossene Menge in Spec(A). Dann ist
Spec(f )−1 V (I) = {P ∈ Spec(B) | I ⊆ Spec(f )(P )}
=
=
=
{P ∈ Spec(B) | I ⊆ f −1 (P )}
{P ∈ Spec(B) | f (I) ⊆ P }
V fI
wobei f I das von f (I) erzeugte Ideal von B bezeichnet.
Proposition 2.16. Sei f : A
B ein Ringhomomorphismus.
4
1. Ist f surjektiv, so induziert Spec(f ) einen Homöomorphismus von Spec(B) auf den abgeschlossenen Unterraum V (kerf ) ⊆ Spec(A).
2. Ist f = lS eine Lokalisierung bezüglich einer Teilmenge S ⊆ A, so induziert Spec(f ) einen
Homöomorphismus von Spec(B = S −1 A) auf den Unterraum {P ∈ Spec(A) | P ∩ S = ∅}.
Beweis. Zu Aussage 1: Ist P ∈ Spec(B), so ist kerf ⊆ f −1 (P ). Also landet Spec(f ) in dem
angegebenen abgeschlossenen Unterraum. Ist I ein beliebiges Ideal in A, so ist f (I) automatisch
ein Ideal in B, weil f surjektiv ist. Ist Q ∈
V (kerf ), so ist f (Q) ein Primideal und f −1 f (Q) = Q.
Also ist Spec(f ) surjektiv. Da f f −1 (P ) = P , ist Spec(f ) auch injektiv. Es bleibt zu zeigen, dass
Spec(f ) eine abgeschlossene Abbildung ist. Ist I ein Ideal in B, so ist
Spec(f ) V (I) = {f −1 (P ) | P ∈ Spec(B), I ⊆ P }
=
=
{Q ∈ Spec(A) | f −1 (I) ⊆ Q}
V f −1 (I)
eine abgeschlossene Teilmenge in Spec(A).
Zu Aussage 2: Sei U = {P ∈ Spec(A) | P ∩ S = ∅} als Unterraum von Spec(A). Es ist klar,
dass Spec(f ) auf U abbildet. Setze
g:
U
P
Spec(B)n
a
| a ∈ P, s ∈ S}
fP =
s
wobei hier benötigt wird, dass f P wieder ein Primideal ist. Man erhält kommutative Diagramme
U
⊂
g
Spec(A)
)
f
(
ec
p
Spec(B) S
id
Spec(B)
und
Spec(B)
g
U
was zeigt, dass Spec(B)
U bijektiv ist. Ist I /B ein Ideal, so ist Spec(f ) V (I) = V f −1 (I) ∩
U abgeschlossen in U . Also ist Spec(B)
U eine abgeschlossene Abbildung, und damit ein
Homöomorphismus.
Beispiel 2.17. Der Ringhomomorphismus f :
Spec(f ) : Spec( 2) ⊂ Spec( ). Denn
⊂
2
=
[ 21 ] induziert eine offene Einbettung
{P ∈ Spec( ) | P ∩ S = ∅} = {P ∈ Spec( ) | 2 ∈
/ P } = Spec( ) {(2)} = D(2),
wobei S = {1, 2, 4, . . .}. Der Ringhomomorphismus g : ⊂ (2) induziert eine Einbettung
Spec(g) : Spec( (2)) ⊂ Spec( ). Der Unterraum
(2) = ∅ = {(0), (2)}
P ∈ Spec( ) | P ∩
ist weder offen noch abgeschlossen.
Definition 2.18. Ein nichtleerer topologischer Raum X ist irreduzibel , wenn für jede Darstellung
X = U ∪ V von X als Vereinigung abgeschlossener Unterräume U = X oder V = X gilt.
Es gibt zusammenhängende topologische Räume, die reduzibel sind.
Lemma 2.19. Sei I / A ein Ideal im Ring A. V (I) ist irreduzibel genau dann, wenn
Primideal ist.
5
√
I ein
√
Beweis. Sei I ein Primideal, und nimm an, dass V (I) = V (J1 ) ∪ V (J2 ) √
= V (J1 ∩ J2 ).√Die zweite
√
Gleichheit folgt aus Proposition 2.8. Nach Lemma 2.14 ist J1 ∩ J2 √⊆ J1 ∩ J2 = I. Da I
ein Primideal ist, folgt ohne Einschränkung der Allgemeinheit J1 ⊆ I, also V (I) = V (J1 ) nach
Lemma 2.14.√Der topologische Raum V (I) ist irreduzibel.
√
√
Sei nun I kein Primideal. Es gibt dann a, b ∈ A I mit ab ∈ I. Die Mengen V (a) und
V (b) sind abgeschlossen, und V (I) ⊆ V (ab) = V (a) ∪ V (b). Also ist
V (a) ∩ V (I) ∪ V (b) ∩ V (I) = V (I)
eine Darstellung von V (I) als Vereinigung abgeschlossener Mengen. Aus a ∈
/
V (I), was zeigt, dass V (I) reduzibel ist.
√
I folgt V (a)∩V (I) 6=
Der Spezialfall I = (0) in Lemma 2.19 sagt etwas über Spec(A). Insbesondere sind alle bisher
betrachteten Primspektren irreduzibel.
Beispiel 2.20. Sei G = {e, σ} die zyklische Gruppe mit zwei Elementen und f : ⊂ [G] die
Inklusion in den Gruppenring. Da (1 + σ)(1 − σ) = 0, ist [G] nicht nullteilerfrei und (0) kein
Primideal. Weil [G] keine nilpotenten Elemente besitzt, ist (0) das Nilradikal. Also ist
Spec( [G]) = V (0) = V (1 + σ) ∩ (1 − σ) = V (1 + σ) ∪ V (1 − σ).
Aber (1 + σ) 6= (1 − σ) sind Primideale, was man zum Beispiel an den surjektiven Ringhomomorphismen
[G]
a + bσ
a−b
und
[G]
a + bσ
a+b
sieht. Nach Proposition 2.16 folgt, dass V (1 + σ) ∼
= Spec( ) ∼
= V (1 − σ). Um Spec( [G]) endgültig
zu beschreiben, reicht es, den Durchschnitt
V (1 + σ) ∩ V (1 − σ) = V (1 + σ, 1 − σ) = V (2, 1 − σ)
(2)
zu kennen. Da [G]/(2, 1 − σ) ∼
= /(2), ist der in Gleichung (2) angegebene Durchschnitt ein
abgeschlossener Punkt. Siehe [Sha94, Seite 13]. Es gilt [G] ∼
= [X]/(X 2 − 1), und das Polynom
2
X − 1 ist nicht irreduzibel.
Definition 2.21. Die Dimension eines topologischen Raumes X ist das Supremum der Menge der
natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft, dass eine Folge irreduzibler abgeschlossener Teilräume
∅ 6= X 0
X1
···
Xn
von X existiert
Zum Beispiel ist dim Spec(Z) = 1. Das Spektrum eines Körpers ist nulldimensional.
3
Garben
Sei X ein topologischer Raum. Die offenen Teilmengen von X bilden eine durch Inklusion partiell
geordnete Menge, und damit eine kleine Kategorie Top(X). Die Objekte in Top(X) sind offene
Teilmengen, und
(
U ⊂ V falls U ⊆ V
HomTop(X) (U, V ) =
.
∅
sonst
Insbesondere ist Top(X) eine Unterkategorie von Top.
6
Definition 3.1. Eine Prägarbe auf X (mit Werten in Mengen) ist ein Funktor
F : Top(X)op
Insbesondere gibt es für jede Inklusion j : U
⊂
Mengen.
V offener Mengen in X eine Abbildung
F (U ),
F (j) : F (V )
a|U bezeichnet wird. Siehe Teil 3 von Beispiel
die oft Einschränkung genannt und mit a
3.3. Eine Abbildung von Prägarben ist eine natürliche Transformation, und die Kategorie der
b bezeichnet.
Prägarben auf X wird mit X
Bemerkung 3.2. Natürlich kann man Prägarben mit Werten in anderen Kategorien betrachten,
etwa Ab (abelsche Gruppen), Ringe, Top, ...
Beispiel 3.3. Sei X ein topologischer Raum.
1. Ist M eine Menge, so ist M eine konstante Prägarbe auf X. Setze einfach M (U
idM : M
M für jeden Morphismus in Top(X).
⊂
V)=
2. Ist U eine offene Menge in X, so ist
Υ(U ) : Top(X)
V
Mengen
HomTop(X) (V, U )
die durch U dargestellte oder repräsentierte Prägarbe auf X. Sie sieht recht harmlos aus.
Tatsächlich ist jede Prägarbe auf kanonische Weise ein Colimes von darstellbaren Garben.
3. Für U offen in X sei
Fst (U ) : = {f : U
| f ist stetig}
die Menge der stetigen Abbildungen von U nach . Ist U ⊂ V ein Morphismus in Top(X),
so ist die Einschränkung einer Funktion in Fst (V ) auf U ein Element in Fst (U ). Auf diese
Weise wird Fst zu einer Prägarbe. Es gibt viele Varianten dieses Beispieles.
Das letzte Beispiel ist das motivierende Beispiel für die Definition einer Garbe. Sei X ein
topologischer Raum und Fst die in Beispiel 3.3 definierte Prägarbe auf X. Wähle eine offene
Überdeckung {Uα ⊂ X}α∈Ω von X. Sind f und g zwei Funktionen in Fst (X) mit der Eigenschaft
f |Uα = g|Uα für alle α ∈ Ω, so gilt f = g. Ist des weiteren für jedes α ∈ Ω eine Funktion
fα ∈ Fst (Uα ) gegeben mit der Eigenschaft, dass fα |Uα ∩Uβ = fβ |Uα ∩Uβ für alle (α, β) ∈ Ω × Ω, so
gibt es (genau) eine Funktion h ∈ Fst (X) mit der Eigenschaft, dass h|Uα = fα .
Definition 3.4. Eine Prägarbe F auf X heisst Garbe auf X, wenn
1. F (∅) = ∗ und
2. für jede offene Teilmenge U ⊆ X und jede offene Überdeckung {Uα
Diagramm
F (U )
s
Y
F (Uα )
α∈Ω
⊂
r1
Y
F (Uβ ∩ Uγ )
r2 (β,γ)∈Ω×Ω
U }α∈Ω von U das
(3)
ein Egalisator-Diagramm (in anderen Worten: exakt) ist. Für den Fall einer mengenwertigen
Garbe bedeutet dies: s ist injektiv, und das Bild von s ist die Menge der Elemente a mit
r1 (a) = r2 (a).
e
Sei X
⊂
b die volle Unterkategorie der Garben.
X
7
Bemerkung 3.5. Punkt 1 von Definition 3.4 entspricht der Tatsache, dass die leere Überdeckung
die leeren Menge überdeckt. Punkt 2 von Definition 3.4 ist eine Formalisierung der nach Beispiel 3.3
beschriebenen Tatsache, dass in einer Garbe
• Elemente durch die Einschränkung auf eine Überdeckung schon bestimmt sind, und
• man ein Element durch ein kompatibles System von Elementen auf einer Überdeckung beschreiben kann.
Garben sind also dafür geeignet, aus lokalen Informationen globale Informationen zu erhalten. Die
Formalisierung (3) ist sinnvoll, wenn man Garben mit Werten in anderen Kategorien als Mengen
oder Ab betrachten will.
Beispiel 3.6. Konstante Prägarben sind meist keine Garben. Jedoch sind darstellbare Prägarben
immer Garben, und – wie schon erläutert – ist die Prägarbe der stetigen Funktionen auf einem
topologischen Raum eine Garbe.
Definition 3.7. Sei F eine Prägarbe auf einem topologischen Raum X und x ∈ X ein Punkt.
Der Halm von F an x ist
Fx : =
colim
x∈U∈Top(X)
F (U ).
(4)
Fx mit ax
Ist x ∈ U , so wird das Bild von a ∈ F (U ) unter der kanonischen Abbildung F (U )
bezeichnet. Eine Abbildung φ : F
G von Prägarben induziert eine Abbildung φx : Fx
Gx
auf den Halmen. Es ist plausibel, dass der Halm bei x ein Funktor
ist.
b
(−)x : X
Mengen
Sind U und V zwei offene Umgebungen von x ∈ X, so ist der Schnitt U ∩ V wieder von dem
Typ. Die Indexkategorie, die den Colimes in Gleichung (4) definiert, ist demnach filtriert (siehe
[Mac71, IX.1]). Insbesondere ist jedes Element a ∈ Fx repräsentiert durch ein Paar (U, b) mit
x ∈ U ∈ Top(X) und b ∈ F (U ). Sind (U, b) und (V, c) zwei Repräsentationen von a, so gibt es
eine offene Umgebung W von x in U ∩ V mit b|W = c|W . Der Halm einer Prägarbe F bei x ∈ X
enthält also die lokale Information über F direkt bei x. Nun sind Garben durch lokale Information
bestimmt, was folgende Aussage plausibel macht.
G von Garben auf X ist ein Isomorphismus genau
Proposition 3.8. Eine Abbildung φ : F
dann, wenn ∀ x ∈ X die Abbildung φx : Fx
Gx ein Isomorphismus ist.
Beweis. Die eine Implikation ist klar, weil Halme ja Funktoren sind. Sei φ : F
G also eine
Abbildung von Garben auf X derart, dass φx : Fx
Gx bijektiv ist für alle x ∈ X. Zu zeigen
ist, dass φ(U ) : F (U )
G(U ) bijektiv ist für alle U ∈ Top(X).
Zur Injektivität: Seien a, b ∈ F (U ) mit φ(U )(a) = φ(U )(b). Wähle ein x ∈ U . Weil Halme
Funktoren sind, ist
φx (ax ) = φ(U )(a)x = φ(U )(b)x = φx (bx ).
Da φx injektiv ist, gilt ax = bx . Demnach existiert eine offene Umgebung Vx ⊂ U von x derart,
dass a|Vx = b|Vx . Nun gilt
[
Vx = U
x∈X
Da F eine Garbe ist, gilt a = b.
Zur Surjektivität: Sei a ∈ G(U ) und wähle x ∈ U . Da φx surjektiv ist, gibt es ein Element
b ∈ Fx mit φx (b) = ax . Das Element b ist repräsentiert durchein Paar (V, c), wobei V eine offene
Umgebung von x und c ∈ F (V ) ist. Es gilt ax = φ(V )(c) x , da Halme Funktoren sind. Also
8
existiert eine offene Umgebung Vx ⊂ V von x mit der Eigenschaft, dass a|Vx = φ(V )(c) |Vx =
φ(Vx )(c|Vx ). Sei cx : = c|Vx . Nun gilt
φ(Vx )(cx ) |Vx ∩Vy = a|Vx ∩Vy = φ(Vy )(cy ) |Vx ∩Vy .
Wegen der bereits bewiesenen Injektivität von φ gilt also cx |Vx ∩Vy = cy |Vx ∩Vy für x, y ∈ U . Da die
Vx die Menge U offen überdecken und F eine Garbe ist, gibt es ein Element d ∈ F (U ) mit der
Eigenschaft, dass d|Vx = cx für alle x ∈ X. Es folgt φ(U )(d) = a, weil auch G eine Garbe ist. Also
ist φ(U ) surjektiv.
Insbesondere ist eine Abbildung von Garben injektiv, sobald sie injektiv an allen Halmen
ist. Für den Begriff “surjektiv” gilt dies im Allgemeinen nicht, wie die Exponentialfunktion als
Abbilgung exp : F
G von Garben auf {0} zeigt. Hier ist F die Garbe der holomorphen
Funktionen {0}
, und G die Garbe der invertierbaren holomorphen Funktionen {0}
. Siehe [Liu02, Example 2.11].
Sei F eine Prägarbe auf X. Betrachte für eine offene Teilmenge U ⊆ X die Menge Fe (U ) der
Funktionen
a
{g : U
Fx }
x∈U
mit den Eigenschaften
• g(x) ∈ Fx ∀ x ∈ X, und
• ∀ x ∈ X existiert eine offene Teilmenge V ⊆ U , die x enthält, und ein Element a ∈ F (V )
derart, dass ay = g(y) ∀ y ∈ V .
Proposition 3.9. Sei X ein topologischer Raum. Die Zuordnung F
b
e der links-adjungiert zur Inklusion X
e ⊂ X
b ist.
tor ag : X
X,
Fe definiert einen Funk-
Beweis. Sei F eine Prägarbe auf X. Ist U ⊂ V ein Morphismus in Top(X), so definiert Einschränkung von Funktionen eine Abbildung Fe (V )
Fe(U ). Demnach ist Fe eine Prägarbe. Um
e
zu zeigen, dass F eine Garbe ist, wähle U ∈ Top(X) und eine offene Überdeckung {Uα ⊂ U }α∈Ω .
`
Seien g, h : U
x∈U Fx Funktionen in Fe(U ) mit g|Uα = h|Uα für alle α ∈ Ω. Ist x ∈ U , so
ist x ∈ Uα für ein α ∈ Ω. Demnach ist also g(x) = h(x) für`alle x ∈ U . Sei nun gα ∈ Fe(Uα )
eine Familie kompatibler Funktionen . Definiere g : U
x∈U Fx über g(x) : = gα (x) falls
x ∈ Uα . Diese Funktion ist offensichtlich wohldefiniert, und g(x) ∈ Fx gilt auch. Um zu zeigen,
dass g ∈ Fe (U ) liegt, wähle x ∈ U . Dann gibt es ein α ∈ Ω, eine offene Umgebung x ∈ V ⊂ Ω
und a ∈ F (V ) derart, dass ay = gα (y) = g(y) ∀ y ∈ V . Natürlich ist V dann die gewünschte offene
Umgebung von x in U . Beachte auch, dass Fe (∅) = ∗.
e ⊂ X.
b Ist F eine Prägarbe auf X, so definiert für U ∈
Bezeichne die Inklusion mit i : X
Top(X) die Abbildung
F (U )
a
Fe (U )
(x 7→ ax )
eine Abbildung η(F ) : F
Fe = (i ◦ ag)(F ) von Prägarben. Da Halme Funktoren sind, liefert
diese Abbildung eine natürliche Transformation IdX
i ◦ ag. Des weiteren ist η(F )x ein
Isomorphismus für alle x ∈ X. Zur Injektivität: Seien a, b ∈ Fx mit η(F )x (a) = η(F )x (b). Wähle
Repräsentanten (U, a0 ) und (V, b0 ). Per Übergang zum Durchschnitt können wir annehmen, dass
U = V gilt. Nun ist
η(F )(U )(a0 ) x = η(F )x (a) = η(F )x (b) = η(F )(U )(b0 ) x .
Deshalb existiert eine offene Umgebung W ⊆ U von x mit der Eigenschaft, dass
g : = η(F )(U )(a0 ) |W = η(F )(U )(a0 ) |W .
9
Nun gibt es nach Voraussetzung eine offene Umgebung V ⊆ W von x und ein Element c ∈ F (V )
mit cy = g(y) ∀ y ∈ V . Da nach Konstruktion von η die Gleichung g(y) = a0y = b0y gilt, folgt, dass
a0 und b0 in einer Umgebung von x übereinstimmen. Also ist a = b und η(F )x ist injektiv für alle
x ∈ X.
Um zu zeigen, dass η(F )x surjektiv ist, sei g ∈ Fex . Dies Element ist repräsentiert durch das
Paar (U, h), wobei U eine offene Umgebung von x ist und h ∈ Fe (U ). Nach Definition existiert
eine offene Umgebung V ⊆ U von x und ein Element c ∈ F (V ) mit cy = h(y) ∀ y ∈ V . Also ist
h = η(F )(V )(c) und η(F )x ist surjektiv.
Nach Proposition 3.9 ist η(F ) ein Isomorphismus, wenn F eine Garbe ist. In anderen Worten:
η ◦ i ist ein natürlicher Isomorphismus. Damit erhält man eine natürliche Transformation (η ◦
i)−1 : i ◦ ag ◦ i
i. Da i eine volle Einbettung ist, kann man dies als natürliche Transformation
Chapter IV, Theorem
: ag ◦ i
IdX auffassen. Eine der Dreiecks-Identitäten (siehe [Mac71,
2]) gilt also nach Definition, und die andere folgt aus der Tatsache, dass η(F ) = η(Fe).
Die Garbe Fe wird die zu F assoziierte Garbe oder Garbifizierung von F genannt. Wie die der
e zeigt, ist er Begriff “Einschränkung” für die induzierte
Garben-Isomorphismus η(G) : G
G
⊂
Abbildung G(U
V ) zumindest für Garben gerechtfertigt.
e ist bivollständig.
Korollar 3.10. X
Beweis. Wegen Proposition 3.9 ist ein Limes von Garben in der Kategorie der Prägarben wieder
e Ist D : I
e ein Diagramm
eine Garbe und definiert so den Limes in der Kategorie X.
X
von Garben, so ist colim(i ◦ D) im Allgemeinen keine Garbe. Aber Proposition 3.9 zeigt, dass
e definiert.
colim D := ag colim(i ◦ D) den Colimes in der Kategorie X
e objektweise gebildet. Zum Beispiel ist (F ×G)(U ) = F (U )×
Insbesondere werden Limites in X
e werden – im Gegensatz zu Colimites in X
b – nicht unbedingt punktweise
G(U ). Colimites in X
gebildet. Für eine Klasse von Ausnahmen siehe Aufgabe 2 von Übung Zwei.
Korollar 3.11. Die natürliche Transformation F
Halmen.
Fe induziert einen Isomorphismus an den
Beweis. Dies ist im Beweis von Proposition 3.9 gezeigt worden.
Bald werden wir Garben von einem Raum zum anderen schieben müssen. Das geht folgendermassen. Ist f : X
Y eine stetige Abbildung, so definiert U
f −1 (U ) einen Funktor
op
f : Top(Y )
Top(X). Ist F eine Prägarbe auf X, so liefert F ◦ f eine Prägarbe auf Y . Dies
b
ist offensichtlich ein Funktor fb∗ : X
Yb .
Lemma 3.12. Sei f : X
b
1. Der Funktor fb∗ : X
Y eine stetige Abbildung topologischer Räume.
Yb hat einen Linksadjungierten fb−1 .
b
e
2. Der Funktor fb∗ : X
Yb induziert einen Funktor f∗ : X
−1 e
e
Linksadjungierten f : Y
X besitzt.
Ye , der wiederum einen
3. Ist f : X ⊂ Y eine offene Einbettung und F eine Garbe auf Y , so ist fb−1 (F ) wieder eine
Garbe. Es gilt fb−1 (F )(U ) = F (U ).
Beweis. Aussage 1 ist klar, da man den Linksadjungierten über Links-Kan-Erweiterung erhält.
Siehe [Mac71, Chapter X]. Um etwas konkreter zu sein:
fb−1 F (U ) =
colim
F (V )
f (U)⊆V ∈Top(Y )
10
für U ∈ Top(X). Ist F eine Garbe auf X und U ∈ Top(Y ) durch {Uα
so ist das Diagramm
r1
s Y
F f −1 (Uα )
r2
α∈Ω
F f −1 (U )
Y
(β,γ)∈Ω×Ω
⊂
U }α∈Ω offen überdeckt,
F f −1 (Uβ ∩ Uγ )
offensichtlich exakt. Zudem gilt f −1 (∅) = ∅. Also ist fb∗ F wieder eine Garbe. Dann liefert f −1 : =
ag ◦ fb−1 ◦ i den Linksadjungierten von f∗ . Sei f : X ⊂ Y eine offene Einbettung und G eine
Garbe auf Y . Bezeichne mit G|X die Prägarbe U
G(U ) auf X. Sie ist offensichtlich eine
Garbe. Man sieht, dass
HomX (G|X , H) ∼
= HomY (G, fb∗ H)
für jede Prägarbe H auf X gilt, was zeigt, dass f −1 G = G|X .
Um die englischen Begriffe mal ganz platt zu übersetzen: f∗ (G) ist das direkte Bild von G
unter f , und f −1 ist das inverse Bild von G unter f .
Lemma 3.13. Sei {jα : Uα ⊂ ◦ X}α∈Ω eine offene Überdeckung des topologischen Raumes X. Sei
für jedes α ∈ Ω eine Garbe Gα auf Uα gegeben. Des weiteren seien Kompatibilitäts-Isomorphismen
∼
=
φαβ : Gα |Uα ∩Uβ
Gβ |Uα ∩Uβ gegeben mit der Eigenschaft, dass
• φαα = idGα ∀ α ∈ Ω,
• φαβ = (φβα )−1 ∀ α, β ∈ Ω, und
• φαγ |Uα ∩Uβ ∩Uγ = φβγ ◦ φαβ |Uα ∩Uβ ∩Uγ ∀ α, β, γ ∈ Ω.
Dann existiert genau eine Garbe G auf X, zusammen mit Isomorphismen ψ α : G|Uα
derart, dass das Diagramm
ψ β |Uα ∩Uβ
G|Uα ∩Uβ
ψα
|U
α
∩
Gβ |Uα ∩Uβ
β
α
U
β
Gα |Uα ∩Uβ
∼
=
Gα
(5)
φ
für alle α, β ∈ Ω kommutiert.
Beweis. Sei V ∈ Q
Top(X) und definiere V α : = V ∩ Uα für α ∈ Ω. Sei G(V ) die Menge der
Tupel (aα )α∈Ω ∈ α∈Ω Gα (V α ) mit der Eigenschaft, dass φαβ (aα |V α ∩V β ) = aβ |V α ∩V β für alle
Paare (α, β) ∈ Ω × Ω gilt. Die Kompatibilität der Isomorphismen φαβ gewährleistet, dass dies
wohldefiniert ist.
Ist V ⊂ ◦ W ein Morphismus in Top(W ), so definiert (aα )α∈Ω |W : = (aα |W )α∈Ω die Einschränkung G(W )
G(V ). Dies ist wohldefiniert, weil die Kompatibilitäts-Isomorphismen
Abbildungen von Garben sind. Also ist G eine Prägarbe.
Um zu zeigen, dass G eine Garbe ist, wähle eine offene Überdeckung {Vλ ⊂ ◦ V }λ∈Λ . Seien
α
(a ), (bα ) Elemente in G(V ) mit (aα )|Vλ = (bα )|Vλ ∀ λ ∈ Λ. Dann ist für jedes α ∈ Ω aα |Vλ = bα |Vλ
und damit aα = bα , weil ja Gα eine Garbe ist. Sind (aα )λ ∈ G(Vλ ) kompatible Elemente, so gibt
α
es für jedes α genau ein aα ∈ Gα (V ), welches auf aα
λ einschränkt – weil G eine Garbe ist. Wegen
αβ α
β
der Eindeutigkeit gilt φ (a |V α ∩V β ) = a |V α ∩V β . Natürlich gilt G(∅) = ∗.
Der Isomorphismus ψ α : G|Uα
Gα ist gegeben durch (aβ )β∈Ω
aα . Die inverse Abbilαβ
αβ
dung ist a
(φ (a))β∈Ω . Die Kompatibilität der Isomorphismen φ zeigt, dass die inverse
Abbildung wohldefiniert und tatsächlich invers zu ψ α ist. Nach Definition von G kommutiert das
Diagramm (5). Es ist plausibel, dass G eindeutig bestimmt ist.
Das Garben-Klebelemma 3.13 wird später benötigt, um Schemata zu verkleben.
11
Bemerkung 3.14. Der Prägarben-Begriff 3.1 benötigt als Voraussetzung offensichtlich nur eine
(kleine) Kategorie C (jeder kontravariante Funktor ist eine Prägarbe). Der Garben-Begriff 3.4
erfordert zusätzlich, dass man spezifiziert, was eine “offene Überdeckung” in C ist. Dies führt
zu dem Begriff Grothendieck-Topologie, welcher etwa in [Tam94] gut erklärt ist. Ein besonders
prominentes und motivierendes Beispiel ist die étale Topologie, aber es gibt inzwischen viele andere.
4
Schemata
Sei A ein Ring. Dann gibt es eine kanonische Garbe OA auf Spec(A) mit Werten in Ringe.
Da eine Garbe durch ihre lokale Struktur bestimmt ist, reicht es, die Werte der Garbe auf den
Basismengen
D(a) anzugeben (siehe Notation 2.9 und das Garben-Klebelemma 3.13). Man nimmt
OA D(a) : = Aa . Da Effizienz nicht immer das Wichtigste ist, betrachten wir zunächst einen
speziellen Fall.
Beispiel 4.1. Sei A nullteilerfrei. Dann ist (0) ein Primideal, und die Lokalisierung A ⊂ K : =
A(0) ist die Einbettung in den Quotientenkörper von A. Die Elemente in K sind Äquivalenzklassen
von Brüchen von Elementen in A (siehe den Abschnitt nach Definition 2.11). Ist U ⊆ Spec(A)
eine nichtleere offene Teilmenge, setze
n
bo
OA (U ) : = a ∈ K | ∀ P ∈ U ∃ b, c ∈ A, c ∈
/ P mit a =
(6)
c
als Unterring von K. Ist ∅ =
6 U ⊂ ◦ V ein Morphismus in Top Spec(A) , so ist OA (V ) ein
Unterring von OA (U ). Insbesondere ist a|U = a! Mit der Definition OA (∅) : = ∗ ist OA eine
Prägarbe. Man kann leicht sehen, dass OA eine Garbe ist. Da ja OA (U ⊂ ◦ V ) injektiv ist für
alle Inklusionen nichtleerer Mengen, reicht es, folgendes zu zeigen. Sei {∅ =
6 Uα ⊂ ◦ U } eine
Überdeckung von U ⊂ ◦ Spec(A), und sei (aα ) eine Familie kompatibler Elemente. Dies heisst
aber, dass a : = aα = aβ ∈ K ∀ α, β. Denn wegen Lemma 2.19 ist der Schnitt zweier nichtleerer
offener Mengen in dem irreduziblen Raum Spec(A) wieder nicht leer. Insbesondere gibt es für jedes
P ∈ U eine Darstellung von a als Bruch cb , wobei c ∈
/ P . Also ist a ∈ OA (U ).
In diesem speziellen Fall ist plausibel, dass der Halm von OA bei P ∈ Spec(A) gerade die
Lokalisierung AP bei P ist. Insbesondere ist der Halm beim Nullideal der Quotientenkörper. Hier
ist die allgemeine Definition der Strukturgarbe eines Ringes.
V (I) eine offene Menge in Spec(A). Dann ist
Definition 4.2. Sei A ein Ring und U = Spec(A)
`
O(U ) die Menge der Funktionen f : U
P ∈U AP mit den Eigenschaften
• für alle P ∈ U ist f (P ) ∈ AP , und
• jedes P ∈ U hat eine offene Umgebung V ⊆ U derart, dass Elemente b, c ∈ A existieren mit
c∈
/ Q ∀ Q ∈ V und f (Q) = cb ∈ AQ .
Über punktweise Addition und Multiplikation in AP ist OA (U ) ein Ring. Einschränkung von
Funktionen liefert die Prägarben-Struktur von OA .
Ist A ein nullteilerfreier Ring, so stimmt die Definition 4.2 von OA mit der in Beispiel 4.1
0
überein. Um den Beweis grob zu skizzieren, sei die Garbe aus 4.1 kurzfristig mit OA
bezeichnet.
b
So kann man ein Element im Quotientenkörper K der Form a = c als Funktion
a
fa : D(c) AP
P ∈D(c)
P
b
c
auffassen, da ja c ∈
/ P für jedes P ∈ D(c). Sie erfüllt offensichtlichdie in Definition 4.2 geforderten
0
Bedingungen und liefert so einen Ringhomomorphismus OA
D(c)
OA D(c) . Ist umgekehrt
0
f ∈ OA (U ) eine Funktion und P ∈ U , so gilt ja nach Definition f |V = fa für ein a ∈ OA
(V ). Es
0
0
∼
folgt OA = OA , sofern OA – ebenso wie OA – eine Garbe ist.
12
Proposition 4.3. Sei A ein Ring.
1. OA ist eine Garbe von Ringen auf Spec(A).
2. Der Halm bei P ∈ Spec(A) ist isomorph zu AP .
3. Für jedes a ∈ A gibt einen Isomorphismus OA D(a) ∼
= Aa .
Beweis. Die Gleichheit OA (∅) = ∗ ist klar. Dass die andere Garbenbedingung erfüllt ist, folgt
ziemlich schnell aus der Definition 4.2. Vergleiche mit dem Beweis von 3.9.
Um die zweite Aussage zu beweisen, nutze wieder Definition 4.2. Denn ist U eine offene Umge f (P ) einen Ringhomomorphismus gU : OA (U )
AP .
bung von P ∈ Spec(A), so liefert f
Die zweite Bedingung von Definition 4.2 zeigt, dass
OA (U )
gV
≺
gU
OA (V )
AP
kommutiert, was einen Ringhomomorphismus h : OA,P : = (OA )P
AP induziert. Da jedes
Element in AP eine Darstellung als Bruch a = cb mit b ∈ A und c ∈
/ P hat, ist h surjektiv. Denn
bc ein Element
D(c) ist eine offene Menge, die P enthält, und für jedes Q ∈ D(c) ist fa : Q
in OA D(c) mit gD(c) (fa ) = a.
Seien fP , gP zwei Elemente im Halm von OA bei P , repräsentiert durch f, g ∈ OA (U ). Nach
0
Definition von OA gibt es eine offene Umgebung V ⊆ U von P mit f (Q) = cb ∈ AQ und g(Q) = cb0 ,
wobei b, b0 ∈ A und c, c0 ∈
/ Q für alle Q ∈ V . Ist nun f (P ) = 0, so gibt es nach der Definition
0
der Lokalisierung ein Element d ∈
/ P mit d(bc0 − b0 c) = 0. Also ist cb = cb0 in jedem Ring AQ mit
c, c0 , d ∈
/ Q, oder, was dasselbe ist, Q ∈ D(c) ∩ D(c0 ) ∩ D(d). Letztere Menge ist aber eine offene
Umgebung von P , und damit ist f |U∩D(d) = g|U∩D(d) . Also gilt fP = gP , und h ist injektiv.
Die letzte Aussage kann man wie folgt zeigen. Sei a ∈ A und
f = fa : Aa OA D(a)
b
b
(P → n ).
n
a
a
Dies ist wohldefiniert, da an ∈
/ P für alle P ∈ D(a). Die Injektivität von f sieht man wie folgt.
Die Gleichheit f ( abn ) = f ( acm ) besagt gerade, dass für jedes P ∈ D(a) ein Element d ∈ A P
existiert mit d(bam − can ) = 0. Ist I das Ideal aller Elemente e ∈ A mit der Eigenschaft, dass
e(bam − can ) = 0, so gilt d ∈ I. Also ist I P für alle P ∈ D(a) und somit V (I) ∩ D(a) = ∅. Es
folgt V (I) ⊆ V (a) und damit ak ∈ I für ein k > 0 nach Lemma 2.14. Also ist ak (bam − can ) = 0
und somit abn = acm ∈ Aa .
Zur Surjektivität von f : Wähle g ∈ OA D(a) . Nach Definition von OA existiert eine offene
Überdeckung {Vα ⊂ ◦ D(a)}α derart, dass für alle Q ∈ Vα g(Q) = cbαα mit bα ∈ A, cα ∈ A Q.
Insbesondere ist Vα ⊆ D(cα ). Da Vα durch offene Mengen der Form D(e) überdeckt
p ist, giltpohne
Einschränkung Vα = D(α) ⊆ D(cα ) für ein α ∈ A. Aufgrund Lemma 2.14 gilt also (α) ⊆ (cα )
und somit αn = dα cα für ein n > 0 und ein dα ∈ A. Deswegen gilt
g(Q) =
bα
dα bα
= n
cα
α
für alle Q ∈ D(α). Nun zeigt D(α) = D(αn ), dass wir ohne Einschränkung g(Q) =
Q ∈ D(α) annehmen können.
Um einen Zusammenhang zwischen den α’s und a herzustellen, beachte, dass
X [
\
D(a) ⊆
D(α) ⇐⇒ V (a) ⊇
V (α) = V
(α) .
α
α
13
α
eα
α
für alle
Lemma 2.14 zeigt, dass an ∈ Σα (α), also an = Σm
j=1 aj αj für ein n > 0. Demnach ist
und g(Q) =
sind
ej
αj
D(a) ⊆ D(α1 ) ∪ D(α2 ) ∪ · · · ∪ D(αm )
für alle Q ∈ D(αj ). Somit brauchen wir nur noch endlich viele α’s. Insbesondere
ek
ej
=
∈ OA D(αj ) ∩ D(αk ) = OA D(αj αk )
αj
αk
identische Elemente im Bild der injektiven Abbildung fαj αk : Aαj αk
OA D(αj αk ) . Also gibt
es ein l ∈ mit (αj αk )l (ej αk − ek αj ) = 0, und da nur endlich viele α’s vorkommen, gilt dies ohne
Einschränkung für alle 1 ≤ j, k ≤ m. Mit der Umschreibung bj : = αlj ej und βj : = αl+1
gilt also
j
b
g(Q) = βjj für alle Q ∈ D(βj ) = D(αj ) und ausserdem bj βk = bk βj .
Pm
Da die D(βj )’s immer noch D(a) überdecken, existiert ein n > 0 mit an = j=1 aj βj . Dann
ist aber
m
m
m
X
X
X
a j b k βj = a n b k
a j b j βk =
aj b j =
βk ·
j=1
und somit
j=1
j=1
Pm
j=1 aj bj
an
bk
= g(Q)
βk
für alle 1 ≤ k ≤ m und alle Q ∈ D(βk ). Demnach ist g im Bild von f .
=
Ist A ein Ring, so wird OA die Strukturgarbe von A genannt. Teil 3 von Proposition 4.3 zeigt
OA Spec(A) = D(1) = A. Aus dem
Paar (Spec(A), OA ) kann man also den Ring A erhalten. Die
kanonische Abbildung OA Spec(A)
OA,P : = (OA )P stimmt mit der kanonischen Abbildung
A
AP überein.
Beispiel 4.4. Hier sind Beispiele für Strukturgarben.
• Sei k ein Körper. Dann gibt es nur zwei offene Mengen in Spec(k), und Ok Spec(k) = k.
• Jede offene
Menge in Spec( ) ist von der Form D(n), wobei n ∈
O D(n) = n. Dies folgt schon aus Beispiel 4.1.
. Insbesondere ist
• Sei k ein Körper. Dann ist jede offene Menge
in Spec(k[X]) von der Form D(p), wobei
p
ein Polynom in k[X] ist. Es gilt Ok[X] D(p) = k[X]p . Zum Beispiel ist Ok[X] D(X) =
k[X]X = k[X, X −1 ] der Ring der Laurent-Polynome mit Koeffizienten in k.
• Es gibt zwei nichtleere offene Mengen in Spec(
O
(2)
(2))
(siehe 2.17), und die Strukturgarbe ist
{(0)} ⊂ ◦ Spec( (2)) = ≺ ⊃ (2).
Auch dies folgt bereits aus Beispiel 4.1.
Ist k algebraisch abgeschlossen, so sind die abgeschlossenen Punkte in Spec(k[X]) von der Form
(X −a), wo a ∈ k. Der einzige weitere Punkt ist das Nullideal. Des weiteren bestimmt ein Quotient
p
von Polynomen p(X)
k ∪ ∞. Ist U eine nichtleere offene Menge
q(X) mit q 6= 0 eine Funktion q : k
in Spec(k[X]), so ist Ok[X] (U ) die Menge der Funktionen pq , so dass q(X) keine Nullstelle in U hat
– also gerade die auf U regulären rationalen Funktionen. Darauf werden wir später zurückkommen.
Wir wissen ja bereits, dass Spec ein Funktor ist (siehe 2.15). Um die Funktorialität der Strukturgarbe behandeln zu können, gibt es Lemma 3.12. Ist f : A
B ein Ringhomomorphismus, so induziert f für jedes Primideal P ∈ Spec(B) einen eindeutigen Ringhomomorphismus
fP : Af −1 (P )
BP . Dies folgt aus der Universalität der Lokalisierung 2.11. Insbesondere gibt
es zu jeder offenen Menge U ⊆ Spec(A) einen Ringhomomorphismus
f ] (U ) : OA (U )
OB (Specf )−1 (U )
P 7→ fP g(f −1 (P )) .
g
14
Beachte, dass OB (Specf )−1 (U ) = (Specf )∗ OB (U ). Man kann nachrechnen, dass
f ] : OA
(Specf )∗ OB
eine Abbildung von Garben auf Spec(A) ist.
Definition 4.5. Ein beringter Raum ist ein Paar (X, OX ), wobei X ein topologischer Raum und
OX eine Garbe auf X mit Werten in Ringe ist. Die Garbe OX ist die Strukturgarbe des beringten
Raumes. Eine Abbildung (X, OX )
(Y, OY ) ist ein Paar (f, f ] ), wobei f : X
Y eine
]
stetige Abbildung ist und f : OY
f∗ OX eine Abbildung von (Ring-wertigen) Garben auf Y
ist.
Wegen (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ ist plausibel, dass man eine Kategorie beringter Räume erhält. Des
weiteren liefert Spec einen kontravarianten Funktor von Ringe in eben diese Kategorie. Wie man
aus Aufgabe 5 von Übungsblatt 4 sieht, ist dieser Funktor nicht nur injektiv auf Objekten (was
wir schon gesehen haben), sondern auch auf Morphismen. Wir haben jedoch ein Problem.
Beispiel 4.6. Die Inklusion j :
(2)
⊂
induziert eine Abbildung beringter Räume
(Specj, j ] ) : (Spec( ), O )
(Spec(
(2)), O
(2)
).
Sie ist eine offene Einbettung, denn der einzige Punkt von Spec( ) geht auf den offenen Punkt
(0). Die Abbildung j ] hat die Form
O
Spec(
(2))
{(0)}
(Specj)∗ O
(2)
========
⊂
(2)
Es gibt jedoch noch eine andere Abbildung beringter Räume
(g, g ] ) : Spec( ), O
Spec(
(2)), O
(2)
.
Die Abbildung g : Spec( )
Spec( (2)) bildet den einzigen Punkt auf den abgeschlossenen
Punkt (2) ab. Natürlich ist sie stetig. Die Abbildung g ] hat die Form
O
Spec(
(2))
{(0)}
g∗ O
(2)
(2)
⊂
Es gibt jedoch nur einen Ringhomomorphismus
nicht geben.
(2)
∗.
,
also sollte es die Abbildung (g, g ] )
Definition 4.7. Ein Ring ist lokal , wenn er genau ein maximales Ideal hat. Ein Ringhomomorphismus f : A
B von lokalen Ringen ist lokal , wenn das Urbild des maximalen Ideals von B
unter f das maximale Ideal von A ist.
Jeder Körper ist also ein lokaler Ring. Ist A ein Ring und P / A ein Primideal, so ist die
Lokalisierung AP bei P ein lokaler Ring. Das maximale Ideal ist das von dem Bild von P erzeugte
Ideal. Wegen Teil 2 von 4.3 ist für jeden Punkt P ∈ Spec(A) der Halm von OA bei P ein lokaler
Ring. Ist (f, f ] ) : (X, OX )
(Y, OY ) eine Abbildung beringter Räume, so gibt es für jeden
Punkt x ∈ X eine kanonische Abbildung
fx : OY,f (x) =
colim
OY (U )
f (x)∈U∈Top(Y )
colim
f (x)∈U∈Top(Y )
f∗ OX (U )
colim
x∈V ∈Top(X)
OX (V ) = OX,x .
Ist (f, f ] ) induziert von einem Ringhomomorphismus A
B, so ist jede Abbildung fx ein
lokaler Homomorphismus (siehe Aufgabe 5 von Übungsblatt Vier).
15
Definition 4.8. Ein lokal beringter Raum ist ein beringter Raum (X, OX ), wobei für jeden Punkt
x ∈ X der Halm OX,x : = (OX )x ein lokaler Ring ist. Eine Abbildung (X, OX )
(Y, OY ) lokal
beringter Räume ist eine Abbildung beringter Räume (f, f ] ) derart, dass f ] für jeden Punkt x ∈ X
einen lokalen Homomorphismus OY,f (x)
OX,x induziert. Sei lrTop die Kategorie der lokal
beringten Räume.
Falls kein Missverständnis möglich ist (so zum Beispiel im Fall Spec(A)), wird einfach von X als
lokal beringtem Raum gesprochen. Die Abbildung g aus Beispiel 4.6 ist also kein Homomorphismus
lokal beringter Räume. Denn für (0) ∈ Spec( ) ist
]
g(0)
:O
(2),g(0)=(2)
=
(2)
=O
,(0)
die Inklusion, also kein lokaler Homomorphismus. Tatsächlich gilt folgender Sachverhalt.
Lemma 4.9. Der Funktor Spec : Ringeop
HomRinge (A, B)
∼
=
für alle Ringe A, B.
lrTop induziert eine Bijektion
HomlrTop Spec(B), Spec(A)
Beweis. Wegen Korollar 2.15 und Proposition 4.3 ist plausibel,
dass Spec ein Funktor
ist. Seien nun
Ringe A, B und eine Abbildung (f, f ] ) : Spec(B), OB
Spec(A), OA gegeben. Aufgrund
Proposition 4.3 erhalten wir einen Ringhomomorphismus
φ : A = OA Spec(A)
OB f −1 (Spec(A)) = Spec(B) = B.
Ist P ∈ Spec(B), so ist das Diagramm
A
kan.
Af (P )
φ
B
kan.
fP]
BP
kommutativ, weil f ] eine Abbildung von Garben ist. Bezeichne P 0 das vom Bild von P in BP
erzeugte (maximale) Ideal. Nun ist fP] ein lokaler Homomorphismus, also gilt (fP] )−1 (P 0 ) = f (P )0 .
Insbesondere ist φ−1 (P ) = f (P ), weil das Urbild von P 0 unter der kanonischen Abbildung gerade
wieder P ergibt. Also ist f = Specφ und – wegen der universellen Eigenschaft der Lokalisierung –
fP] = φP . Daraus folgt f ] = φ] .
Definition 4.10. Ein affines Schema ist ein lokal beringter Raum, der isomorph zu dem lokal
beringten Raum (Spec(A), OA ) ist für einen Ring A. Ein Schema ist ein lokal beringter Raum
(X, OX ) derart, dass jeder Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, so dass (U, OX |U ) ein
affines Schema ist. Die Kategorie Sch der Schemata ist die volle Unterkategorie der Schemata in
lrTop. Ein Morphismus von Schemata ist also eine Abbildung lokal beringter Räume.
Grob gesprochen ist ein Schema ein Raum, der lokal so aussieht wie ein Ring. Lemma 4.9 zeigt,
dass die Kategorie der Ringe äquivalent zur vollen Unterkategorie der affinen Schemata in Sch
ist. Die Kategorie Sch ist jedoch echt grösser. Es gibt in Sch – im Gegensatz zu Ringe – nun die
Möglichkeit, Ringe zu “verkleben”. Um dies tun zu können, brauchen wir einen Begriff.
Definition 4.11. Sei (X, OX ) ein Schema und U eine offene Teilmenge von X. Dann ist U auf
kanonische Weise ein Schema, und zwar mit Hilfe der Strukturgarbe OU : = (OX )|U (siehe Aufgabe
3 von Übung Vier). Das Schema U, OU ) heisst offenes Unterschema von X. Die kanonische Abbildung von (U, OU ) nach (X, OX ) ist eine offene Einbettung und wird mit U ⊂ ◦ X bezeichnet.
16
Allgemeiner möchte ich jedes Schema Y , welches isomorph zu einem offenen Unterschema von
X ist, als offenes Unterschema von X bezeichnen, und ebenso die dadurch gegebene Abbildung
Y
X als offene Einbettung bezeichnen. Der Begriff “offene Immersion” ist vielleicht passender.
Beachte, dass der Durchschnitt zweier offener Unterschemata eine etwas subtile Angelegenheit ist.
Beispiel 4.12. Sei k ein Körper und
1
k
: = Spec(k[X]) die affine Gerade über k. Die Punkte 0 =
(X) und 1 = (X − 1) sind abgeschlossene Punkte in
1
Notation 4.13. Allgemeiner ist für einen Ring R
der Dimension n über R.
n
R
. Der Ringisomorphismus k[X]
∼
=
∼
=
k[X],
welcher durch X
1k von
X + 1 bestimmt ist, definiert einen Isomorphismus f : 1k
Schemata. Es gilt f (0) = 1. Insofern sind die offenen Unterschemata 1k {0} und 1k {1}
isomorph. Aus Teil 3 von Beispiel 4.4 folgt, dass 1k {0} ∼
= Spec(k[X, X −1 ]), also ein affines
Schema ist. Der Schnitt der beiden isomorphen Unterschemata ist
1
1
1
∼
k {0} ∩ k {1} = k {0, 1} = Spec k[X]X 2 −X .
: = Spec(R[X1 , . . . , Xn ]) der affine Raum
Wenn R = k ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, so kann man die abgeschlossenen
Punkte in nk mit n-Tupeln von Elementen aus k identifizieren. Denn jedes n-Tupel (a1 , . . . , an )
liefert ein maximales Ideal (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) / k[X1 , . . . , Xn ], also einen abgeschlossenen
Punkt in nk mit Restklassenkörper k (siehe Aufgabe 2 von Übung Vier). Es ist plausibel, dass
verschiedene n-Tupel verschiedene Punkte definieren. Sei umgekehrt x ∈ nk ein abgeschlossener
Punkt, gegeben durch ein maximales Ideal M / k[X1 , . . . , Xn ]. Da k 0 : = k[X1 , . . . , Xn ]/M eine
endliche algebraische Erweiterung von k ist und wir k als algebraisch abgeschlossen vorausgestzt
haben, ist k ∼
= k 0 . Bezeichne das Bild von Xj ink 0 ∼
= k mit bj . Dann gilt Xj − bj ∈ M , da
das Bild dieses Polynoms in k 0 ja Null ist. Also ist (X1 − b1 , . . . , Xn − bn ) ⊆ M . Weil das Ideal
(X1 − b1 , . . . , Xn − bn ) ebenso wie M ein maximales Ideal ist, gilt M = (X1 − b1 , . . . , Xn − bn ). Dies
rechtfertigt die Bezeichnung “affiner Raum”. Beachte jedoch, dass nk im allgemeinen jedoch weit
mehr Punkte hat als k n , selbst wenn k algebraisch abgeschlossen ist. Ist zum Beispiel p(X, Y ) =
Y 2 −X 2 (X +1) irreduzibel in k[X, Y ], so definiert es einen nicht abgeschlossenen Punkt in 2k . Mit
Hilfe des euklidischen Algorithmus kann man zeigen, dass ein maximales Ideal M = (X − a, Y − b)
das Polynom p(X, Y ) genau dann enthält, wenn p(a, b) = 0 gilt. Somit besteht der Abschluss von
(p) aus allen Nullstellen von p, zusammen mit p selbst.
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
-1
-1.5
Kommen wir nun zum Verkleben von Schemata.
Lemma 4.14. Sei {Xα }α∈Ω eine Familie von Schemata. Sei für jedes Paar (α, β) ∈ Ω × Ω ein
offenes Unterschema Xαβ
dass
⊂
◦ Xα und ein Isomorphismus fαβ : Xαβ
17
∼
=
Xβα gegeben derart,
• fαα = id
−1
• fαβ = fβα
• fαβ (Xαβ ∩ Xβγ ) = Xαγ
• fαγ |Xαβ ∩Xβγ = (fβγ ◦ fαβ )|Xαβ ∩Xβγ
Dann gibt es ein Schema X, zusammen mit offenen Einbettungen gα : Xα
[
Xα = X
und
gα |Xαβ = (gβ ◦ fαβ )|Xαβ .
⊂
◦ X derart, dass
α∈Ω
X ist bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmt.
Beweis. Konstruiere zunächst den topologischen`
Raum X als Verklebung der Räume Xα . Also ist
X Quotientenraum der disjunkten Vereinigung α Xα , wobei die Äquivalenzrelation gegeben ist
durch x ∼ fαβ (x) für alle x ∈ Xαβ und α, β. Insbesondere gibt es für alle α eine offene Einbettung
topologischer Räume gα : Xα ⊂ ◦ X mit gβ ◦ fαβ |Xαβ = gα |Xαβ . Der Raum X ist eindeutig bis
auf eindeutige Isomorphie. Setze nun Uα : = gα (Xα ) und Oα : = (gα )∗ OXα . Nach Überprüfen der
Voraussetzungen von 3.13 erhält man genau eine Garbe OX auf X mit OX |Uα = Oα = OUα . Es
folgt, dass (X, OX ) ein Schema ist, und Xα ∼
= Uα ist ein offenes Unterschema von X.
Bemerkung 4.15. Ist also {Uα ⊂ ◦ X} eine offene Überdeckung, so kann man davon sprechen,
dass X durch Verkleben der Uα ’s entsteht. Natürlich kann man Morphismen von Schemata ebenso
verkleben wie Schemata selbst. In anderen Worten: Verkleben ist eine Colimes-Konstruktion. In
wieder anderen Worten: Entsteht X durch Verkleben der Uα ’s, so ist ein Morphismus f : X
Y
schon dadurch bestimmt, dass man für jedes α einen Morphismus fα : Uα
Y angibt mit
fα |Uα ∩Uβ = fβ |Uα ∩Uβ . Der Fall, wo Ω zwei Elemente hat, ist ausreichend für die Anschauung. In
diesem Fall liefert Lemma 4.14 den Pushout von
U ≺◦
⊃
U ∩V
⊂
◦ V
in Sch.
Beispiel 4.16. Sei A ein Ring und n ≥ 0. Für 0 ≤ α ≤ n setze
Xα : = SpecA[Tα−1 T0 , Tα−1 T1 , . . . , Tα−1 Tn ]
und Xαβ : = D(Tα−1 Tβ ) ⊆ Xα . Also ist Xα das Spektrum eines Polynomringes in n (nicht n + 1)
Variablen – in anderen Worten ein affiner Raum der Dimension n über A. Nach Aufgabe 1 von
Übungsblatt 3 ist
Xαβ ∼
= SpecA[Tα−1 T0 , Tα−1 T1 , . . . , Tα−1 Tβ , (Tα−1 Tβ )−1 , Tα−1 Tβ+1 , . . . , Tα−1 Tn ].
Fassen wir letzteren Ring als Unterring von A[T0 , . . . , Tn ]T0 ·T1 ···Tn auf, so stimmt er überein mit
A[Tβ−1 T0 , Tβ−1 T1 , . . . , Tβ−1 Tα , (Tβ−1 Tα )−1 , Tβ−1 Tα+1 , . . . , Tβ−1 Tn ].
−1
So gilt zum Beispiel im Fall n = 2 die Gleichung T0−1 T2 T0−1 T1
= T1−1 T2 . Also existiert
ein Isomorphismus fαβ : Xαβ
Xβα . Es lässt sich nachrechnen, dass die Voraussetzungen
von Lemma 4.14 erfüllt sind. Das Schema nA , welches durch Verkleben entsteht der affinen ndimensionalen Räume entsteht, ist der projektive Raum der Dimension n über A.
Beispiel 4.17. Die projektive Gerade 1A entsteht also durch Verkleben zweier affiner Geraden
SpecA[X] und SpecA[Y ] entlang der Menge, wo X und Y “nicht Null sind”. Genauer benutzt man
den Isomorphismus
∼
=
D(X) ∼
= D(Y )
=SpecA[X, X −1 ] SpecA[Y, Y −1 ]∼
Y −1 .
X
18
n
Es gibt noch eine andere Konstruktion des
Anwendung des Verklebens.
’s. Erstmal gibt es eine weitere (und wichtige)
Theorem 4.18. Die Kategorie Sch besitzt Pullbacks. In anderen Worten: Sind Morphismen
Y
f
X≺
g
Z
(7)
von Schemata gegeben, so gibt es ein Schema Y ×X Z, zusammen mit einem kommutativen Diagramm
Z
Y ×X Z
·
f
Y
g
X
derart, dass in jedem Diagram von Schemata der Form
T
Z
Y ×X Z
·
f
Y
genau ein Morphismus T
g
X
Y ×X Z existert, so dass das Diagram
T
Z
Y ×X Z
·
f
Y
g
X
kommutiert.
Beweis. Wegen Aufgabe 1 von Übung Vier und Aufgabe 2 von Übung Drei ist klar, dass ein
Pullback von
Spec(B ≺
A
C)
gegeben ist als Spec(B ⊗A C). Zudem ist klar, dass “der” Pullback in Sch, sofern er denn existiert,
eindeutig ist bis auf eindeutige Isomorphie. Ich spreche also nur noch von dem Pullback. Die
Eindeutigkeit wird es uns erlauben, den Pullback von Schemata über Verkleben der Pullbacks von
affinen Schemata zu konstruieren.
Dazu eine Behauptung: Existiert der Pullback von Diagramm (7) und ist U ⊂ ◦ Y ein offenes
Unterschema, dann ist p−1 (U ) ⊂ ◦ Y ×X Z der Pullback von U ⊂ ◦ Y
X≺
Z. Hierbei ist
p : Z×X Z
Y die kanonische Abbildung. Denn wenn T
U und T
Z Morphismen von
Schemata sind, so existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus h : T
Y ×X Z. Weil das Bild
von T in Y tatsächlich in U liegt, liegt das Bild von h in p−1 (U ). Dies ist natürlich eine Betrachtung
auf dem Level der unterliegenden topologischen Räume eines Schemas, aber da in einem offenen
Unterschema von S die Strukturgarbe ja gerade die Einschränkung der Strukturgarbe von S ist,
kann man h sofort als Abbildung T
p−1 (U ) von Schemata auffassen. Dies zeigt insbesondere,
dass der Pullback zweier offener Unterschemata U, V von X existiert: er ist gegeben durch den
Durchschnitt U ∩ V ⊂ ◦ X.
19
Umgekehrte Behauptung: Ist {Uα ⊂ ◦ Y } eine offene Überdeckung von Y und existieren die
Pullbacks Wα : = Uα ×X Z für jedes α, so erhält man den Pullback Y ×X Z durch Verkleben. Setze
hierzu
Wαβ : = p−1
α (Uα ∩ Uβ ) ⊆ Wα
wobei pα : Wα
Uα die kanonische Abbildung ist. Wegen obiger Behauptung ist Wαβ der
Pullback Wα ∩ Wβ ×X Z. Das Gleiche gilt für Wβα , also gibt es genau einen Isomorphismus
∼
=
fαβ : Wαβ
Wβα . Die Eindeutigkeit liefert die notwendigen Bedingungen in Lemma 4.14, also
gibt es ein Schema W (eindeutig bis auf eindeutige Isomorphie), welches durch Verkleben der Wα ’s
pα
Uα ⊂ ◦ Y erhalten wir einen Morphismus
entsteht. Durch Verkleben der Morphismen Wα
W
Y (siehe Bemerkung 4.15), und analog auch einen Morphismus W
Z, so dass das
Diagramm
Z
W
g
f
Y
X
kommutiert. Seien nun Morphismen h : T
Y, i : T
Z gegeben. Dann ist die Menge der Urbilder {Vα : = h−1 (Uα ) ⊂ ◦ T } eine offene Überdeckung von T . Der Morphismus
hα
Uα ⊂ ◦ Y . Das Paar (hα , i|Vα ) liefert genau einen kompatiblen
h|Vα faktorisiert als Vα
Wα in den Pullback, also auch einen Morphismus jα : Vα
W . Da
Morphismus Vα
hα |Vα ∩Vβ = hβ |Vα ∩Vβ gilt, gilt das Analoge für die jα ’s. Also gibt es genau einen Morphismus
j: T
W mit der gewünschten Eigenschaft. Dies beweist die umgekehrte Behauptung.
Aus der umgekehrten Behauptung folgt die Existenz des Pullbacks von Diagramm (7), falls
X und Z affin sind. Denn Y besitzt nach Voraussetzung eine offene affine Überdeckung, und der
Pullback affiner Schemata existiert. Diese Existenz kann man nun in der umgekehrten Behauptung
benutzen, um den Pullback von Diagramm (7) zu konstruieren, sofern zumindest X affin ist. Ist
nun Diagramm (7) ein beliebiges Diagramm von Schemata, wähle eine offene affine Überdeckung
{Uα ⊂ ◦ X} von X und konstruiere den Pullback f −1 (Uα )×Uα g −1 (Uα ). Dieser ist isomorph zum
Pullback f −1 (Uα ) ×X Z. Der Grund ist, dass jede Abbildung T
Z mit der Eigenschaft, dass
g
X über f −1 (Uα ) faktorisiert, schon in g −1 (Uα ) landet. Anwenden der umgekehrten
T
Z
Behauptung beendet den Beweis.
Beispiel 4.19. Sei R ein Ring.
1
2
• Der Pullback von 1R
Spec(R) ≺
R ist R . Ist φ : R
n
phismus, so ist S der Pullback von Spec(S)
Spec(R) ≺
S ein Ringhomomor-
n
R.
• Im folgenden Beispiel seien alle Pullbacks und alle affinen Räume über R. Das Diagramm
1
1
1
1
{0} ×
{0} ⊂◦ {0} ×
∩
1
×
1
∩
·
◦
{0}
◦
◦
⊂
ist ein Pullback-Diagramm (was durch das Symbol
·
2
{0}
verdeutlicht wird).
• Hier beziehe ich mich auf die Notation von Beispiel 4.17. Sei
∞ : Spec(R)
Spec(Y 7→0)
Spec(R[Y ])
j
⊂
◦
1
R
die Einbettung des unendlich fernen Punktes. Dann ist der Pullback von
Spec(R)
∞
das leere Schema ∅ = Spec(∗).
20
1
R
i
≺◦
⊃
SpecR[X]
• Das Diagramm
1
{(X − i), (X + i)} ⊂◦
1
·
1
{(X 2 + 1)}
⊂
p
◦
1
ist ein Pullback-Diagramm. Hier ist p von der Einbettung
⊂
induziert.
Der Pullback wird auch Faserprodukt genannt. Im speziellen Fall, wo X das terminale Objekt
in Sch ist, erhält man als Pullback über X das Produkt in Sch. In der Kategorie der affinen
Schemata ist offensichtlich Spec( ) das terminale Objekt, und nach Aufgabe 1 von Übung Vier
gilt dies auch in Sch.
Die Konstruktion des Pullbacks ist wichtig für viele Konzepte in der algebraischen Geometrie,
so zum Beispiel bei der Betrachtung von Vektorbündeln, Gruppenschemata, Schnitttheorie, und
und und. Ein wichtiges Konzept in der algebraischen Geometrie, welches durch Pullback erst
sinnvoll wird, ist der Basiswechsel .
Definition 4.20. Sei S ein Schema. Ein Schema über S (oder S-Schema) ist ein Morphismus
von Schemata f : X
S. Ein Morphismus von S-Schemata oder Morphismus über S ist ein
kommutatives Dreieck
Y
≺
X
S
von Schemata. So ist zum Beispiel das Primspektrum einer k-Algebra auf kanonische Weise
ein Schema über Spec(k), und ein k-Algebren-Homomorphismus liefert einen Morphismus über
Spec(k). Die Kategorie der Schemata über S wird mit Sch/S bezeichnet, und idS : S
S ist
in dieser Kategorie das terminale Objekt oder Basisschema. Ist S = Spec(R) affin, so sagt man
auch oft “Schema über R” und schreibt Sch/R für Sch/Spec(R).
S
Der Pullback zweier S-Schemata über S ist also das Produkt in Sch/S. Ist f : T
ein Morphismus von Schemata, so liefert Pullback einen Funktor f ∗ : Sch/S
Sch/T . Denn
wenn X
S ein Schema über S ist, so ist T ×S X auf kanonische Weise ein Schema über T .
Umgekehrt ist jedes T -Schema Y
T auch ein S-Schema, und zwar mit Strukturabbildung
f
Y
T
Sch/S, der links-adjungiert zu f ∗
S. Dies liefert einen Funktor f] : Sch/T
ist.
Notation 4.21. Sei S ein Schema, also insbesondere ein
sion n über S ist definiert als Pullback nS von
S
Spec( ) ≺
f
-Schema. Der affine Raum der Dimenn
.
Ebenso ist der projektive Raum der Dimension n über S ist definiert als Pullback
S
Spec( ) ≺
f
n
n
S
von
.
Hier ist ein besonders wichtiger Fall eines Basiswechsels.
Definition 4.22. Sei X
S ein S-Schema
und x ∈ S. Nach Aufgabe 2 von Übung Vier gibt es
einen kanonischen Morphismus Spec k(x)
S, wobei k(x) : = OS,x /Mx der Restklassenkörper
von x ist. Der Pullback Xx : = Spec k(x) ×S X wird Faser von X über x genannt.
Der Basiswechsel der Strukturabbildung X
S ist ein Morphismus Xx
Spec k(x) , die
Faser ist also ein k(x)-Schema. Dies zeigt, dass Schemata über einem Körper eine ausgezeichnete
Rolle spielen.
21
Lemma 4.23. Sei f : X
S ein Schema über S und x ∈ S, und betrachte die Faser (Xx , OXx ).
Der topologische Raum Xx ist homöomorph zu dem Unterraum f −1 (x) ⊆ X vermöge der kanonischen Projektion p : Xx
X.
−1
⊂
∼
Beweis. Da
x eine offene affine Umgebung U ◦ S besitzt und Spec k(x) ×U f (U ) =
Spec k(x) ×S X gilt, ist S ohne Beschränkung der Allgemeinheit affin, und x Primideal in
OS (S) = A. Das Schema X besitzt eine offene affine Überdeckung {jα : Uα ⊂ ◦ X}, also besitzt
nach Konstruktion des Pullbacks Xx eine offene Überdeckung in der Form p−1 (Uα ) = Xx ×X Uα .
Ist Xx ×X Uα nun homöomorph via kanonischer Projektion mit (f ◦ jα )−1 (x) für alle α, so
folgt die Aussage des Lemmas. Sei also auch X ohne Beschränkung der Allgemeinheit affin, und
f = Spec(φ : B
A).
In diesem Fall berechnet sich der Pullback als Spektrum des Tensorproduktes. Die Abbildung
l
ψ
Ax
k(x), wobei φ nach Proposition 2.16 eine Lokalisierung
A
k(x) faktorisiert als A
und ψ surjektive Projektion ist. Dies überträgt sich auf die Tensorprodukte
l
A
φ
Ax
k(x)
φ0
·
0
OX (X) = B
ψ
l
ψ0
B ⊗A Ax B ⊗A k(x)
−1
So ist B ⊗A Ax = φ(A x)
B als Ring, und B ⊗A k(x) = (B ⊗A Ax )/φ0 (Mx )(B ⊗A Ax ), wobei
Mx das von l(x) in Ax erzeugte Ideal bezeichnet. Nach Proposition 2.16 induziert Spec(l0 ) einen
Homöomorphismus auf den Unterraum {P ∈ Spec(B) | P ∩ φ(A x) = ∅}, und Spec(ψ 0 ) induziert
einen Homömorphismus auf den (abgeschlossenen) Unterraum V ker(ψ 0 ) = {Q ∈ Spec(B ⊗A
Ax ) | φ0 (Mx ) ⊆ Q}. Insgesamt ist demnach Xx homöomorph via p zu dem Unterraum
{P ∈ Spec(B) | P ∩ φ(A
x) = ∅ und φ(x) ⊆ P } = {P ∈ Spec(B) | φ−1 (P ) = x} = f −1 (x).
Mit Hilfe von Lemma 4.23 lässt sich ein S-Schema X als Familie von k(x)-Schemata auffassen,
wobei x die Punkte von X durchläuft. Ein -Schema X ist also eine Familie von Schemata, eins
über , die anderen über den p ’s.
Ist X ein Schema über einem Körper k, so gibt es einen weiteren wichtigen Basiswechsel. Sei
k ⊂ k die Inklusion in einen algebraischen Abschluss von k, und setze
X : = X ×k k : = X ×Spec(k) Speck.
Da Punkte eines Schemas über einem algebraisch abgeschlossenen Körper eher dem entsprechen,
was man sich unter dem üblichen geometrischen Punktbegriff vorstellt, gibt man Eigenschaften von
X das Attribut “geometrisch”. Zum Beispiel ist (X, OX ) geometrisch zusammenhängend , wenn X
(also der topologische Raum) zusammenhängend ist.
Definition 4.24. Sei f : X
X ist ein S-Morphismus g : S
S ein Schema über S. Ein Schnitt oder S-rationaler Punkt von
X. Allgemeiner ist für ein S-Schema T
S
HomSch/S (T, X)
die Menge der T -rationalen Punkte von X. Sie wird mit X(T ) oder mit X(A) = X Spec(A) im
affinen Fall bezeichnet.
Ist X ein Schema über dem Körper k, so ist ein k-rationaler Punkt nach Aufgabe 2 von Blatt
Vier ein Punkt x ∈ X mit Restklassenkörper k(x) = k.
22
Beispiel 4.25. Sei k ein Körper und I / k[T1 , . . . , Tn ] =: A. Also ist I erzeugt von endlich vielen
Polynomen p1 , . . . , pm . Sei
Z : = {a = (a1 , . . . , an ) ∈ k n | pj (a) = 0 ∀ 1 ≤ j ≤ m}
die Lösungsmenge der Polynome in I. Setze X : = Spec k[T1 , . . . , Tn ]/I , ein Schema über k.
Dann ist Z isomorph zu X(k).
Denn jedes Element a ∈ Z liefert ein maximales Ideal Ma =
T1 − a1 , T2 − a2 , . . . , Tn − an / A mit I ⊆ Ma , also einen (abgeschlossenen) Punkt x(a) in X. Der
Restklassenkörper dieses Punktes ist k selbst. Umgekehrt ist ein Punkt in X mit Restklassenkörper
k automatisch abgeschlossen, somit gegeben durch ein maximales Ideal wie oben beschrieben.
5
Morphismen
Eine spezielle Klasse von Morphismen von Schemata, nämlich die offenen Einbettungen, haben
wir schon in 4.11 kennengelernt.
Definition 5.1. Sei (X, OX ) ein Schema. Ein abgeschlossenes Unterschema ist ein Morphismus
(i, i] ) : (Z, OZ )
(X, OX ) derart, dass
• i: Z
und
⊂
X einen Homöomorphismus auf eine abgeschlossene Teilmenge von X induziert,
• die Abbildung i] : OX
i∗ OZ von Garben auf X surjektiv auf den Halmen ist.
Der Morphismus wird abgeschlossene Einbettung genannt und mit (Z, OZ ) ⊂ + (X, OX ) bezeichnet. Hartshorne [Har77] verwendet den Begriff abgeschlossene Immersion.
Beispiel 5.2. Ist I / A ein Ideal, so ist nach Teil 1 von Proposition 2.16 Spec(φ : A
A/I)
eine abgeschlossene Einbettung. Ist P ∈ Spec(A/I), so ist die Abbildung auf den Halmen bei P
die kanonische Abbildung
(A/I)P ∼
= OA/I,P .
OA,φ−1 (P ) ∼
= Aφ−1 (P )
Nach Aufgabe 5 von Blatt Fünf ist sie surjektiv. Um etwas konkreter zu werden: Sei A = k[X, Y, Z]
und I das von der quadratischen Form p = X 2 + Y 2 − Z 2 erzeugte Ideal. Dann ist Spec(A/I) ein
abgeschlossenes Unterschema des 3k , was man sich so vorstellen sollte:
23
Fakt ist, dass jedes abgeschlossene Unterschema eines affinen Schemas auf diese Weise erzeugt
wird. Um dies zu zeigen, verwende ich eine Charakterisierung von abgeschlossenen Unterschemata
mit Hilfe von Garben. Sei hierzu (f, f ] ) : (X, OX )
(Y, OY ) ein Morphismus von Schemata.
Definiere ker(f ) als den Kern der Abbildung f ] : OY
f∗ OX . Demnach ist ker(f ) eine Garbe
von abelschen Gruppen auf Y , und für jede offene Menge U ⊆ Y ist ker(f )(U ) ein Ideal in OY (U ).
Setze V (f ) : = {y ∈ Y | ker(f )y 6= OY,y }.
Lemma 5.3. Sei (i, i] ) : (Z, OZ ) ⊂ + (X, OX ) eine abgeschlossene
Einbettung. Dann gilt V (i) =
Z, und die Garbe OZ ist isomorph zur Garbe i−1 OX /ker(i) .
Beweis. Die Lösung von Aufgabe 3 von Übung Zwei zeigt, dass
(
0
wenn x ∈
/ i(Z)
(i∗ OZ )x =
OZ,z wenn x = i(z)
gilt. Da der Halm OZ,z ein lokaler Ring ist, ist er verschieden von 0 für alle z ∈ Z. Mit Aufgabe
4 von Übung Eins, angewandt auf die kurze exakte Folge
0
ker(i)
i]
OX
0
i∗ OZ
folgt, dass ker(i)x 6= OX,x genau dann, wenn x ∈ Z. Dies zeigt V (i) = Z. Der Isomorphismus
i−1 OX /ker(i)
∼
=
i−1 i∗ OZ
folgt mit Aufgabe 3 von Übung Zwei.
∼
=
OZ
Proposition 5.4. Sei X = Spec(A) ein affines Schema, und i : Z ⊂ + X ein abgeschlossenes
Unterschema. Dann ist i isomorph zu der Abbildung Spec(A
A/I), wobei I / A eindeutig
bestimmt ist. Insbesondere ist Z affin.
Beweis. Das Schema Z besitzt eine offene affine Überdeckung {Uα ⊂ ◦ Z}. Da Z abgeschlossener
Unterraum von X ist, gibt es zu jedem α ein Vα ⊂ ◦ X mit Z ∩ Vα = i−1 (Vα ) = Uα . Jedes Vα
ist überdeckt durch offene Basismengen D(a) mit a ∈ A. Das Pullback-Diagramm
D(a) ∩ Uα ⊂◦ Uα
∩
∩
·
D(a)
⊂
◦X
zeigt, dass D(a) ∩ Uα affin ist, und zwar von der Form D φ(a) , wo
φα : A ∼
= OX (X)
i] (X)
OZ (Z)
OZ (Uα ).
Die offene Teilmenge X Z besitzt ebenso eine offene Überdeckung durch Basismengen. Da X
nach Aussage 1 von Lemma 2.10 quasi-kompakt ist, erhält man eine endliche offene Überdeckung
{D(aj ) ⊂ ◦ X}nj=1 von X durch Basismengen, so dass Uj : = D(aj ) ∩ Z affin und von der Form
D φα (aj ) für ein α ist. Insbesondere ist der Schnitt D(aj ) ∩ D(ak ) ∩ Z wieder affin.
Betrachte den Kern ker(i) der Abbildung i] : OX
i∗ OZ als Garbe auf X, und setze I : =
ker(i)(X). Nach Beispiel 5.2 gibt es eine abgeschlossene Einbettung f : Spec(A/I) ⊂ + Spec(A) =
X. Ziel ist nun, einen Isomorphismus ker(i) ∼
= ker(f ) von Garben zu konstruieren. Nach Lemma 5.3 folgt dann ein Isomorphismus Z ∼
= Spec(A/I). Wähle a ∈ A. Da der Ringhomomorphismus
Aa nach Aufgabe 5 von Übung Zwei flach ist, ist die Sequenz
A
I ⊗A Aa
A ⊗A Aa = Aa = OA D(a)
OZ (Z) ⊗A Aa
(8)
0
24
exakt. Behauptung: OZ (Z) ⊗A Aa ∼
= OZ D(a) ∩ Z . Beweis der Behauptung: Das kommutative
Diagramm
OX (X) ∼
=A
OX
i] (X)
OZ (Z)
i] D(a)
D(a) ∼
OZ D(a) ∩ Z
= Aa
liefert einen eindeutigen Ringhomomorphismus ψ : OZ (Z) ⊗A Aa
zeigen, dass ψ bijektiv ist, betrachte das Diagramm
0
OZ (Z) ⊗A Aa
n
Y
j=1
OZ (Uj ) ⊗A Aa
OZ D(a) ∩ Z . Um zu
n
p1 − p2 Y
OZ (Uk ∩ Ul ) ⊗A Aa
k,l=1
(9)
ψ
0
OZ D(a) ∩ Z
n
Y
j=1
OZ D(a) ∩ Uj
n
p1 − p2 Y
OZ D(a) ∩ Uk ∩ Ul
k,l=1
in dem die Zeilen wegen der Garben-Bedingung für OZ und (im Falle der oberen Zeile) wegen der
Flachheit von Aa exakt sind. Die
Endlichkeit derÜberdeckung ist hier auch relevant! Wie oben
ausgerechnet, ist OZ D(a) ∩ Uj = OZ D(φj (a)) ∼
= OZ (Uj )φj (a) ∼
= OZ (Uj ) ⊗A Aa . Also ist die
mittlere Abbildung bijektiv, was zeigt, dass ψ injektiv ist. Dies gilt für jedes Schema Z 0 , welches
eine endliche offene affine Überdeckung besitzt, insbesondere also auch für das affine Schema
Uj ∩ Uk . Demnach ist auch die rechte Abbildung im Diagramm (9) injektiv, was zur Folge hat,
dass ψ bijektiv ist. Die Behauptung ist bewiesen.
Das Diagramm (8) ist also von der Form
I ⊗A Aa
A ⊗A Aa = OA D(a)
A/I ⊗A Aa = OZ D(a) ∩ Z ,
0
was zeigt, dass ker(i) D(a) = I ⊗A Aa = ker(f ) D(a) . Da die Garben ker(i) und ker(f ) auf
einer Basis der Topologie von X übereinstimmen, gibt es einen eindeutigen Isomorphismus ker(i) ∼
=
ker(f ) nach Aufgabe 4 von Übung Drei. Die Eindeutigkeit von I folgt.
Bemerkung 5.5. Aus Aufgabe 5 von Übung Drei erhält man Beispiele, die zeigen, dass eine
abgeschlossene Teilmenge eines Schemas viele verschiedene Strukturen eines abgeschlossenen Unterschemas haben kann. Es gibt jedoch eine ausgezeichnete unter diesen, die reduziert genannt wird.
Sei zunächst X = Spec(A) affin und Z ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge. Also ist Z = V (I) für
ein Ideal I / A. Setze
\
\
√
J :=
P =
P = I.
P ∈Z
I⊆P
Dann ist V (J) = V (I) nach Lemma 2.14. Setze OZred : = OA/J . Ist Z abgeschlossene Teilmenge
irgendeines Schemas X, so wähle eine offene affine Überdeckung
[
Z⊆
Uα
und versehe Zα : = Z ∩Uα mit der im affinen Fall definierten Strukturgarbe. Man kann nachrechnen
(zum Beispiel in Aufgabe 1 von Übung Sieben), dass diese Garben zu einer Garbe auf Z verkleben
(siehe Lemma 3.13, und dass der resultierende beringte Raum tatsächlich ein Schema Zred ist. Die
Abbildung Zred
X ist eine abgeschlossene Einbettung. Details sind in Aufgabe 1 von Übung
Sieben nachzureichen.
Bemerkung 5.5 kann man insbesondere auf die Teilmenge X selbst anwenden. Man erhält ein
Schema Xred von folgendem Typ.
25
Definition 5.6. Ein Schema (X, OX ) ist reduziert , wenn für jede offene Teilmenge U ⊆ X der
Ring OX (U ) keine nilpotenten Elemente besitzt.
√
Ist I / A ein Ideal, so besitzt
√ A/ I offensichtlich keine nilpotenten Elemente. Dies gilt dann
auch
√ für Lokalisierungen (A/ I)P bei einem Primideal, und somit auch für die Strukturgarbe von
A/ I. Also ist für jede abgeschlossene Teilmenge Z ⊆ X eines Schemas X Zred ein reduziertes
Schema.
Abgeschlossene Unterschemata sind die Grundlage für die Theorie der algebraischen Zykel.
Hierzu die Analogie mit der Topologie: (singuläre) Kohomologieklassen einer glatten kompakten Mannigfaltigkeit lassen sich repräsentieren durch abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Das
Cup-Produkt in der Kohomologie ist dann gegeben durch den Schnitt der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten, sofern diese vorher in “allgemeine Lage” gebracht wurden. Die Situation in
der algebraischen Geometrie ist leider komplizierter, da Schemata recht unflexible Objekte sind
(zumindest im Vergleich zu Mannigfaltigkeiten). Chow hat als erster eine akzeptable Version eines
“Kohomologierings mit Schnitt-Produkt” für bestimmte Schemata konstruiert (siehe [Cho56]).
Die Konstruktion ist von Bloch in [Blo86] und [Blo94] erweitert worden. Inzwischen ist diese
“Kohomologie-Theorie” tatsächlich eine in dem Sinne, dass sie homotopie-theoretisch beschrieben
werden kann. Sie trägt den Namen “motivische Kohomologie” und hat genügend Eigenschaften,
die sie als engen Verwandten der singulären Kohomologie auszeichnen (siehe [VSF00] und [Voe98]).
Als erste Vorbereitung für den Chow-Ring dient Aufgabe 1 von Übung Sechs, in der gezeigt
wird, dass der Schnitt (also der Pullback) abgeschlossener Unterschemata wieder ein abgeschlossenes Unterschema liefert.
Y von Schemata ist von endlichem Typ, wenn Y eine
Definition 5.7. Ein Morphismus f : X
offene affine Überdeckung {Uα ⊂ ◦ Y } besitzt, so dass für jedes α f −1 (Uα ) durch endlich viele
offene affine Schemata Vαβ überdeckt wird, wobei OX (Vαβ ) eine endlich erzeugte OY (Uα )-Algebra
ist für jedes β.
Beispiel 5.8. Der kanonische Morphismus
n
S
kan.
S ist von endlichem Typ.
Beispiel 5.9. Ist x ein Punkt in einem Schema, so ist der in Aufgabe 2 von Übung Fünf konstruierte Morphismus SpecOX,x
X üblicherweise nicht von endlichem Typ.
Der Morphismus Spec(k
k[X1 , . . . , Xn , . . . ]) ist ebenfalls nicht von endlichem Typ. Zur Erinnerung: Eine A-Algebra φ : A
B ist endlich erzeugt , wenn φ isomorph ist zu A
A[X1 , . . . , Xn ]/I
φ
ψ
B
C gegeben, so dass φ
für ein Ideal I / A[X1 , . . . , Xn ]. Sind Ringhomomorphismen A
und ψ ◦ φ endlich erzeugt sind, so ist auch ψ endlich erzeugt. Ist B eine endlich erzeugte A-Algebra
via φ : A
B, so ist offensichtlich Spec(φ) von endlichem Typ. Insbesondere ist für ein a ∈ A
der Morphismus Spec(A
Aa ) von endlichem Typ, da ja Aa ∼
= A[X]/(aX − 1). Hier ist die
Umkehrung.
Lemma 5.10. Ist Spec(φ : A
Algebra.
B) von endlichem Typ, so ist B eine endlich erzeugte A-
Beweis. Zunächst wird eine nützliche Tatsache benötigt. Ist j : U ⊂ ◦ Spec(A) offene affine
Teilmenge eines affinen Schemas, so besitzt U ∼
= Spec(B) eine Überdeckung durch offene Mengen,
die sowohl Basismengen der Topologie von Spec(A), als auch Basismengen der Topologie von U
sind. Denn da U offene Menge in Spec(A) ist, ist
[
U=
D(aα )
α
j]
für aα ∈ A. Sei ψ : A ∼
OA (U ) ∼
= OA Spec(A)
= B der zu j : U
Ringhomomorphismus. Das Pullback-Diagramm
D(a)
w
w
w
w
w
D(a)
⊂
◦
·
⊂
U
Bψ(a) ≺
∩
◦ j
·
beziehungsweise
◦ Spec(A)
Aa ≺
26
⊂
◦ Spec(A) gehörende
B
ψ
A
affiner Schemata zeigt, dass D(a) ∼
= Spec Bψ(a) ∼
= D ψ(a) .
Nun zum Beweis. Setze f = Spec(φ), und wähle eine offene affine Überdeckung {Uα ⊂ ◦ Spec(A)}
und offene affine Teilmengen Vαβ ⊂ ◦ f −1 (Uα ) gemäss Definition 5.7. Da Spec(A) nach Lemma 2.10 quasi-kompakt ist, reichen endlich viele α’s aus. Umgekehrt besitzt jedes Uα eine Überdeckung durch offene
Basismengen D(a), wo a ∈ A, die – wieder wegen Lemma 2.10 – endlich ist.
Nun ist OA D(a) ∼
= Aa eine endlich erzeugte A-Algebra, aber nach oben bewiesener Tatsache
auch eine endlich erzeugte OA (Uα )-Algebra. Aus dem Beweis der Tatsache folgt ausserdem, dass
f −1 D(a) ∩ Vαβ eine offene Basismenge D(b) bezüglich Spec(B) und Vαβ ist. Das Diagramm
OA (Uα )
OA D(a)
A
OB (Vαβ ) OB f −1 D(a) ∩ Vαβ
zeigt, dass OB f −1 D(a) ∩ Vαβ = D(b) ∼
= Bb sowohl eine endlich erzeugte A-Algebra, als
auch eine endlich erzeugte B-Algebra ist. Der Raum Spec(B) ist durch endlich viele der D(b)0 s
überdeckt. Seien diese D(b1 ), . . . , D(bm ). Da ∅ = V (B) = V (b1 ) ∩ · · · V (bm ) = V (b1 , . . . , bm ), gibt
es Elemente ci in B mit
B
c1 b1 + . . . + cm bm = 1.
(10)
Bezeichne C die (endlich erzeugte) Unter-A-Algebra von B, die von den bi ’s, den Zählern der
Erzeuger der Bbi ’s und den ci ’s erzeugt wird. Gleichung (10) zeigt dann, dass C mit B übereinstimmt. Sei hierzu d ∈ B, also auch d ∈ Bbi für alle i. Dann existiert ein n > 0, so dass für alle
i bni d in der Unter-A-Algebra von B ist, die von den bi ’s und den Zählern der Erzeuger der Bbi ’s
erzeugt wird. Insbesondere ist bni d ∈ C. Erhebt man Gleichung (10) in eine genügend hohe Potenz
(mindestens mn), so erhält man eine Gleichung bn1 c01 + · · · + bnm c0m = 1, wobei c0i ∈ C für alle i.
Also ist
d = dbn1 c01 + · · · + dbnm c0m ∈ C
und somit B = C.
Korollar 5.11. Ist f : X
Y von endlichem Typ, so hat für jede offene affine Teilmenge U
von Y das Urbild f −1 (U ) eine endliche Überdeckung von offenen affinen Teilmengen Vβ ⊆ X, so
dass OY (U ) eine endlich erzeugte OX (Vb eta)-Algebra ist für jedes β.
Beweis. Der Beweis folgt mit etwas Aufwand aus Lemma 5.10.
Bemerkung 5.12. Ein Nutzen der Endlichkeitsbedingung 5.7 ist, dass die Kategorie der Schemata von endlichem Typ über einem Körper äquivalent ist zu einer kleinen Kategorie.
Lemma 5.13.
• Abgeschlossene Einbettungen sind von endlichem Typ.
• Morphismen von endlichem Typ sind abgeschlossen unter Basiswechsel.
• Morphismen von endlichem Typ sind abgeschlossen unter Komposition.
Beweis. Teil 1 folgt aus Proposition 5.4. Teil 2 folgt nach Konstruktion des Pullbacks, weil in
einem Diagramm
B
A
·
C
C ⊗A B
von Ringen, wo B endlich erzeugte A-Algebra ist, C ⊗A B endlich erzeugte C-Algebra ist. Teil 3
folgt aus Korollar 5.11.
27
Offene Einbettungen sind nicht notwendigerweise von endlichem Typ. Hier ist eine nützliche
Tatsache über offene Einbettungen von endlichem Typ.
i
Lemma 5.14. Sei X ⊂ + Y
abgeschlossene Einbettung W
so dass das Diagramm
j
◦ Z gegeben, wobei j von endlichem Typ ist. Dann existiert eine
⊂
+ Z und eine offene Einbettung von endlichem Typ X ⊂ ◦ W ,
⊂
X
⊂
∩
i
+ Y
∩
◦
W
◦ j
⊂
(11)
+ Z
kommutiert.
Beweis. Sei zunächst Z = Spec(A) affin. Dann ist nach 5.11 Y überdeckt durch endlich viele
offene affine Unterschemata U1 , . . . , Un , die ohne Einschränkung der Allgemeinheit von der Form
Uk = D(ak ) sind, wo ak ∈ A. (Hier wird nicht benötigt, dass Bk : = OY (Uk ) = Aak eine endlich
erzeugte A-Algebra ist, man braucht lediglich, dass j quasi-kompakt ist – siehe Aufgabe 2 von
Übung Sieben.) Das Unterschema X ∩ Uk ⊂ + Uk ist nach Proposition 5.4 bis auf Isomorphismus von der Form Spec(Bk /Ik ) ⊂ + Spec(Bk ). Bezeichne mit φk : A
Bk /Ik den von j ◦ i
induzierten Ringhomomorphismus, und setze Jk : = ker(φk ). Auf diese Weise induziert φ einen
Ringhomomorphismus ψk : A/Jk
B/Ik . Setze Wk : = Spec(A/Jk ), dann ist die endliche (!)
Vereinigung W der Wk ’s auf kanonische Weise ein abgeschlossenes Unterschema. Die Morphismen X ∩ Uk
Wk
W induzieren einen Morphismus X
W , so dass das Diagramm
(11) kommutiert. Um einzusehen, dass X
W eine offene Einbettung von endlichem Typ ist,
betrachte das Diagramm
θ
A
A/Jk
(12)
Aak Aak /Ik .
Man rechnet nach, dass Aak /Ik ∼
= A/Jk θ(ak ) gilt, Diagramm (12) also ein Pushout-Diagramm
ist. Es folgt, dass X
W offene Einbettung von endlichem Typ ist. Der allgemeine Fall, wo Z
nicht notwendigerweise affin ist, folgt nach Wahl einer offenen affinen Überdeckung von Z.
Y von Schemata ist
Definition 5.15. Ein Morphismus f : X
• projektiv , wenn er faktorisiert als
i
X
⊂
+
n
Y
kan.
Y
für irgendein n ≥ 0, und
• quasi-projektiv , wenn er faktorisiert als
X
j
⊂
◦ Z
g
Y
wobei j offene Einbettung von endlichem Typ und g projektiv ist.
Mit Lemma 5.13 und Beispiel 5.8 folgt, dass jeder quasi-projektive Morphismus von endlichem
Typ ist.
Proposition 5.16.
1. Abgeschlossene Einbettungen sind projektiv, und offene Einbettungen
von endlichem Typ sind quasi-projektiv.
28
2. Der Basiswechsel eines (quasi-)projektiven Morphismus ist (quasi-)projektiv.
3. Die Komposition zweier (quasi-)projektiver Morphismen ist (quasi-)projektiv.
Beweis. Teil 1 ist klar, mit n = 0. Teil 2 folgt, weil der Basiswechsel der kanonischen Abbildung
kan.
n kan.
Y entlang f : X
X ist, und weil abgeschlossene
Y die kanonische Abbildung nX
Y
bzw. offene Einbettungen invariant sind unter Basiswechsel – siehe Aufgabe 1 von Übung Sechs
bzw. den Beweis von Satz 4.18. Teil 3 ist aufwändiger.
Seien f : X
Y und g : Y
Z projektive Morphismen. Wähle Faktorisierungen f =
i
X
⊂
m kan.
Y
j
+
entlang Y
⊂
+
j
Y und g = Y
n
Z.
⊂
n kan.
Z
+
Z. Nun ist
m kan.
Y
Y Basiswechsel von
m
kan.
n
Z
n
Z
Also faktorisiert g ◦ f als
i
g◦f = X
⊂
m
Y
+
j0
⊂
+
m
kan.
n
Z
n
Z
kan.
Z.
Die Komposition zweier abgeschlossener Einbettungen ist wieder eine, die Komposition zweier
kanonischer Projektionen des projektiven Raumes auf die Basis jedoch im allgemeinen nicht! Betrachte zu letzterem das Pullback-Diagramm
m
n
Z
kan.
·
m
Z
n
kan.
Z
n
welches zeigt, dass mn = m
Z ×Z Z gilt. Letzteres stimmt für m und n positiv jedoch nie mit
Z
m+n
überein, wie wir später sehen werden. (Vergleiche mit Teil 1 von Beispiel 4.19.) Jedoch
Z
n
faktorisiert die Abbildung m
Z als
Z ×Z Z
m
Z
×Z
n
Z
Segre
⊂
+
mn+m+n kan.
Z
Z.
Segre
n ⊂
+ mn+m+n
zu konDies zeigt Teil 3 im projektiven Fall. Um die Segre-Einbettung m
Z ×Z Z
Z
struieren, betrachte zunächst den Fall Z = Spec( ). Der allgemeine Fall folgt nach Basiswechsel.
⊂
Seien {Uα ⊂ ◦ m }m
◦ n }nβ=0 und {Wαβ ⊂ ◦ mn+m+n }m,n
α=0 , {Vβ
α=0,β=0 die kanonischen
Überdeckungen. Es reicht nach Konstruktion des Pullbacks kompatible abgeschlossene Einbettungen sαβ : Uα × Vβ ⊂ + mn+m+n anzugeben. Sei s0αβ : Uα × Vβ ⊂ + Wαβ gegeben durch
σαβ :
−1
−1
[Zαβ
Z00 , . . . , Zαβ
Zmn ]
−1
Zαβ Zγδ
[Xα−1X0 , . . . , Xα−1 Xm ] ⊗ [Yβ−1 Y0 , . . . , Yβ−1 Yn ]
Xα−1 Xγ ⊗ Yβ−1 Yδ
und sαβ die Komposition von s0αβ mit der offenen Einbettung Wαβ ⊂ ◦ mn+m+n . Setze U : =
(Uα × Vβ ) ∩ (Uγ × Vδ ). Um einzusehen, dass sαβ |U = sγδ |U gilt, rechnet man nach, dass das
Diagramm
−1
−1
[Zαβ
Z00 , . . . , Zαβ
Zmn ]
−1
−1
[Zαβ
Z00 , . . . , Zαβ
Zmn ]Z −1 Zγδ
αβ
−1
−1
[Zγδ
Z00 , . . . , Zγδ
Zmn ]
[Xα−1X0 , . . . , Xα−1 Xm ] ⊗ [Yβ−1 Y0 , . . . , Yβ−1 Yn ]
[Xα−1X0 , . . . , Xα−1 Xm ]Xα−1 Xγ ⊗ [Yβ−1 Y0 , . . . , Yβ−1 Yn ]Y −1
(13)
Yδ
β
[Xγ−1X0 , . . . , Xγ−1 Xm ] ⊗ [Yδ−1 Y0 , . . . , Yδ−1 Yn ]
kommutiert, wo der mittlere Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung existiert. Dies definiert einen Morphismus Segre: m × n
mn+m+n , von dem noch
29
nachzuweisen ist, dass er eine abgeschlossene Einbettung ist. Da σαβ surjektiv ist (σ trifft jeden
Erzeuger), ist s0αβ nach Beispiel 5.2 eine abgeschlossene Einbettung. Das Diagramm (13) zeigt,
dass die Vereinigung der Bilder von sαβ eine abgeschlossene Teilmenge von mn+m+n bilden. Die
Bedingung, dass Segre] surjektiv auf den Halmen ist, ist lokal nachprüfbar, und erfüllt, weil gerade
s0αβ eine abgeschlossene Einbettung ist.
Seien nun f : X
Y und g : Y
Z quasi-projektive Morphismen. Wähle Faktorisierungen f = X
m
Y
kan.
i1
j1
⊂
◦ X0
⊂
kan.
m
Y
+
Y und g = Y
m
Y0
Y ist Basiswechsel von
Somit faktorisiert g ◦ f als
g◦f =X
kan.
◦ X 0
◦ Y 0
⊂
+
n
Z
kan.
Z. Die Abbildung
Y 0 entlang der offenen Einbettung j2 : Y
i1
j1
⊂
i2
j2
⊂
⊂
m
Y
+
⊂
j20
◦
m
Y0
kan.
Y0
⊂
◦ Y 0.
Z.
Wegen Lemma 5.14 existiert ein kommutatives Quadrat
X0
⊂
i1
+
∩
m
Y
∩
j200 ◦
i01
W ⊂ +
◦ j20
m
Y0
wobei j200 von endlichem Typ ist. Nach Lemma 5.13 ist X
Typ, und somit g ◦ f quasi-projektiv.
W offene Einbettung von endlichem
Beispiel 5.17. Projektive Schemata über einem Ring erhält man auf folgende Weise. Sei R ein
Ring und f ∈ R[T0 , . . . , Tn ] ein von Null verschiedenes homogenes Polynom vom Grad d. Sei
0 ≤ α ≤ n und
Zα : = V
das Unterschema von
Vereinigung
n
R,
f Tαd
⊂
+ Uα : = SpecR[Tα−1 T0 , . . . , Tα−1 Tn ]
⊂
◦
n
R
welches isomorph ist zu Spec R[Tα−1 T0 , . . . , Tα−1 Tn ]/( Tfd ) . Dann ist die
α
Z :=
n
[
α=0
Zα ⊆
n
R
auf kanonische Weise ein abgeschlossenes Unterschema. Denn
Zα ∩ (Uα ∩ Uβ ) = Zβ ∩ (Uα ∩ Uβ ),
(14)
wie man aus Proposition 2.16 sehen kann. Ein Punkt aus Zα ∩ (Uα ∩ Uβ ) ist ja gegeben durch ein
T
Primideal P ∈ Uα mit den Eigenschaften Tfd ∈ P und Tαβ ∈
/ P . Das Urbild Q in Uβ des von P in
α
R[Tα−1 T0 , . . . , Tα−1 Tn ]Tα−1 Tβ erzeugten Ideals enthält also
Td f
f
= αd · d
d
Tβ
Tβ Tα
aber nicht
Tα
.
Tβ
Somit ist Q ∈ Zβ und Gleichung (14) folgt. Hier wird natürlich benötigt, dass f homogen ist.
Insbesondere ist Z ∩Uα = Zα , also ist Z abgeschlossene Teilmenge von nR . Die Strukturgarben auf
den Zα ’s verkleben mit Lemma 3.13 zu einer Garbe auf Z, und da Zα abgeschlossenes Unterschema
von Uα ist, ist Z abgeschlossenes Unterschema von nR . Man nennt Z eine Hyperfläche vom Grad d.
Im speziellen Fall f = Tj erhält man die in Aufgabe 4 von Übung Sechs konstruierte abgeschlossene
n−1 ⊂
+ nR , eine Hyperebene.
Einbettung R
30
Bemerkung 5.18. Die Konstruktion von Beispiel 5.17 lässt sich von (f ) auf ein von homogenen
Polynomen erzeugtes Ideal (also ein homogenes Ideal) verallgemeinern. Umgekehrt kann man
zeigen, dass jedes abgeschlossene Unterschema des nR durch ein homogenes Ideal gegeben ist –
also die projektive Variante von Proposition 5.4. Siehe etwa [Har77, II.5.16].
Bemerkung 5.19. Als speziellen Fall von Beispiel 5.17 kann man homogene Polynome vom Grad
2 betrachten – in anderen Worten, quadratische Formen. Jede quadratische Form q liefert also ein
projektives Schema Xq , welches projektive Quadrik genannt wird. Im Falle eines Körpers k der
Charakteristik ungleich 2 gilt, dass Xq isomorph ist zu Xq0 genau dann, wenn es ein von Null
verschiedenes Element a ∈ k gibt, so dass q = aq 0 . Eine Untersuchung von quadratischen Formen
mit Hilfe von (motivischen) Eigenschaften der zugehörigen Quadriken findet sich in [Izh98] und
[Izh00].
Die quasi-projektiven Schemata sind in gewisser Hinsicht die richtigen Schemata. Zum einen
entsprechen die klassische Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k gerade den
quasi-projektiven reduzierten irreduziblen k-Schemata. Des weiteren ist jeder Morphismus affiner
Schemata von endlichem Typ quasi-projektiv. Dies zu zeigen ist Bestandteil einer Übungsaufgabe.
Ausserdem gilt folgende nette Eigenschaft: Ist X
Spec(R) quasi-projektiv, dann ist jede
endliche Menge von Punkten von X in einer offenen affinen Teilmenge von X enthalten. Dies
erlaubt es einem, Quotienten-Schemata von quasi-projektiven Schemata bezüglich Operationen
endlicher Gruppen zu konstruieren.
Wieder eine Verbindung mit der Topologie: Ein topologischer Raum X ist Hausdorff ’sch genau
dann, wenn die Diagonale eine abgeschlossene Einbettung X ⊂ X × X ist. Dies motiviert
folgende
Definition 5.20. Ein Morphismus f : X
Y von Schemata ist separiert , wenn die Diagonale X
X ×Y X eine abgeschlossene Einbettung ist. Ein Schema X ist separiert , wenn
X
Spec( ) separiert ist.
Man sollte sich nicht-separierte Schemata als etwas Pathologisches vorstellen, was dummerweise
beim Verkleben entstehen kann. Das Standard-Beispiel ist die Verklebung von 1 mit 1 entlang
id
1
{0}
1 {0}.
•
•
Dieses Schema ist nicht affin, wie folgende Proposition zeigt.
Proposition 5.21. Folgende Morphismen sind separiert:
1. Morphismen affiner Schemata
2. offene und abgeschlossene Einbettungen
3. Kompositionen separierter Morphismen
4. Basiswechsel separierter Morphismen
5.
n
S
kan.
S für ein Schema S
φ
Beweis. Teil 1: Nach 4.9 ist ein Morphismus affiner Schemata isomorph zu Spec(A
B). Die
B, die b ⊗ c auf bc schickt. Dieser
Diagonale ist induziert von der Codiagonale B ⊗A B
Morphismus ist surjektiv, induziert also nach Beispiel 5.2 eine abgeschlossene Einbettung.
Teil 2: In beiden Fällen ist die Diagonale gegeben durch die Identität.
Teil 3 und 4: Beide folgen, weil Kompositionen und Basiswechsel abgeschlossener Einbettungen
wieder abgeschlossene Einbettungen sind.
Teil 5: Nach Teil 4 reicht es, dies für S = Spec( ) zu zeigen. Das Resultat folgt aus Aufgabe 3
von Übung Acht.
31
Insbesondere ist jeder quasi-projektive Morphismus separiert. Das “Bewertungs-Kriterium für
separierte Morphismen”, welches in [Har77, II.4] zu finden ist, und ohnehin zunächst mal nur unter
Einschränkung an die Quelle des Morphismus gilt, ist also keine besonders elegante Beweismethode
für Proposition 5.21.
Der Vollständigkeit halber ein weiterer Begriff, der wieder in naheliegender Weise der Topologie
entlehnt ist.
Definition 5.22. Ein Morphismus f : X
Y ist abgeschlossen, falls für jede abgeschlossene
Teilmenge Z ⊆ X die Menge f (Z) ⊆ Y abgeschlossen ist in Y . Ein Morphismus f : X
Y
ist universell abgeschlossen, falls jeder Basiswechsel von f abgeschlossen ist. Ein universell abgeschlossener, separierter Morphismus von endlichem Typ heisst eigentlich.
Ich möchte an dieser Stelle eigentliche Morphismen nicht so detailliert behandeln, wie sie es vielleicht verdient hätten. Folgende Aussagen helfen vermutlich, den Begriff etwas besser einschätzen
zu können.
Proposition 5.23. Jeder projektive Morphismus ist eigentlich.
Beweis. Dies ist nur eine Skizze. Es ist mit Proposition 5.21 und Aufgabe 1 von Übung Sechs klar,
dass abgeschlossene Einbettungen eigentlich sind. Da eigentliche Morphismen offensichtlich (!)
Spec( )
abgeschlossen sind unter Komposition und Basiswechsel, reicht es, zu zeigen, dass n
eigentlich ist. Es reicht zu zeigen, dass n
Spec( ) universell abgeschlossen ist. Also bleibt
zu zeigen, dass nS
S abgeschlossen ist für jedes Schema S. Ohne Einschränkung kann nun
S = Spec(R) angenommen werden. Mit Bemerkung 5.18 und Nakayama’s Lemma kann man den
Beweis beenden (zum Beispiel in der Bonus-Aufgabe von Übung Acht).
Umgekehrt sind eigentliche Morphismen nicht allzu weit von den projektiven Morphismen
entfernt. Um den zugehörigen Satz korrekt formulieren zu können, braucht man den Begriff des
Noether’schen Schemas.
Definition 5.24. Ein Schema (X, OX ) ist lokal Noether’sch, wenn es eine offene affine Überdeckung {Uα ⊂ ◦ X} besitzt, so dass OX (Uα ) ein Noether’scher Ring ist. Ein lokal Noether’sches
Schema (X, OX ), welches quasi-kompakt ist (soll heissen: X ist quasi-kompakt), ist Noether’sch.
Viele wichtige Sätze existieren nur für Noether’sche Schemata. Beispiele von Noether’schen
Schemata sind Spektren Noether’scher Ringe, und Schemata von endlichem Typ über solchen.
Theorem 5.25 (Chow’s Lemma). Sei S ein Noether’sches Schema und f : X
S eigentlich.
Dann existiert ein Schema Y und projektive Morphismen g : Y
S und h : Y
X derart,
dass das Diagramm
Y
h
X
g
f
S
kommutiert. Zudem existiert eine offene dichte Teilmenge U ⊆ X, so dass h|h−1 (U) : h−1 (U )
ein Isomorphismus ist.
U
Eine Anleitung zum Beweis von Chow’s Lemma findet sich in [Har77, II Ex. 4.10]. Es gibt
jedoch echte Unterschiede zwischen eigentlichen und projektiven Morphismen. Sei (X, OX ) ein
eigentliches Schema über einem Körper k. Ist dim X = 1 (also eine Kurve), so ist X projektiv.
Ist dim X = 2 (also eine Fläche) und (X, OX ) glatt (siehe einen späteren Abschnitt), so ist X
projektiv. Es gibt eigentliche Flächen und glatte eigentliche Schemata der Dimension grösser als 2,
die nicht projektiv sind. Der Begriff der abstrakten Varietät (nullteilerfreies Schema von endlichem
Typ über einem Körper) wurde von Weil eingeführt, um zu einer eigentlichen Kurve die JacobiVarietät (eine eigentliche abstrakte Varietät) zu konstruieren. Später hat Weil selbst gezeigt, dass
alle abelschen Varietäten (also auch die Jacobi-Varietät einer Kurve) projektiv sind. Ich nehme
dies zum Anlass, erstmal nur eine weitere Aussage über eigentliche Morphismen zu formulieren.
32
Theorem 5.26 (Nagata-Kompaktifizierung). Sei f : X
S ein separiertes Schema von
endlichem Typ über einem Noether’schen Basisschema S. Dann existiert ein eigentliches Schema
Y über S derart, dass X isomorph ist zu einer offenen dichten Teilmenge von Y .
Für einen Beweis dieses Satzes unter schwächeren Voraussetzungen kann man [Con] konsultieren.
6
Moduln
Obwohl es zunächst nicht so aussieht, ist das Ziel dieses Abschnittes, Vektorbündel von Schemata
zu klassifizieren.
Definition 6.1. Sei (X, OX ) ein Schema. Ein OX -Modul ist eine Garbe F abelscher Gruppen auf
X, so dass
• F (U ) ein OX (U )-Modul ist für alle U ⊂ ◦ X, und
• (ra)|U = r|U a|U für alle r ∈ OX (V ) und a ∈ F (V ), wenn U
⊂
◦ V
⊂
◦ X.
Eine Abbildung von OX -Moduln ist das offensichtliche. Die Kategorie der OX -Moduln wird mit
OX mod bezeichnet. Im Falle X = Spec(A) spricht man auch von OA -Moduln.
Beispiel 6.2. Ist k ein Körper, so ist ein Ok -Modul dasselbe wie ein Vektorraum über k. Um
es etwas komplizierter zu machen: Sei R : = (3) und X : = Spec(R), dann ist ein OR -Modul
F dasselbe wie ein (3)-Modul M = F (X), ein -Vektorraum V = F {(0)} und eine Abbildung φ : M
V von R-Moduln, wobei V ein R-Modul ist vermöge der kanonischen Inklusion
R ⊂ . Per Adjunktion entspricht die Abbildung φ einer Abbildung ⊗R M
V von
-Vektorräumen.
Beispiel 6.3. Sei f : X
Y ein Morphismus von Schemata, dann ist ker(f ) – wie in 5.3
verwendet – ein OY -Modul. Da ker(f ) auch eine Untergarbe von OY ist, spricht man von einer
Idealgarbe. Ist i : Z ⊂ + X eine abgeschlossene Einbettung, so ist i−1 OX nicht notwendigerweise
ein OZ -Modul.
Beispiel 6.4. Ist F ein OX -Modul und U
OU = OX |U -Modul.
⊂
◦ X ein offenes Unterschema, so ist F |U ein
Beispiel 6.5. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann ist MP : = RP ⊗R M ein RP -Modul,
der auch als Lokalisierung beschrieben werden kann (siehe Aufgabe 5 von Übung Zwei). Definiere
f, wobei für U ⊆ Spec(R) offen M
f(U ) die Menge der Funktionen
einen OR -Modul M
a
φ: U
RP
P ∈U
mit den Eigenschaften
• φ(P ) ∈ RP für alle P ∈ U , und
• für jedes P ∈ U existiert eine offene Umgebung P ∈ V ⊆ U und Elemente a ∈ M und r ∈ R
derart, dass r ∈
/ Q und φ(Q) = ar für alle Q ∈ V .
f auf wohlVergleiche mit der Definition 4.2 der Strukturgarbe eines affinen Schemas. Dann ist M
f(U ), setze (f · φ)(P ) : = f (P ) · φ(P ) ∈ RP .
bekannte Weise eine Garbe. Ist f ∈ OR (U ) und φ ∈ M
f(U ) definiert, und dass auf diese Weise M
f zu einem
Man rechnet nach, dass dies ein Element in M
OR -Modul wird.
f D(f ) ∼
Lemma 6.6. Sei R ein Ring, P ∈ Spec(R), r ∈ R und M ein R-Modul. Dann ist M
= Mf
fP ∼
f Spec(R) ∼
und M
= MP . Insbesondere ist M
= M.
33
Proof. Der Beweis kann mit Hilfe eines geeigneten Texteditors leicht von dem Beweis von Proposition 4.3 übertragen werden.
Proposition 6.7. Sei X ein Schema. Die Kategorie OX mod ist bivollständig, abelsch und geschlossen symmetrisch monoidal.
Beweis. Limites und Colimites werden in der Kategorie der Garben auf X mit Werten in abelschen
Gruppen gebildet. Da Limites objektweise (also für jedes U ) gebildet werden (siehe Abschnitt 3),
sind diese wieder OX -Moduln und liefern so den Limes in OX mod. Colimites sind durch die
Garbifizierung des objektweisen Colimes gegeben. Man rechnet nach, dass diese wieder OX -Moduln
liefern. Es folgt dann leicht, dass OX mod bivollständig ist.
Sind F und G zwei OX -Moduln, so ist die Menge der Abbildungen φ : F
G auf kanonische
Weise eine abelsche Gruppe, die mit AbOX mod (F, G) bezeichnet wird. Setze einfach (φ + ψ)(U ) : =
(x
φ(U )(x) + ψ(U )(x) ∈ G(U ). Komposition ist bilinear. Da OX mod bivollständig ist, liefert
die für Garben übliche Definition von direkter Summe, Kern und Bild, dass OX mod eine abelsche
Kategorie ist.
gX der Funktor “assoziierte Garbe” von Prägarben nach Garben auf X
dX
Ab
Sei a : Ab
d X und Ab
gX bi(mit Werten in abelschen Gruppen). Analog wie oben kann man sehen, dass Ab
vollständige abelsche Kategorien sind. Die abelsche Gruppe der Abbildungen sei mit AbAbX (F, G)
d ist auf folgende Weise geschlossen symmetrisch
bzw. AbAb
(F, G) bezeichet. Die Kategorie Ab
X
b (U ) : = F (U ) ⊗ G(U ). Der Bifunktor ⊗
b hat
monoidal: Sind F und G zwei Prägarben, so ist F ⊗G
die konstante Prägarbe als neutrales Element (bis auf natürlichen Isomorphismus) ist assoziativ
(bis auf natürlichen Isomorphismus) und kommutativ (bis auf natürlichen Isomorphismus). Zudem
kommutieren die zum Beispiel in [Mac71, VII.2] beschriebenen Kohärenz-Diagramme. In anderen
d X , ⊗,
b ) ist symmetrisch monoidal, eben weil (Ab, ⊗, ) symmetrisch monoidal ist.
Worten: (Ab
d der Funktor − ⊗ F einen Rechtsadjungierten hat.
“Geschlossen” besagt, dass für jedes F ∈ Ab
Sei hierzu U ⊂ ◦ X und
dX (F, G)(U ) : = Ab
Ab
(F |U , G|U ).
AbX
d X (F, G) ein Objekt in Ab
dX ist. Definiere G : Ab
dX (F, G) ⊗ F
Man sieht leicht, dass Ab
an der Stelle j : U ⊂ ◦ X über
AbAbU (F |U , G|U ) ⊗ F (U )
G(U )
φ⊗a
φ(U )(a).
Diese “Auswertungs-Abbildung” ist natürlich in G. Definiere ηG : G
Stelle U ⊂ ◦ X über
G
d X (F, G ⊗ F ) an der
Ab
G(U )
AbAbU F |U , (G ⊗ F )|U = G|U ⊗ F |U
b
ψ(b)
wo für V ⊂ ◦ U die Abbildung ψ(b)(V ) : F (V )
G(V ) ⊗ F (V ) das Element a auf a ⊗ b|V
abbildet. Man rechnet nach, dass die Dreiecks-Identitäten erfüllt sind. Sind F und G Garben, also
e : = a(F ⊗G).
b
insbesondere Prägarben, auf X, so setze F ⊗G
Es ist nicht offensichtlich, aber wahr,
e ein unitärer, assoziativer und kommutativer Bifunktor ist. Es ist etwas offensichtlicher,
dass −⊗−
d X (F, G) dann eine Garbe ist, die dann in Ab
g X (F, G) umbenannt wird. Mit 3.9 ist dann
dass Ab
g
e
offensichtlich, dass (AbX , ⊗, a( )) geschlossen symmetrisch monoidal ist.
g X ist. Mit etwas Kategorientheorie (siehe
Beachte, dass OX ein kommutatives Monoid in Ab
die Übungen zu [Mac71, VII.4]) folgt sofort, dass OX mod geschlossen symmetrisch monoidal ist.
e OX G definiert als GarbifiTatsächlich ist für zwei OX -Moduln F und G das Tensor-Produkt F ⊗
zierung des Tensor-Produktes U
F (U ) ⊗OX (U) G(U ). Die “Einheit” des Tensorproduktes ist
OX . Da OX mod(F, G)(U ) : = AbOU mod (F |U , G|U ) auf kanonische Weise ein OX -Modul ist, und die
34
analog zu und η definierten natürlichen Transformationen Abbildungen von OX -Moduln sind,
e OX F links-adjungiert zu OX mod(F, −).
ist −⊗
Bemerkung 6.8. Sei X ein Schema und F ein quasi-kohärenter OX -Modul. Nach Proposition 6.7
existiert die
• Tensor-Algebra
T (F ) : =
∞
M
n=0
e OX F ⊗
e OX · · · ⊗
e OX F
F⊗
{z
}
|
• symmetrische Algebra S(F ) : = T (F )/hx ⊗ y − y ⊗ xi, und die
• äussere Algebra ∧(F ) : = T (F )/hx ⊗ xi
von F , in dem die angedeuteten Konstruktionen objektweise für jedes U in der Kategorie der
OX (U )-Moduln durchgeführt und anschliessend garbifiziert werden.
Sei R ein Ring und mod R die Kategorie der R-Moduln. Nach Beispiel 6.5 existiert ein
e : mod R
Funktor −
OR mod, der erstaunlicherweise nicht surjektiv sein muss. Sei etwa
R : = (5)undX=Spec(R).N achBeispiel6.2istjederOR-Modul F gegeben durch einen R-Modul
M , einen -Vektorraum V und eine Abbildung Q ⊗R M
V von -Vektorräumen. Zum
f, so ist nach Lemma 6.6 die
Beispiel kann man V = {0} und M = R wählen. Ist aber F = M
kanonische Abbildung
f(X)
f {(0)}
⊗R M
M
ein Isomorphismus.
Definition 6.9. Sei X ein Schema. Ein OX -Modul F heisst quasi-kohärent , wenn eine offene
g
affine Überdeckung {Uα ⊂ ◦ X} existiert derart, dass F |Uα ∼
=M
α für einen OX (Uα )-Modul Mα .
Ist zudem jedes der Mα ’s ein endlich erzeugter OX (Uα )-Modul, so heisst F kohärent . Sei OX modq
die volle Unterkategorie der quasi-kohärenten OX -Moduln, und OX modk , die volle Unterkategorie
der kohärenten OX -Moduln.
f offensichtlich quasi-kohärent. Lokal freie
Ist R ein Ring, so sind die OR -Moduln der Form M
OX -Moduln von endlichem Rang sind kohärent.
Beispiel 6.10. Sei X ein nullteilerfreies Schema und K der Funktionenkörper von X (siehe
Aufgabe 4 von Übung Sieben). Die konstante Garbe auf X mit Wert K ist quasi-kohärent, aber
nicht notwendigerweise kohärent.
Lemma 6.11. Sei X ein Schema und F ein OX -Modul.
1. Der OX -Modul F ist quasi-kohärent genau dann, wenn für jede offene affine Teilmenge
f∼
U ⊂ ◦ X ein OX (U )-Modul M existiert mit M
= F |U .
2. Sei X Noether’sch. OX -Modul F ist kohärent genau dann, wenn für jede offene affine Teilf∼
menge U ⊂ ◦ X ein endlich erzeugter OX (U )-Modul M existiert mit M
= F |U .
Beweis. Jeweils eine Richtung ist offensichtlich. Zu den anderen Richtungen: Sei F quasi-kohärenter
OX -Modul und U ⊂ ◦ X offen in X. Behauptung: F |U ist quasi-kohärenter OU -Modul. Wähle
eine offene affine Überdeckung {Vα = Spec(B α ) ⊂ ◦ X} und für jedes α einen B α -Modul M α
mit M α ∼
= F |Vα . Jedes U ∩ Vα besitzt eine offene Überdeckung mit Mengen der Form D(b), wo
b ∈ B α . Wegen Lemma 6.6 gilt
gα |D(b) ∼
F |D(b) = (F |Vα )|D(b) ∼
=M
= M α ⊗B α (B α )b .
Da die verschiedenen D(b)’s die Menge U offen und affin überdecken, folgt die Behauptung. Insbesondere reicht es, Teil 1 für
X = Spec(A)
35
zu zeigen.
e
Sei N : = F (X) und φ : N
F die kanonische Abbildung, die auf der Basis der Topologie
durch den Aa -Modul-Homomorphismus
e D(a) ∼
φ(D(a)) : N
F (D(a))
= Aa ⊗A N
gegeben ist. Um zu zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist, reicht es zu zeigen, dass φ(D(a)) ein
Isomorphismus für jedes a ∈ A ist. Für den quasi-kompakten Raum X existiert nach obigem
fi für einen Ab -Modul
Argument eine Überdeckung {D(bi ) ⊂ ◦ X}ni=1 derart, dass F |D(bi ) ∼
=M
i
i
M .
Zur Injektivität: Sei c ∈ N mit φ(1 ⊗c) = c|D(a) = 0. Setze ci : = c|D(bi ) ∈ F D(bi ) ∼
= Mi . Es
folgt, dass 0 = ci |D(a)∩D(bi ) in F D(abi ) ∼
= Aabi ⊗Abi Mi , also ist ami ci = 0 für ein mi ≥ 0. Sei
m das Maximum der mi , dann ist am ci = 0 für alle i. Weil D(a) = ∪ni=1 D(abi ) und F eine Garbe
ist, ist c|D(a) = 0 und φ(D(a)) ist injektiv.
Zur Surjektivität: Ist d ∈ F (D(a)), so liefert Einschränkung ein Element di ∈ F (D(abi )) ∼
=
Aabi ⊗A Mi . Da dieser Modul eine Lokalisierung von Mi ist, existiert ein ei ∈ Mi , so dass aemi i = di
für ein mi . Wieder sei m das Maximum der mi ’s, so dass aemi = di nach entsprechender Modifikation
von ei . Um zu zeigen, dass die ei ’s zu einem Element in N = F (X) verkleben, betrachte ei |D(bi bj )
und ej |D(bi bj ) . Einschränkung dieser zwei Elemente auf D(abi bj ) liefert
di am |D(abi bj ) = dj am |D(abi bj ) .
e (D(bi bj )). Sei k das
Nach dem oben gegebenen Argument ist somit akij +m (ei − ej ) = 0 in N
Maximum der kij ’s, dann gilt nach entsprechender Modifikation der ei ’s, dass die ei ’s zu einem
e (X) verkleben, so dass φ(e|D(a) ) = d gilt.
Element e ∈ N
Für Teil 2 muss man den Beweis von Teil 1 folgendermassen modifizieren. Nach Aufgabe 2 von
Übung Neun ist A Noether’sch, also auch Abi für alle bi . Da F kohärent ist, ist Mi endlich erzeugt
für alle i, und es bleibt zu zeigen, dass N endlich erzeugt ist. Dies lässt sich genauso beweisen, wie
Aufgabe 2 von Übung Neun bewiesen wurde.
Proposition 6.12. Sei X = Spec(A) ein affines Schema. Der Funktor
A−mod
M
OX modq
f
M
F (X).
ist eine exakte und strikt symmetrisch monoidale Äquivalenz von Kategorien, mit Inversem F
Ist X Noether’sch, so schränkt diese Äquivalenz ein auf eine Äquivalenz zwischen der Kategorie
der endlich erzeugten A-Moduln und OX modk .
f(X) ∼
Beweis. Nach Lemma 6.6 gibt es einen natürlichen Isomorphismus M
= M , der auf wohlbekannte Weise auf Modul-Homomorphismen erweitert werden kann. Damit ist A−mod ein Retrakt
von OX modq . In Lemma 6.11 ist gezeigt worden, dass jeder quasi-kohärente OX -Modul von der
f ist, bis auf Isomorphismus. Dies kann man wie gewohnt auf Abbildungen erweitern, was
Form M
e ist exakt, weil Exaktheit von Garben an den Halmen gemesdie Äquivalenz zeigt. Der Funktor −
sen wird, die man mit Lemma 6.6 als Lokalisierungen ausrechnen kann – und Lokalisierung ist ein
e strikt symexakter Funktor. Da Lokalisierung als Tensorprodukt beschrieben werden kann, ist −
∼
metrisch monoidal. Denn es gibt einen kanonischen Isomorphismus F ⊗OX G)x = Fx ⊗OX,x Gx .
Der Beweis folgt.
Als Anwendung ergibt sich eine Charakterisierung abgeschlossener Unterschemata über quasikohärente Idealgarben, die ?? verallgemeinert.
Proposition 6.13. ?? Sei X ein Schema. Es gibt eine Bijektion zwischen abgeschlossenen Unterschemata von X und quasi-kohärenten Idealgarben von OX .
36
Beweis. Sei i : Z ⊂ + X ein abgeschlossenes Unterschema. Nach ?? ist ker(i) eine Idealgarbe von
OX . Wegen ?? und der kurzen exakten Folge
0
ker(i)
OX
i∗ OZ
0
reicht es, zu zeigen, dass i∗ OZ quasi-kohärent ist. Dies folgt aus der allgemeineren Tatsache, dass
das Bild einer quasi-kohärenten Garbe F unter i∗ (ja, sogar unter f∗ für f quasi-kompakt und
separiert) wieder quasi-kohärent ist. Um zu zeigen, dass i∗ F quasi-kohärent ist, kann man ohne
Einschränkujng der Allgemeinheit annehmen, dass X = Spec(A) affin ist. Nach ?? ist dann auch
f für einen A/IZ affin, und i = Spec(φ
:A
A/I) für ein Ideal I / A. Wegen ?? ist F ∼
=M
Modul M und i∗ F ∼
= φ∗ M , wobei φ∗ M den via φ als A-Modul aufgefassten Modul M bezeichnet.
Insbesondere ist i∗ F quasi-kohärent.
Sei nun F eine quasi-kohärente Idealgarbe von OX . Wie in ?? bezeichne Z die Menge der
Punkte in X, wo Fx 6= OX,x . Nach der Lösung von Aufgabe 2 von Übung Sieben ist i : Z ⊂ X
eine abgeschlossene Teilmenge, und i−1 (OX /F ) eine Garbe von Ringen auf Z.. Um zu zeigen, dass
Z, i−1 (OX /F ) ein Schema ist, wähle eine offene affine Überdeckung von X derart, dass F |U ∼
= Ie
für jedes Element U der Überdeckung, wobei I ein Ideal in OX (U ) ist. Ohne Einschränkung der
Allgemeinheit kann man also X = Spec(A) als affin voraussetzen, so dass F ∼
= Ie für ein Ideal
I / A nach ??. Wie im Beweis von ?? folgt, dass (Z, i−1 (OX /F )) = Spec(A/I) ein Schema ist. Man
erhält auf diese Weise ein abgeschlossenes Unterschema. Die Eindeutigkeit des Ideals in ?? liefert
die Bijektion.
Definition 6.14. Ein graduierter Ring ist ein Ring A, zusammen mit einer Zerlegung der additiven Gruppe
A = ⊕d∈ Ad
derart, dass für alle a ∈ Ad und b ∈ Ae ab ∈ Ad+e gilt. Elemente aus Ad heissen homogen vom
Grad d. Ein Ideal I / A ist homogen, falls I = ⊕d∈ I ∩ Ad . Setze A+ : = ⊕d>0 Ad .
Das Standard-Beispiel für einen graduierten Ring ist der Polynomring B = A[X0 , X1 , . . . , Xn ],
wobei Bd die Untergruppe von B ist, die von Polynomen der Form X0d0 X1d1 · · · Xndn mit d0 + d1 +
· · · + dn = d erzeugt ist.
Definition 6.15. Sei A ein graduierter Ring. Dann ist Proj(A) die Menge der homogenen Primideale P / A mit A+ P . Ist I / A ein homogenes Ideal, so ist V (I) : = {P ∈ Proj(A) | I ⊆ P }.
Lemma 6.16. Sei A ein graduierter Ring. Die Mengen der Form V (I), wobei I /A ein homogenes
Ideal ist, sind die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf Proj(A).
Beweis. Siehe ??
Definition 6.17. Sei A ein graduierter Ring und P ∈ Proj(A). Bezeichne mit A(P ) die Elemente
vom Grad Null in der Lokalisierung A
SP−1 A, wobei S die Menge der homogenen Elemente
von A ist, die nicht in P`liegen. Für eine offene Menge U ⊆ Proj(A) sei O(A) (U ) die Menge der
Funktionen f : U
P ∈U A(P ) mit den Eigenschaften, dass
• f (P ) ∈ A(P ) ∀ P ∈ U , und
• für jedes P ∈ U gibt es eine offene Umgebung V ⊆ U von P und homogene Elemente
b, c ∈ Ad (für ein d ∈ ) derart, dass c ∈
/ Q und f (Q) = cb ∈ (Q) für alle Q ∈ V .
Für ein homogenes Element a ∈ A+ sei D+ (a) : = {P ∈ Proj(A) | a ∈
/ P } = Proj(A) V (a).
Bezeichne mit A(a) den Unterring der Elemente vom Grad Null in der Lokalisierung A
Aa .
Proposition 6.18. Sei A ein graduierter Ring.
37
1. Für jedes P ∈ Proj(A) ist der Halm O(A),P isomorph zu A(P ) .
2. Für jedes homogene a ∈ A+ ist D(a), O(A) |D(a) isomorph, als lokal beringter Raum, zu
Spec(A(a) ).
3. Das Paar (Proj(A), O(A) ) ist ein Schema.
4. Ist A = R[T0 , . . . , Tn ] mit der kanonischen Graduierung, so ist (Proj(A), O(A) ) ∼
=
Beweis.
n
A.
Weitere Beispiele von quasi-kohärenten OX -Moduln sind solche, die Vektorbündeln
entsprechen.
Definition 6.19. Ein Morphismus p : X
Y von Schemata ist ein Vektorbündel , falls eine
offene Überdeckung {Uα ⊂ ◦ Y } existiert, so dass
n
Uα
• es einen Isomorphismus fα :
∼
=
p−1 (Uα ) in Sch/Uα gibt für jedes α, und
• für jede offene affine Teilmenge V = Spec(A) ⊆ Uα ∩ Uβ der Isomorphismus
Spec(φ)
n
V
fα |V
p−1 (V )
fβ−1 |V
n
V
linear ist in dem Sinne, dass
φ(a) = a ∀ a ∈ A und φ(Ti ) =
n
V
für eine geeignete Matrix (ai j) in A, wobei
n
X
aij Tj
j=1
= Spec A[T1 , . . . , Tn ] .
Zur Sicherheit kann man die Isomorphismen als Datum des Vektorbündels mit angeben. Ist Y
zusammenhängend, so hängt n nicht von α ab und ist der Rang des Vektorbündels – wie in
Aufgabe 3 von Übung Neun. Vektorbündel vom Rang 1 werden Linienbündel genannt.
Beispiel 6.20. ?? Sei S ein Schema und R ein Ring. Beispiele sind gegeben durch triviale Vektorbündel nS
S, das Linienbündel n+1
nS von Aufgabe 3 von Übung
{(0 : 1)}
S
n
Sieben und das (kanonische) Linienbündel X
R von Aufgabe 5 von Übung Neun.
Ist p : X
Y ein Vektorbündel und f : Z
Y irgendein Morphismus, so ist f ∗ (p) : Z ×Y
Z wieder ein Vektorbündel, vom gleichen Rang. Ein Morphismus vom Vektorbündel
X
Y zum Vektorbündel q : X 0
Y 0 ist ein kommutatives Diagramm
p: X
X
g
X0
p
Y
derart, dass der induzierte Morphismus h : X
q
f
Y
0
Y ×Y 0 X 0 von Vektorbündeln über Y linear ist.
Proposition 6.21. ?? Sei X ein Schema. Isomorphieklassen von Vektorbündeln über X stehen
in Bijektion mit Isomorphieklassen von lokal freien OX -Moduln.
Beweis. Sei F ein lokal freier OX -Modul vom Rang n und
S(F ) die symmetrische Algebra von F .
Nach Aufgabe 1 von Übung Zehn ist (F ) : = Spec S(F )
X ein Vektorbündel vom Rang n.
Eine Abbildung φ : F
G von OX -Moduln induziert eine Abbildung
S(φ) : S(F )
S(G) der
symmetrischen Algebren, welche einen Morphismus Spec S(φ) : Spec S(G)
Spec S(F )
von Schemata über X induziert. Man kann nachrechnen, dass dieser Morphismus linear ist. Diese
Zuordnung ist ein Funktor.
38
Sei p : Y
X ein Vektorbündel vom Rang n, und {Uα ⊂ ◦ X} eine trivialisierende
Überdeckung. Ist j : V ⊂ ◦ X, so bilden die Schnitte Γp (V ) : = HomSch/V V, j ∗ (p) über V eine
abelsche Gruppe. Dies ist plausibel, wenn V = Spec(A) eine offene affine Teilmenge von Uα ist,
denn dann ist
HomSch/V V, j ∗ (p) ∼
V
= HomSch/V V, nV
∼ HomA−Alg A[T1 , . . . , Tn ], A
=
∼
= ⊕n A
i=1
= OX (V )⊕n .
Insbesondere gibt es eine offene affine Überdeckung von X derart, dass Γp (V ) ein freier OX (V )Modul vom Rang n ist für jedes Element V der Überdeckung. Nun ist V
Γp (V ) auf offensichtliche Weise eine Garbe. Dies impliziert, dass Γp ein lokal freier OX -Modul ist. Ein Morphismus
von Vektorbündeln
f
Y
Z
≺
q
p
X
über X induziert eine Abbildung von Garben Γf : Γp
Γq , wobei Γf (V )(s) = f ◦ s. Die
Zuordnung ist offensichtlich funktoriell.
Sei OX modl die volle Unterkategorie der lokal freien OX -Moduln, /X die Kategorie der Vektorbündel über X und betrachte die Komposition
OX modl (/X)op (OX modl )op
F
(F )
Γ(F ) .
F̆ . Behauptung: Es
Wir kennen noch einen Funktor mit gleicher Quelle und gleichem Ziel: F
∼
=
Γ(F ) . Sei V ⊂ ◦ X und φ ∈ OX mod(F, OX )(V ) =
gibt einen natürlichen Isomorphismus tF : F̆
AbOV mod (F |V , OV ). Dann induziert φ einen OV -Algebren-Homomorphismus S(F |V )
OV
und somit einen Schnitt
Spec F |V = V × X(F ).
V = Spec(OV )
Man kann nachrechnen, dass dies eine Abbildung von Garben liefert.
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40