Blatt 2

Prof. E. Lau
Winter 2013/14
Algebraische Geometrie 1
Blatt 2
Abgabe bis Montag 28.10.13 um 12 Uhr im roten Postfach 3 auf D1
Aufgabe 1. Wir betrachten einen Ringhomomorphismus φ : A → B und die zugeordnete stetige Abbildung f = φa : Spec(B) → Spec(A).
(a) Für p, q ∈ Spec(A) gilt q ∈ {p} genau dann wenn p ⊆ q.
(b) Für ein Ideal a ⊆ A ist V (a) = Spec(A) genau dann wenn a ⊆ NA .
(c) Für ein Ideal a ⊆ A ist f −1 (V (a)) = V (φ(a)) in Spec(B).
(d) Für ein Ideal b ⊆ B ist f (V (b)) = V (φ−1 (b)) in Spec(A).
(e) Das Bild von f ist genau dann dicht wenn Ker(φ) ⊆ NA .
(f) Welche der Aussagen (c) und (d) gelten auch für beliebige Teilmengen von A bzw.
B anstelle der Ideale a und b?
Aufgabe 2. Es seien X ein topologischer Raum und B eine Basis der Topologie. Die
Einschränkung von Garben von X auf B definiert eine Äquivalenz von Kategorien
Sh(X) → Sh(B); insbesondere hat jede Garbe auf B eine eindeutige Fortsetzung zu
einer Garbe auf X (eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus).
Aufgabe 3. Sei X ein topologischer Raum und X =
S
i Xi
eine offene Überdeckung.
(a) Die offenen Mengen U ⊆ X, die in mindestens einem der Xi enthalten sind, bilden
eine Basis der Topologie von X.
(b) Wir schreiben Xij = Xi ∩ Xj und Xijk = Xi ∩ Xj ∩ Xk . Gegeben seien Garben Fi
auf Xi für jedes i und Isomorphismen von Garben auf Xij
uij : Fi |Xij ∼
= Fj |Xij
für alle i, j so dass ujk ◦ uij = uik auf Xijk für alle i, j, k. Dann gibt es eine Garbe F
auf X zusammen mit Isomorphismen vi : F |Ui ∼
= Fi so dass uij = vj ◦ vi−1 auf Uij für
alle i, j, und F ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.
(c) Formuliere diese Aussage (genauer eine Verbeserung) als Äquivalenz von Kategorien.
Aufgabe 4. Es sei X ein topologischer Raum. Für eine Menge M definiert man die
konstante Garbe M auf X durch M (U ) = {lokal konstante Abbildungen f : U → M }
mit den offensichtlichen Restriktionsabbildungen. Eine Garbe F auf X heißt lokal konstant, wenn jedes x ∈ X eine offene Umgebung U hat, so dass F |U konstant ist.
(a) Die Prägarbe M ist tatsächlich eine Garbe.
ε
(b) Es sei M →
− M (X) die Abbildung, die m ∈ M auf die konstante Abbildung X → M
mit Wert m abbildet. Für eine Garbe F auf X und eine Abbildung f : M → F (X)
α
gibt es genau einen Homomorphismus von Garben M −
→ F so dass die Komposition
αX
ε
M→
− M (X) −−→ F (X) gleich f ist. Zusatz: Formuliere dies mit adjungierten Funktoren.
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(c) Angenommen X ist irreduzibel. Eine Garbe F ist genau dann konstant, wenn für
jede nicht-leere offene Menge U ⊆ X die Restriktion F (X) → F (U ) bijektiv ist.
(d) Wenn X irreduzibel ist, ist jede lokal konstante Garbe konstant.
Aufgabe 5*. Fortsetzung von Aufgabe 4.
(e) Jede lokal konstante Garbe auf R ist konstant.
(f) Finde lokal konstante Garben auf dem Kreis S 1 , die nicht konstant sind.
(g) Wir betrachten den topologischen Raum X = {η, x, ξ, y} mit den folgenden offenen Mengen: X, ∅, {η}, {ξ}, {η, ξ}, {η, x, ξ}, {ξ, y, η}. Die Kategorie der lokal konstanten
Garben auf X ist äquivalent zur Kategorie C der Paare (M, f ) wobei M eine Menge ist
und f : M → M eine bijektive Abbildung; ein Morphismus (M, f ) → (M 0 , f 0 ) in C ist
eine Abbildung g : M → M 0 mit g ◦ f = f 0 ◦ g.
(h) Die Kategorie der lokal konstanten Garben auf S 1 ist ebenfalls zu C äquivalent.
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