Algebraische Geometrie SS 2011

Prof. Dr. Werner M. Seiler
Michael Schweinfurter
FB 10, Institut für Mathematik
AG Computational Mathematics
Algebraische Geometrie SS 2011
Übungsblatt 7 vom 25.05.11
(Abgabe 01.06.11)
Aufgabe 1 (4 Punkte)
a) Sei F eine Prägarbe und G eine Garbe auf X. Zeige, dass zwei Morphismen
ϕ, ψ : F → G
genau dann übereinstimmen, wenn die induzierten Abbildungen auf den Halmen
ϕx , ψx für alle x ∈ X übereinstimmen.
b) Zeige, dass in jeder Garbe von Ringen Halme existieren und dass die Halme selbst
wieder Ringe bilden.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei X := {0, 1} eine zweielementige Menge, versehen mit der diskreten Topologie (d.h.
jede Teilmenge ist offen).
i) Bestimme alle Garben F von Mengen von X.
ii) Bestimme für jede dieser Garben die Halme F0 und F1 .
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Auf dem topologischem Raum X:=(0,1) (versehen mit der Standardtopologie) seien folgende Garben gegeben:
F(U ) := {f : U → Z | ∀x ∈ U ∃ > 0 : f |U ∩[x,x+) und f |U ∩[x−,x) sind konstant}
G(U ) := {f : U → Z2 | f ist stetig im Sinne der Analysis}
Zeige folgende Aussagen:
i) Die Halme Fx und Gx sind isomorph für alle x ∈ X.
ii) F und G sind nicht isomorph.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei X ein topologischer Raum und F, G zwei Garben von abelschen Gruppen auf X. Für
eine offene Menge U ⊆ X sei FU die Einschränkung von F auf U , d.h.
FU (V ) = F(V )
für alle offenen V ⊆ U . Weiter sei Hom(FU , GU ) die Menge der Garbenmorphismen
Φ : FU → GU . Zeige, dass die Zurodnung
U 7→ Hom(FU , GU )
eine Garbe von abelschen Gruppen auf X ist. Sie heißt die Hom-Garbe und wird mit
Hom(F, G) bezeichnet.