§2 Riemannsche Flächen

Riemannsche Flächen, WS 2016/2017
Mittwoch 9.11
$Id: flaechen.tex,v 1.4 2016/11/09 13:07:11 hk Exp $
§2
Riemannsche Flächen
2.1
Definition und erste Beispiele Riemannscher Flächen
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Begriff einer Prägarbe auf einem topologischen Raum eingeführt und einige Beispiele behandelt. Wir wollen noch ein weiteres
Beispiel einer Prägarbe diskutieren, die Prägarbe der holomorphen Funktionen auf der
sogenannten Riemannschen Zahlenkugel. Erst einmal müssen wir hierzu die Riemannsche Zahlenkugel als einen topologischen Raum einführen.
Definition 2.2 (Die Riemannsche Zahlenkugel als topologischer Raum)
b := C ∪ {∞} versehen mit der Topologie
Sei C
τ := {U ⊆ C|U ist offen in C} ∪ {(C\K) ∪ {∞}|K ⊆ C ist kompakt}.
b und um dies einzusehen gehen wir die drei
Dies ist tatsächlich eine Topologie auf C
definierenden Eigenschaften einer solchen durch. Bezeichne hierzu τC die Topologie
b also
von C und κ die Menge der Komplemente kompakter Teilmengen von C in C,
0
b
b
τ = τC ∪ κ. Es sind ∅ ∈SτC ⊆ C und C = C\∅ ∈ κ ⊆ τ . Sei nun τ ⊆ τ gegeben.
Ist τ 0 ⊆ τC so ist sofort τ 0 ∈ τC ⊆ τ . Andernfalls gibt es Teilmengen τC0 ⊆ τC und
T
b ) ∩ T 0 (C\U ) kompakt
∅=
6 κ0 ⊆ κ mit τ 0 = τC0 ∪ κ0 und dann ist K := U ∈κ0 (C\U
U ∈τC
S
b
b
in C mit τ 0 = C\K
∈ κ ⊆ τ . Damit sind Vereinigungen offener Mengen in C
wieder offen. Schließlich seien U, V ∈ τC und K, L ⊆ C kompakt in C. Dann sind auch
b
b
b
b
U ∩V ∈ τC ⊆ τ , U ∩(C\K)
= U \K ∈ τC ⊆ τ und (C\K)∩(
C\L)
= C\(K
∪L) ∈ κ ⊆ τ ,
b
der Durchschnitt zweier offener Mengen in C ist also wieder offen.
b ein wohldefinierter topologischer Raum. Weiter ist C ∈ τC ⊆ τ und für
Damit ist C
b Weiter
jedes U ∈ κ ist U 6⊆ C, also ist τ |C = τC und C ist ein offener Teilraum von C.
b und damit dicht in C.
b Insbesondere
ist {∞} ∈
/ τ also ist C nicht abgeschlossen in C
b zusammenhängend. Weiter ist C
b hausdorffsch, sind nämlich z, w ∈ C
b mit z 6= w
ist C
so gibt es im Fall z, w ∈ C offene Mengen U, V ∈ τC ⊆ C mit z ∈ U , w ∈ V und
b 1 (z) ∈ κ ⊆ τ
U ∩ V = ∅ und im Fall w = ∞ sind z ∈ B1 (z) ∈ τC ⊆ C und w ∈ C\B
b sogar kompakt. Sei hierzu U ⊆ τ mit
b 1 (z)) = ∅. Schließlich ist C
mit B1 (z) ∩ (C\B
S
b gegeben. Dann existiert ein U ∈ U mit ∞ ∈ U . Damit ist C\U
b
eine kompakte
U=C
S
b
Teilmenge von C mit C\U ⊆ {V ∩ C|V ∈ U\{U }}, es gibt also eine endliche Menge
S
S
S
b
b
U0 ⊆ U\{U } mit C\U
⊆ {V ∩C|V ∈ U0 } ⊆ U0 und somit ist auch (U0 ∪{U }) = C,
b in U gefunden..
wir haben also eine endliche Teilüberdeckung von C
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b damit ein zusammenhängender, kompakter topologischer Raum
Insgesamt ist C
der C als offenen Teilraum enthält. Den Hauptteil dieser Konstruktion kann man
tatsächlich für jeden topologischen Raum ausführen, die kompakten Teilmengen von
C muss man dabei durch die quasikompakten Teilmengen des betrachteten Grundraums ersetzen und es entsteht ein quasikompakter Raum, die sogenannte Alexandrofb konstruieren.
Kompaktifizierung. Im nächsten Schritt wollen wir eine Prägarbe auf C
Hierzu behaupten wir zunächst das die Abbildung

1

 z , z ∈ C\{0},
b → C;
b z 7→ ∞, z = 0,
h:C


0, z = ∞
ein Homöomorphismus ist. Da h involutorisch ist reicht es dabei zu zeigen das h stetig
b Da h|C\{0} : C\{0} → C stetig und U \{0, ∞} ∈ τC offen
ist. Sei also U ∈ τ offen in C.
in C sind, ist zumindest V0 := h−1 (U \{0, ∞}) = h−1 (U )\{0, ∞} ∈ τC ⊆ τ . Ist ∞ ∈
/U
so setzen wir V1 := ∅ andernfalls existieren eine kompakte Teilmenge K von C mit
b
U = C\K
und ein r > 0 mit K ⊆ B r (0) und wir erhalten V1 := B1/r (0) ∈ τC ⊆ τ mit
h(V1 ) = (C\B r (0)) ∪ {∞} ⊆ U , also auch 0 ∈ V1 ⊆ h−1 (U ). Ist schließlich 0 ∈
/ U so sei
b
V2 := ∅ und andernfalls existiert eine r > 0 mit Br (0) ⊆ U , also ist V2 := C\B 1/r (0) ∈ τ
−1
b
mit h(V2 ) = C\((C\B
r (0)) ∪ {∞}) = Br (0) ⊆ U also auch ∞ ∈ V2 ⊆ h (U ). Damit
ist h−1 (U ) = V0 ∪ V1 ∪ V2 ∈ τ und die Stetigkeit von h ist bewiesen.
b holomorphen Funktionen definieren,
Nun können wir die Prägarbe OCb der auf C
b offene Menge U ⊆ C
b sei
für jede in C
Es sind f |U \{∞} ∈ OC (U \{∞})
OCb (U ) := f ∈ CCb (U ) und (f |U \{0}) ◦ h ∈ OC (h−1 (U )\{∞})
und als Restriktion verwende wieder die gewöhnliche Einschränkung von Funktionen.
b
Dann ist OCb eine Prägarbe komplexer Algebren über C.
Die meisten der bisherigen Beispiele von Prägarben bestanden aus Unteralgebren
der Algebra der komplexwertigen stetigen Funktionen auf der jeweils betrachteten offenen Teilmenge des Grundraums, daher wollen wir dieser Beziehung nun einen Namen
geben.
Definition 2.3 (Unterprägarben von Prägarben)
Seien X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Eine Prägarbe G auf
X heißt Unterprägarbe von X wenn G(U ) für jede offene Menge U ⊆ X von X eine
Unteralgebra von F (U ) ist und für alle in X offenen Mengen U, V ⊆ X mit V ⊆ U für
die jeweiligen Restriktionen stets RUGV = RUF V |G(U ) gilt.
Beispielsweise ist OC eine Unterprägarbe von CC und OCb eine Unterprägarbe von CCb .
Weitere Beispiele von Prägarben können wir durch das Einschränken einer Prägarbe
auf eine offene Teilmenge des Basisraums erhalten.
Definition 2.4 (Einschränkungen von Prägarben auf offene Teilräume)
Seien F eine Prägarbe auf einem topologischen Raum (X, τX ) und Y ⊆ X offen in
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X. Da jede in Y offene Menge auch in X offen ist, also die von X auf Y induzierte
Topologie τY ⊆ τX in τX enthalten ist, ist
F
F |Y := (F (U )U ∈τY , (RU V )U,V ∈τY ,V ⊆U
eine Prägarbe auf Y , genannt die Einschränkung von F auf Y .
Man kann auch Einschränkungen von F auf allgemeinere Teilmengen von X definieren,
die richtige“ Definition für diese ist allerdings etwas komplizierter und wird erst später
”
behandelt. Wir schauen uns lieber zwei Beispiele an. Ist U ⊆ C offen in C, so können
wir die Prägarbe OU der auf U holomorphen Funktionen als Einschränkung
OU := OC |U
definieren. Als ein zweites Beispiel behaupten wir das OCb |C = OC ist. Sei nämlich
b→C
b der obige Homöomorphismus so ist zunächst
U ⊆ C offen in C. Ist h : C
(OCb |C)(U ) = OCb (U ) = {f ∈ OC (U )|(f |U \{0}) ◦ h ∈ OC (h−1 (U )\{∞})}.
Nun ist
1 V := h (U )\{∞} =
z ∈ U \{0}
z
−1
und für jedes z ∈ V ist f (h(z)) = f (1/z), d.h. ist f ∈ OC (U ) so gilt automatisch
(f |U \{0}) ◦ h ∈ OC (V ). Damit haben wir OCb (U ) = OC (U ) für jede in C offene Menge
U ⊆ C und schließlich OCb |C = OC eingesehen.
Bevor wir zum Begriff einer Garbe kommen wollen wir noch zwei weitere Grundbegriffe für Prägarben einführen, Homomorphismen und direkte Bilder.
Definition 2.5 (Homomorphismen von Prägarben)
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Sind F, G zwei Prägarben über X so ist ein Homomorphismus f : F → G von F nach G ein Tupel f = (fU )U ∈τ von Algebrenhomomorphismen fU : F (U ) → G(U ) für jede in X offene Menge U ⊆ X so, dass für alle in X
offenen Mengen U, V ⊆ X mit V ⊆ U stets
RF
F (U ) −−U−V→ F (V )


f
f
yU
yV
RG
G(U ) −−U−V→ G(V )
kommutativ ist, dass also fV ◦ RUF V = RUGV ◦ fU gilt. Weiter heißt f ein Isomorphismus
wenn fU für jede in X offene Menge U ⊆ X ein Algebrenisomorphismus ist. Die Menge
aller Homomorphismen von F nach G wird mit HomPSX (F, G) bezeichnet.
Wie schon erwähnt kann man auch Prägarben anderer Grundstrukturen, wie Vektorräume oder abelsche Gruppen betrachten, dann wird von den zugehörigen Homomorphismen gefordert das diese die jeweile Struktur erhalten, beispielsweise verwendet
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man im Vektorraumfall lineare Abbildungen anstelle von Algebrenhomomorphismen.
Oftmals übertragen sich diese Strukturen dann auf die Menge HomPSX (F, G), im Vektorraumfall kann man diese Menge beispielsweise als einen Vektorraum auffassen.
Der letzte zu behandelnde Begriff sind die direkten Bilder, hier übertragen wir die
Prägarbenstruktur mittels einer stetigen Abbildung zwischen topologischen Räumen.
Definition 2.6 (Direkte Bilder von Prägarben)
Seien X, Y topologische Räume, f : X → Y eine stetige Abbildung und F eine Prägarbe über X. Für jede in Y offene Menge U ⊆ Y definieren wir dann die komplexe
Algebra
f∗ (F )(U ) := F (f −1 (U ))
und für je zwei in Y offene Mengen U, V ⊆ Y mit V ⊆ U definieren wir die Restriktionsabbildung
f (F )
RU∗V
:= RfF−1 (U ),f −1 (V ) : f∗ (F )(U ) = F (f −1 (U )) → F (f −1 (V )) = f∗ (F )(V ).
Dann ist f∗ (F ) eine Prägarbe über Y , genannt das direkte Bild von F unter f .
Seien beispielsweise X, Y zwei topologische Räume und h : X → Y eine stetige
Abbildung. Sei U ⊆ Y offen in Y . Dann ist
h∗ (CX )(U ) = CX (h−1 (U ))
die Algebra der auf h−1 (U ) definierten stetigen Funktionen mit Werten in C. Ist f ∈
CY (U ), d.h. f : U → C ist stetig, so ist auch f ◦ h : h−1 (U ) → C stetig, wir erhalten
also eine Abbildung
hU : CY (U ) → h∗ (CX )(U ); f 7→ f ◦ h.
Offenbar ist hU dabei ein Algebrenhomomorphismus. Sind weiter U, V offene Teilmengen von Y mit V ⊆ U , so haben wir für jede stetige Funktion f : U → C stets
h (CX )
RU∗V
(hU (f )) = RhCX−1 (U ),h−1 (V ) (f ◦ h) = (f ◦ h)|h−1 (V ) = (f |V ) ◦ h = hV (RUF V (f )),
d.h.
h] := (hU )U ∈τY : CY → h∗ (CX )
ist ein Homomorphismus von Prägarben über Y .
Nun kommen wir zu den sogenannten Garben auf einem topologischen Raum, dies
sind spezielle Prägarben bei denen man fordert das ihre Elemente lokal definiert“ sind.
”
Definition 2.7 (Garben auf einem topologischen Raum)
Eine Prägarbe F auf einem topologischen Raum X heißt eine Garbe wenn sie die
folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
(G1) Seien U ⊆ X offen in X und a, b ∈ S
F (U ). Gibt es dann eine Familie (Ui )i∈I
offener Teilmengen von X mit U = i∈I Ui und RU,Ui (a) = RU,Ui (b) für alle
i ∈ I, so ist bereits a = b.
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(G2) Seien U S
⊆ X offen in X und (Ui )i∈I eine Familie offener Teilmengen von X
mit U = i∈I Ui . Für jedes i ∈ I sei ein Element ai ∈ F (Ui ) gegeben und für
alle i, j ∈ I gelte RUi ,Ui ∩Uj (ai ) = RUj ,Ui ∩Uj (aj ). Dann existiert ein a ∈ F (U ) mit
ai = RU,Ui (a) für jedes i ∈ I.
Man kann die beiden Bedingungen in einer Bedingung zusammenfassen indem für a in
(G2) zusätzlich die Eindeutigkeit gefordert wird, da Existenz und Eindeutigkeit dann
aber meist sowieso getrennt verifiziert werden scheint es günstiger diese auch in der
Definition zu trennen.
Als ein Beispiel wollen wir uns überlegen das die Prägarbe CX für jeden topologischen Raum X eine Garbe ist. Wir beginnen mit (G1) seien also U ⊆ X eine offene
Teilmenge von X, f, g ∈ CX (U ) zwei stetige Funktion f, g : U → C und (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von U mit RU,Ui f = RU,Ui g für jedes i ∈ I. Dies bedeutet f |Ui = g|Ui
für jedes i ∈ I und damit ist f = g. Zum Nachweis von (G2) seien wieder U ⊆ X eine
offene Teilmenge von X, (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von U und für jedes i ∈ I
sei fi ∈ CX (Ui ), also eine stetige Funktion fi : Ui → C gegeben. Für alle i, j ∈ I
gelte S
RUi ,Ui ∩Uj fi = RUj ,Ui ∩Uj fj also fi |Ui ∩ Uj = fj |Ui ∩ Uj . Wir erhalten eine Funktion
f := i∈I fi : U → C und da f |Ui = fi für jedes i ∈ I stetig ist, ist auch f : U → C
stetig. Damit ist f ∈ CX (U ) und für jedes i ∈ I haben wir RU,Ui f = f |Ui = fi . Also ist
CX tatsächlich eine Garbe auf X.
Analog folgt das die Prägarbe OC der holomorphen Funktionen auf C eine Garbe
ist. Im folgenden Lemma stellen wir einige einfache, gelegentliche nützliche Tatsachen
über Garben zusammen. Diese dienen hauptsächlich dazu den Nachweis der Garbeneigenschaft in konkreten Beispielen zu vereinfachen.
Lemma 2.1 (Grundeigenschaften von Garben)
Sei F eine Garbe über einem topologischen Raum X.
(a) Seien U ⊆ X offen in X und x, y ∈ F (U ). Dann ist genau dann x = y wenn es
für jedes p ∈ U stets eine offene Umgebung V von p in U mit RU V (x) = RU V (y)
gibt.
(b) Eine Unterprägarbe G ≤ F von F ist genau dann eine Garbe wenn für jede offene
Menge U ⊆ X und jedes x ∈ F (U ) das lokal in G liegt, für das es also für jeden
Punkt p ∈ U stets eine offene Umgebung V von p in U mit RU V (x) ∈ G(V ) gibt,
bereits x ∈ G(U ) gilt.
(c) Ist Y ⊆ X eine offene Teilmenge von X so ist auch die eingeschränkte Prägarbe
F |Y eine Garbe über Y .
(d) Sind Y ein weiterer topologischer Raum und f : X → Y eine stetige Abbildung so
ist auch das direkte Bild f∗ (F ) eine Garbe über Y .
Beweis: (a) ”=⇒” Klar.
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”⇐=” Für jedes p ∈ U wähle eine offene Umgebung Up von p in U mit RU,Up (x) =
RU,Up (y). Dann ist (Up )p∈U eine offene Überdeckung von U und (G1) liefert x = y.
(b) ”=⇒” Seien also U ⊆ X offen in X und x ∈ F (U ) liege lokal in G. Dann wählen wir
für jeden Punkt p ∈ U eine offene Umgebung Up von p in U mit yp := RU,Up (x) ∈ G(Up ).
Für alle p, q ∈ U haben wir dann
RUp ,Up ∩Uq (yp ) = RUp ,Up ∩Uq RU,Up (x) = RU,Up ∩Uq (x) = RUq ,Up ∩Uq RU,Uq (x) = RUq ,Up ∩Uq (yq )
und da G eine Garbe ist existiert nach (G2) ein y ∈ G(U ) ⊆ F (U ) mit RU,Up (y) =
yp = RU,Up (x) für alle p ∈ U . Nach (a) haben wir damit x = y ∈ G(U ).
”⇐=” Dass (G1) für G gilt ist klar, wir müssen also nur noch (G2) überprüfen.
Seien
Q
U ⊆ X offen in X, (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von U und (xi )i∈I ∈ i∈I G(Ui )
mit RUi ,Ui ∩Uj (xi ) = RUj ,Ui ∩Uj (xj ) für alle i, j ∈ I. Da F eine Garbe ist existiert ein
x ∈ F (U ) mit RU,Ui (x) = xi ∈ G(Ui ) für alle i ∈ I. Insbesondere liegt x lokal in G und
damit haben wir sogar x ∈ G(U ).
(c,d) Klar.
Teil (b) des Lemmas drückt sehr deutlich die Vorstellung einer Garbe als einer lokal
”
definierten Funktionsklasse“ aus, haben wir einen topologischen Raum X, so hattem
wir eingesehen das die auf offenen Teilmengen von X definierten stetigen Funktionen
eine Garbe CX bilden, und eine Unterprägarbe O von CX ist dann nach (b) genau dann
selbst eine Garbe wenn jede lokal in O liegende Funktion bereits selbst in O liegt, wenn
also die Eigenschaft in O zu sein lokal ist. Eine Unterprägarbe einer Garbe die selbst
eine Garbe ist nennen wir im folgenden auch eine Untergarbe.
Damit können wir nun zur Definition einer Riemannschen Fläche S kommen. Wir
hatten schon erwähnt das eine Riemannsche Fläche eine Struktur sein soll die es erlaubt von den auf ihr definierten holomorphen Funktionen zu sprechen, wir werden
dies realisieren indem S mit einer Garbe von Funktionen ausgestattet sein wird die
dann diese holomorphen Funktionen sind. Welche topologischen Bedingungen an den
Grundraum gestellt werden sollten ist nicht so eindeutig, wir werden verlangen das er
hausdorffsch und zusammenhängend ist. Ersteres ist zwar gelegentlich einschränkend,
nicht hausdorffsche Räume sind aber doch zu weit“ von den komplexen Zahlen und
”
der normalen Funktionentheorie“ entfernt um hier ernsthaft betrachtet zu werden.
”
Die Zusammenhangsbedingung ist etwas willkürlicher, sie wird aber von den meisten,
wenn auch nicht von allen, Quellen gefordert, daher wollen wir uns dieser üblichen
Konvention anschließen.
Definition 2.8 (Riemannsche Flächen)
Eine Riemannsche Fläche ist ein Paar (S, OS ) bestehend aus einem zusammenhängenden, hausdorffschen topologischen Raum S und einer Untergarbe OS der Garbe CS der
stetigen Funktionen auf S, genannt die Garbe der holomorphen Funktionen auf S, mit
der folgenden Eigenschaft:
(R) Für jeden Punkt p ∈ S gibt es eine offene Umgebung U von p in S, eine offene
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Teilmenge V ⊆ C von C und einen Homöomorphismus h : U → V so, dass
h]−1 : OS |U → h−1
∗ (OV ) ein Isomorphismus von Garben über U ist.
Jeder solche Homöomorphismus heißt eine Karte von S.
In der folgenden Sitzung werden wir diese Definition dann noch etwas näher diskutieren
und erste Beispiele Riemannscher Flächen konstruieren.
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