Mögliche Fragen in der Klausur Lokale Theorie

Mögliche Fragen in der Klausur
Es geht mehr um Sätze und Definitionen als um Beweise. Zum Beweis von
Theorem B, einem Hauptthema der Vorlesung, werden jedoch Beweisideen erwartet.
Lokale Theorie
Anders als im Skript kann man in der lokalen Theorie schon an der einen oder
anderen Stelle den Garbenbegriff verwenden.
Definition des formalen Potenzreihenrings über einem beliebigen Ring.
Definition des konvergenten Potenzreihenrings über C.
Holomorphe Abbildungen f : U → V , U ⊂ C n , V ⊂ C m , beide offen, und
Potenzreihen.
Der Divisionssatz und der Vorbereitungssatz, Formulierung.
Der Ring der konvergenten Potenzreihen ist noethersch und ein ZPE-Ring.
Hierzu Beweisidee (Reduktion von On auf On−1 [zn ]).
Noethersche Normalisierung, die Dimension einer analytischen Algebra.
Der Hilbert-Rückertsche Nullstellensatz. Ich schlage folgende Formulierung
vor.
Sei 0 ∈ U ⊂ C n offen. Seien f1 , . . . fm holomorphe Funktionen auf U . Sei
X die gemeinsame Nullstellenmenge dieser Funktionen. Sei a ⊂ On das von
den Potnzreihenentwicklungen der fi im Nullpunkt erzeugte Ideal. Sei A das
Ideal aller Potenzreihen aus On , welche in einer kleinen Umgebung von 0 auf
X verschwinden. Dann gilt
A = rada.
Der Okasche Kohärenzsatz. Ich schlage vor, ihn gleich in der Sprache der
Garben zu formulieren.
Die Garbe der holomorphen Funktionen auf einem offenen Teil des C n ist
kohärent.
Der Cartansche Kohärenzsatz. Ich schlage folgende Formulierung vor.
Sei U ⊂ C n offen. Seien f1 , . . . fm holomorphe Funktionen auf U . Sei X
die gemeinsame Nullstellenmenge dieser Funktionen. Man betrachte die Verschwindungsgarbe A von X, also
A(V ) = {f : V → C;
f holomorph, f verschwindet auf Y ∩ V }.
Dann ist A kohärent.
Merke: Eine Idealgarbe ist ganau dann kohärent, wenn sie lokal endlich erzeugt
ist. Der Cartansche Kohärenzsatz besagt also einfach das folgende.
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Zu jedem Punkt aus U existiert eine offene Umgebung a ∈ V ⊂ U und endlich
viele holomorphe Funktionen gi auf V , deren gemeinsame Nullstellenmenge
V ∩ X ist und so dass für jeden Punkt b ∈ V das volle Verschwindungsideal
von den Potenzreihenentwicklungen der gi in b erzeugt wird.
Der Cartansche Kohärenzsatz wurde in der Vorlesung nicht bewiesen, findet
sich aber im Skript. Es wäre schön, wenn man darauf hinweisen kann, dass
der Beweis darauf beruht, dass der Potenzreihenring Henselsch ist und noch
schöner, wenn man formulieren kann, was das bedeutet.
Aus den beiden Kohärenzsätzen folgt, dass die Strukturgarbe eines komplexen
Raumes im Sinne von Serre kohärent ist.
Reguläre und singuläre Punkte. Ein Punkt a eines komplexen Raumes (X, OX )
heißt regulär, falls es eine offene Umgebung a ∈ U ⊂ X ein einen offenen Teil
V ⊂ C n gibt, so dass (U, OX |U ) und (V, O C n |V ) biholomorph äquivalent sind.
Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Algebren OX,a und On isomorph sind.
Andernfalls heißt a singulär. Offenbar ist die Menge Xreg der regulären Punkte
ein offener Teil von X. Der Hauptsatz der lokalen Funktionentheorie besagt:
Sei X ein komplexer Raum, S := X − Xreg der singuläre Ort. Dann ist S eine
abgeschlossene analytische Teilmenge von X (und damit selbst ein komplexer
Raum). Es gilt
dima S < dima X für alle a ∈ S.
Insbesondere ist Xreg dicht in X (der Abschluss ist ganz X).
In der Vorlesung wurde dieser Satz nicht vollständig bewiesen. Alles vorangehende über lokale Funktionentheorie geht in den Beweis ein.
Garbentheorie
Prägarben
Begriff der Prägarbe (von Mengen, abelschen Gruppen, . . .) und Abbildungen
zwischen ihnen. Bild und Kern sowie Faktorprägarbe werden naiv gebildet.
Ist beispielsweise f : F → G ein Homomorphismus von Prägarben abelscher
Gruppen, so schreibt man fprä (F ) für das Prägarbenbild und G/prä F für die
Faktorprägarbe. Eine Sequenz von Prägarben abelscher Gruppen F → G → H
is genau dann exakt, wenn F (U ) → G(U ) → H(U ) für alle offenen U exakt ist.
Der Halm einer Prägarbe F in einem Punkt a ist durch
Fa = lim F (U )
−→
erklärt, wobei U die offenen Umgebungen von a durchläuft. Die Zuordnung
F 7→ Fa ist ein Funktor. Dieser Funktor is exakt. Ist also F → G → H exakt,
so ist auch die Sequenz der Halme Fa → Ga → Ha exakt. Die Umkehrung
gilt nicht. Gegenbeispiel: Sei F die Prägarbe der konstanten Funktionen mit
-2-
Werten in Z und G die Prägarbe der lokalkonstanten Funktionen. Dann ist
F → G kein Isomorphismus aber Fa → Ga ist ein Isomorphismus für alle a.
Garben
Definition einer Garbe, volle Unterkategorie von der Kategorie der Prägarben.
Sei f : F → G ein Homomorphismus von Garben abelscher Gruppen, so ist
die Kern-Prägarbe schon eine Garbe, die Bildprägarbe in der Regel aber nicht.
Sei F eine Unterprägarbe einer Garbe G. Dann kann man die kleinste Untergarbe F̃ von G betrachten, welche F umfaßt. Für einen Homomorphismus von
Garben f : F → G definiert man die Bildgarbe durch
g
f (F ) := fprä
(F ).
Der Garbenkern kann naiv gebildet werden, denn der Prägarbenkern ist schon
eine Garbe. Nun kann man definieren, wann eine Sequenz von Garben F →
G → H exakt ist. Das Garbenbild von F → G soll gleich dem Kern von G → H
sein.
Wichtig ist der Begriff der erzeugten Garbe. Eine mögliche Definition geht
über die Godementgarbe F (0) ,
F (0) (U ) =
∏
Fa .
a∈U
Man hat einen natürlichen Homomorphismus F → F 0 und die Zuordnung
F 7→ F (0) ist funktoriell. Man definiert die erzeugte Garbe F̂ als die vom
Prägaebenbild erzeugte Untergarbe von F (0) . Man hat einen natürlichen Homomorphismus F → F̂ und die Zuordnung F 7→ F̂ ist funktoriell. Ist F
schon eine Garbe, so ist F → F̂ ein Isomorphismus. Ist F eine Unterprägarbe
einer Garbe G, so sind F̂ und F̃ kanonisch isomorph. Der Homomorphismus
Fa → F̂a ist ein Isomorphismus. Eine Sequenz F → G → H ist dann und nur
dann garbenexakt, wenn Fa → Ga → Ha für alle Punkte a exakt ist.
Das direkte Bild f∗ F einer Prägarbe F auf X bezüglich einer stetigen Abbildung f : X → Y ist durch (f∗ F )(V ) = F (f −1 (V )) definiert. Ist F eine Garbe,
so ist f∗ F eine Garbe auf Y . Die Zuordnung F 7→ f∗ F ist funktoriell.
Garbenmoduln
Sei O eine Garbe von Ringen auf einem topologischen Raum X. Ein O-Modul
ist eine Garbe M von abelschen Gruppen, so dass M(U ) für jedes offene U
eine Struktur als O(U )-Modul trägt, welche mit Restriktion verträglich ist
((f s)|V = (f |V )(s|V ). Eine O-lineare Abbildung M → N ist ein Homomorphismus von Garben abelscher Gruppen, welcher mit den Modulstrukturen
verträglich ist. Ist M ein O-Modul und a ∈ X, so trägt Ma eine natürliche
Struktur als Oa -Modul. Die Exaktheitseigenschaften in der Kategorie der OModuln sind wie in der Kategorie der Garben abelscher Gruppen.
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Ist f : (X, OX ) → (Y, OY ) ein Morphismus konkreter geringter Räume und ist
M ein O-Modul, so trägt f∗ (M) eine natürliche Struktur als OY -Modul.
Kohärenz
Ein O-Modul heißt frei, falls er isomorph ist zu On . Er heißt lokal frei, oder
ein Vektorraumbündel, falls es zu jedem Punkt eine offene Umgebung U gibt,
so dass M|U frei ist. Ein O-Modul heißt endlich erzeugt, falls es eine (garben-)
surjektive O-lineare Abbildung On → M gibt und lokal endlich erzeugt, wenn
es zu jedem Punkt eine offene Umgebung U gibt, so dass M endlich erzeugt
ist. In diesem Zusammenhang sollte man wissen: Eine O-lineare Abbildung
On → M ist festgelegt durch die Bilder s1 , . . . , sn der Einheitsvektoren aus
O(U )n und umgekehrt kommt jedes n-Tupel globaler Schnitte s1 , . . . , sn vor.
Insbesondere ist eine O-lineare Abbildung Op → Oq durch eine q × p-Matrix
mit Einträgen aus O(X) gegeben.
Eine Garbe O von Ringen heißt kohärent, falls für jede offene Teilmenge U ⊂ X
und jede O-lineare Abbildung O|U p → O|U q der Kern lokal endlich erzeugt ist.
Sei O eine kohärente Garbe von Ringen. Ein O-Modul heißt kohärent, falls zu
jedem Punkt eine offenen Umgebung U und eine exakte Sequenz
O|U p −→ O|U q −→ M|U −→ 0
existiert.
Ist O eine kohärente Garbe von Ringen, so ist O, betrachtet als O-Modul,
kohärent. Insbesondere sind lokal freie Garben (Vektorraumbündel) kohärent.
Das Yoga der kohärenten Garben
Im folgenden sei O eine kohärente Garbe von Ringen.
Sei
0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0
eine kurze exakte Sequenz von O-Moduln. Sind zwei der Mi kohärent, so auch
der dritte.
Ein O-Untermodul M eines kohärenten Moduls ist genau dann kohärent, wenn
er lokal endlich erzeugt ist. Insbesondere ist eine Idealgarbe genau dann
kohärent, wenn sie lokal endlich erzeugt ist.
Der Durchschnitt zweier kohärenter Untermoduln eines kohärenten Moduls ist
kohärent.
Der Träger
{a ∈ X; Ma ̸= 0}
ist abgeschlossen. (Hier sollte man anmerken, dass für einen komplexen
Raum (X, OX ) mehr gilt: Der Träger eines kohärenten OX -Moduls ist eine
abgeschlossene analytische Teilmenge.)
Sei M → N → P eine exakte Sequenz von kohärenten O-Moduln und sei
a ein Punkt. Die Sequenz Ma → Na → Pa ist genau dann exakt, wenn es
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eine offene Umgebung U gibt, so dass M|U → N |U → P|U exakt ist. (Also:
Eine punktuelle Eigenschaft strahlt auf eine volle Umgebung is. Diese ist die
Bedeutung des Kohärenzbegriffes.)
Seien M, N kohärent und a ein Punkt. Jede Oa -lineare Abbildung Ma → Na
läst sich auf eine offene Umgebung U zu einer O|U -linearen Abbildung M|U →
N |U ausdehnen.
Kohomologie
Definition der Kohomologie von Garben
Jede Garbe F abelscher Gruppen kann man in die Godementgarbe F (0) einbetten. Man hat eine exakte Sequenz 0 → F → F (0) . Man betrachtet nun F (0) /F
und ihre Godementsche Einhüllende. man nennt diese F (1) . In naheliegender
Weise setzt man dies fort und bekommt eine exakte Sequenz
0 −→ F −→ F (0) −→ F (1) −→ . . . .
Man nennt dies die Godementauflösung oder kanonische welke Auflösung. Man
wendet nun den Schnittfunktor an und verliert in der Regel die Exaktheit.
0 −→ F (X) −→ F (0) (X) −→ F (1) (X) −→ . . . .
Man modifiziert leicht, indem man F (X) wegläßt und links mit Nullen auffüllt.
Dies ergibt einen Komplex K ·
· · · −→ 0 −→ F (0) (X) −→ F (1) (X) −→ . . . .
Dieser ist so numeriert, dass F (0) (X) an der nullten Stelle sitzt. Die Garbenkohomologie ist dann die Kohomologie dieses Komplexes
H n (X, F ) = H n (K · ).
(Man sollte wissen, was ein Komplex ist und wie man seine Kohomologie
definiert.) Es gilt H 0 (X, F ) = F (X). Ist 0 → F1 → F2 → F3 → 0 eine
kurze exakte Sequenz von Garben, so erhält man eine kurze exakte Sequenz
von Komplexen 0 → K1· → K2· → K3· → 0 und hieraus die lange exakte
Kohomologiesequenz.
Azyklische Garben
Eine Garbe F heißt azyklisch, falls H p (X, F ) = 0 für p > 0. Welke Garben
sind azyklisch. Eine exakte Sequenz
0 −→ F −→ F0 −→ F1 −→ . . .
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heißt azyklische Auflösung von F , falls alle Fi azyklisch sind. Die Godementauflösung ist eine azyklische Auflösung. Sie wurde benutzt, die Kohomologie zu definieren. Statt dessen kann man eine beliebige azyklische Auflösung
nehmen und den Komplex K ·
· · · −→ 0 −→ F0 (X) −→ F1 (X) −→ . . . .
bilden. Dann ist H p (X, F ) isomorph zur entsprechenden Kohomologiegruppe
von K · .
Fast welke Garben
Diese sind sind für lokal kompakte Hausdorffräume mit abzählbarer Basis der
Topologie nützlich. Diese Räume gestatten Zerlegung der Eins.
Eine Garbe F auf solch einem Raum heißt fast welk, falls es für jeden Schnitt
s ∈ F (U ) über einer offenen Teilmenge U und für jeden offenen Teil V , dessen
Abschluss kompakt und in U enthalten ist, einen globalen Schnitt S ∈ F (X)
mit S|V = s|V gibt.
Man kann zeigen, dass fast welke Garben azyklisch sind. Die Garbe der stetigen Funktionen ist fast welk (folgt mittels Zerlegung de Eins). Die Garbe der
differenzierbaren Funktionen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (z.B
einer offenen Teilmenge des R n ) is fast welk und damit azyklisch. Der Dolbeaultkomplex ist eine (endliche) azyklische Auflösung der Garbe der holomorphen Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit. Wichtige Anwendung.
Die Garbe der holomorphen Funktionen auf einem Polyzylinder ist azyklisch.
Čechkomplex
∪
Sei U : X = Ui eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes X und
sei F eine Garbe auf X. Eine Čechkokette s ist eine Vorschrift, welche jedem
p + 1-Tupel (i0 , . . . , ip ) ein Element s(i0 , . . . , ip ) ∈ F (Ui0 ∩ . . . Uip ) zuordnet.
Die Menge der Čechkoketten sei C p (U, F ). Dies wird ein Komplex durch
(ds)(i0 , . . . , ip+1 ) =
∑
s(i0 , . . . ŝiν . . . , ip+1 ).
0≤ν≤p+1
(Die rechte Seite kann und muss man auf Ui0 ∩ . . . ∩ Uip+1 einschränken. Die
Kohomologie dieses Komplexes ist die Čechkohomologie Ȟ p (U, F ). Es gilt
H 0 (X, F ) ∼
= Ȟ p (U, F ). Für p > 0 besteht immer noch eine Zusammenhang
zwischen gewöhnlicher und Čechkohomologie. Zwei Sätze verdeutlichen dies.
Lerays lemma. Sei U eine offene Überdeckung von X und sei F eine Garbe auf
X. Sei U eine offene Teilmenge von X, welche sich als Durchschnitt endlich
vieler Exemplare der Überdeckung schreiben läßt. Dann soll F |U azyklisch sein.
Unter dieser Voraussetzung gilt
H p (X, F ) ∼
= Ȟ p (U, F ).
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Im Falle p = 1 gibt es eine natürliche Injektion
Ȟ 1 (U, F ) −→ H 1 (X, F )
und die rechte Seite ist die Vereinigung aller Bilder.
Komplexe Räume
Konkrete geringte Räume
Ein konkreter geringter Raum (X, OX ) ist ein Paar, bestehend aus einem topologischen Raum X und einer Untergarbe von C-Algebren von CX . Die konkreten
geringten Räume bilden mit naheliegenden Morphismen eine Kategorie. Ist
(X, OX ) und Y ⊂ X eine Teilmenge, so kann man Y in naheliegender Weise
zu einem konkreten geringten Raum (Y, OY ) machen.
Modellräume und komplexe Räume
Seien f1 , . . . , fm holomorphe Funktionen auf einer offenen Teilmenge des C n
und sei X ihre gemeinsame Nullstellenmenge, versehen mit der eingschränkten Struktur von (U, OU ). Man nennt einen so gewonnenen konkreten geringten Raum einen Modellraum. Ein komplexer Raum im Sinne von Serre
ist ein konkret geringter Raum, welcher lokal zu einem Modellraum isomorph
ist. Eine Abbildung zwischen komplexen Räumen heißt holomorph, falls sie ein
Morphismus konkreter geringter Räume ist. Für tiefergehende Untersuchungen
wird gefordert, dass der unterliegende topologische Raum Hausdorffsch ist und
abzählbare Basis der Topolgie hat.
Dimension
Ist X = (X, OX ) ein komplexer Raum, so ist OX,a für jeden Punkt a eine
analytische Algebra. Insbesondere ist die Krullsche Dimension
dima X = dim OX,a
eine wohldefinierte (endliche) Zahl. Man definiert
dim(X) = sup dima X ≤ ∞.
a∈X
Meist betrachtet man nur endlichdimensionale komplexe Räume, häufig sogar
nur reindimensionale, d.h. solche, wo dima X von a unabhängig ist.
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Wichtige Sätze der Funktionentherie, welche man wissen
sollte
Der Abbildungssatz von Remmert
Sei f : X → Y eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume, dann
ist das Bild eine abgeschlossene analytische Teilmenge von Y .
Der Hebbarkeitssatz von Remmert Stein
Sei X ein komplexer Raum, S ⊂ X eine abgeschlossene analytische Teilmenge
und Y eine abgeschlossene analytische Teilmenge von X − S. Für alle a ∈ Y
gelte dima Y > dim S. Dann ist der Abschluss von Y in X eine abgeschlossene
analytische Teilmenge. Es gilt dim Ȳ = dim Y .
Eine wichtige Anwendung ist der
Satz von Chow
Jede abgeschlossene analytische Teilmenge des P n ist algebraisch.
Zu den Begriffen sollte man folgendes wissen. Der projektive Raum P n kann
definiert werden als die Menge der Geraden durch 0 im C n+1 . Man hat eine
natürliche Abbildung C n+1 − {0} → P n . Ist P ein homogenes Polynom in
n + 1 Variablen, so kann man die Nullstellen in C n+1 aber auch in P n betrachten. Eine projektive Varietät ist eine Teilmenge von P n , die sich als Nullstellenmenge endlich vieler homogener Polynome schreiben lässt. Der projektive Raum trägt auch eine Struktur als kompakte analytische Mannigfaltigkeit
(=singularitätenfreier komplexer Raum).
Der Grauertsche Projektionssatz
Sei f : X → Y eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume und
sei M eine kohärente Garbe auf X. Dann sind alle höheren direkten Bilder
Rp f∗ M kohärent.
Schon der Fall p = 0 ist hoch interessant. Es ist R0 f∗ M = f∗ M das gewöhnliche direkte Bild. Nach diesem Satz ist insbesondere f∗ OX kohärent. Der
Träger dieser Garbe ist f (X). Da allgemein der Träger einer kohärenten Garbe
eine abgeschlossene analytische Teilmenge ist, so ist folgt der Remmertsche Abbildungssatz. Zur Definition der höheren direkten Bilder sollte man nur wissen,
dass
V 7−→ H p (f −1 (V ), M)
in natürlicher Weise eine Prägarbe ist (im Falle p = 0 sogar eine Garbe, allgemein jedoch nicht). Rp f∗ M ist die erzeugte Garbe.
Theorem A und B
Theorem B besagt, dass für eine kohärente Garbe M auf einem Steinschen
Raum X die Kohomologiegruppen H p (X, M) für p > 1 verschwinden.
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Theorem A besagt, dass für eine kohärente Garbe M auf einen Steinschen
Raum X und einen Punkt a ∈ X der Halm Ma von den Bildern globaler
Schnitte unter M(X) → Ma als OX,a -Modul erzeugt wird.
Im Falle OX ist dies die infinitesimale Punktetrennung, die bei der Definition Steinscher Räume gefordert wird. Theorem A ist heutzutage in den Hintergrund getreten, da es dank einer einfachen Anwendung des Lemmas von
Nakayama aus Theorem B folgt.
Der Beweis von Theorem B stand im Mittelpunkt der Vorlesung. Man sollte
die Beweisschritte grob kennen.
Erster Schritt. Man beweise H p (P, OP ) = 0, p > 0, wobei P ein Polyzylinder
ist Dazu betrachtet man die Sequenz von Garben
0 −→ O −→ A0,1 −→ . . . −→ A0,n −→ 0.
Dabei ist A0,p de Garbe der Differentialformen vom Typ
∑
fi1 ,...ip dz̄i1 ∧ . . . ∧ zip ,
f... ∈ C ∞ .
i1 <...<ip
n
Diese Garbe kann mit (C ∞ )( p ) identifiziert werden. Die Anhängsel“ dz̄i1 ∧
”
. . . ∧ dz̄ip braucht man hier nur, um die Operatoren ∂¯ : A0,p → A0,p+1 leicht
hinschreiben zu können. für Funktionen ist
¯ )=
∂(f
und
∂¯
∑
∑ ∂f
¯i
dz
∂ z̄i
∑
fi1 ,...ip dz̄i1 =
i1 <...<ip
¯ i ,...i dz̄i .
∂f
1
p
1
i1 <...<ip
Um die dz̄i wieder in die richtige Reihenfolge zu bringen, darf man die Regeln
dz̄i ∧ dz̄j = dz̄j ∧ dz̄i
dz̄i ∧ dz̄i = 0
anwenden. Die Wedgeprodukte sind assoziativ. Nach dem Lemma von Dolbeault ist diese Sequenz exakt, wenn man sie auf einem Polyzylinder auswertet.
Wendet man dies für kleine Polyzylinder an, so sieht man, dass die Garbensequenz exakt ist. Die Garben A0,p sind Moduln über der Garbe der differenzierbaren Funktionen und damit fast welk. (Dazu braucht man die Technik
der Zerlegung der Eins.) Wendet man das Dolbeaultsche Lemma nochmals auf
einen beliebigen Polyzylinder P an, so folgt H p (P, OP ) = 0 für p > 0. Zum
Beweis sollte man wissen, dass ein wesentlicher Teil der Fall n = 1 ist. Hier
besagt das Dolbeaultsche Lemma einfach, dass sich jede C ∞ Funktion f in der
Form f = ∂g/∂ z̄ schreiben läßt.
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Zweiter Schritt. Sei nun P ein Polyeder, M eine kohärente Garbe, und sei
P0 ⊂ P eine Schrumpfung. Dann ist M|P0 ein endlich erzeugter OP0 -Modul.
Es gilt sogar viel mehr. Man kann zeigen, dass eine freie Auflösung (von links)
existiert. Dies folgt aus dem Hilbertschen Syzygiensatz. Aus ihm kann man
folgern, dass eine freie Auflösung
0 −→ Fn −→ . . . −→ F0 −→ M
existiert. Hieraus und dem Dolbeaultschen Lemma folgt
H p (P0 , M|P0 ) = 0,
p > 0.
Dies ist ein ganz zentraler Punkt und soll näher erläutert werden. Hilberts
Syzygiensatz besagt, dass ein endlich erzeugter On -Modul eine endliche freie
Auflösung von links besitzt.∪Aus ihm folgert man die Existenz einer endlichen
offenen Überdeckung P0 = Ui , so dass die Garbe M|Ui eine freie Auflösung
von links besitzt. Man muss diese Auflösungen so modifizieren, dass sie im
Durchschnitt Ui ∩ Uj zusammenpassen. Hierfür benutzt man sehr spezielle
Überdeckungen durch Kuboide. Sie erlauben es, den Beweis auf den Fall zweier
Kuboide Q1 , Q2 in guter Lage zurückzuführen. Der Begriff Kuboid“ ist bereits
”
in R n definiert (kartesiches Produkt von offenen Intervallen). Zwei Kuboide
sind in guter Lage, wenn sie von der Form Q × (a, b) und Q × (c, d) mit a <
c < b < d sind. Dabei ist Q ein Kuboid im R n−1 . Das wesentliche Hilfsmittel
bei der Adaptierung freier Auflösungen ist das Cartansche Verheftungslemma.
Seien Q1 , Q2 zwei Kuboide in guter Lage im C n . Sei U ⊂ C n eine offene
Teilmenge, welche den Abschluss von Q1 ∩ Q2 enthält. Sei f : U → GL(m, C)
eine holomorphe Abbildung. Dann existieren holomorphe Abbildungen fi ; Qi →
GL(m, C) mit der Eigenschaft f = f1 f2 auf Q1 ∩ Q2 .
Zum Beweis sollte man nur wissen, dass man den Fall m = 1 dank des Logarithmus leicht auf ein entsprechendes additives Lemma zurückführen kann.
Wegen der Schwierigkeit des Logarithmus für Matrizen läßt sich dies nicht so
ohne weiteres auf m > 1 übertragen.
Dritter Schritt. Als nächstes muss man sich von der Schrumpfung befreien.
Dazu betrachtet man ∪
eine Ausschöpfung durch fortlaufend geschrumpfte Polyeder, P1 ⊂ P2 ⊂ Pn , Pn = P . Sei M kohärent auf P . Wir wissen, dass die
Einschränkungen von M auf die Pn azyklisch sind. Daher ist die Überdeckung
von P durch die Pn eine Leraysche Überdeckung P und es gilt
H p (P, M) = Ȟ p (P, M).
Man rechnet leicht nach, dass die Čechkohomologie im Falle p > 1 verschwindet.
Der Fall p = 1 ist schwieriger. Man braucht ein Approximationsargument.
Dazu braucht man auf jedem M(Pn ) eine Struktur als Fréchetraum, und die
Restriktionen M(Pn+1 ) → M(Pn ) sind stetig und haben dichtes Bild. Wenn
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M die Strukturgarbe OX ist, oder allgemeiner, wenn M frei ist, kann man die
Topologie der lokal gleichmäßigen Konvergenz nehmen. Allgemein nutzt man
aus, das Mn Bild eines freien Moduls ist, F → Mn . Aus dem bereits bewiesenen Spezialfall von Theorem B kann man folgern, dass F(Pn ) → M(Pn )
surjektiv ist. Man nimmt auf M(Pn ) die Quotiententopologie. Natürlich hat
man einiges zu zeigen, dass M(Pn ) ein Fréchetraum ist und dass die Topologie
unabhängig von der Wahl von F → Mn ist. Die Aussage, dass das Bild von
M(Pn+1 ) → M(Pn ) dicht ist, ist eine Variante des Rungeschen Approximationssatzes. Sie wird auf O zurückgeführt und ist dort trivial.
Vierter Schritt. Nun kann man Theorem B für abgeschlossene Teilmengen
X eines Polyzylinders beweisen. Das ist ganz einfach. Sei i : X ,→ P die
kanonische Inklusion und sei M kohärent auf X. Man überlegt sich sehr leicht
zweierlei. Die Garbe i∗ M ist kohärent und es gilt H p (X, F ) ∼
= H p (P, i∗ F ) für
eine beliebige Garbe F auf X. Damit ist Theorem B von X auf P zurückgeführt.
Fünfter Schritt. Jeden Steinschen Raum kann man durch eine aufsteigende
Folge von offenen Teilmengen Xn ausschöpfen, so dass jede dieser zu einer
abgeschlossenen analytischen Teilmenge eines Polyzylinders Pn biholomorph
äquivalent ist. Man geht jetzt wie im dritten Schritt vor. Im Falle p > 1
ist das Verschwinden eine einfache Rechnung im Čechkomplex. Im Falle p =
1 braucht man wiederum eine Fréchetraumstrukur auf M(Xn ) und zwar so,
das M(Xn+1 ) → M(Xn ) stetig ist und dichtes Bild hat. Eine Schwierigkeit
entsteht dadurch, dass man die einhüllenden Polyzylinder nicht direkt vergleichen kann. Diese Schwierigkeit kann man überwinden, wenn man ausnutzt,
dass die Xn Oka-Bereiche sind. Ein Okabereich ist eine offene Teilmenge, so
dass es eine holomorphe Abbildung f : X → C n , deren Einschränkung auf
Xn eine biholomorphe Abbildung von X auf eine abgeschlossene analytische
Teilmenge eines Polyzylinders definiert.
Cousinsche Probleme
Meromorphe Funktionen
Sei X ein komplexer Raum. Für jedes offene U sei S(U ) ⊂ OX (U ) die Menge
aller Funktionen, deren Einschränkung auf jeden offenen Teil V ⊂ U ein Nichtnullteiler in U ist. Wir betrachten die Lokalisierung OX (U )S(U ) . Dies ist ein
Ring, welcher OX (U ) als Unterring enthält. Er besteht aus Quotienten f /g,
f ∈ OX (U ), g ∈ S(U ). Die Vorschrift U → OX (U )S(U ) ist eine Präegarbe.
Die erzeugte Garbe MX is die Garbe der meromorphen Funktionen. Man hat
eine natürliche injektive Abbildung OX ,→ MX . Ist a ein Punkt, so ist Ma in
natürlicher Weise zum totalen Quotientenring (Lokalisierung nach allen Nichtnullteilern) isomorph. Sei U eine offene Teilmenge und f ∈ MX (U ). Sei U0
die Menge aller Punkte a ∈ U , so dass der Kein fa schon in OX,a enthalten ist.
Sie ist offen und dicht in U . Man nennt sie den Holomorphiebereich von f . Die
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Einschränkung f0 von f auf U ist in OX (U ) enthalten. Wenn f0 verschwindet,
so ist auch f null.
Eine additive Cousin-Verteilung auf X ist eine offene Überdeckung zusammen
mit einer Schar von meromorphen Funktionen fi ∈ MX (Ui ), so dass fi − fj
auf Ui ∩ Uj holomorph ist.
Eine additive Cousin-Verteilung induziert einen globalen Schnitt von MX /OX .
Man benutzt nun die exakte Sequenz
0 −→ OX −→ MX −→ MX /OX −→ 0.
Es sei H 1 (X, OX ) = 0. Dann besitzt jede additive Cousinverteilung (Ui , fi )
eine globale Lösung. Es existiert also eine globale meromorphe Funktion f ∈
MX (X), so dass f − fi auf Ui holomorph ist.
Eine multiplikative Cousin-Verteilung auf X ist eine offene Überdeckung X =
∪
Ui und eine Schar holomorpher Funktionen fi mit dünner Nullstellenmenge,
so dass eine invertierbare holomorphe Funktion φij ∈ O∗ (Ui ∩ Uj ) existiert, so
dass fi = φij fj gilt.
Eine Lösung des zugehörigen Problems ist eine globale holomorphe Funktion
f , so dass f /fi in O∗ (Ui ) enthalten ist. Setzt man dann φi = f /fi , so gilt φi =
φij φj . Hat man umgekehrt ein System φi ∈ O∗ (Ui ) mit dieser Eigenschaft,
so ist das Cousinsche Problem lösbar, Man zeigt dann einfach, dass die fi φi
zu einer globalen Funktion verkleben. Man kann das so deuten. φij ist ein
1-Čechkozykel und die Frage ist ob dieser trivial ist, also ob seine Klasse in
∗
∗
Ȟ 1 (X, OX
) verschwindet. Dies ist der Fall, wenn H 1 (X, OX
) verschwindet.
∗
Wir betrachten nun die Exponentialfunktion OX → OX
, f 7→ e2πif . Der Kern
ist die Garbe Z X der lokal konstanten Funktionen mit Werten in Z. Man hat
die exakte Sequenz
∗
0 −→ Z X −→ OX −→ OX
−→ 0.
Wendet man die lange exakte Kohomologiesequenz an, so erhlt man:
Eine beliebige multiplikative Cousin-Verteilung hat sicher dann eine Lösung,
wenn H 1 (X, OX ) = 0 (beispielsweise falls X Steinsch ist) und falls H 2 (X, Z) =
0 ist.
Die letzte Bedingung ist rein topologischer Natur. Man sollte noch wissen, dass
H p (X, Z) mit den singulären Kohomologiegruppen der Topologie übereinstimmen.
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Kommutative Algebra
Definitionen
ZPE-Ring, noethersch, Krullsche Dimension
Sätze
Der Polynomring über einem ZPE-Ring ist ZPE (Satz von Gauss). Der Polynomring über einem noetherschen Ring ist noethersch (Hilbertscher Basissatz).
Der Satz von Cohen Seidenberg. Der Krullsche Durchschnittssatz. Ist a ein
Ideal in einem noetherschen Ring, so ist sein Radikal Durchschnitt von endlich
vielen Primidealen. Lemma von Nakayama.
Funktionalanalysis
Definitionen
Halbnorm, Topologie, welche einem System von Halbnormen zugeordnet ist.
Begriff des Frécheraumes, Beispiele C(X), O(X) für offene Teilmengen X ⊂ C n
und C ∞ (X). Kompakter Operator. Beispiel: U offene Teilmenge im C n , V
offene Teilmenge deren Abschluss kompakt und in U enthalten ist. Dann ist
O(U ) → O(V ) kompakt.
Sätze
Ist F eine abgeschlossener Unterraum einse Fréchetraumes, so sind auch F und
E/F Frécheträume. Open-mapping theorem. Lokal kompakte Frécheträume
sind endlich dimensional. Hiervon eine Verallgemeinerung ist das Schwartzsche
Lemma.
Ist f : E → F eine surjektive stetige lineare Abbildung von Frécheträumen,
und ist g : E → F ein kompakter Operator, so ist f + g fast surjektiv, d.h.
F/(f + g)E ist endlich dimensional.
Eine Anwendung ist der Endlichkeitssatz:
Sei X ein kompakter komplexer Raum und ist M kohärent auf X, so sind die
Vektorräume H p (X, M) endlichdimensional.
Dies ist ein Spezialfall des Grauertschen Projektionssatzes (angewendet auf die
Abbildung X → {pt}).
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