Kohomologie von Schemata

Kohomologie von Schemata
Universität Regensburg
Sommersemester 2014
Daniel Heiß:
§2:
Kohomologie von Garben
24.04.2014
§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
Abstract
Die folgende Ausarbeitung zum zweiten Vortrag im Seminar „Kohomologie von Schemata“ im
Sommersemester 2014 unter Leitung von Prof. Dr. Walter Gubler und Jascha Smacka behandelt
Kohomologie von Garben.
Zunächst wird sichergestellt, dass die Kategorie Ab(X) der Garben abelscher Gruppen auf einem
topologischen Raum X genug Injektive besitzt, also stets eine injektive Auflösung existiert. Damit
werden die Kohomologie-Funktoren H i (X, −) sowie die Kohomologiegruppen einer Garbe F
definiert und näher studiert. Dabei wird sich zeigen, dass jede welke Garbe nur triviale höhere
Kohomologie besitzt.
Abschließend wird gezeigt, dass jede Kohomologiegruppe von F eine natürliche Γ(X, F )-Modulstruktur trägt.
Wir folgen dabei haupsächlich der Quelle [Har77].
Notation. Es bezeichnet R stets einen kommutativen unitären Ring. Weiter sei – wenn nicht
anderweitig definiert – X ein topologischer Raum.
Unter einer Kategorie C wird stets eine abelsche Kategorie verstanden und die Klasse der Objekte
von C wird bezeichnet mit obC . Weiter bezeichnet MorC (A, B) die Klasse der Morphismen von
A nach B in C.
I Garben
Im folgendem sei C ∈ {Ab, ModR }.
Definition 1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine Prägarbe F von Objekten in C auf X
besteht aus:
(i) Für jede offene Teilmenge U ⊆ X einem Objekt F (U ) ∈ obC ,
(ii) für alle Inklusionen V ⊆ U offener Mengen in X einen Morphismus ρU
V : F (U ) −→ F (V )
so dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(i) F (∅) = 0,
(ii) ρU
U = idF (U ) für alle U ⊆ X offen,
U
(iii) ρVW ◦ ρU
V = ρW für alle Inklusionen W ⊆ V ⊆ U offener Mengen in X.
Dabei heißen die Morphismen ρU
V Einschränkungsabbildungen und die Elemente s ∈ F (U )
heißen Schnitte von F über U .
Man schreibt auch Γ(U, F ) := F (U ) und für f := ρU
V (f ) für f ∈ F (U ).
V
Bemerkung 1.2. Sei X ein topologischer Raum und Top die Kategorie mit Objekten
obTop
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n
o
:= U ⊆ X U offen
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und Morphismen

{∗} , V ⊆ U
MorTop (V, U ) :=
∅
, V 6⊆ U.
Dann ist eine Prägarbe F von Objekten in C auf X ein kontravarianter Funktor F : Top −→ C.
Definition 1.3. Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe von Objekten in C auf
X. Dann heißt F eine Garbe auf X, wenn für alle offenen Mengen U ⊆ X und alle offenen
Überdeckungen {Vi }i von U folgende Bedingungen erfüllt sind:
(iv) Sei s ∈ F (U ) so dass s = 0 für alle i, dann gilt s = 0.
Vi
(v) Seien si ∈ F (Vi ) so dass si = sj , dann existiert (ein wegen (iv) notwendig
Vi ∩Vj
Vi ∩Vj
eindeutiges) s ∈ F (U ) mit s = si für alle i.
Vi
Beispiel 1.4. Sei X eine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenem Körper k. Für jede
offene Menge U ⊆ X sei O(U ) der Ring der regulären Funktionen von U nach k und für alle
Inklusionen V ⊆ U sei ρU
V : O(U ) −→ O(V ) die übliche Einschränkung von U auf V . Dann ist
O eine Prägarbe von Ringen auf X. Man sieht wegen der lokalen Natur der Ringe O(U ), dass O
auf X sogar eine Garbe ist.
Beispiel 1.5. Sei X ein topologischer Raum und G eine abelsche Gruppe versehen mit der
diskreten Topologie. Dann definiere die konstante Garbe G auf X wie folgt: Für alle offenen
Mengen U ⊆ X setze G (U ) := f : U −→ G f stetig und setze die ρU
V als die üblichen Einschränkungsabbildungen. Dann ist G eine Garbe abelscher Gruppen auf X.
Der Name „konstante Garbe“ kommt von folgender Eigenschaft: Ist U ⊆ X eine zusammenhängende offene Menge, so gilt G (U ) ∼
= G.
Q
Sind für eine offene Menge U ⊆ X die Zusammenhangskomponenten offen, so gilt G (U ) ∼
= i∈I G
wobei I die Menge der Zusammenhangskomponenten von U sei.
Definition 1.6.
(i) Ein gerichtetes System (I, ≤) besteht aus einer Menge I 6= ∅ und
einer Relation ≤ so dass:
(1) a ≤ a ∀a ∈ I,
(2) a ≤ b ∧ b ≤ c
(3) ∀a, b ∈ I
=⇒
∃k ∈ I :
a≤c
∀a, b, c ∈ I,
a ≤ k ∧ b ≤ k.
(ii) Sei C eine beliebige abelsche Kategorie (I, ≤) ein gerichtetes System sowie {Ai }i∈I eine
Familie von Objekten Ai ∈ obC so dass für alle i ≤ j ∈ I Morphismen fij : Ai −→ Aj mit
folgenden Eigenschaften existieren:
(1) fii = idAi
(2) fjk ◦ fij = fik
∀i ∈ I,
∀i ≤ j ≤ k.
Dann heißt das Paar (Ai , fij ) ein direktes System über I.
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(iii) Sei C eine beliebige abelsche Kategorie und (Xi , fij ) ein direktes System über I. Dann
ist der direkte Limes (falls dieser existiert) des Systems (Xi , fij ) in C ein Objekt X :=
lim Xi ∈ obC zusammen mit Morphismen ϕi : Xi −→ X so dass ϕi = ϕj ◦fij sodass folgende
−→
universelle Eigenschaft erfüllt ist:
Für jedes Paar (Y, ψi ) mit ψi : Xi −→ Y (so dass ψi = ψj ◦ fij ) existiert ein eindeutiger
Morphismus u : X −→ Y sodass folgendes Diagramm kommutiert:
fij
Xi
/ Xj
ϕj
ϕi
X
ψi
~
ψj
u
Y
Definition 1.7. Sei F eine Prägarbe von Objekten in C auf X. Dann heißt für p ∈ X der
direkte Limes
Fp := lim F (V )
−→
p∈V
des Systems (Vi , ρVVij ) (wobei Vi ⊆ X die offenen Mengen von X, die p enthalten und ρ die
Einschränkungsabbildungen sind) der Halm von F bei p.
Die Elemente s ∈ Fp heißen Keime von F bei p.
Bemerkung 1.8. Ein Element in Fp wird repräsentiert durch ein Paar (U, s) wobei U eine
offene Umgebung von p und s ∈ F (U ) ist. Zwei Paare (U, s) und (V, t)
sind äquivalent genau
dann, wenn eine offene Umgebung W ⊆ U ∩ V von p existiert so dass s = t .
W
W
Beispiel 1.9. Sei X eine Varietät und O die Garbe der regulären Funktionen. Dann ist für
p ∈ X der Keim Op einfach der lokale Ring aus Algebraischer Geometrie I.
Definition 1.10. Seien F und G zwei (Prä-)Garben auf X. Dann besteht ein Morphismus
ϕ : F −→ G aus Morphismen ϕ(U ) : F (U ) −→ G (U ) in C für jede offene Menge U ⊆ X so dass
für alle Inklusionen V ⊆ U das folgende Diagramm kommutiert:
F (U )
ρU
V
ϕ(U )
F (V )
ϕ(V )
/ G (U )
ρU
V
/ G (V )
Dabei heißt ϕ ein Isomorphismus von (Prä-)Garben, wenn ein Morphismus ψ : G −→ F
existiert mit ϕ ◦ ψ = idG , ψ ◦ ϕ = idF .
Proposition 1.11. Ein Morphismus ϕ : F −→ G von (Prä-)Garben von Objekten in C auf X
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induziert für alle p ∈ X einen Morphismus ϕp : Fp −→ Gp der Halme.
ϕp Pr∞f: Definiere (U, s) 7−→ U, ϕ(U )(s) .
2
Proposition 1.12. Sei ϕ : F −→ G ein Morphismus von Garben von Objekten in C auf X.
Dann ist ϕ genau dann ein Isomorphismus, wenn die induzierte Halmabbildung (vgl. Proposition 1.11) ϕp : Fp −→ Gp für alle p ∈ X ein Isomorphismus ist.
Pr∞f: (⇐)
Es gebe ψ : G −→ F mit ϕ ◦ ψ = idG und ψ ◦ ϕ = idF . Dann gilt
(U, s) 7−→ U, ϕ(U )(s) 7−→ U, (ψ ◦ ϕ)(U )(s) = U, idF (U ) (s) = [U, s].
Woraus ψp ◦ ϕp = idFp folgt. Analog folgt ϕp ◦ ψp = idGp .
(⇒)
Es reicht zu zeigen, dass ϕ(U ) : F (U ) −→ G (U ) für alle U ⊆ X offen ein Isomorphimus
ist, denn dann existiert ein inverser Garbenhomomorphismus ψ : G −→ F definiert durch
ψ(U ) := ϕ(U )−1 für alle U ⊆ X offen. Dann ist ψ ein Garbenhomomorphismus, denn sei
V ⊆ U eine offene Teilmenge und g ∈ G (U ) beliebig, dann ist zu zeigen, dass ρU
V (ψ(U )(g)) =
U
U
U
ψ(V )(ρV (g)). Das heißt es ist zu zeigen, dass ϕ(V ) ρV (ψ(U )(g)) = ρV (g). Es gilt aber
U
ϕ(V ) ρU
= ρU
V (ψ(U )(g)) = ρV ϕ(U ) ϕ(U )(g)
V (g).
(Injektivität)
Sei s ∈ F (U ) so dass ϕ(U )(s) = 0 ∈ G (U ). Dann ist ϕ(U )(s)p = 0p , also
ϕp (sp ) = 0p . Da nach Annahme alle ϕp injektiv sind, gilt sp = 0p . Das heißt es existiert eine
S
U
offene Umgebung Wp ⊆ U von p so dass ρU
p∈U Wp und da F
Wp (s) = ρWp (0). Nun gilt U =
eine Garbe ist, folgt s = 0.
(Surjektivität)
Sei t ∈ G (U ) und tp ∈ Gp der Keim von t in Gp . Da ϕp : Fp − Gp surjektiv
ist, existiert sp ∈ Fp mit ϕp (sp ) = tp . Schreibe sp = [Vp , s(p)] für eine offene Umgebung von p.
Dann sind ρU
Vp (t) und ϕ(U )(s(p)) zwei Elemente in G (Vp ) mit (Vp , t) = (Vp , ϕ(U )(s(p))) in
U
Gp . Das heißt es existiert eine offene Umgebung Wp von p so dass ρU
Wp (ϕ(U )(s(p))) = ρWp (t).
S
Nun gilt U = p∈U Wp und für alle Wp existiert ein Schnitt s(p) ∈ F (Wp ).
W
W
Seien nun p, q ∈ U zwei Punkte. Dann sind ρWpp ∩Wq (sp ) und ρWqp ∩Wq (sq ) zwei Schnitte über
F (Wp ∩ Wq ), die unter ϕ(U ) beide auf ρU
Wp ∩Wq (t) abgebildet werden. Da aber ϕ(U ) injektiv
ist (siehe oben) stimmen sie überein. Da F eine Garbe ist, existiert also ein s ∈ F (U ) so
dass ρU
Wp (s) = sp für alle p ∈ U . Nun sind aber ϕ(U )(s) und t zwei Schnitte in G (U ) für
U
die gilt, dass ρU
Wp (ϕ(U )(s)) = ρWp (t) für alle p ∈ U , also folgt, da F eine Garbe ist schon
ϕ(U )(s) = t.
2
Korollar 1.13. In Proposition 1.12 wurde für den Morphismus ϕ : F −→ G gezeigt, dass
ϕ(U ) : F (U ) −→ G (U ) genau dann für alle offenen U ⊆ X injektiv ist, wenn die Halmabbildung
ϕp : Fp −→ Gp für alle p ∈ X injektiv ist.
Definition 1.14. Sei ϕ : F −→ G ein Morphismus von Prägarben von Objekten in C auf X.
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Dann ist der Prägarbenkern von ϕ definiert als die Prägarbe gegeben durch
U 7−→ ker(ϕ(U )).
Analog definiert man den Prägarbenkokern und das Prägarbenbild.
Definition 1.15. Sei F eine Prägarbe von Objekten in C auf X. Eine Garbe F + von Objekten in C auf X zusammen mit einem Morphismus θ : F −→ F + sodass folgende universelle
Eigenschaft erfüllt ist heißt die zu F assoziierte Garbe: Für jede Garbe G von Objekten in C
auf X und jeden Morphismus ϕ : F −→ G existiert ein eindeutiger Morphismus ψ : F + −→ G
mit ϕ = ψ ◦ θ.
Proposition 1.16. Sei F eine Prägarbe von Objekten in C auf X. Dann existiert eine zu F
assoziierte Garbe F + und sie ist eindeutig bis auf eindeutige Isomorphie. Ferner gilt für jeden
∼
Punkt p ∈ X Fp ∼
= F + . Außerdem gilt für jede Garbe F , dass θ : F −→ F + ein Isomorphismus
p
ist.
2
Pr∞f: Siehe [Har77, ch. II, Proposition-Definition 1.2].
Proposition 1.17. In der Situation von Definition 1.14 ist der Prägarbenkern von ϕ eine
Garbe von Objekten in C auf X.
2
Pr∞f: Siehe Übung. [Gub14].
Definition 1.18. Sei ϕ : F −→ G ein Morphismus von Garben von Objekten in C auf X.
Dann definiere
(i) den Kern ker(ϕ) von ϕ als den Prägarbenkern von ϕ,
(ii) den Kokern coker(ϕ) von ϕ als die zum Prägarbenkokern von ϕ assoziierte Garbe,
(iii) das Bild im(ϕ) von ϕ als die zum Prägarbenbild von ϕ assoziierte Garbe.
Definition 1.19. Sei ϕ : F −→ G ein Morphismus von Garben.
(i) Dann heißt ϕ injektiv, wenn ker(ϕ) = 0. Das heißt, wenn für jede offene Menge U ⊆ X
die induzierte Abbildung ϕ(U ) : F (U ) −→ G (U ) injektiv ist.
(ii) ϕ heißt surjektiv, wenn im(ϕ) = G gilt.
Definition 1.20. Sei nun F 0 eine weitere Garbe so dass F 0 (U ) ⊆ F (U ) für alle offenen Men-
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gen U ⊆ X und so dass für alle offenen Teilmengen V ⊆ U das folgende Diagramm kommutiert:
F 0 (U )
⊆
ρU
V
F 0 (V )
F (U )
ρU
V
F (V ).
⊆
Dann heißt F 0 eine Untergarbe von F .
In dieser Situation ist die Quotientengarbe F /F 0 definiert als die zur Prägarbe U 7−→
F (U )/F 0 (U ) assoziierten Garbe.
Proposition 1.21. Seien F 0 , F zwei Garben auf X. Dann ist F 0 genau dann eine Untergarbe
von F , wenn für alle p ∈ X gilt, dass Fp0 ⊆ Fp .
Pr∞f: (⇐)
(⇒)
Klar.
Sei U ⊆ X offen und s0 ∈ F 0 (U ). Sei s0p ∈ Fp0 das Bild von s0 im Halm Fp0 . Nach
0
Voraussetzung ist damit s0p ∈ Fp , also existiert Vp ⊆ U offen mit ρU
Vp (s ) ∈ F (Vp ). Da F eine
U
0
Garbe ist, existiert ein s ∈ F (U ) mit ρU
Vp (s) = ρVp (s ), also (wieder wegen F Garbe) gilt
2
s = s0 .
Korollar 1.22. Seien F 0 , F zwei Garben auf X. Dann gilt F 0 = F genau dann, wenn Fp0 =
Fp für alle p ∈ X.
2
Pr∞f: Wende zweimal Proposition 1.21 an.
Proposition 1.23. Sei ϕ : F −→ G ein Morphismus von Garben F , G von Objekten in C auf
X. Dann gilt für alle p ∈ X, dass ker(ϕ)p = ker(ϕp ).
Pr∞f: Es gilt t ∈ ker(ϕ)p
⇐⇒
∃U ⊆ X offene Umgebung von p und ∃s ∈ ker(ϕ)(U )
mit t = sp
⇐⇒
∃U ⊆ X offene Umgebung von p und ∃s ∈ F (U ) mit t = sp und
ϕ(U )(s) = 0
⇐⇒
ϕp (t) = 0.
2
Proposition 1.24. Seien F , G zwei Garben von Objekten in C auf X und ϕ : F −→ G ein
Morphismus von Garben. Dann gilt für alle p ∈ X, dass coker(ϕ)p = Gp / im(ϕp ).
Pr∞f: Sei t ∈ Gp . Dann gilt t 7−→ 0 ∈ coker(ϕ)p
⇐⇒
∗
und ∃s ∈ G (U ) mit sp = t sowie s 7−→ 0 ∈ coker (ϕ)(U )
von p und ∃s ∈ G (U ) mit sp = t, sowie s ∈ im (ϕ)(U )
∗
∃U ⊆ X offene Umgebung von p
⇐⇒
⇐⇒
∃U ⊆ X offene Umgebung
t ∈ im(ϕp ).
2
Korollar 1.25. Sei wieder ϕ : F −→ G ein Morphismus von Garben von Objekten in C auf
X. Dann gilt für alle p ∈ X, dass im(ϕ)p = im(ϕp ).
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Pr∞f: Es gilt
1.23
im(ϕ)p = ker G −→ coker(ϕ) p = ker (Gp −→ coker(ϕ)p )
1.24
= ker (Gp −→ Gp / im(ϕp )) = im(ϕp ).
f
2
g
Lemma 1.26. Sei F −→ G −→ H eine Sequenz von Garben von Objekten in C auf X. Dann
fp
gp
ist die Sequenz genau dann exakt, wenn für alle p ∈ X die Sequenz Fp −→ Gp −→ Hp der
Halme bei p exakt ist.
(⇒)
1.25
1.23
Es gilt für alle p ∈ X: ker(gp ) = ker(g)p = im(f )p = im(fp ).
Pr∞f: (⇐)
Wegen ker(gp ) = im(fp ) für alle p ∈ X folgt wegen Proposition 1.23 und Korollar 1.25,
dass ker(g)p = im(f )p für alle p ∈ X. Damit gilt nach Korollar 1.22, dass ker(g) = im(f ). 2
Definition 1.27. Sei f : X −→ Y eine stetige Abbildung topologischer Räume, F eine Garbe
von Objekten in C auf X und G eine Garbe von Objekten in C auf Y .
(i) Es gibt eine Garbe f∗ F auf Y definiert durch (f∗ F )(V ) := F (f −1 (V )) für alle V ⊆ Y
offen. Sie heißt das direkte Bild von F .
(ii) Betrachte die Prägarbe definiert durch U 7−→ lim G (V ) für alle offenen U ⊆ X. Die zu
−→
f (U )⊆V
dieser Prägarbe assoziierte Garbe heißt das inverse Bild und wird bezeichnet mit f −1 G .
Definition 1.28. Sei Z ⊆ X eine Teilmenge von X mit der von X induzierten Topologie.
Bezeichne ι : Z ,−→ X die Einbettung von Z nach X. Dann heißt für eine Garbe F auf X das
inverse Bild ι−1 F die Einschränkung von F auf Z und es wird bezeichnet mit F .
Z
Bemerkung 1.29. In der Situation von Definition 1.28 ist der Halm F identisch mit
Z p
dem Halm Fp .
Proposition 1.30. Sei F eine
Garbe auf X und seien V ⊆ U ⊆ X offene Mengen. Weiter
seien F1 := F und F2 := F U
V
die Einschränkungen von F auf U bzw. V .
Betrachte nun die folgende Prägarbe auf X definiert durch

F (W ) , W ⊆ U
1
W −
7 →
0
, W 6⊆ U
∀W ⊆ X offen.
Es bezeichne FU die zu dieser Prägarbe assoziierte Garbe auf X. Analog definiere auch FV .
Dann existiert ein injektiver Morphismus FV ,−→ FU von Garben auf X.
Pr∞f: Es reicht nach Korollar 1.13 zu zeigen, dass für alle p ∈ X die Halmabbildung
FV,p ,−→ FU,p injektiv ist. Die Halme der Prägarbe stimmen aber mit denen der zur Prägarbe
assoziierten Garbe überein (Proposition 1.16), das heißt es reicht die Aussage für die Halme
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der Prägarbe zu zeigen.
Falls p ∈ V , so gilt FV,p = F V
1.29
p
= Fp und wegen V ⊆ U gilt auch FU,p = Fp .
Für p ∈
/ V gilt FV,p = 0 und die Aussage ist klar.
Definition 1.31.
2
(i) Ein geringter Raum (X, OX ) ist ein Paar bestehend aus einem to-
pologischen Raum X und einer Garbe OX von Ringen auf X.
(ii) Sei (X, OX ) ein geringter Raum. Eine Garbe von OX -Moduln ist eine Garbe F auf X so,
dass für jede offene Menge U ⊆ X die Gruppe F (U ) ein OX (U )-Modul ist und so, dass für
jede Inklusion V ⊆ U die Einschränkungsabbildung ρU
V : F (U ) −→ F (V ) vermöge dem
Ringhomomorphismus OX (U ) −→ OX (V ) mit den Modulstrukturen verträglich ist.
Man nennt eine Garbe von OX -Moduln auf X auch kurz einen OX -Modul.
(iii) Ein Morphismus F −→ G von OX -Moduln ist ein Morphismus von Garben so, dass für
alle offenen Mengen U ⊆ X die Abbildung F (U ) −→ G (U ) ein OX (U )-Modulhomomorphismus ist.
(iv) Die Kategorie der OX -Moduln auf X wird bezeichnet mit Mod(X).
Bemerkung 1.32. Die Kategorie Mod(X) der OX -Moduln ist abelsch.
2
Pr∞f: Siehe [Har77, S. 109f.].
Definition 1.33. Sei (X, OX ) ein geringter Raum und U ⊆ X offen. Dann bezeichnet OU
die Garbe, die durch Einschränken von OX auf U und Erweitern durch Null außerhalb von U
entsteht. Vergleiche Proposition 1.30.
Proposition 1.34. Sei C eine abelsche Kategorie und X ∈ obC .
Dann ist der Funktor HomC (−, X) linksexakt. Das heißt für jede exakte Folge
f
g
A −→ B −→ C −→ 0
ist die Folge
g∗
f∗
0 −→ HomC (C, X) −→ HomC (B, X) −→ HomC (A, X)
exakt.
Pr∞f: (Exaktheit an HomC (C, X))
Sei ϕ ∈ HomC (C, X) so dass g ∗ (ϕ) = 0, dann gilt
ϕ ◦ g ≡ 0 und damit wegen g surjektiv ϕ = 0, denn: Angenommen es existiert x ∈ C so
dass ϕ(x) 6= 0, dann existiert wegen g surjektiv ein x0 ∈ B so dass g(x0 ) = x und damit
0 6= ϕ(x) = ϕ(g(x0 )) = (ϕ ◦ g)(x0 )
(Zweite Exaktheit)
(⊆)
zu ϕ ◦ g ≡ 0.
Es ist zu zeigen, dass ker(f ∗ ) = im(g ∗ ).
Sei ϕ ∈ im(g ∗ ). Dann gilt ϕ = ψ ◦ g für ein ψ ∈ HomC (C, X). Betrachte nun f ∗ (ϕ) =
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ϕ ◦ f = (ψ ◦ g) ◦ f = ψ ◦ (g ◦ f ) = 0 und damit ϕ ∈ ker(f ∗ ).
| {z }
≡0
(⊇)
Sei ϕ ∈ ker(f ∗ ). Dann gilt ϕ ◦ f ≡ 0, also ker(ϕ) ⊇ im(f ) = ker(g).
(∗)
Betrachte das folgende Diagramm und beachte, dass wegen g surjektiv B/ ker(g) ∼
= C:
ϕ
B
/8 X
∃ψ
C∼
= B/ ker(g)
Nach Homomorphiesatz ∃ψ genau dann, wenn ker(g) ⊆ ker(ϕ). Vgl. (∗) und die Behauptung
2
folgt.
Proposition 1.35. Sei (X, OX ) ein geringter Raum, U ⊆ X offen und F ein OX -Modul.
Dann gilt
∼
Φ : F (U ) −→ HomOX (OU , F ) : Ψ
ϕ(U )(1) ←−[ ϕ

vρU (m) , V ⊆ U
V
m 7−→ Φ(m)(V )(v) :=
0
, sonst.
Pr∞f: Rechne einerseits Ψ(Φ(m)) = Φ(m)(U )(1) = 1 · ρU
U (m) = idF (U ) (m) = m.
Andererseits rechne

0
, V 6⊆ U
Φ Ψ(ϕ) (V )(v) = Φ ϕ(U )(1) (V )(v) =
vρU ϕ(U )(1) , V ⊆ U.
V
Angenommen V 6⊆ U . Dann gilt OU (V ) = {0}, das heißt ϕ(V )(v) = 0 und andererseits
Φ Ψ(ϕ) (V )(v) = 0.
Sei nun V ⊆ U . Dann kommutiert wegen ϕ ∈ HomOX (OU , F ) das folgende Diagramm:
OU (U )
ρU
V
OU (V )
ϕ(U )
ϕ(V )
/ F (U )
ρU
V
/ F (V ).
Das heißt es gilt ρU
V ϕ(U )(1) = ϕ(V )(1). (∗)
Beachte nun, dass v ∈ OU (V ) und ϕ(V ) : OU (V ) −→ F (V ) ist ein OX (V )-Modulhomomorphismus, das heißt es gilt
(∗)
ϕ(V )(v) = vϕ(V )(1) = vρU
V ϕ(U )(1) = Φ Ψ(ϕ) (V )(v).
Da V ⊆ X offen und v ∈ OU (V ) beliebig gilt Φ(Ψ(ϕ)) = ϕ.
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2
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Korollar 1.36. Sei U ⊆ X offen. Dann ist der Funktor Γ(U, −) : Ab(X) −→ Ab,
F 7−→
F (U ) linksexakt. Das heißt für eine exakte Sequenz 0 −→ F −→ G −→ H −→ 0 von Garben
abelscher Gruppen auf X ist die Folge 0 −→ F (U ) −→ G (U ) −→ H (U ) exakt.
Pr∞f: Folgt sofort aus Proposition 1.35 und Proposition 1.34. Beachte, dass Ab(X) ein OX 2
Modul für die konstante Garbe OX = Z ist.
Definition 1.37. Eine Garbe F heißt welk, wenn für jede Inklusion V ⊆ U offener Mengen
die Einschränkungsabbildung F (U ) −→ F (V ) surjektiv ist.
f
g
Lemma 1.38. Sei 0 −→ F −→ G −→ H −→ 0 eine exakte Sequenz von Garben abelscher
Gruppen auf X. Weiter sei F welk und U ⊆ X offen. Dann ist die Sequenz
0 −→ F (U ) −→ G (U ) −→ H (U ) −→ 0
abelscher Gruppen exakt.
Pr∞f: Nach Korollar 1.36 reicht es zu zeigen, dass G (U ) −→ H (U ) surjektiv ist.
Sei dazu s ∈ H (U ) beliebig und setze
M :=
n
o
(V, t) V ⊆ U offen, t ∈ G (V ) : g(V )(t) = ρU
(s)
.
V
0
Ordne nun M partiell vermöge (V, t) ≤ (V 0 , t0 ) :⇐⇒
V ⊆ V 0 , ρVV (t0 ) = t.
S
Sei nun (Vi , ti )i eine aufsteigende Kette in M . Dann setze V := i Vi und aus der Garbeneigenschaft folgt die Existenz eines t ∈ G (V ) so dass ρVVi (t) = ti . Das heißt (V, t) ist eine obere
Schranke.
Außerdem ist M 6= ∅ wegen (∅, 0) ∈ M . Nun liefert das Lemma von Zorn ein maximales
Element (V0 , t0 ) ∈ M .
WA: V0 6= U . Dann wähle x ∈ U \ V0 .
Da G − H surjektiv ist auch Gx − Hx surjektiv (vgl. Lemma 1.26). Das heißt es existiert
eine offene Umgebung Z ⊆ X von x und ein r0 ∈ G (Z) so dass gx (Z, r0 ) = (U, s) ∈ Hx .
Das heißt es gilt (U, s) = (Z, g(Z)(r0 )) , also existiert eine offene Umgebung x ∈ W ⊆ U ∩Z
#
Z
ρZ
von x so dass ρU
W (r0 ) ).
W (s) = ρW (g(Z)(r0 )) = g(W )( |
{z }
=:r∈G (W )
Nun gilt
#
W
U
W
W
ρU
W ∩V0 (s) = ρW ∩V0 (ρW (s)) = ρW ∩V0 (g(W )(r)) = g(W ∩ V0 )(ρW ∩V0 (r))
#
V0
V0
V0
U
ρU
W ∩V0 (s) = ρW ∩V0 (ρV0 (s)) = ρW ∩V0 (g(V0 )(t0 )) = g(W ∩ V0 )(ρW ∩V0 (t0 )).
1.36
V0
Das heißt es gilt ζ := ρW
W ∩V0 (r) − ρW ∩V0 (t0 ) ∈ ker(g(W ∩ V0 )) = im(f (W ∩ V0 )).
Das heißt es existiert ein ζ0 ∈ F (W ∩ V0 ) mit f (W ∩ V0 )(ζ0 ) = ζ. Da nun aber F welk ist,
0
0
existiert ein r0 ∈ F (W ) mit ρW
W ∩V0 (r ) = ζ0 . Aus # folgt nun, dass für r̃ := f (W )(r ) gilt,
Daniel Heiß
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
dass ρW
W ∩V0 (r̃) = ζ.
V0
V0
W
W
− r̃}). Nach
Das heißt es gilt: ρW
W ∩V0 (r̃) = ρW ∩V0 (r)−ρW ∩V0 (t0 ), also: ρW ∩V0 (t0 ) = ρW ∩V0 (r
| {z
=:r1
∪V0
(t1 ) = t0 und
der Garbeneigenschaft von G existiert damit aber ein t1 ∈ G (W ∪ V0 ) mit ρW
V0
∪V0
ρW
(t1 ) = r1 .
W
Es gilt aber nun, dass ρU
V0 ∪W (s) = g(V0 ∪ W )(t1 ), denn:
Es gilt einerseits
#
V0 ∪W
U
(t1 )) = ρVV00 ∪W (g(V0 ∪ W )(t1 ))
ρVV00 ∪W ρU
V0 ∪W (s) = ρV0 (s) = g(V0 )(t0 ) = g(V0 )(ρV0
und andererseits
(∗)
V0 ∪W
U
ρVW0 ∪W ρU
(t1 )) = ρVW0 ∪W (g(V0 ∪ W )(t1 )).
V0 ∪W (s) = ρW (s) = g(W )(r1 ) = g(W )(ρW
Dabei gilt (∗) wegen:
0
g(W )(r1 ) = g(W )(r − r̃) = g(W )(r) − g(W )(r̃) = ρU
W (s) − g(W )(f (W )(r ))
g◦f =0
=
ρU
W (s).
Die Garbeneigenschaft liefert die Behauptung.
Gesamt erhält man: x ∈ W \ V0 , also V0 ( W ∪ V0 und g(W ∪ V0 )(t1 ) = ρU
W ∪V0 (s).
zur
2
Maximalität von (V0 , t0 ).
f
g
Lemma 1.39. Sei 0 −→ F −→ G −→ H −→ 0 eine exakte Sequenz von Garben abelscher
Gruppen auf X. Weiter seien F und G welk. Dann ist auch H welk.
Pr∞f: Seien V ⊆ U offene Teilmengen in X. Da F welk ist, sind die Zeilen des folgenden
Diagramms nach Lemma 1.38 exakt:
0
/ F (U )
0
/ F (V )
/ G (U )
π
/ G (V )
/ H (U )
/0
η
/ H (V )
/ 0.
Beachte, dass wegen G welk die Abbildung π surjektiv ist.
Sei nun s ∈ H (V ) beliebig. Dann existiert s0 ∈ G (V ) mit g(V )(s0 ) = s und wegen π surjektiv
existiert s0 ∈ G (U ) mit π(s0 ) = s0 .
Aus der Kommutativität des Diagramms folgt η(g(U )(s0 )) = g(V )(π(s0 )) = g(V )(s0 ) = s,
also ist g(U )(s0 ) ein Urbild von s bzgl. η und damit ist η surjektiv.
Daniel Heiß
2
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
II Injektive Objekte
Definition 2.1.
(i) Eine Gruppe (G, +) heißt divisibel, wenn die Abbildung
µn : G −→ G,
g 7−→ n · g
für alle 0 6= n ∈ N surjektiv ist.
(ii) Ein R-Modul M heißt injektiv, wenn für alle injektiven Homomorphismen ι : N1 ,−→ N2
von R-Moduln N1 , N2 und alle Homomorphismen f : N1 −→ M ein Homomorphismus
f 0 : N2 −→ M existiert so dass das folgende Diagramm kommutiert:
N1 f

/ N2
ι
f0
}
M
Bemerkung 2.2. Ein R-Modul M ist genau dann injektiv, wenn der Hom-Funktor
HomR (−, M ) : ModR −→ ModR
exakt ist.
Pr∞f: Nach Proposition 1.34 kann man sich auf die Rechtsexaktheit beschränken. Das heißt
es ist zu zeigen, dass ein R-Modul M genau dann injektiv ist, wenn für alle exakten Folgen
0 −→ X −→ Y
die Folge
HomR (Y, M ) −→ HomR (X, M ) −→ 0
2
exakt ist. Dies ist aber offenbar tatsächlich die Definition von injektiven Moduln.
Beispiel 2.3. Die Gruppen Q/Z und C∗ sind divisibel.
Pr∞f: (Q/Z)
Sei 0 6= n ∈ N und [x] =
h
x1
x2
i
∈ Q/Z beliebig. Dann ist durch
ein Urbild von [x] bzgl. µn gegeben.
(C∗ )
Sei 0 6= n ∈ N und z ∈ C∗ beliebig, dann ist durch
gegeben.
√
n
h
x1
nx2
i
∈ Q/Z
z ∈ C ein Urbild von z bzgl. µn
2
Satz 2.4. Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist G als Z-Modul genau dann injektiv, wenn G
divisibel ist.
Pr∞f: Nutze Lemma von Zorn. Siehe [HS97, I.7.1].
Daniel Heiß
2
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
Proposition 2.5. Sei G eine abelsche Gruppe und M ein R-Modul. Dann existiert ein natürlicher Isomorphismus
∼
η : HomR (M, HomZ (R, G)) −→ HomZ (M, G)
ϕ 7−→ m 7−→ ϕ(m)(1)
m 7−→ r 7−→ ψ(rm) ←−[ ψ
Dabei wird HomZ (R, G) zum R-Modul vermöge
(λϕ)(r) := ϕ(λr).
2
Pr∞f: Siehe [HS97, I.8.1].
Notation. Setze R := HomZ (R, Q/Z). Dabei ist R ein R-Modul wie in Proposition 2.5.
Korollar 2.6. Aus Proposition 2.5 folgt, dass für alle R-Moduln 0 6= M ein Homomorphismus
0 6= ϕ : M −→ R existiert.
Satz 2.7. Der R-Modul R ist injektiv. Genauer: Für jede divisible abelsche Gruppe G ist der
R-Modul Λ := HomZ (R, G) injektiv.
Pr∞f: Sei µ : M ,−→ N ein injektiver Homomorphismus von R-Moduln. Jeder R-Modulhomomorphismus α : M −→ Λ korrespondiert zu einem Gruppenhomomorphismus α0 : M −→ G.
Nun ist jedoch G divisibel, also injektiv als Z-Modul (vgl. Satz 2.4) und damit existiert ein
β 0 : N −→ G mit β 0 ◦ µ = α0 . Aus der Natürlichkeit des Isomorphismuses η in Proposition 2.5
folgt damit für β := η −1 (β 0 ), dass β ◦ µ = α.
Wähle G := Q/Z als divisible Gruppe (vgl. Beispiel 2.3) und damit ist R injektiv.
2
Definition 2.8. Sei C eine abelsche Kategorie. Dann hat C genug Injektive, wenn jedes
Objekt X ∈ obC enthalten ist in einem injektiven Objekt.
Proposition 2.9. Die Kategorie ModR der R-Moduln hat genug Injektive. Das heißt jeder
R-Modul M ist isomorph zu einem Untermodul eines injektiven R-Moduls.
Pr∞f: Sei 0 6= m ∈ M beliebig und sei Mm := hmi ⊆ M der von m erzeugte Untermodul und
ιm : Mm ,−→ M die Einbettung. Nach Korollar 2.6 existiert ein R-Modulhomomorphismus
0 6= ϕm : Mm −→ R. Nun ist aber R nach Satz 2.7 injektiv, also existiert ein ψm : M −→ R
mit ψm ◦ ιm = ϕm . Diese ψm induzieren mit der universellen Eigenschaft des Produkts eine
Q
T
Abbildung Ψ : M −→
R mit ker(Ψ) =
ker(ψm ). Damit ist Ψ injektiv, denn
06=m∈M
06=m∈M
sei m ∈ ker(Ψ), dann gilt insbesondere 0 = ψm (m) = ψm (ιm (m)) = ϕm (m) und damit
ϕm ≡ 0.
Daniel Heiß
2
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
Lemma 2.10. Sei C eine abelsche Kategorie. Dann hat C genug Injektive genau dann, wenn
jedes Objekt X ∈ obC eine injektive Auflösung besitzt.
Pr∞f: Die Rückrichtung ist klar. Wähle für ein beliebiges Objekt X ∈ obC eine injektive
Auflösung
0 −→ X −→ I 0 −→ I 1 −→ . . .
dann ist X offenbar enthalten im injektiven Objekt I0 .
Für die Hinrichtung wähle ein beliebiges Objekt X ∈ obC . Dann existiert nach Voraussetzung
ein injektives Objekt I 0 mit ε : X ,−→ I 0 . Betrachte nun den Kokern coker(ε). Dieser ist nach
Voraussetzung enthalten in einem injektiven Objekt I 1 . Wähle als Abbildung I 0 −→ I 1 die
2
Komposition I 0 − coker(ε) ,−→ I 1 und so weiter.
Definition 2.11. Seien (X, OX ) und (Y, OY ) zwei geringte Räume.
(i) Ein Morphismus geringter Räume ist ein Paar (f, f # ) : (X, OX ) −→ (Y, OY ) so dass
f : X −→ Y eine stetige Abbildung topologischer Räume und f # : OY −→ f∗ (OX ) ein
Garbenhomomorphismus ist.
(ii) Sei nun G eine Garbe von OY -Moduln auf Y . Dann ist die inverse Bildgarbe f ∗ G von
OX -Moduln definiert als die zu folgender Prägarbe assoziierte Garbe:
U 7−→ f −1 G (U )
O
OX (U ).
f −1 OY (U )
(iii) Für zwei Garben F , G von OX -Moduln bezeichnet HomOX (F , G ) die Gruppe der Garbenhomomorphismen.
Lemma 2.12. Seien (X, OX ) und (Y, OY ) geringte Räume, F eine Garbe von OX -Moduln und
G eine Garbe von OY -Moduln. Dann besteht ein natürlicher Isomorphismus HomOX (f ∗ G , F ) ∼
=
HomOY (G , f∗ F ).
Pr∞f: Siehe [Har77, p. 110].
2
Proposition 2.13. Sei (X, OX ) ein geringter Raum. Dann hat die Kategorie Mod(X) der
Garben der OX -Moduln genug Injektive.
Pr∞f: Sei F eine Garbe von OX -Moduln. Dann ist für jeden Punkt x ∈ X der Halm Fx
ein OX,x -Modul. Nach Proposition 2.9 existiert ein injektiver OX,x -Modul Ix mit Fx ,−→ Ix .
Für jeden Punkt x ∈ X bezeichne nun j : {x} ,−→ X die Einbettung. Offenbar ist Ix eine
Garbe über dem topologischen Raum {x} und damit erhalte eine Garbe j∗ (Ix ) auf X (vgl.
Q
Definition 1.27). Betrachte die Produktgarbe I := x∈X j∗ (Ix ) auf X.
Q
Für jede Garbe G von OX -Moduln gilt HomOX (G , I ) = x∈X HomOX (G , j∗ (Ix )) nach universeller Eigenschaft des Produkts.
Daniel Heiß
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
Andererseits gilt nach Lemma 2.12, dass

HomOX (G , j∗ (Ix )) ∼
= HomOX,x (j ∗ (G ), Ix ) = HomOX,x j −1 G

O
OX,x , Ix 
j −1 OX

= HomOX,x Gx

O
OX,x , Ix  ∼
= HomOX,x (Gx , Ix ).
OX,x
Also gilt
HomOX (G , I ) ∼
=
Y
HomOX,x (Gx , Ix )
(∗)
x∈X
Damit induzieren zum einen die Injektionen Fx ,−→ Ix einen natürlichen Morphismus F −→
I , welcher offenbar injektiv ist (vgl. Lemma 1.26).
Zum anderen ist damit der Funktor HomOX (−, I ) das Produkt exakter Funktoren: Jeder
einzelne Faktor ist die Komposition aus dem Halmfunktor G 7−→ Gx welcher nach Lemma 1.26
exakt ist und dem Funktor HomOX,x (−, Ix ) welcher exakt ist, da Ix ein injektiver OX,x -Modul
ist (vgl. Bemerkung 2.2).
Also ist HomOX (−, I ) ein exakter Funktor und damit ist I ein injektiver OX -Modul und
2
die Behauptung folgt.
Korollar 2.14. Sei X ein topologischer Raum. Dann hat die Kategorie Ab(X) der Garben
abelscher Gruppen auf X genug Injektive.
Pr∞f: Wähle auf X die konstante Garbe der Ringe Z. Dann ist (X, OX ) ein geringter Raum
und Mod(X) = Ab(X). Nutze nun Proposition 2.13.
2
Lemma 2.15. Sei (X, OX ) ein geringter Raum und I ein injektiver OX -Modul. Dann ist I
welk.
Pr∞f: Seien V ⊆ U zwei offene Mengen in X. Dann ist OV ,−→ OU eine Injektion von Garben
von OX -Moduln. Da I injektiv ist, ist also HomOX (OU , I ) − HomOX (OV , I ) surjektiv.
Es gilt aber HomO (OU , I ) ∼
= I (U ) und HomO (OV , I ) ∼
= I (V ) nach Proposition 1.35.2
X
Daniel Heiß
X
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§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
III Kohomologie von Garben
Notation. Sei stets X ein topologischer Raum. Es bezeichne Ab die Kategorie der abelschen
Gruppen und die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf X wird bezeichnet mit Ab(X).
Definition 3.1. Sei X ein topologischer Raum.
(i) Der Globalschnittfunktor Γ(X, −) : Ab(X) −→ Ab ist definiert durch Γ(X, F ) := F (X)
für alle F ∈ Ab(X).
(ii) Für alle natürlichen Zahlen i ∈ N heißt der Funktor
H i (X, −) : Ab(X) −→ Ab,
F 7−→ Ri Γ(X, F )
der i-te Kohomologiefunktor.
Dabei ist Ri Γ(X, −) die Rechtsableitung des Globalschnittfunktors.
(iii) Die abelschen Gruppen H i (X, F ) heißen die Kohomologiegruppen von F .
Bemerkung 3.2. Der Kohomologiefunktor H i (X, −) ist wohldefiniert. Denn: Die Kategorie
Ab(X) von Garben abelscher Gruppen auf X und die Kategorie Ab der abelschen Gruppen
sind abelsche Kategorien (vgl. [Wan14]), der Globalschnittfunktor Γ(X, −) ist linksexakt (vgl.
Korollar 1.36) und Ab(X) besitzt genug Injektive (vgl. Korollar 2.14).
Erinnerung 3.3. Sei A eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und F : A −→ B ein
kovarianter linksexakter Funktor in eine abelsche Kategorie B. Dann gelten:
(i) Es besteht ein natürlicher Isomorphismus F ∼
= R0 F .
(ii) Sei 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 eine exakte Sequenz von Objekten in A. Dann besteht
eine lange exakte Sequenz
. . . −→ Ri F (A) −→ Ri F (B) −→ Ri F (C) −→ Ri+1 F (A) −→ . . .
von Objekten in B.
(iii) Sei A ∈ obA ein injektives Objekt. Dann gilt Ri F (A) = 0 für alle i ≥ 1.
Pr∞f: [Wan14, Theorem 22].
2
Korollar 3.4. Sei 0 −→ F −→ I −→ G −→ 0 eine kurze exakte Sequenz von Garben
abelscher Gruppen auf X. Dann besteht eine lange exakte Sequenz
0 −→ F (X) −→ I (X) −→ G (X) −→ H 1 (X, F ) −→ H 1 (X, I )
−→ H 1 (X, G ) −→ H 2 (X, F ) −→ H 2 (X, I ) −→ H 2 (X, G ) −→ . . .
abelscher Gruppen.
Daniel Heiß
Seite 16
§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
2
Pr∞f: Folgt direkt aus Erinnerung 3.3.
Proposition 3.5. Sei F eine welke Garbe abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum
X. Dann gilt für alle i > 0, dass H i (X, F ) = 0.
Pr∞f: Sei F ,−→ I eine Einbettung von F in eine injektive Garbe I ∈ Ab(X) (existiert
nach Korollar 2.14). Weiter bezeichne G := I /F die Quotientengarbe und erhalte die exakte
Sequenz (vgl. Definition 1.20)
0 −→ F −→ I −→ G −→ 0.
(+)
Diese induziert nach Korollar 3.4 eine lange exakte Sequenz (∗)
0 −→ F (X) −→ I (X) −→ G (X) −→ H 1 (X, F ) −→ H 1 (X, I )
−→ H 1 (X, G ) −→ H 2 (X, F ) −→ H 2 (X, I ) −→ H 2 (X, G ) −→ . . .
abelscher Gruppen.
Nach Lemma 1.38 ist wegen F welk die Sequenz
0 −→ F (X) −→ I (X) −→ G (X) −→ 0
exakt, das heißt in (∗) gilt H 1 (X, F ) = 0.
Da I ∈ Ab(X) injektiv ist, gilt H i (X, I ) = 0 für alle i ≥ 1 nach Erinnerung 3.3, also liefert
(∗), dass H i+1 (X, F ) ∼
= H i (X, G ) für alle i ≥ 1. (†)
Außerdem ist I als injektive Garbe auch welk nach Lemma 2.15 und damit impliziert (+)
nach Lemma 1.39, dass auch G welk ist. Damit folgt die Behauptung induktiv mit (†).
2
Bemerkung 3.6. Proposition 3.5 besagt, dass welke Garben azyklisch bzgl. des Globalschnittfunktors sind. Das heißt man kann Kohomologie mithilfe von welken Auflösungen berechnen.
Vergleiche [Wan14, Proposition 24].
Proposition 3.7. Sei (X, OX ) ein geringter Raum, dann stimmen die Rechtsableitungen des
Funktors ΓOX (X, −) : Mod(X) −→ Ab mit den Kohomologiefunktoren H i (X, −) überein.
Pr∞f: Sei F eine Garbe von OX -Moduln und F −→ I • eine injektive Auflösung durch
OX -Moduln I n . Dann gilt nach Definition
Ri ΓOX (X, F ) = hi ΓOX (X, I • ) = hi (I • (X)).
Nun sind die Garben I n injektiv, also nach Lemma 2.15 welk, also nach Proposition 3.5
azyklisch. Damit gilt nach Bemerkung 3.6: hi (I • (X)) = H i (X, F ).
Daniel Heiß
2
Seite 17
§2:
Kohomologie von Schemata
Kohomologie von Garben
Bemerkung 3.8. Sei (X, OX ) ein geringter Raum und R := Γ(X, OX ). Nach Proposition 3.7
kommutiert das Diagramm
Ab(X)
H i (X,−)
O
/ Ab
< O
Ri ΓOX (X,−)
?
OX -Mod
H i (X,−)
?
/ ModR
wobei ΓOX über ModR faktorisiert, denn alle Kohomologiegruppen tragen eine natürliche RModulstruktur.
Daniel Heiß
Seite 18
Kohomologie von Schemata
§2:
Kohomologie von Garben
Literatur
[Gub14] Walter Gubler. Übung: Algebraische Geometrie II, 2014.
[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry, volume 52 of Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1977.
[HS97]
P. J. Hilton and U. Stammbach. A course in homological algebra, volume 4 of Graduate
Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1997.
[Wan14] Veronika Wanner. Vortrag 1: Abgeleitete Funktoren, 2014.
Daniel Heiß
Seite ii