1. Sei V ein K Vektorraum und U ≤ V . Weiterhin sei V/U die

Aufgabe (5.1).
1. Sei V ein K Vektorraum und U ≤ V . Weiterhin sei V /U die Faktorgruppe mit der
folgenden skalaren Multiplikation
λ(v + U ) := (λv) + U.
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung wohldefiniert ist.
2. Zeigen Sie, dass die komplexe Konjugation
C −→ C
z 7→ z
ein Gruppenhomomorphismus auf (C, +, 0) ist, aber keine lineare Abbildung auf dem
C-Vektorraum C. Hier ist für z = a + bi ∈ C: z = a − bi.
Beweis. (1) Seien v1 , v2 ∈ V , mit v1 + U = v2 + U . Es folgt aus der Definition der
Nebenklassen, dass v1 − v2 ∈ U gilt. Sei nun λ ∈ K. Es ist zu zeigen, dass λ(v1 + U ) =
λ(v2 + U ). Wir benuzten die Definition der skalaren Multiplikation. Somit ist zu zeigen,
dass λv1 + U = λv2 + U . Dies gilt genau dann, wenn λv1 − λv2 ∈ U . Da wir schon haben,
dass v1 −v2 ∈ U , folgt unmittelbar (U ist ein Unterraum!), dass λ(v1 −v2 ) = λv1 −λv2 ∈ U .
(2) Um zu zeigen, dass es ein Gruppenhomomorphismus auf (C, +, 0) ist, reicht es zu
zeigen, dass z1 + z2 = z1 + z2 , für alle z1 , z2 ∈ C. Seien z1 = a + bi und z2 = c + di mit
a, b, c, d ∈ R. Dann ist z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i und somit z1 + z2 = a + c − (b + d)i,
also z1 + z2 = a − bi + c − di = z1 + z2 .
Wir können schnell überprüfen, dass für komplexe Zahlen z1 , z2 ∈ C, z1 · z2 = z1 · z2 .
Seien z1 = a + bi und z2 = c + di mit a, b, c, d ∈ R, wie oben. Dann ist z1 · z2 = (a +
bi)(c + di) = ac − bd + i(ad + bc) und somit z1 · z2 = (ac − bd) − i(ad + bc). Andererseits
ist (a − bi)(c − di) = (ac − bd) − i(ad + bc). Sie kennen das wahrscheinlich auch aus der
Analysis-Vorlesung. Somit ist zu vermuten, dass man ein Gegenbeispiel fuer C-linearität
findet, indem man z1 , z2 ∈ C \ R wählt. Nehmen wir z1 = z2 = i, haben wir, dass
i · i = −1 = −1 und nicht i · i = i · (−i) = 1.
Aufgabe (5.2). Finden Sie den grös̈ten gemeisamen Teiler
1. der Polynome x3 − 3x2 + 5x − 3 und x3 − 1
2. der Polynome x12 − 1 und x8 − 1
3. der Polynome x24 − 1 und x16 − 1
Beweis. (1) Wir benutzen den Euklidischen Algorithmus (mit Polynomdivision) x3 −3x2 +
5x − 3 : x3 − 1 und erhalten
x3 − 3x2 + 5x − 3 = (x3 − 1) + (−3x2 + 5x − 2)
x3 − 1 = (−3x2 + 5x − 2)(−1/3x − 5/9) + (19/9x − 19/9).
Somit ist ggT(x3 − 3x2 + 5x − 3, x3 − 1) = ggT(x − 1, −3x2 + 5x − 2) und weiterhin
ggT(x − 1, −3x2 + 5x − 2) = ggT(−3x2 + 5x − 2, 19/9x − 19/9). Da R ein Körper ist,
dürfen wir das Polynom 19/9x − 19/9 mit 9/19 6= 0 durchmultiplizieren und mit x − 1
weiterarbeiten, also
ggT(x3 −3x2 +5x−3, x3 −1) = ggT(−3x2 +5x−2, 19/9x−19/9) = ggT(−3x2 +5x−2, x−1).
1
Da
−3x2 + 5x − 2 = (x − 1)(−3x + 2) + 0
und x − 1 der letzte (monische!) Rest ist, ist ggT(x3 − 3x2 + 5x − 3, x3 − 1) = x − 1. Hätte
man weiter mit 19/9x − 19/9 gearbeitet, fände man 19/9x − 19/9 als letzten Rest und
hätte sein monisches Vielfaches nehmen müssen, d.h. x − 1.
(2) Wieder mit dem Euklidischen Algorithmus finden wir, dass
x12 − 1 = (x8 − 1)x4 + x4 − 1
x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1).
Somit ist ggT(x12 − 1, x8 − 1) = ggT(x8 − 1, x4 − 1) = x4 − 1.
(3) Wieder Euklid:
x24 − 1 = (x16 − 1)x8 + x8 − 1
x16 − 1 = (x8 − 1)(x8 + 1).
Somit ist ggT(x24 − 1, x16 − 1) = ggT(x16 − 1, x8 − 1) = x8 − 1.
Man kann allgemein zeigen, dass ggT(xi − 1, xj − 1) = xggT(i,j) − 1.
Aufgabe (5.3).PGegeben sei die folgende Abbildung: φ : R4 [x] −→ R4 [x] mit φ(p) = p0 ,
, 1 ≤ i ≤ 4} und p0 ist die (formale) Ableitung von p,
wobei R4 [x] =P{ 4i=0 ai xi : ai ∈ RP
4
i
d.h., für p = i=0 ai x ist φ(p) = 4i=1 i ai xi−1 .
1. Zeigen Sie, dass φ linear ist.
2. Bestimmen Sie Kern φ.
3. Untersuchen Sie, ob φ : R4 [x] −→ R4 [x] ein Ring-Homomorphismus ist.
4. Überprüfen Sie die Dimensionsformel für lineare Abbildungen nach.
Hinweis: Sie dürfen davon aus gehen, dass R4 [x] ein Unterraum von R[x] ist, also auch ein R-Vektorraum
Beweis. Wir bemerken zuerst, dass R4 [x] ein Vektorraum ist. Wichtig ist hier, dass der
Grad einer Summe zweier Polynome ≤ dem Maximum der Grade der Summanden ist. Es
ist der Vektorraum aller Polynome (über R) mit Grad kleiner oder gleich 4. Es ist aber
kein Ring, da x3 · x3 = x6 und x3 ∈ R4 [x] aber x6 ∈
/ R4 [x].
Eine Basis von R4 [x] ist {1, x, x2 , x3 , x4 }, da alle diese 5 Polynome linear unabhängig
sind und R4 [x] erzeugen. Also ist die Dimension von R4 [x] 5. Wir wissen aus der Vorlesung,
dass R4 [x] isomorph zu R5 ist. Einen Isomorphismus R5 → R4 [x] können wir wie folgt
angeben:
ψ(ei ) = xi−1 , für i = 1, 2, 3, 4, 5,
wobei x0 := 1 und ei den i-ten Vektor der kanonischen Basis bezeichnet. Dieser Isomorphismus erlaubt es uns, anstatt mit Polynomen, mit Koordinatenvektoren zu arbeiten.
(1) Um die Linearität der Abbildung zu überprüfen, können wir direkt die Definition
verwenden.
Seien p1 , p2 P
∈ R4 [x] und λ ∈ R. Dann existieren
ai , bi ∈ R, 0 ≤ i ≤ 4 so dass
P
P
p1 = 40 ai xi und p2 = 40 bi xi . Dann ist p1 + λp2 = 40 (ai + λbi )xi . Nach der Definition
von φ erhalten wir, dass
φ(p1 + λp2 ) =
4
X
i=1
i(ai + λbi )x
i−1
=
4
X
iai x
i=1
i−1
+λ
4
X
i=1
2
ibi xi−1 = φ(p1 ) + λφ(p2 ).
Nennen wir B = {1, x, x2 , x3 , x4 }. Dann ist φ(1)
und φ(x4 ) = 4x3 . Somit ist

0 1 0
0 0 2


[φ]B
B = 0 0 0
0 0 0
0 0 0
= 0, φ(x) = 1, φ(x2 ) = 2x, φ(x3 ) = 3x2
0
0
3
0
0

0
0

0
.
4
0
(2) Wir bestimmen den Kern von φ. Den können wir direkt an der Matrix ablesen oder
wir können die Definition verwenden:
Kern φ = {q =
4
X
xi ∈ R4 [x] : φ(p) =
0
4
X
iai xi−1 = 0} = {q =
X
i=1
04 ∈ R4 [x] :
4
X
iai xi−1 = 0}.
i=1
P4
In der Summe i=1 iai xi−1 , ist i ≥ 1. Somit ist dieses Polynom Null, genau dann wenn
alle ai = 0, für 1 ≤ i ≤ 4 und
Kern φ = {q =
4
X
xi ∈ R4 [x] : ai = 0, 1 ≤ i ≤ 4} = {q = a0 ∈ R4 [x]} = h1i ⊆ R4 [x],
0
wobei 1 das erste Element in der Basis B ist. Wir erhalten somit dim Kern φ = 1.
(3) Da R4 [x] kein Ring ist, ist φ kein Ring-Homomorphismus.
(4) Das Bild von φ ist nun
Bild φ = {φ(p) =
4
X
iai xi−1 : p ∈ R4 [x]}.
i=1
P
Wir beweisen jetzt, dass Bild φ = R3 [x] = { 30 ai xi ai ∈ R}. Es ist offenbar Bild φ ⊆
R3 [x], da alle Polynome in Bild φ Grad maximal 3 haben (die Koeffizienten sind auch
noch immer in R!). Es bleibt noch Bild φ ⊇ R3 [x] zu zeigen. Es reicht dafür, einzusehen
dass {1, x, x2 , x3 } ⊆ Bild φ ist, da Bild φ ein Unterraum ist und {1, x, x2 , x3 } eine Basis
von R3 [x]. Betrachten wir die Polynome x, x2 /2, x3 /3, x4 /4 ∈ R4 [x], erhalten wir φ(x) =
1, φ(x2 /2) = x, φ(x3 /3) = x2 und φ(x4 /4) = x3 , und haben somit bewiesen, dass Bild φ =
R3 [x].
Wir haben gesehen, dim Kern φ = 1 und dim Bild φ = 4, also
dim Kern φ + dim Bild φ = dim R4 [x] = 5.
Wir brauchten aber nicht unbedingt (für die Aufgabe) eine explizite Beschreibung
von Bild φ. Um die Dimensionsformel zu überprr̈ufen, reicht uns dessen Dimension. Da
Bild φ ≤ R4 [x], ist also dim Bild φ ≤ 5. Wir haben oben gesehen, dass 1, x, x2 , x3 ∈ Bild φ,
d. h., dim Bild
in Anbetracht der Basis B, ist es klar, dass x4 6∈ Bild φ,
P4φ ≥ 4. Andererseits,
i−1
weil φ(p) = i=1 i ai x
höchstens Grad 3 hat. Wir folgern daraus, dass dim Bild φ = 4.
Man kann auch direkt benutzen, dass ein Erzeugendensystem des Quellraums R4 [x],
wenn man es durch φ schickt, ein Erzeugendensystem von Bild φ gibt. Also {φ(1), φ(x), φ(x2 ),
φ(x3 ), φ(x4 )} = {0, 1, 2x, 3x2 , 4x3 }. Da h1, 2x, 3x2 , 4x3 i = h1, x, x2 , x3 i, bekommen wir sofort, dass dim Bild φ = 4.
Noch eine weitere Möglichkeit besteht darin, zu beobachten, dass der Rang der Matrix
in Teil (1) gerade 4 ist.
3
Aufgabe (5.4). Zeigen Sie, dass
a
b
, a, b ∈ F2
b a+b
ein Körper ist mit den üblichen Summe und Produkt von Matrizen. Wie viele Elemente
hat dieser Körper?
Hinweis: Assoziativität und Distributivität der Matrixaddition und Matrixprodukt ist vorhanden.
Beweis. Sei K die oben geschriebene Menge. Wir fangen an, alle die Matrizen in K anzugeben. Da a, b ∈ F2 , und mit a, b alle Einträge jeder Matrix in K beschrieben sind, reicht
es die vier Möglichkeiten für a, b durzugehen um alle solche Matrizen zu bekommen. Also,
a = b = 0; a = 1, b
= 0; a = 0,
b = 1;
a= b =1. 0 0
1 0
0 1
1 1
Somit ist K =
,
,
,
. Da die Summe und das Produkt
0 0
0 1
1 1
1 0
(2,2)
die Üblichen in F2
sind, erben wir sofort dessen Rechenregeln, wenn wir die übrigen
Körperaxiome zeigen.
Wir fangen mit der
Summe an: +
: K × K→ K. Man kann zwei beliebige Elemente in
a
b
c
d
K addieren, nam̈lich
+
mit a, b, c, d ∈ F2 . Wir erhalten
b a+b
d c+d
a
b
c
d
a+c
b+d
∈ K,
+
=
b + d (a + c) + (b + d)
b a+b
d c+d
weil F2 ein Körper ist. Die Einträge der Matrix sind also auf jeden Fall in F2 und mit
Assoziativität und Kommutativität der Summe in F2 erhalten wir, dass die Summe der
Matrizen auch die entsprechende Gestalt hat und somit, dass K unter Addition abgeschlossen ist.
Da K sehr klein ist, könnten wir auch einfach alle Summen von zwei Elementen aus K
anschauen (auch ein Element mit sich selbst!). Wir erhalten genauso, dass diese Summen
in K bleiben.
0 0
(2,2)
∈ K, weil es schon in F2
Das neutrale Element der Summe ist die Matrix
0 0
neutral mit + ist und die Addition auf K komponentenweise definiert ist. Das additive
inverse jedes Element in K ist das Element selbst, jede Matrix in K mit sich selbst addiert
ist die Nullmatrix (also das neutrale Element):
0 0
a+a
b+b
a
b
a
b
,
+
=
=
0 0
b + b (a + a) + (b + b)
b a+b
b a+b
da alle Einträge in F2 sind. Die Assoziativiträt der Summe war schon vorhanden.
Für das Produkt, genauso wie bei der Summe kann man direkt nachrechnen, dass es
jeweils zwei Matrizen aus K wieder nach K schickt. Alternativ kann man auch rechnen:
a
b
c
d
ac + bd
ad + b(c + d)
=
.
b a+b
d c+d
bc + (a + b)d bd + (a + b)(c + d)
Die Eigenschaften von Summe und Produkt in F2 (in den Einträgen) liefern
ac + bd
ad + b(c + d)
ac + bd
ad + bc + bd
=
∈ K.
bc + (a + b)d bd + (a + b)(c + d)
ad + bc + bd (ac + bd) + (ad + bc + bd)
Die Einheitsmatrix, die auch in K liegt, ist das neutrale Element, weil sie schon in
die Eingeschaft eines multiplikativ neutralen Elements erfüllt. Zunächst zeigen wir,
(2,2)
F2
4
dass multiplikative Inverse für jede Matrix in K, bis auf die Null-Matrix, also bis auf das
neutrale Element der Addition, existieren. Die Einheitsmatrix ist selbstinvers. Für die
anderen zwei rechnen wir einfach nach, dass sie das Inverse der jeweils anderen sind:
0 1
1 1
1 1
0 1
1 0
=
=
.
(∗)
1 1
1 0
1 0
1 1
0 1
Somit haben alle (bis auf die Null-Matrix) ein multiplikatives Inverses.
Assoziativität und Kommutativität der Addition, sowie die Distributivität erben wir
(2,2)
aus F2 . Genauso die Assoziativität der Multiplikation. Kommutativität der Multiplikation folgt aus (∗) (bedenken Sie, dass die Nullmatrix und die Einheitsmatrix bereits
trivialerweise mit allen Matrizen aus K kommutieren!).
5