Blatt 3

Übungen zur Vorlesung
“Analysis I”
Wintersemester 2012/13, Blatt 3
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvWS2012/Ana_I/
Abgabetermin: 16.11.2012 bis 15 Uhr in den Briefkästen der Tutoren
Bitte geben Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen, Ihre Übungsgruppe und Ihre
Briefkastennummer an.
Bitte nur maximal zu zweit abgeben!
Aufgabenteile, deren Punktezahlen mit einem * markiert werden, müssen Sie nicht bearbeiten. Sie
können hier Zusatzpunkte bekommen und damit Ihren Punktestand verbessern.
Aufgabe 1
Zeigen Sie:
(3 Punkte)
a) Für alle k, n ∈
N gilt für die Mengen K = {1, ..., k} und N = {1, ..., n}
(i)
|N K | = nk ,
(zur Erinnerung: N K bezeichnet die Menge aller Abbildungen f : K → N ).
(ii)
|{f : K → N |f injektiv }| =
b) Für alle n ∈
(
0,
k>n
≤n
n!
(n−k)! , k
N und x ∈ R\{1} gilt
n+1
n
(1 + x) · (1 + x2 ) · (1 + x4 ) · ... · (1 + x2 ) =
1 − x2
.
1−x
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Die Fibonacci-Folge (fn )n∈N wird rekursiv durch f1 = f2 = 1 und für alle n ≥ 3 durch fn =
fn−1 + fn−2 definiert. Es seien α, β ∈ mit β < α die zwei Lösungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0.
Welche Werte diese Zahlen haben, spielt im Folgenden keine Rolle, außer dass α 6= β und α ≥ 1.
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ gilt:
Pn
a)
i=1 fi = fn+2 − 1,
Pn
2
b)
i=1 fi = fn fn+1 ,
R
N
c) fn =
αn −β n
α−β ,
d) αn−2 ≤ fn ≤ αn−1 .
Aufgabe 3
(5 Punkte)
a) Wann ist
(i) die Summe
(ii) die Differenz
(iii) das Produkt
zweier natürlicher Zahlen gerade, bzw. ungerade?
N
b) Sei n ∈
ungerade. Zeigen Sie: Für jede Permutation, d.h. jede bijektive Abbildung f :
{1, ..., n} → {1, ..., n}, ist das Produkt
(f (1) − 1)· . . . · (f (n) − n)
gerade.
Aufgabe 4 (Kleiner Satz von Fermat)
(3+ 2* Punkte)
Seien n, k ∈
∪ {0}. Man sagt n teilt k (Bezeichnung: n|k), falls ein l ∈
∪ {0} existiert mit
k = n · l. Wir bezeichnen ferner mit ggT(n, k) den größten gemeinsamen Teiler von n und k, d.h.
N
N
ggT(n, k) := max{m ∈
Sei p eine Primzahl und n ∈
N : (m|k) ∧ (m|n)}.
N. Zeigen Sie:
a) Es gilt
p|(np − n).
b) (Kleiner Satz von Fermat): Falls ggT(n, p) = 1, dann gilt
p|(np−1 − 1).
Hinweis zu a):Gehen Sie induktiv vor und verwenden Sie die binomische Formel.
Hinweis zu a) und b): Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für alle a, b, c ∈ gilt:
N
Falls a|(b · c) und ggT(a, b) = 1, dann (a|c).