Ergänzungen zur Vorlesung Quantenmechanik II

Technische Universität Ilmenau
Institut für Physik
FG Theoretische Physik I
SS 2014
Ergänzungen zur Vorlesung Quantenmechanik II
Drehimpulsoperatoren
1.
Denition
J~
Ein hermitischer Operator
heiÿt Drehimpulsoperator, wenn er die Kommutatorrelation
[Ji , Jj ] = i~
X
ijk Jk (i, j, k ∈ {x, y, z})
k
mit
ijk


+1 f ür (ijk) ∈ {(x, y, z) , (y, z, x) , (z, x, y)}
= −1 f ür (ijk) ∈ {(z, y, x) , (y, x, z) , (x, z, y)}


0 sonst
erfüllt.
2.
Eigenschaften
(a)
J 2 , Jz = 0
Beweis:
J 2 , Jz = Jx2 Jz − Jz Jx2 + Jy2 Jz − Jz Jy2
= Jx2 Jz − Jx Jz Jx + Jx Jz Jx − Jz Jx2 + Jy2 Jz − Jy Jz Jy + Jy Jz Jy − Jz Jy2
= Jx [Jx , Jz ] − [Jz , Jx ] Jx + Jy [Jy , Jz ] − [Jz , Jy ] Jy
= i~ (−Jx Jy − Jy Jx + Jy Jx + Jx Jy ) = 0
(b) Die Operatoren
J 2 , Jz
besitzen eine gemeinsame Eigenbasis
{|j, mi}
mit Eigenwertgleichungen
Jz |j, mi = m |j, mi
J 2 |j, mi = j (j + 1) |j, mi
mit
|m| ≤ j ≥ 0.
Beweis:
i. Leiteroperatoren:
J± = Jx ± iJy
Es gilt:
[J± , Jz ] = [Jx , Jz ] ± i [Jy , Jz ]
= −i~Jy ∓ Jx
= ∓~J±
⇒ Jz (J± |j, mi) = (J± Jz ± ~J± ) |j, mi
J± , J
2
= ~ (m ± 1) (J± |j, mi)
= Jx , J 2 ± i Jy , J 2
=0
⇒ J 2 (J± |j, mi) = J± J 2 |j, mi
= ~2 j (j + 1) (|J± j, mi)
J+ J− = Jx2 + i [Jy , Jx ] + Jy2
= Jx2 + Jy2 + ~Jz
= J 2 − Jz2 + ~Jz
⇒ J+ J− |j, mi = ~2 (j (j + 1) − m (m − 1)) |j, mi
J− J+ = Jx2 − i [Jy , Jx ] + Jy2
= Jx2 + Jy2 − ~Jz
= J 2 − Jz2 − ~Jz
⇒ J− J+ |j, mi = ~2 (j (j + 1) − m (m + 1)) |j, mi
1
und somit
J± |j, mi = µ± (j, m) |j, m ± 1i
†
|µ± (j, m)|2 = hj, m| J±
J± |j, mi
= hj, m| J∓ J± |j, mi
= ~2 (j (j + 1) − m (m ± 1))
p
⇒ J± |j, mi = ~ j (j + 1) − m (m ± 1) |j, m ± 1i
ii. Limitierungen von
m
und
j
Jeder hermitsche Operator
A
erfüllt die Ungleiching
hψ| A2 |ψi = hAψ|Aψi ≥ 0
⇒ hj, m| J 2 |j, mi = j (j + 1) ≥ 0
⇒j≥0
2
⇒ hj, m| J −
Jz2
|j, mi = hj, m| Jx2 |j, mi + hj, m| Jy2 |j, mi ≥ 0
⇒ j (j + 1) − m2 ≥ 0
woraus sich die hinreichenden Abbruchbedingungen
J± |j, ±ji = 0 |j, ± (j + 1)i
ergeben.
Diese sind auch notwendig, da für
|m| ≤ j + 1
sich mit
j (j + 1) − m2 ≥ j (j + 1) − (j + 1)2 = −j − 1 < 0
ein Widerspruch ergibt.
(c) Zu jedem Drehimpulsoperator
J~
gibt es einen Phasenfaktor
i~ ~
~
T φ = exp − J · φ
~
der das Verhalten der Wellenfunktion bei Drehung des Koordinatensystems um den Winkel
shändig um eine
3.
~
Achsek φ
beschreibt.
Beispiele für Drehimpulsoperatoren
(a)
Bahndrehimpulsoperator
~ = ~r × p~
L
ist ein Drehimpulsoperator.
Beweis:
[Lx , Ly ] = [(ypz − zpy ) , (zpx − xpz )]
= ypx [pz , z] + xpy [z, pz ]
= (ypx − xpy ) i~
= i~Lz
Zylisches Vertauschen von
x, y, z
ergibt dann
[Li , Lj ] = i~
X
ijk Lk
k
Die Eigenwerte für
L2 , Lz
sind durch
L2 |l, ml i = ~2 l (l + 1) |l, ml i
Lz |l, ml i = ~ml |l, ml i
2
φ
recht-
gegeben. Die Eigenfunktionen sind in Kugelkoordinaten durch die Kugelächenfunktionen als
|l, ml i = Υlm (θ, φ)
gegeben.
Der Phasenfaktor zu einer Drehung um die z-Achse ist durch
~ = exp [−imφ]
T φ
in der Denition der Kugelächenfunktionen beinhaltet.
(b)
Spinoperator
~ = ~ ~σ
S
2
mit den Paulimatrizen
σx =
als Komponenten von
Beweis:
~σ
0 1
1 0
,
σy =
0 −i
i 0
,
σx =
1 0
0 −1
ist ein Drehimpulsoperator.
~2
[Sx , Sy ] =
4
0 1
1 0
~2
=
4
i
0
~2
=i
2
1
0
= i~Sz
~2
0
[Sy , Sz ] =
i
4
2
~
0
=
i
4
2
~
0
=i
1
2
0 −i
0 −i
0 1
−
i 0
i 0
1 0
0
−i 0
−
−i
0 i
0
−1
1 0
0 −i
1 0
−i
−
0 −1
i 0
0 −1
0
i
0 −i
−
0
−i 0
1
0
= i~Sx
~2
1 0
0 1
0 1
1 0
−
[Sz , Sx ] =
0 −1
0 −1
1 0
1 0
4
2
~
0 1
0 −1
=
−
−1
0
1 0
4
~2
0 −i
=i
= i~Sy
i 0
2
Die Eigenwerte für
S 2 , Sz
sind gegeben durch
~2
(~σ · ~σ ) |s, ms i
4
~2 2
=
σx + σy2 + σz2 |s, ms i
4 1 0
23
|s, ms i
=~
4 0 1
S 2 |s, ms i =
= ~2 s (s + 1) |s, ms i
1
⇒s=
2
~ 1 0
Sz |s, ms i =
|s, ms i
2 0 −1
= ~ms |s, ms i
1
⇒ ms = ±
2
3
gegeben. Die zugehörigen Eigenzustände sind die Spinoren
1 1
1
,+
2 2 = 0 ,
1 1
0
,−
2 2 = 1 .
Die Leiteroperatoren
0 1
0 0
0 0
1 0
S+ = Sx + iSy = ~
S− = Sx − iSy = ~
wirken auf die Eigenzustände wie folgt:
1 1
=
S+ , +
2 2
1 1
S+ , −
=
2 2
1 1
=
S− , +
2 2
1 1
S− , −
=
2 2
~2
2
~2
2
~2
2
~2
2
0 1
0 0
1
0
0 1
0 0
0
1
0 0
1 0
1
0
0 0
1 0
0
1
~2
=
2
~2
2
0
0
=0
1 1
= ~ , +
2 2
2
1 1
~
0
=
= ~ , −
1
2
2 2
2
~
0
=
=0
0
2
=
1
0
~ durch
φ
i~ ~
~
T φ = exp − S · φ
~
Dass der Phasenfaktor zu einer Drehung um eine Achse
nach einer Drehung um
φ = 2π
zu einem Vorzeichenwechsel der Wellenfunktion fürt, ist eine Besonder-
heit der Teilchen mit halbzahligen Spin (Fermionen). Erst nach einer Drehung um
φ = 4π
erhält man
wieder die ursprüngliche Wellenfunktion. Diese Eigenschaft ist eines der wesentlichen Merkmale, das
Fermionen von Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) unterscheidet.
(c)
Gesamtdrehimpulsoperator
da
der Operator
χ↑
χ↓
~
L
~ +S
~
J~ = L
auf die Ortswellenfunktion
kann man von
h
i
~ S
~ =0
L,
ψ (~r)
wirkt und der Operator
~
S
ausgehen. Es ergibt sich somit
[Ji , Jj ] = [Li , Lj ] + [Li , Sj ] + [Si , Lj ] + [Si , Sj ]
X
X
= i~
ijk Lk + i~
ijk Sk
k
= i~
k
X
ijk Jk
k
X
X
J 2 , Ji = L2 , Li +
[Lj Sj , Li ] +
[Lj Sj , Si ] + S 2 , Si
j
=
X
j
(Sj [Lj , Li ] + Lj [Sj , Si ])
j
= −i~
X
ijk (Sj Lk + Lj Sk )
jk
= −i~
X
ijk (Sj Lk − Lk Sj ) = 0
jk
2 2 2 L , Ji = L , Li + L , Si = 0
2 2 2 S , Ji = S , Li + S , Si = 0
[Li , Jj ] = [Li , Lj ] + [Li , Sj ]
X
= i~
ijk Lk
k
[Si , Jj ] = [Si , Lj ] + [Si , Sj ]
X
= i~
ijk Sk
k
4
auf den Spinzustand
woraus folgt, dass zwar
J 2 , Jz , L2 , S 2
Eigenbasis bezüglich der Operatoren
eine gemeinsame Eigenbasis
Lz und Sz
{|j, m, l, si} besitzen, diese aber keine
ist.
Die entsprechenden Leiteroperatoren sind durch
J± = L± + S±
gegeben.
Wegen
~ ·S
~ = J 2 − L2 − S 2
2L
{|j, m, l, si}
ist die Eigenbasis
auch eine gute Basis für die Spin-Bahn-Wechselwirkung, da
~ ·S
~ |j, m, l, si = j (j + 1) − l (l + 1) − s (s + 1) .
hj, m, l, s| L
2
Die Zustände
|j, m, l, si
werden in Bezug auf die Spin-Bahn-Wechselwirkung meist in der Notation
2s+1 P
Lj
dargestellt, wobei
i.
L = S, P, D, F, . . .
stellvertretend für die Bahndrehipulsquantenzahl
l = 0, 1, 2, 3, . . .
steht (ab
F
geht es alphabetisch weiter)
ii.
iii.
P die Parität angibt, d.h., ob unter Punktspiegelung die Wellenfunktion das Vorzeichen wechselt
(P = +) oder nicht (P = −).
2s + 1 die Multiplizität ist, die angibt, wieviele Werte von ms zu dem bezeichneten Zustand es
gibt. Je nach ihrem Wert spricht man von Singulett (2s + 1 = 1), Duplett (2s + 1 = 2), Triplett
(2s + 1 = 3), Quadruplett (2s + 1 = 4) usw.
m
Die Quantenzahl
wird nicht angegeben, da die Zustände
magnetischer Felder bezüglich
m
|j, m, l, si
bei Abwesenheit externer elektro-
entartet sind.
(d) Geometrische Interpretation
~ und S
~ parallel zueinander stehen.
max (j) = l + s entspricht dem Fall, dass L
~ und S
~ antiparallel zueinander stehen.
ii. min (j) = |l − s| entspricht dem Fall, dass L
~ und S
~ für gegebenes j ergibt sich aus
Der Winkel ∠LS zwischen L
i.
~ ·S
~ |j, m, l, si = hj, m, l, s| J 2 − L2 − S 2 |j, m, l, si
hj, m, l, s| 2L
p
2 cos [∠LS ] l (l + 1) s (s + 1) = j (j + 1) − l (l + 1) − s (s + 1)
"
#
j (j + 1) − l (l + 1) − s (s + 1)
p
⇒ ∠LS = arccos
2 l (l + 1) s (s + 1)
4.
Clebsch-Gordan-Koezienten
(a)
Denition
Aus obiger Feststellung über die gemeinsame Eigenbasis
{|j, m, l, si}
zu den Operatoren
J 2 , Jz , L2 , S 2
ergibt sich, dass
|j, m, l, si =
l
X
s
X
j,l,s
Cm,m
|l, ml i |s, ms i
l ,ms
ml=−l ms =−s
eine Linearkombination der Produktzustände
|l, ml i |s, ms i
mit den Clebsch-Gordan-Koezienten
j,l,s
Cm,m
= hhl, ml | hs, ms k j, m, l, si
l ,ms
sein muss.
(b)
Eigenschaften
Mit
Jz = Lz + Sz
ergibt sich
Jz |j, m, l, si =
l
X
s
X
j,l,s
Cm,m
(Lz |l, ml i |s, ms i + |l, ml i Sz |s, ms i)
l ,ms
ml =−l ms =−s

m
l
X
s
X
ml =−l ms =−s

j,l,s
Cm,m
|l, ml i |s, ms i =
l ,ms
l
X
s
X
ml =−l ms =−s
⇒m = ml + ms
5
j,l,s
Cm,m
(ml + ms ) |l, ml i |s, ms i
l ,ms
woraus folgt, dass
i.
ii.
iii.
iv.
j,l,s
j,l,s
Cm,m
l ,ms = Cm,ml ,m−ml δms ,m−ml
max (j) = max (m) = max (ml ) + max (ms ) = l + s
min (j) = max (max (ml ) + min (ms ) , min (ml ) + max (ms )) = |l − s|
die Eigenzustände |j, m = ml + ms , l, si bei gegebenem m, l und s in j
wie folgt entartet sind:
(l + s − |m| + 1) f ach f ür |m| > |l − s|
(l + s − |l − s| + 1) f ach f ür |m| ≤ |l − s|
da für
|m| > min (j) = |l − s|
weitere Zustände durch Erniedrigung von
j
erzeugt werden können
(s. unten).
(c)
Berechnung
J− |l + s, l + s, l, si = (L− |l, li |s, si + |l, li Sz |s, si)
p
√
√
2 (l + s) |l + s, l + s − 1, l, si = 2l |l, l − 1i |s, si + 2s |l, li |s, s − 1i
woraus folgt
l+s,l,s
Cl+s−1,l−1,s
l+s,l,s
Cl+s−1,l,s−1
r
l
l+s
r
s
=
l+s
=
m = l +s−1 zweifach entartet ist gibt es einen Zusand zu j = l +s−1 der orthogonal
zu|l + s, l + s − 1, l, si ist und somit durch
r
r
s
l
|l, l − 1i |s, si −
|l, li |s, s − 1i
|l + s − 1, l + s − 1, l, si =
l+s
l+s
Da der Zustand zu
gegeben ist. Es gilt
r
s
l
J+ |l + s − 1, l + s − 1, l, si =
(L+ + S+ ) |l, l − 1i |s, si −
(L+ + S+ ) |l, li |s, s − 1i
l+s
l+s
r
p
s p
l (l + 1) − l (l − 1) |l, li |s, si + s (s + 1) − s (s + 1) |l, l − 1i |s, s + 1
=
l+s
r
p
l p
−
l (l + 1) − l (l + 1) |l, l + 1i |s, s − 1i − s (s + 1) − s (s − 1) |l, li |s, s
l+s
r
r
s · 2l
l · 2s
=
|l, li |s, si −
|l, li |s, si = 0
l+s
l+s
r
J− und Bildung der
|j − 1, j − 1, l, si erhält man
Durch wiederholtes Anwenden des Operators
zu den sich ergebenden Zuständen
|j, j − 1, l, si
alle von 0 verschiedenen Clebsch-
orthogonalen Zustände
Gordan-Koezienzten. Dabei sind die Abbruchbedingungen
J− |l, −li |s, ms i = S− |l, li |s, ms i
J− |l, ml i |s, −si = L− |l, ml i |s, −si
J− |l, −li |s, −si = 0
zu beachten. Diese bewirken, dass für
(d)
j < |l − s|
keine Zustände
|j, m, l, si =
6 0
existieren.
Unitarität
Die Entwicklung der Eigenzustände
|j, m, l, si in Produktzustände |l, ml i |s, ms i kann umgekehrt werden.
Man erhält
|l, ml i |s, ms i =
l+s
X
j
X
j=|l−s| m=−j
da
j,l,s∗
Cm,m
l ,ms = hj, m, l, s kl, ml i |s, ms ii.
6
j,l,s∗
Cm,m
|j, m, l, si
l ,ms
5.
Beispiele für Kombinationen zweier Drehimpulse:
(a)
Spin-Bahn-Kopplung
j,l,s∗
Cm,m
l ,ms
eines Elektrons (s
ms = −1/2
q
j = l − 1/2
q
j = l + 1/2
l+m+1/2
2l+1
l−m+1/2
2l+1
= 1/2)
mit Bahndrehimpuls
l>0
ms = +1/2
q
1/2
− l−m+
q 2l+1
l+m+1/2
2l+1
Die Spin-Bahn-Kopplung beträgt
(
l+1 2
~ ·S
~= − 2 ~
L
+ 2l ~2
f ür j = l − 1/2
f ür j = l + 1/2
und die Eigenzustände des Wasserstoatoms mit Spin-Bahn-Kopplung
Rn,l (r)
|l − 1/2, m, l, 1/2i = √
2l + 1
und
Rn,l (r)
|l + 1/2, m, l, 1/2i = √
2l + 1
(b)
Spin-Spin-Kopplung
Gesamtspin
s,s1 ,s2 ∗
Cm,m
s1 ,ms2
zweier Elektronen (si
|j, m, l, 1/2i
sind
p
1/2Υ
l
+
m
+
1/2 (θ, φ)
l,m+
p
− l − m + 1/2Υl,m−1/2 (θ, φ)
p
1
pl − m + /2Υl,m+1/2 (θ, φ)
l + m + 1/2Υl,m−1/2 (θ, φ)
= 1/2)
~=S
~1 + S
~2
S
s=0
m=0
ms2 = −1/2
q
ms2 = +1/2
q
− 12
q1
q0
1
2
m = −1
s=1
m=0
m = +1
1
2
0
1
2
1
Dies ergibt folgende Multipletts
•
Singulett
1
|0, 0i = √ (|↑i |↓i − |↓i |↑i)
2
•
Triplett
|1, −1i = |↓i |↓i
1
|1, 0i = √ (|↑i |↓i + |↓i |↑i)
2
|1, +1i = |↑i |↑i
Die Spin-Spin-Kopplung beträgt dann
~1 · S
~2 == s (s + 1) − s1 (s1 + 1) − s2 (s2 + 1) =
S
2
6.
(
− 98 ~2
+ 24 ~2
f ür s = 0
f ür s = 1
Landé-Faktoren atomarer Zustände
~ und des Bahndrehimpulses L
~ des Elektrons an das äuÿere Magnetfeld B
~,
S
~ + ge S
~ ·B
~ . . . in der Pauligleichung (s. Ergänzungsblatt 'Minimale Kopplung'), um
d.i. der Term . . . µB L
den Landé-faktor des Elektrons ge ≈ 2 unterscheiden, die atomaren Eigenzustände aber wie oben beschrieben
~
~
nach dem Gesamtdrehimpuls
J~ =
E L + S quantisiert werden, ergibt sich, dass der Erwartungswert für die
2s+1 P
atomaren Eigenzustände Lj durch
Da sich die Kopplungen
des Spins
µB
2s+1
~ + ge S
~ 2s+1 LPj = µB gj,l,s 2s+1 LPj J~ 2s+1 LPj · B
~
LPj L
gegeben sind.
7
(a) Landé-Formel
Der Landé-faktor
µB
2s+1
gj,l,s
des Zustands lässt sich durch folgende Überlegungen berechnen:
~ · J~ 2s+1 LPj
~ + ge S
LPj gj,l,s J~2 2s+1 LPj = µB 2s+1 LPj L
~ · J~ 2s+1 LP
~ · J~ 2s+1 LP + ge 2s+1 LP S
gj,l,s µB ~2 j (j + 1) = µB 2s+1 LPj L
j
j
j
~ ·S
~ 2s+1 LP + ge 2s+1 LP S 2 + L
~ ·S
~ 2s+1 LP
= µB 2s+1 LPj L2 + L
j
j
j
1 + ge
= µB ~2 l (l + 1) +
[j (j + 1) − l (l + 1) − s (s + 1)] + ge s (s + 1)
2
1 − ge
ge − 1
2 1 + ge
= µB ~
j (j + 1) +
l (l + 1) +
s (s + 1)
2
2
2
Woraus folgt
gj,l,s =
ge − 1 s (s + 1)
1 + ge 1 − ge l (l + 1)
+
+
2
2 j (j + 1)
2 j (j + 1)
(b) Landé-Formel in der Dirac-Theorie
Mit
ge = 2
gemäÿ der Dirac-Theorie* ergibt die Landé-Formel
gj,l,s =
3
l (l + 1)
s (s + 1)
−
+
.
2 j (j + 1) j (j + 1)
Gleiches hätte
man
E auch durch Verwendung der Clebsch-Gordan-Entwicklung der atomaren Eigenzustände
*
2s+1 P
Lj
erhalten.
In der QED ergibt sich der Wert
ge = 2.0023193048(8)
8
(s. Ergänzungsblatt 'Minimale Kopplung').