11 Beweis II.13 Sei √1 − z = c 0 + c1z + c 2z2 + die Taylor

11
√
2
Beweis II.13 Sei 1 − z = c√
0 + c1 z + c2 z + . . . die
Taylor–Reihenentwicklung
von 1 − z am Ursprung. Da
√
1 − z analytisch ist für |z| < 1, konvergiert
die Reihe
√
für |z| < 1 absolut. Die Ableitungen von 1 − z am Ursprung sind alle negativ, also cj < 0 , N � j ≥ 1. Somit
gilt für ein beliebiges N ∈ N
N
�
j=0
|cj | = 2 −
n
�
cj =
j=0
= 2 − lim−
x→1
≤ 2 − lim
x→1−
�
∞
�
j=0
= 2�
n
�
c j xj =
1−x=
|cj | ≤ 2 .
Daraus folgt unmittelbar, daß die Reihenentwicklung für
|z| = 1 absolut konvergiert. ∗–< [{; 0)
Satz II.11 Sei A ∈ L(H) und A ≥ 0. Dann gibt es einen
eindeutig bestimmten Operator B ∈ L(H) mit B ≥ 0 und
B 2 = A.
Beweis II.14 Es genügt den Fall �A� ≤ 1 zu betrachten.
Da �I − a� ≤ 1 ist, folgt auf dem Lemma II.4, daß die
Reihe c0 +c1 (I −A)+c2 (I −A)2 +. . . bezüglich der Norm–
Topologie absolut gegen ein B ∈ L(H) konvergiert. Daher
können wir die Reihe quadrieren und die Terme geeignet
umsortieren und so zeigen, daß B 2 = A. Da weiterhin
0 ≤ I − A ≤ I ist, folgt 0 ≤ �x|(I − A)n x� ≤ 1 , ∀n ∈
N, |x� ∈ H : �|x�� = 1. Daher,
�x|Bx� = 1 +
≥ 1+
∞
�
j=1
∞
�
j=1
cj �x|(I − A)n x� =
cj = 0 , ∀|x� ∈ H ,
wobei wir cj < 0 , N � j ≥ 1 und die Abschätzung aus
dem Lemma II.4 benutzt haben. Folglich gilt: B ≥ 0. Eindeutigkeit zeigen wir hier nicht. ∗–< [{; 0)
So, jetzt haben wir alles beisammen:
Def. II.13 Sei A ∈ L(H). Dann |A| :=
Lemma II.5 Sei U ∈ L(H) eine partielle Isometrie des
Hilbert–Raumes H. Dann ist Pin := U † U die Projektion
auf (Kern(U ))⊥ , und Pfi := U U † ist die Projektion auf
Bild(U ). Umgekehrt, ist U ∈ L(H) und sind U † U und
U U † Projektoren, so ist U eine partielle Isometrie
Beweis II.15 Als Übung.∗–< [{; 0)
j=0
√
Wenn U eine partielle Isometrie ist, dann kann
der Hilbert–Raum H folgendermaßen dargestellt werden: H = Kern(U ) ⊕ (Kern(U ))⊥ und auch H =
Bild(U ) ⊕ (Bild(U ))⊥ . U ist ein unitärer Operator U :
(Kern(U ))⊥ −→ Bild(U ). Und U † ist gerade die Umkehrabbildung, also U † : Bild(U ) −→ (Kern(U ))⊥ .
√
A† A.
Bitte die Bezeichnung mit Vorsicht genießen: Für A, B ∈
L(H) gilt weder |AB| = |A||B|, noch |A| = |A† |, im
allgemeinen!
Das Analogon zu den komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis stellt sich nicht so direkt ein.
Def. II.14 Ein Operator U ∈ L(H) heißt eine Isometrie,
wenn gilt: �|U x�� = �|x�� , ∀|x� ∈ H. U heißt eine
partielle Isometrie, wenn U eingeschränkt auf den abgeschlossenen Unterraum (Kern(U ))⊥ eine Isometrie ist.
Wir sind jetzt am Ziel:
Satz II.12 Polarzerlegung Sei H ein Hilbert–Raum
und A ∈ L(H) beschränkt. Dann gibt es eine partielle Isometrie U mit der Eigenschaft: A = U |A|. Dabei ist U eindeutig bestimmt aus der Forderung Kern(U ) = Kern(A).
Außerdem ist Bild(U ) = Bild(A).
Beweis II.16 Wir definieren U : Bild(|A|)
Bild(A) , U (|A||x�) := A|x� , |x� ∈ H. Da
�|A| |x��
2
−→
= �x||A|2 |x� = �x|A† A|x�
2
= �A|x�� ,
ist U wohl definiert, d.h. wenn |A||x� = |A||y�, dann gilt
A|x� = A|y�. U is eine Isometrie auf Bild(|A|), und induziert auch eine Isometrie auf auf Bild(A). U kann bequem auf ganz H erweitert werden, dazu brauchen wir
lediglich U |n� := 0 , |n� ∈ (Bild(|A|))⊥ ⊂ H. Da |A|
selbstadjungiert ist, ist (Bild(|A|))⊥ = Kern(|A|). Außerdem ist |A||n� = 0 genau dann, wenn A|n� = 0, so daß
Kern(|A|) = Kern(A). Damit gilt: Kern(U ) = Kern(A).
Eindeutigkeit überlassen wir einer Übung. ∗–< [{; 0)
4.
Kompakte Operatoren
Viele Fragestellungen in der Physik sind natürlicher
Weise als Probleme von Differentialgleichungen formuliert. Eine Umformulierung dieser Fragestellungen als
Integralgleichungen erlaubt oft neue Einsichten und
auch deren Beantwortung. Das wohl bekannteste Beispiel in dieser Kategorie ist das weiter unten diskutierte
Dirichlet–Problem. Vorbereitend betrachten wir einen
Operator K ∈ L(C[0, 1]), definiert durch
� 1
df
(KΦ) (x) =
dy G(x, y)Φ(y) ,
0
wobei die Funktion G(x, y) stetig auf x, y ∈ I := [0, 1] ⊂
R sei. G(x, y) heißt der Integralkern zum Integraloperator K. Es gilt (beachten Sie, daß y ∈ [0, 1])
�
��
�
|(KΦ) (x)| ≤
sup |G(x, y)|
sup |Φ(y)| �
x,y∈I
� �KΦ�∞ ≤
�
sup |Φ(y)|
y∈I
y∈I
�
�Φ�∞ .
12
Somit ist K ein beschränkter Operator auf C[0, 1]. Der
Integraloperator K hat eine weitere sehr wichtige Eigenschaft: Bezeichne BM := {Φ ∈ C[0, 1] : �Φ�∞ ≤
M } , M ∈ R. Da G(x, y) stetig ist für x, y ∈ I, und weiterhin der I×I kompakt ist, ist G(x, y) sogar gleichmäßig
stetig auf I × I. Also zu einem gegebenen R � ε > 0 gibt
es ein R � δ > 0, so daß |x − x� | < δ bereits impliziert
|G(x, y) − G(x� , y)| < ε , ∀y ∈ I. Ist nun Φ ∈ BM , so folgt
|(KΦ) (x) − (KΦ) (x� )| ≤
≤ sup |G(x, y) − G(x� , y)| �Φ�∞
y∈I
≤ εM .
Somit sind die Funktionen K[BM ] gleichgradig stetig.
Da sie auch gleichmäßig beschränkt sind durch �K�M ,
kann mit dem Satz von Ascoli gefolgert werden, daß zu
jede Folge Φn ∈ BM , die Folge KΦn eine konvergente
Teilfolge besitzt, wobei der Grenzwert nicht in der Menge K[BM ] liegen muß. Mit anderen Worten: Die Menge
K[BM ] ist präkompakt, d.h. die abgeschlossene Hülle von
K[BM ] ist kompakt in C[0, 1]. Dabei spielt die konkrete
Wahl von M ∈ R keine Rolle, und wir haben gezeigt, daß
der Integraloperator K beschränkte Mengen in präkompakte Mengen abbildet.
Def. II.15 Seien X , Y Banach–Räume. Ein Operator
T ∈ L(X , Y) heißt kompakt, wenn T beschränkte Mengen
in X auf präkompakte Mengen in Y abbildet. Äquivalent,
T heißt kompakt genau dann, wenn für jede beschränkte Folge {xn } ⊂ X , die Folge {T xn } eine konvergente
Teilfolge in Y besitzt.
Bsp. II.6 Neben der oben betrachteten Klasse von Integraloperator spielt die folgende Klasse von Operatoren
eine wichtige Rolle. Sei dim(Bild(T )) < ∞. Also besitzt
|y� ∈ Bild(T ) die folgende Darstellung:
|y� = T |x� =
N
�
j=1
αj |ej � ,
Banach–Räume und T
Satz II.14 Sei H ein separabler Hilbert–Raum.
Bezüglich der Norm–Topologie, ist jeder kompakte
Operator T ∈ L(H) der Limes einer Folge {Tn } von
Operatoren mit dim(Bild(Tn )) < ∞ , n ∈ N.
Beweis II.17 Der Beweis setzt ein paar mehr topologische Betrachtungen voraus, als wir hier disktutiert haben. Allerdings können wir die essentielle Schlussfolgerung trotzdem würdigen, zumindestens moralisch.
Sei also T ∈ L(H) gegeben. Der konstruktive Teil des
Beweises ist dann lediglich eine kleine Rechnung: Sei
{|ej �}j∈N eine orthonormale Menge in H. Wir betrachten
die Folge
df
Tn =
n
�
j=1
T |ej ��ej |◦� .
Offenbar gilt Tn −→ T in der Norm–Topologie. ∗–< [{; 0)
Bisher haben wir noch keine wirklich überzeugende
Motivation für das Studium von kompakten Operatoren
geliefert. Grundsätzlich sind kompakte Operatoren wegen der sogenannten Fredholmschen Alternative von
so großer Bedeutung. Worum geht es dabei? Sei H ein
Hilbert–Raum und A ∈ L(H) kompakt. Dann gilt entweder A|x� = |x� , |x� ∈ H, oder aber (A − I)−1 existiert.
Machen Sie sich klar, daß diese Eigenschaft keineswegs
von allen beschränkten Operatoren geteilt wird.
Satz II.15 (Fredholm) Sei D ⊂ C offen und zusammenhängend, und f : D −→ L(H) eine analytische operatorwertige Funktion mit: f (z) ist kompakt für alle z ∈ D.
Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen:
(1) (f (z) − I)−1 ist nicht definiert für z ∈ D.
wobei N ∈ N, und {|ej �}j={1,...,N } ∈ Y eine vorgegebene Familie von Vektoren ist. Ist {|xn �} eine beschränkte
Folge von Vektoren in X , so sind die Koeffizienten αnj beschränkt, weil T beschränkt ist. Wir können (wie üblich)
eine konvergente Teilfolge von T |xn � isolieren, womit gezeigt ist, daß T kompakt ist.
Satz II.13 Seien X , Y
L(X , Y).
Satz II.13 zeigt, daß der Grenzwert einer Folge von
Operatoren mit den Spezifikationen von Beispiel II.6 ein
kompakter Operator ist. Gönnen wir uns einen Hilbert–
Raum, so ist auch die Umkehrung war, wie der folgende
Satz besagt.
∈
(1) Ist die Folge {Tn } , Tn ∈ L(X , Y) kompakt und konvergiert gegen T bezüglich der Norm–Topologie, so
ist auch T kompakt.
(2) T ist genau dann kompakt, wenn T � kompakt ist.
(3) Sei Z ein Banach–Raum und S ∈ L(Y, Z) und T
oder S kompakt, dann ist auch die Komposition
ST ∈ L(X , Z) kompakt.
(2) (f (z) − I)−1 exisitert für alle z ∈ D \ S, wobei S ⊂ D
diskret ist (d.h. S hat keine Häufungspunkte in D).
(f (z) − I)−1 ist dann meromorph in D, analytisch
in D \ S, und für die Residuen an den isolierten
Polstellen zp ∈ S gilt: dim(Bild(f (zp ))) < ∞. Ist
z ∈ S, so besitzt f (z)|x� = |x� eine von Null verschiedene Lösung in H.
Beweis II.18 Wir zeigen, daß in einer Umgebung von
z0 ∈ D entweder (1) oder (2) gilt. Wegen der geforderten
Zusammenhangseigenschaft von D kann diese Aussage
dann auf ganz D ausgeweitet werden. Sei also z0 ∈ D gegeben. Wir wählen ein r ∈ R so, daß aus |z−z0 | < r folgt:
�f (z) − f (z0 )� < 1/2, und einen Operator F ∈ L(H)
mit dim(Bild)(F ) < ∞, so daß �f (z0 ) − F � < 1/2. Für
z ∈ Dr := {z ∈ D : |z−z0 | < r} gilt dann �f (z)−F � < 1.
Wir entwickeln nun (f (z) − F − I)−1 in eine geometrische Reihe und sehen, daß (f (z) − F − I)−1 existiert und
analytisch ist.
13
Da nach Wahl dim(Bild)(F ) < ∞, gibt es Vektoren |x1 �, . . . , |xn � , N � n := dim(Bild)(F ), so daß jedes |y� ∈�H folgendermaßen dargestellt werden kann:
n
F (|y�) = j=1 αj (|y�)|xj �. Hierbei sind αj (◦) beschränkte lineare Funktionale auf H. Daher folgt mit dem Satz
von Riesz II.4,
es Vektoren |y1 �, . . . , |yn � ∈ H gibt
�daß
n
mit F (|y�) = j=1 |xj ��yj |y� , ∀|y� ∈ H. Wir definieren
den φj (z) := ((f (z) − F − I))∗ |yj � , N � j ∈ {1, . . . , n}
und
�n
df
−1
g(z) = F (f (z) − F − I) = j=1 |xj ��φj (z)|◦� .
Nun schreiben wir umständlich
(f (z) − I) = F (g(z) − I) (f (z) − F − I) .
Also ist f (z) − I , z ∈ Dr genau dann invertierbar, wenn
g(z)−I , z ∈ Dr invertierbar ist. Die Gleichung f (z)|x� =
|x� besitzt somit genau dann eine von Null verschiedene
Lösung, wenn g(z)|y� = |y� eine nicht–triviale Lösung
besitzt.
�n
Gilt nun g(z)|y� = |y�, dann ist |y� = j=1 βj |yj � und
die Koeffizienten βj ∈ C erfüllen folgende Bestimmungsgleichung:
βn =
n
�
j=1
�φn (z)|xj �βj .
(37)
Umgekehrt,
�n hat (37) eine Lösung (β1 , . . . , βn ), so ist
|y� = j=1 βj |xj � eine Lösung von g(z)|y� = |y�. Folglich hat g(z)|y� = |y� genau dann eine nicht–triviale
Lösung, wenn
df
d(z) = det [δab − �φa (z)|xb �] = 0 .
Mit �φa (z)|xb � ist auch d(z) analytisch in Dr . Damit
ist klar, daß entweder Sr := {z ∈ Dr : d(z) = 0} eine diskrete Menge ist, oder Sr = Dr . Sei d(z) �= 0 und
|x� ∈ H gegeben. Wir suchen eine Lösung der
�Gleichung
n
(g(z) − I)|y� = |x�. Der Ansatz |y� = |x� + j=1 βj |xj �
ist erfolgreich, vorausgesetzt, die Koeffizienten lösen
βa = �φa (z)|x� +
n
�
j=1
�φa (z)|xj �βj .
(38)
Da d(z) �= 0 angenommen wurde, hat (38) eine Lösung.
Also existiert (g(z)−I)−1 . Die Aussage, daß die Residuen
von endlichem Rang sind, folgt aus (38). ∗–< [{; 0)
Der Satz von Fredholm hat vier wichtige Konsequenzen:
Lemma II.6 (Die Fredholmsche Alternative) Sei
A ∈ L(H) kompakt. Dann gilt: Entweder (A − I)−1 existiert, oder A|x� = |x� , |x� ∈ H hat eine von Null verschiedene Lösung.
Beweis II.19 Wir benutzen den Satz von Fredholm für
f (z) := zA an der Stelle z = 1. ∗–< [{; 0)
Satz II.16 (Satz von Riesz & Schauder) Sein A ∈
L(H) kompakt. Dann ist das Spektrum σ(A) eine diskrete
Menge mit höchstens einem Häufungspunkt bei λ = 0.
Jeder von Null verschiedene Eigenwert λ ∈ σ(A) gehört
zu endlich vielen Eigenvektoren.
Satz II.17 (Hilbert–Schmidt Theorem) Sei A ∈
L(H) selbstadjungiert und kompakt. Dann gibt es eine vONB {|ej �}j∈N für den Hilbert–Raum H, so daß
A|ej � = λj |ej � und λj −→ 0 für j −→ ∞.
Beweis II.20 Für jeden Eigenwert von A ∈ L(H)
wählen wir eine ONB für die zugehörigen Eigenvektoren. Die Familie aller dieser Vektoren, {|ej }j∈N ist eine
orthonormale Menge, da Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal zueinander sind. Sei M :=
Spann({|ej �}). Da A nach Voraussetzung selbstadjungiert ist und A ∈ L(M), ist auch A ∈ L(M⊥ ). Es bezeichne B die Restriktion von A auf M⊥ . Als Restriktion
ist B selbstadjungiert und kompakt. Nach dem Satz von
Riesz und Schauder gilt: ist λ �= 0 in σ(B), so ist λ ein
Eigenwert von B und damit auch von A. Der Spektralradius von B, r(B) := supλ∈σ(B) |λ|, ist daher Null, denn
jeder Eigenvektor von A (dies schliesst die Eigenvektoren
von B ein) ist in M. Daher korrespondiert B zur Null–
Abbildung (Null–Operator) auf M⊥ . Also ist M⊥ = ∅,
denn |x� ∈ M⊥ bedeutet A|x� = 0, und daraus folgt
|x� ∈ M. Damit gilt M = H.
Die Aussage λj −→ 0 ist eine Folge des Satzes von
Riesz und Schauder. Der erste Teil dieses Satzes besagt
ja, daß jeder von Null verschiedene Eigenwert nur zu
endlich vielen Eigenvektoren gehört und der einzig mögliche Häufungspunkt von {λj } die Null ist. ∗–< [{; 0)
Satz II.18 (Kanonische Form kompakter Operatoren) Sei A ∈ L(H) kompakt. Dann gibt es (nicht
notwendigerweise vollständige) orthonormale Mengen
{|ej �}j∈I , {|fj �}j∈I , I ⊂ N, und {λj }j∈I , λj ∈ R+ ∀j ∈
I mit λj −→ 0, so daß
�
A =
λj �ej |◦�|fj � .
(39)
j∈I
Die Summe (39) konvergiert bezüglich der Norm–
Topologie.
Beweis II.21 Mit A ist nach Satz II.13 auch A† A kompakt. Außerdem ist A† A selbstadjungiert. Der Satz von
Hilbert und Schmidt garantiert dann die Existenz einer
orthonormalen Menge {|ej �}j∈I mit der hübschen Eigenschaft: A† A|ej � = µj |ej � , µj ∈ R , j ∈ I, und
A† A ist der Null–Operator auf dem Unterraum orthogonal zu Spann({|ej �}j∈I ). Da A† A > 0, ist µj > 0. Sei
√
λj := + µj und |fj � := A|ej �/λj . Eine kurze Rechnung
ergibt:
�
A|x� =
λj �ej |x�|fj � .
j∈I
Der Beweis zeigt, daß die Koeffizienten λj gerade die Eigenwerte von |A| sind. ∗–< [{; 0)
14
Bsp. II.7 (Dirichlet–Problem) Im nächsten Semester werden Sie sich ausführlich mit dem Dirichlet–
Problem in der Elektrostatik auseinandersetzen. Es stellt
eine gute Motivation für das Studium von kompakten
Operatoren dar. Kompakte Operatoren treten auf die
Bühne, wenn klassische Randwertprobleme durch Integralgleichungen gelöst werden wollen. Sei D ⊂ R3 offen
und beschränkt mit einem glatten Rand ∂D (Oberfläche).
Das Dirichlet–Problem für die Lalace–Gleichung ist
wie folgt gegeben: gegeben sei eine stetige Funktion f :
∂D −→ R. Wir suchen eine zweimal stetig differenzierbare Funktion u : D −→ R, die auch stetig auf D sein
soll, so daß
∆u(x) = 0 , x ∈ D ,
u(x) = f (x) , x ∈ ∂D .
(40)
Es bezeichne n(y) die nach außen weisende Normale zu ∂D am Punkt y ∈ ∂D. Sei G(x, y) := �x −
y, n(y)�/8π|x − y|3 . Als Funktion von x löst G(x, y) die
Laplace–Gleichung ∆(x)G(x, y) = 0 , x ∈ D. Da die
Laplace–Gleichung linear ist, schreiben wir ihre Lösung
formal als Superposition
�
u(x) =
d2 S(y) G(x, y)Q(y) ,
∂D
wobei Q ∈ C(∂D) Quellen auf dem Rand beschreibt
(z.B. elektrische Ladungen), und dS(y) das übliche Oberflächenmaß bezeichne. Mit Sicherheit macht das Integral
in (41) Sinn für x ∈ D, tatsächlich gilt ∆u(x) = 0 , x ∈
D. Aber wie schaut die Situation auf dem Rand aus? Sei
x0 ∈ ∂D und wir lassen x −→ x0 , x ∈ D. Es kann gezeigt
werden, daß
�
u(x) −→ −Q(x0 ) +
d2 S(y) G(x0 , y)Q(y) . (41)
∂D
Für x −→ x0 , x ∈ R3 \ D erhalten wir
�
u(x) −→ +Q(x0 ) +
d2 S(y) G(x0 , y)Q(y) . (42)
wobei dann ein h ∈ C(∂D) existiert mit (T − I)h = 0,
oder aber (T − I)Q = f hat eine eindeutige Lösung
für jedes f ∈ C(∂D). Ist u definiert wie in (41), wobei jetzt Q durch h ersetzt wird, so ist u ≡ 0 , ∀x ∈ D.
Da weitherin ∇n u stetig ist bei Randdurchquerung, gilt
auch ∇n u ≡ 0 , ∀x ∈ ∂D. Partielle Integration zeigt, daß
u ≡ 0 außerhalb ∂D. Daher liefern (41) und (42) die
Bedingung: 2h(x) ≡ 0 , ∀x ∈ ∂D. Damit ist die erste Alternative obsolet, und wir finden tatsächlich Quellen, die
mit den möglichen Randbedingungen verträglich sind.
5.
Spurklasse–Operatoren
Wir haben im letzten Abschnitt gelernt, daß kompakte
Operatoren schöne Eigenschaften haben, die sie auch sehr
nützlich in Anwendungen machen. Ein naheliegende Motivation ist somit, effiziente Kriterien zu finden, die es uns
praktisch und einfach erlauben, Operatoren dieser Klasse
zu identifizieren. Das Ergebnis können wir bereits vorweg nehmen, weil es sich an unsere Betrachtungen schön
anschließt: Wir werden zeigen, daß ein Integraloperator
T ∈ L(L2 (M, dµ)), definiert durch
(T Q) (x) =
�
dµ(y) G(x, y)Q(y) ,
M
kompakt ist, wenn K(◦, ◦) ∈ L2 (M × M, dµ ⊗ dµ).
Dazu bedarf es einiger Vorbereitung, die auch recht
instruktiv ist. Insbesondere wollen wir das Konzept der
Spur aus der gewöhnlichen Linearen Algebra auf L(H)
übertragen. Offenbar involviert dies aber unendliche Reihen, weshalb sich die Spur nicht für alle Operatoren definieren läßt.
Satz II.19 Sein H ein separabler Hilbert–Raum und
{|ej �}j∈N eine vONB. Für jeden Operator L(H) � A ≥ 0
definieren wir
∂D
df
∞
�
Da Q ∈ C(∂D), ist auch das Integral als Funktion von
x vom Typ C(∂D). Dies folge im wesentlichen aus der
Voraussetzung, daß der Rand glatt sein soll. Daher gilt:
Für x, y ∈ ∂D ist �x − y, n(y)� ∝ |x − y|2 im Limes
x −→ y.
Die entscheidende Frage ist, ob wir Quellen Q finden
können, so daß u(x) = f (x) , x ∈ ∂D, also
�
f (x) = −Q(x) +
d2 S(y) G(x, y)Q(y) , x ∈ ∂D .
Die Zahl Sp(A) heißt die Spur von A und ihr Wert ist
unabhängig von der gewählten vONB. Die Spur hat folgende Eigenschaften: Für alle L(H) � A, B ≥ 0 , λ ∈ R+
gelten
Dazu definieren wir T : C(∂D) −→ C(∂D) durch
�
df
(T Q) (x) =
d2 S(y) G(x, y)Q(y) .
(3) Sp(U AU −1 ) = Sp(A) , ∀U ∈ L(H) : U † = U −1 .
Sp (A) =
j=1
�ej |Aej � .
(1) Sp(A + B) = Sp(A) + Sp(B).
∂D
∂D
T ist beschränkt und kompakt (zeigen wir hier nicht).
Nun hilft uns die Fredholmsche Alternative, die ja garantiert, daß entweder λ = 1 im Punktspektrum σ(T ) liegt,
(2) Sp(λA) = λSp(A).
(4) Für 0 ≤ A ≤ B ist Sp(A) ≤ Sp(B).
Beweis II.22 Wir zeigen zuerst, daß die Definition
nicht von der gewählten vONB abhängt. Seien {|ej �}j∈N
15
und {|fj �}j∈N zwei vONB. Mit offensichtlichen Bezeichnungen rechnen wir nach:
∞
∞ ��
��2
�
�
� �√
�
Sp|e� (A) =
�ej |Aej � =
�� Aej � =
j=1
j=1
�
�
∞ ��
∞ � �� �
�� 2
�
�
�
�√
�
=
�
�fi fi � Aej � =
�
�
j=1 i=1
�
�
∞
∞ �� �
��2
�
�
� �√
�
=
=
� fi � Aej �
j=1
i=1
�∞
�
∞
� ��2
�
� ���√
� �
=
=
� Afi �ej �
j=1
i=1
�
�2
∞ ��
��
�
� ∞ �� �� ��√
�
�
=
�ej ej � Afi �
�
� =
�
i=1 � j=1
=
∞ ��
�
i=1
��2
� �√
�
�� Afi � =
= Sp|f � (A) .
∞
�
i=1
�fi |Afi � =
Die Summen durften vertauscht werden, da alle Summanden positiv sind.
Die Eigenschaften (1), (2) und (4) überlassen wir einer Übung. Es bleibt der Beweis von (3). Dazu bemerken
wir, daß mit {|ej �}j∈N auch {|U ej �}j∈N eine vONB ist.
Daher gilt
�
�
�
�
Sp U AU −1 = Sp|U e� U AU −1 = Sp|e� (A) = Sp(A) .
Das war es auch schon. ∗–< [{; 0)
Def. II.16 A ∈ L(H) heißt Spurklasse–Operator genau
dann, wenn Sp(|A|) < ∞. Die Familie von Spurklasse–
Operatoren wird mit F1 bezeichnet.
Die Definition läßt eine strukturelle Relevanz dieser
Operatorklasse vermuten, weshalb wir die wichtigen Eigenschaften von F1 darlegen wollen:
Wir schätzen die erste Summe auf der rechten Seite der
Ungleichung ab (mit der zweiten verfahren wir genauso):
N
N
�
�
� �
��ej |U † V |A|ej �� =
�|A|1/2 V † U ej | |A|1/2 ej � =
j=1
≤
j=1
N �
�
j=1

1/2 
1/2
N �
N �
�2
�2
�
�
�
�
�
�
≤
�|A|1/2 V † U |ej ��  
�|A|1/2 |ej �� 
j=1
(2) Ist A ∈ F1 und B ∈ L(H), so ist auch AB, BA ∈ F1 .
†
(3) Ist A ∈ F1 , so ist auch A ∈ F1 .
Beweis II.23 Wir beginnen mit dem Beweis von (1).
Für λ ∈ C gilt |λA| = |λ||A|, also ist F1 abegeschlossen
unter Multiplikation mit Skalaren. Seien A, B ∈ F1 . Der
Beweis, daß dann auch A + B ∈ F1 ist langwieriger.
Es seien U, V, W die partiellen Isometrien zu folgenden
Polarzerlegungen: A + B = U |A + B| , A = V |A| , B =
W |B|. Dann ist (zunächst für endliche Reihen)
N
�
j=1
≤
�ej | |A + B|ej � =
N
�
j=1
�ej |U † (A + B)ej � =
N
N
�
�
� �
�
�
��ej | U † V |A|ej �� +
��ej | U † W |B|ej �� .
j=1
j=1
j=1

1/2
N �
�2
�
�
�
1/2
=
.
�|A|1/2 V † U |ej ��  · (Sp(|A|))
(43)
j=1
Wir müssen uns um den ersten Faktor in der letzten Zeile
kümmern, was wir sogleich tun: Zunächst erinnern daran, daß U eine partielle Isometrie ist, d.h. U ist eine Isometrie auf (Kern(U ))⊥ . Jeder Vektor der vONB
{|ej �}j∈N ist entweder in Kern(U ) oder im orthogonalen
Komplement (Kern(U ))⊥ . Also
N �
�2
�
�
�
� 1/2 †
�
�|A| V U |ej �� ≤ Sp|e� U † V |A|V † U =
j=1
�
�
≤ Sp{U |e�} V |A|V † .
Wir iterieren unser letztes Argument ein weiteres Mal:
Jeder Vektor U |ej � ∈ (Kern(U ))⊥ ist entweder in
Kern(V † ) oder in (Kern(V † ))⊥ . Daher gilt weiter:
N �
�2
�
� 1/2 †
�
�|A| V U |ej �� ≤ Sp{V † U |e�} (|A|) ≤ Sp(|A|) < ∞ .
j=1
Einsetzen in (80) liefert
N
�
�
�
��ej |U † V |A|ej �� ≤ Sp(|A|) < ∞ .
Satz II.20 F1 ist ein †–Ideal in L(H), d.h.
(1) F1 ist ein Vektorraum.
� �
�
� 1/2 †
� �
�
�|A| V U |ej �� · �|A|1/2 |ej �� =
j=1
Insgesamt ergibt sich so endlich
N
�
j=1
�ej | |A + B|ej � ≤ Sp(|A|) + Sp(|B|) < ∞ .
Damit haben wir gezeigt, daß mit A, B ∈ F1 auch A+B ∈
F1 , und (1) is bewiesen.
Wir kommen nun zum Beweis von (2). Zunächst einmal zeigen wir, daß jeder Operator B ∈ L(H) als Linearkombination von vier unitären Operatoren geschrieben
werden kann. Es gilt: B = (B + B † )/2 − i(B − B † )/2, also B kann als Linearkombination zweier selbstadjungierter Operatoren geschrieben werden. Sei nun C ∈ L(H)
selbstadjungiert, und ohne Einschränung
der Allgemein√
2 unitäre Operatoheit �C� ≤ 1. Dann sind C
±
i
I
−
C
√
√
ren und es gilt: C = (C +i I − C 2 )/2+C −i I − C 2 /2.
16
Nach dieser Vorarbeit genügt es zu zeigen: Mit A ∈ F1
ist auch√U A, AU ∈ F1 , U ∈ L(H) : U † = U −1 . Es ist
|U A| = A† U † U A = |A|, also U A ∈ F1 . Zeigen Sie, daß
|AU | = U −1 |A|U . Mit (II.19) folgt nun |AU | ∈ F1 .
Es bleibt (3) zu beweisen. Seien A = U |A| und A† =
V |A† | die Polarzerlegungen von A und A† . Dann gilt:
|A† | = V † A† = V † |A|U † . Ist A ∈ F1 , so ist auch |A| ∈
F1 . Wegen (2) ist dann auch |A† | ∈ F1 . Und damit auch
A† = V |A† | ∈ F1 . ∗–< [{; 0)
Satz II.21 Sei �◦�1 definiert durch: �A�1 := Sp|A| , A ∈
F1 . Damit wird F1 zu einem Banach–Raum mit Norm
� ◦ �1 . Es gilt �A� ≤ �A�1 .
Der Zusammenhang zwischen den Spurklasse–
Operatoren und den kompakten Operatoren ist folgender:
Satz II.22 Jeder Operator A ∈ F1 ist kompakt. Ein
kompakter
Operator A ist in F1 genau dann, wenn
�∞
j=1 λj < ∞, wobei λj die Eigenwerte von |A| bezeichne.
Beweis II.24 Sei A ∈ F1 . Dann ist auch |A|2 ∈ F1 .
Daher gilt bzgl. einer beliebigen vONB {|ej �}j∈N :
�
�
Sp |A|2 =
∞
�
j=1
Sei nun |f � ∈ {|e1 �, . . . , |en
Dann ist
2
�A|f ��
2
�A|ej �� < ∞ .
�}⊥
, n ∈ N und �|f �� = 1.
n
�
� �
2
≤ Sp |A|2 −
�A|ej �� ,
j=1
da {|e1 �, . . . , |en �, |f �} immer zu einer ONB vervollständigt werden kann. Also,
�
�
n→∞
sup �A|f �� : |f � ∈ {|e1 �, . . . , |en �}⊥ , �|f �� = 1 −→ 0 .
�n
Damit konvergiert
j=1 A|ej ��ej |◦� gegen A bezüglich
der durch die Norm induzierten Topologie. Somit ist A
kompakt. Der zweite Teil des Satzes folgt aus der kanonischen Form kompakter Operatoren und der Beweis bleibt
Ihnen überlassen. ∗–< [{; 0)
Satz II.23 T ∈ L(H) mit dim(Bild)(T )∞ liegen dicht
in F1 bzgl. der Norm � ◦ �1 .
Def. II.17 T ∈ L(H) heißt Hilbert–Schmidt Operator
genau dann, wenn Sp(T † T ) < ∞. Die Familie von
Hilbert–Schmidt Operatoren notieren wir mit F2 .
Ganz ähnliche Argumente wie wir sie zur Charakterisierung von F1 herangezogen haben, führen auf
Satz II.24 Seien A, B ∈ F2 und C ∈ L(H) kompakt,
außerdem sei T ∈ L(H) mit dim(Bild)(T ) < ∞, und
{|ej �}j∈N eine beliebige vONB. Wir definieren
df
(A, B)2 =
∞
�
j=1
�ej |A† Bej � .
Dies ist sinnvoll, da die Definition nicht von�
der gewählten
� vONB abhängt. Weiterhin sei �A�2 := (A, A)2 =
Sp(A† A). Schließlich bezeichnen wir die Eigenwerte
von |A| mit λj . Dann gilt:
(1) F2 ist ein †–Ideal.
(2) Die Reihe (A, B)2 ist absolut summierbar.
(3) Mit (◦, ◦)2 wird F2 zu einem Hilbert–Raum.
(4) �A� ≤ �A�2 �A�1 und �A�2 = �A† �2 .
(5) Jeder A ∈ F2 ist kompakt.
(6) C ∈ F2 genau dann, wenn
�∞
j=1
λ2j < ∞.
(7) T liegt dicht in F2 bzgl. der Norm � ◦ �2 .
(8) A ∈ F2 genau dann, wenn {A|ej �}j∈N ∈ �2 .
(9) Z ∈ F1 genau dann, wenn Z = AB.
Eine wichtige Tatsache über F2 ist, daß im Falle H =
L2 (M, dµ) sich der Hilbert–Raum F2 konkret realisieren
läßt.
Satz II.25 Sei (M, µ) ein Maßraum und H =
L2 (M, dµ). Dann ist A ∈ L(H) genau dann ein Hilbert–
Schmidt Operator, wenn es eine Funktion G ∈ L2 (M ×
M, dµ ⊗ dµ) gibt mit der Eigenschaft
�
(AQ) (x) =
dµ(y) G(x, y)Q(y) ,
�M
2
�A�22 =
dµ(x)dµ(y) |G(x, y)| .
M×M
Beweis II.25 Sei G ∈ L2 (M × M, dµ ⊗ dµ) und AG der
assoziierte Integraloperator. Überzeugen Sie sich, daß AG
wohldefiniert ist und �AG � ≤ �G�L2 .
Sei {ej (x)}j∈N eine vONB von L2 (M, dµ). Dann ist
{ei (x)e∗j (y)}i,j∈N eine vONB für L2 (M × M, dµ ⊗ dµ).
Daher,
G(x, y) =
∞
�
αij ei (x)e∗j (y) .
i,j=1
Wir definieren
Gn (x, y) =
n
�
i,j=1
αij ei (x)e∗j (y) .
17
Per Konstruktion ist Gn , n ∈ N ein Integralkern zu einem Operator AGn mit dim(Bild(AGn )) < ∞. In der
Tat,
AG n =
n
�
i,j=1
αij ei (x)(ej (y), ◦) .
Aus �Gn − G�L2 −→ 0 folgt �AGn − AG � −→ 0 im Limes
n −→ ∞. Somit ist AG kompakt, was wir auch folgendermaßen einsehen:
∞
�
�
�
Sp AG† AG =
�AG ej �2 =
=
j=1
∞
�
i,j=1
2
|αij | = �G�L2 .
Also ist AG ∈ F2 (und daher kompakt) und �AG �2 =
�G�L2 .
Wir haben gezeigt, daß die Abbildung G −→ AG eine
isometrische Einbettung von L2 (M × M, dµ ⊗ dµ) in F2
ist. Zeigen Sie, daß das Bild von G −→ AG sogar F2 ist.
∗–< [{; 0)
Bitte beachten Sie, daß obiger Satz eine hinreichende
Bedingung für die Eigenschaft Kompaktheit eines Operators liefert, die sehr nützlich, allerdings nicht notwendig
ist. Ebenfalls haben wir eine hinreichende Bedingung für
die Qualifikation, daß ein Operator ein Integraloperator
ist, aber auch diese ist nicht hinreichend.
Satz II.26 Sei A ∈ F1 �
und {|ej �}j∈N eine beliebige
∞
vONB. Dann konvergiert j=1 �ej |Aej � absolut und der
Grenzwert ist unabhängig von der vONB–Wahl.
Beweis II.26 Als Übung. ∗–< [{; 0)
Def. II.18�Die Abbildung Sp : F1 −→ C, definiert durch
∞
Sp(A) =
j=1 �ej |Aej �, wobei {|ej �}j∈N eine beliebige
vONB sei, heißt die Spur.
E.
Der Spektralsatz für beschränkte Operatoren
Der Spektralsatz ist eine konkrete Beschreibung der
strukturellen Eigenschaften aller selbstadjungierter Operatoren. Diese strukturelle Aufklärung existiert in verschiedenen Formulierungen, die aus zunächst ganz unterschiedlichen Standpunkten resultieren, aber in der
Charakterisierung der maßgeblichen Struktur äquivalent
sind.
Wir schränken uns zunächst auf beschränkte selbstadjungierte Operatoren ein, um dann im nächsten
Unterkapitel von der Qualifikation beschränkt hin zu
unbeschränkt zu relaxieren. Der für uns vielleicht
zweckmässigste Standpunkt ist folgender: Sei A ∈
L(H) , A† = A beschränkt auf dem Hilbert–Raum H.
Dann gibt es immer ein Maß µ auf einem Maßraum M
und ein U ∈ L(H) , U † = U −1 , erklärt durch
U : H −→ L2 (M, dµ) ,
�
�
U AU −1 f (x) = F (x)f (x) ,
wobei F eine beschränkte reellwertige meßbare Funktion
auf M ist.
Dieser Standpunkt ist so attraktiv, weil er eine Verallgemeinerung des entsprechenden Sachverhaltes liefert,
der uns aus der Linearen Algebra bekannt ist für endlichdimensionale Vektorräume: Jede selbstadjungierte n ×
n(n ∈ N) Matrix ist diagonalisierbar. Genauer: Sei V
ein Vektorraum über C und A : V −→ V eine selbstadjungierte lineare Abbildung. Dann gibt es eine unitäre
lineare Abbildung U : V −→ Cn und reelle Zahlen
λ1 , . . . , λn ∈ R, so daß
�
�
U AU −1 v j = λj vj , j ∈ {1, . . . , n} ,
für jeden Vektor Cn � v = (v1 , . . . , vn ).
In der Physik wird M in aller Regel eine Vereinigung von Kopien von R sein und F ≡ x. Das Hauptaugenmerk liegt daher auf der Konstruktion geeigneter Maße. Bevor wir diesen Weg gedanklich beschreiten,
beschäftigen wir uns im folgenden Abschnitt damit, wie
wir h : L(H) −→ L(H) sinnvoll erklären für stetige Funktionen h angewandt auf selbstadjungierte beschränkte
Operatoren.
Wir listen die relevanten Eigenschaften:
Satz II.27 Für A ∈ F1 , B ∈ L(H) gilt:
(1) Sp(◦) ist linear.
(2) Sp(A† ) = (Sp(A))∗ .
(3) Sp(AB) = Sp(BA).
Beweis II.27 Die Aussagen (1) und (2) folgen unmittelbar aus der Spur–Definition und aus der Definition des
Hilbert–adjungierten Operators. Den Beweis der Aussage
(3) überlassen wir einer Übung. ∗–< [{; 0)
1.
Stetiges Funktionalkalkül
Die dringlichste Frage ist wohl: gegeben ein beschränkter Operator A ∈ L(H) ohne weitere Qualifikation. Für
welche Funktionen f : L(H) −→ L(H) können wir f (A)
überhaupt definieren? Zunächst einmal naiv, lassen Sie
uns eine Wunschliste aufstellen. Bestimmt hätten
�Nwir aus
Bequemlichkeit gerne Folgendes: Sei f (x) = j=1 aj xj
�N
ein Polynom, dann soll f (A) = j=1 aj Aj sein. Nehmen
�∞
j
wir einmal an, daß f (x) =
j=0 cj x eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
R ist. Falls �A� < R, dann
�∞
konvergiert j=0 cj Aj in L(H), also ist es nur natürlich
18
�∞
f (A) = j=0 cj Aj zu setzen. Beachten Sie, daß in diesem Fall f analytisch auf einem Definitionsbereich ist,
der ganz σ(A) beinhaltet.
Welche strukturelle Unterstützung kommt nun von der
Qualifikation selbstadjungiert? Sei P ein Polynom und
A ∈ L(H) , A† = A beschränkt. Dann ist �P (A)� =
supλ∈σ(A) |P (λ)|. Dann erlaubt der zentrale Satz über beschränkte lineare Transformationen4 , das oben skizzierte
Funktionalkalkül auf stetige Funktionen auszuweiten.
Wir beginnen mit einem Lemma, das wieder für beschränke aber sonst beliebe Operatoren A gilt:
�N
j
Lemma II.7 Sei P (x) =
j=0 aj x , und P (A) =
�N
j
j=0 aj A . Dann gilt σ(P (A)) = {P (λ) : λ ∈ σ(A)}.
Beweis II.28 Sei λ ∈ σ(A). Da x = λ eine Nullstelle
von P (x) − P (λ) ist, folgt P (x) − P (λ) = (x − λ)Q(x),
und damit P (A) − P (λ) = (A − λ)Q(A). Da (A − λ)
nicht invertiert werden kann, besitzt auch P (A) − P (λ)
kein Inverses. Damit ist aber P (λ) ∈ σ(P (A)).
Umgekehrt, sei µ ∈ σ(P (A)) und λ1 , . . . , λN die Nullstellen von P (x) − µ. Dann gilt P (x) − µ = a(x −
λ1 ) · · · (x − λN ). Wäre nun λ1 , . . . , λN � σ(A), so existierte
(P (A) − µ)
−1
= a−1 (A − λ1 )
−1
· · · (A − λN )
−1
.
Dies kann aber nicht sein, da nach Voraussetzung µ ∈
σ(P (A)). Also gibt es wenigstens ein i ∈ {1, . . . , N } mit
λi ∈ σ(A), also µ = P (λ) für ein λ ∈ σ(A). ∗–< [{; 0)
Wir brauchen noch ein weiteres Lemma. Hier wird ganz
wesentlich benutzt, daß für selbstadjungierte Operatoren
A der Spektralradius, r(A) := supλ∈σ(A) |λ|, gleich der
Norm von A ist, also r(A) = �A�, was wir nicht zeigen,
aber zum Beweis des folgenen Lemmas benutzen werden.
Lemma II.8 Sei A ein beschränkter selbstadjungierter
Operator, und P ein Polynom. Dann gilt: �P (A)� =
supλ∈σ(A) |P (λ)|.
Beweis II.29 Wir rechnen:
�
�
!
2
�P (A)� = �P (A)† P (A)� = �(P ∗ P ) (A)� =
=
sup
=
λ∈σ(P ∗ P (A))
∗
sup |P P (λ)| =
λ∈σ(A)
=
II.7
|λ| =
�
sup |P (λ)|
λ∈σ(A)
�2
.
Daraus folgt unmittelbar die Behauptung. ∗–< [{; 0)
Jetzt sind wir endlich in der Lage, obige Frage zu beantworten.
Satz II.28 (Stetiges Funktionalkalkül) Sei H ein
Hilbert–Raum und A ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gibt
es genau eine Abbildung Φ : C(σ(A)) −→ L(H) mit den
folgenden Eigenschaften:
(1) Φ ist ein algebraischer †–Homomorphismus, d.h.
Φ(f g)
Φ(λf )
Φ(1)
Φ(f ∗ )
Zur Erinnerung: Sei T eine beschränkte lineare Transformation
von einem normierten Vektorraum (V1 , �◦�1 ) in einen vollständigen normierten Raum (V2 , � ◦ �2 ). Dann kann T eindeutig erweitert werden zu einer beschränkten linearen Transformation, T̂ ,
die die Vervolständigung von V1 auf (V2 , � ◦ �2 ) abbildet.
Φ(f )Φ(g) ,
λΦ(f ) (λ ∈ C) ,
I,
Φ(f )† .
(2) Φ ist stetig, d.h. �Φ(f )�L(H) ≤ C�f �∞ , C ∈ R.
(3) Sei f die Funktion f (x) = x, dann ist Φ(f ) = A.
(4) Gilt A|ψ� = λ|ψ�, so ist Φ(f )|ψ� = f (λ)|ψ�.
(5) σ[Φ(f )] = {f (λ) : λ ∈ σ(A)}.
(6) Ist f ≥ 0, so ist Φ(f ) ≥ 0.
(7) �Φ(f )� = �f �∞ .
Die Idee für den Beweis von Satz II.28 ist ganz einfach. Zunächst einmal ist Φ(P ) für jedes Polynom P (x)
wegen (1) und (3) eindeutig bestimmt. Lemma II.7 ist
bereits ein Spezialfall der zentralen Gleichung (5). Der
Satz von Weierstrass liefert uns sofort folgenden Befund:
Die Menge der Polynome ist dicht in C(σ(A)). Im Zentrum des Beweises steht daher die Aussage von Lemma
II.8. Denn mit der Fußnote 4 folgt dann bequem die Existenz und Eindeutigkeit der Abbildung Φ.
Beweis II.30 Sei P ein Polynom und Φ(P ) = P (A).
Dann ist �Φ(P )�L(H) = �P �C(σ(A)) . Somit hat Φ genau
eine lineare Erweiterung auf die abgeschlossene Hülle der
Polynome in C(σ(A)). Die Polynome bilden eine Algebra,
die die 1 enthält, abgeschlossen unter komplexer Konjugation ist, und die die Punkte von σ(A) separiert. Damit
ist die abgeschlossene Hülle der Polynome ganz C(σ(A)).
Die Aussagen (1), (2), (3), (7) folgen direkt. Für (4) bemerken wir: Φ(P )|ψ� = P (A)|ψ� = P (λ)|ψ�. Diese Tatsache läßt sich wegen der Stetigkeit auf ganz C(σ(A)) ausdehnen. Für (6) bemerken wir: Sei f ≥ 0�f = g 2 , g ∈
C(σ(A)) reell. Folglich ist Φ(f ) = Φ(g 2 ) = Φ(g)Φ(g) und,
da Φ(g) selbstadjungiert ist, weiter Φ(f ) = Φ(g)† Φ(g) ≥
0. Die Aussage (5) überlassen wir einer Übung (einen
Spezialfall haben wir ja in II.7 betrachtet). ∗–< [{; 0)
2.
4
=
=
=
=
Die Spektralmaße
Sei H ein Hilbert–Raum und A ∈ L(H) , A† = A beschränkt. Sei |ψ� ∈ H. Dann ist die Abbildung C(σ(A)) �
f −→ �ψ|f (A)ψ� ein semi–positiv definites Funktional auf C(σ(A)). Das Riesz–Markov Theorem garantiert
19
dann die Existenz eines eindeutig bestimmten Maßes µψ
auf der kompakten Menge σ(A), so daß
�
�ψ|f (A)ψ� =
dµψ f (λ) .
σ(A)
Def. II.19 Das
Maß
µψ
heißt
mit dem Vektor ψ assoziierte Spekralmaß.
Beweis II.32 Wir definieren U durch U Φ(f )|ψ� = f ,
wobei f ∈ C(σ(A)). Wir zeigen zuerst, daß U wohldefiniert ist. Dazu rechnen wir:
�Φ(f )|ψ��2 = �ψ|Φ† (f )Φ(f )ψ�
das
Die einfachste Sache, die wir ausgestattet mit dem
Maß µψ anstellen können, ist das Funktionalkalkül auf
die Menge der beschränkten Borel–Funktionen auf R, bezeichnet mit B(R), auszuweiten.
Satz II.29 (Spektralsatz, Standpunkt: Funktionalkalkül) Sei H ein Hilbert–Raum und A, B ∈
L(H) , A† = A beschränkt. Es gibt genau eine Abbildung
Φ̂ : B(R) −→ L(H) mit folgenden Eigenschaften:
(1) Φ̂ ist ein algebraischer †–Homomorphismus.
�
=
(6) Für f ≥ 0 gilt auch Φ̂(f ) ≥ 0.
(7) Falls AB = BA, dann gilt Φ̂(f )B = B Φ̂(f ).
Beweis II.31 Im wesentlichen wie Satz II.28, ist aber
nicht vollkommen trivial, da wir intelligent den Übergang
vom stetigen Funktionalkalkül zum meßbaren Funktionalkalkül vollziehen müssen. ∗–< [{; 0)
Def. II.20 Ein Vektor |ψ� ∈ H heißt zyklischer Vektor
von A ∈ L(H), wenn endliche Linearkombinationen von
Elementen aus {An |ψ�}n∈N dicht in H liegen.
Diese Eigenschaft wird leider nicht von allen Operatoren geteilt, aber wenn ein Operator einen zyklischen
Vektor besitzt, so ist das ungemein nützlich:
Lemma II.9 Sei A ∈ L(H) , A† = A beschränkt, und
|ψ� ∈ H ein zyklischer Vektor von A. Dann gibt es einen
unitären Operator U : H −→ L2 (σ(A), dµψ ) mit der Eigenschaft:
�
�
U AU −1 f (λ) = λf (λ) , f ∈ L2 (σ(A), dµψ ) , λ ∈ R.
Die Gleichheit bezieht sich hier auf die Gleichheit von
Elementen aus L2 (σ(A), dµψ ).
R−M
�ψ|Φ(f ∗ f )ψ� =
2
σ(Φ(f ∗ f ))
�
dµψ |f (λ)| .
�
II.28:(3)
Df
U AU −1 f (λ) = (U AΦ(f )) (λ) =
Df
= (U Φ(xf )) (λ) =
= λf (λ) .
(3) Sei f die Funktion f (x) = x. Dann gilt Φ̂(f ) = A.
(5) Sei A|ψ� = λ|ψ�. Dann ist Φ̂(f )|ψ� = f (λ)|ψ�.
=
Also, ist f = g bzgl. µψ fast überall, dann gilt auch
Φ(f )|ψ� = Φ(g)|ψ�. Damit ist U wohldefiniert auf
{Φ(f )|ψ� : f ∈ C(σ(A))} und U erhält die Norm. Da
nach Voraussetzung |ψ� ein zyklischer Vektor ist folgt
weiterhin {Φ(f )|ψ� : f ∈ C(σ(A))} = H. Wir können
wieder die Fußnote 4 heranziehen und notieren: U kann
erweitert werden zu einer isometrischen Abbildung von
H nach L2 (σ(A), dµψ ). Da C(σ(A)) dicht liegt in L2 ,
folgt Bild(U ) = L2 (σ(A), dµψ ). Es bleibt: Sei f ∈
C(σ(A)) , λ ∈ σ(A). Dann gilt,
(2) Φ̂ ist stetig bzgl. der Norm: �Φ̂(f )�L(H) ≤ �f �∞ .
(4) Für fn (x) −→ f (x) punktweise und �fn �∞ beschränkt, gilt: Φ̂(fn ) −→ Φ̂(f ) bzgl. der starken
Topologie.
II.28:(1)
Dieses Argument kann von f ∈ C(σ(A)) auf f ∈ L2 erweitert werden. ∗–< [{; 0)
Lemma II.10 Sei H ein separabler Hilbert–Raum und
A ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gibt eine Zerlegung von
H in eine direkte Summe: H = ⊕N
j=1 Hj , wobei N ∈ N
oder N = ∞, so daß gilt:
(1) Aus |ψ� ∈ Hj folgt A|ψ� ∈ Hj für jedes j.
(2) ∀j ∃ |φj � ∈ Hj : Hj = {f (A)|φj � : f ∈ C(σ(A))}.
Beweis II.33 Als Übung mit Zorn. ∗–< [{; 0)
Die letzten beiden Lemmata lassen sich mächtig kombinieren zu der Version des Spektralsatzes, die für uns
am transparentesten und praktischtesten ist:
Satz II.30 (Spektralsatz, Standpunkt: Lieblingsversion von Physikerinnen und Physikern oder
Multiplikationsoperator–Form) Sei H ein separabler
Hilbert–Raum, A ∈ L(H) beschränkt und selbstadjungiert. Dann gibt es Maße {µj }N
j=1 , (N = 1, 2, . . . oder
∞) auf σ(A) und einen unitären Operator mit
U : H −→
�
U AU −1 Ψ
N
�
L2 (R, dµj ) ,
j=1
�
j
(λ) = λΨj , Ψj ∈ L2 (R, dµj ) , λ ∈ σ(A) .
2
Hierbei gilt folgende Notation: Ψ ∈ ⊕N
j=1 L (R, dµj ) ist
das N –Tupel (Ψ1 (λ), . . . , ΨN (λ)). Diese Realisierung von
A heißt Spektraldarstellung.
20
Beweis II.34 Die Idee ist: Sie benutzen Lemma II.10
zur Zerlegung von H und wenden Lemma II.9 auf jeden
Teilraum an. Bitte füllen Sie die Lücken. ∗–< [{; 0)
Die Formulierung des Spektralsatzes besagt einfach,
daß jeder beschränkte selbstadjungierte Operator als
Multiplikationsoperator auf einem geeigneten Maßraum
dargestellt werden kann.
Def. II.21 Die Maße dµj heißen Spektralmaße. Sie sind
gerade die dµψ für geeignete ψ.
Diese Maße sind nicht eindeutig bestimmt, was uns
noch beschäftigen wird. Zunächst ein paar Beispiele:
Bsp. II.8 Sei A eine selbstadjungierte (n × n)–Matrix
(n ∈ N). Das Spektraltheorem für endlichdimensionale
Vektorräume ist Ihnen ja aus der Linearen Algebra bekannt. Zur formlosen Erinnerung: Es besagt, daß es zu A
einen orthonormalen Satz von Eigenvektoren ψ1 , . . . , ψn
mit Aψj = λj ψj , j ∈ {1, . . . , n} gibt.
Wir nehmen an, daß alle Eigenwerte λ1 , . . . , λn disjunkt sind. Die Frage, die uns in diesem Beispiel interessiert ist, welcher Maßraum den Satz II.30 auf das entsprechende Resultat aus der Linearen
�n Algebra reduziert?
Wir probieren folgendes: Sei µ := j=1 δ(x − λj ), wobei
δ(x) ein Dirac–Maß bezeichne. L2 (R, dµ) ist dann einfach Cn : f ∈ L2 ist durch f = (f (λ1 ), . . . , f (λn )) gegeben. Probieren Sie es aus! Der Funktion λf entspricht
das n–Tupel (λ1 f (λ1 ), . . . , λn f (λn )).
Dieses Beispiel eignet sich auch dafür, die Beliebigkeit
�n des Maßes explizit aufzuzeigen: Sei nämlich µ̃ :=
j=1 aj δ(x − λj ) mit aj > 0 , j ∈ {1, . . . , n}. A kann
dann auch als Multiplikationsoperator auf L2 (R, dµ̃) dargestellt werden.
Weiterhin sehen wir an diesem Beispiel, wann mehr
als ein Maß benötigt wird: Ein selbstadjungierter Operator A auf einem Hilbert–Raum H mit dim(H) < ∞ kann
genau dann als Multiplikationsoperator auf L2 (R, dµ)
dargestellt werden, wenn A ausschließlich disjunkte Eigenwerte besitzt.
Bsp. II.9 Wir wissen bereits, daß kompakte Operatoren
viele Eigenschaften mit ihren Verwandten aus der Linearen Algebra teilen. Obiges Beispiel sollte also für kompakte Operatoren eine mühelose Verallgemeinerung besitzen.
Dem ist auch so: Sei A kompakt und selbstadjungiert.
Das Hilbert–Schmidt Theorem (Satz II.17) garantiert die
Existenz eines vONS von Eigenvektoren {ψj }nj=1 , n ∈ N,
mit der Eigenschaft: Aψj = λj ψ�
j . Sind alle Eigenwer∞
n
te disjunkt, so eignet sich µ :=
j=1 δ(x − λj )/2 als
Spektralmaß.
Bsp. II.10 Wir betrachten den Differentialoperator
−id/dx auf L2 (R, dx). Um ganz ehrlich zu sein, dabei
handelt es um einen unbeschränkten Operator und als solcher gehört er nicht in diesen Abschnitt. Allerdins werden
wir später sehen, daß auch für unbeschränkte Operatoren eine Aussage ganz analog zu Satz II.30 gilt. Wir erlauben uns daher eine gesunde Portion an Naivität und
konzentrieren uns auf die unitäre Transformation: Gesucht wird also ein unitären Operator U und ein Maß dµ
(es stellt sich an anderer Stelle heraus, daß lediglich ein
µ gebraucht wird) mit U : L2 (R, dx) −→ L2 (R, dµ(k)).
Sei f (x) := (U −1 g(k))(x) , g ∈ L2 (R, dµ(k)). Die
entscheidende Gleichung des Spektralsatzes II.30 lautet dann: (U (−id/dx)f (x))(k) = k(U f (x))(k) , k ∈
σ(−id/dx). Die gesuchte Transformation ist die Fourier–
Transformation:
�
(U f (x))(k) = (2π)−1/2 dx exp (ixk)g(k) .
R
Die Fourier–Transformation ist also ein Beispiel für eine
Spektraldarstellung.
Wir kommen nun zu der bereits angesprochenen Frage, wann A unitär äquivalent zu einem Multiplikationsopearator auf L2 (R, dµ) ist, also wann wir mit nur einem
Spektralmaß auskommen. Beispiel II.8 hat uns gelehrt,
daß im Falle endlich–dimensionaler Vektorräume dies der
Fall ist, wenn alle Eigenwerte von A verschieden sind.
Def. II.22 Ein beschränkter selbstadjungierter Operator
A heißt nicht–entartet genau dann, wenn A unitär äquivalent zur Multiplikation mit λ auf L2 (R, dµ) für ein Maß
µ ist.
Intrinsische Charakterisierungen sind:
Satz II.31 Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(1) A ist nicht–entartet.
(2) A hat einen zyklichen Vektor.
(3) {B : AB − BA = 0} ist eine Abelsche Algebra.
Als nächstes wenden wir uns der Nichteindeutigkeit
des Spektralmaßes für nicht–entartete Operatoren zu.
In Beipiel II.8 haben wir gesehen, daß akzeptable Maße (Anschluß an die Lineare Algebra) von der Form
�N
µ =
j=1 αj δ(x − λj ) , αj > 0 , j ∈ {1, . . . , n} sind.
Diese Einsicht hat eine natürliche Verallgemeinerung auf
den Fall unendlich–dimensionaler Vektorräume. Wir nehmen an, daß dµ auf R gegeben ist. Sei F eine meßbare
Funktion, die positiv und fast überall von Null verschieden ist bzgl. des Maßes µ,
� außerdem soll sie lokal vom
Typ L1 (R, dµ) sein, d.h. K dµ |F | < ∞ , K ⊂ R kompakt. Dann ist auch dν = F dµ ein Borel Maß, und die
Abbildung
U : L2 (R, dµ) −→ L2 (R, dν) ,
�
(U f ) (λ) = F (λ)f (λ)
(44)
ist unitär (F �= 0 fast überall) und λU (f ) = U (λf ).
Folglich kann ein Operator A mit einer Spekraldarstellung bzgl. µ genau so gut bzgl. ν dargestellt werden. Der
entscheidende Fortschritt gelingt nun dank eines Satzes
von Radon–Nikodym, der besagt, daß dν = F dµ mit
F �= 0 fast überall gilt genau dann, wenn µ und ν die
gleichen Nullmengen haben (also gleiche Teilmengen vom
Maß Null). Dies motiviert folgende Definition:
21
Def. II.23 Zwei Borel–Maße µ, ν sind genau dann
äquivalent, wenn sie die gleichen Nullmengen haben. Eine Äquivalenzklasse [µ] heißt Maßklasse.
Die Nichteindeutigkeit von Spekralmaßen erfährt nun
folgende Aufklärung:
Satz II.32 Seien µ, ν Borel–Maße auf R mit beschränktem Träger. Sei Aµ auf L2 (R, dµ) gegeben durch
(Aµ f )(λ) = λf (λ), und Aν entsprechend auf L2 (R, dν).
Dann sind Aµ und Aν genau dann unitär äquivalent,
wenn µ und ν äquivalente Maße sind.
Die Verallgemeinerung auf den Fall mit Entartung sparen wir uns hier, auch wenn diese in der Physik durchaus
wichtig ist, nimmt es hier zuviel Platz weg.
3.
Im letzten Abschnitt haben wir das Funktionalkalkül
f −→ f (A) für jede Borel–Funktion f und jeden beschränkten selbstadjungierten Operator A angesprochen.
Die wichtigsten Funktionen, die wir beim Übergang vom
stetigen zum meßbaren Funktionalkalkül gewonnen haben, sind die charakteristischen Funktionen auf Mengen.
Def. II.24 Sei A ein beschränkter selbstadjungierter
Operator und Ω eine Borel–Menge in R. Wir definieren
einen Spektralprojektor von A durch PΩ := χΩ (A).
Wie die Definition suggeriert: PΩ ist eine orthogonale
Projektion, da χ2Ω = χΩ gilt. Die wichtigen Eigenschaften
der Familie {PΩ } := {PΩ : Ω ist eine Borel–Menge} sind
die Folgenden:
Lemma II.11 Die Familie {PΩ } von Spektralprojektoren eines beschränkten selbstadjungierten Operators A
hat die folgenden Eigenschaften:
(3) Sei Ω = ∪∞
j=1 Ωj mit Ωi ∩ Ωj = ∅ , ∀i �= j. Dann
Satz II.34 (Spektralsatz, Standpunkt: Auch eine
Lieblingsversion von Physikerinnen und Physikern, oder kurz: der maßtheoretische Blickwinkel) Zwischen (beschränkten) selbstadjungierten Operatoren A und beschränkten projektorwertigen Maßen {PΩ }
gibt es folgende eineindeutige Beziehung:
�
A −→ {PΩ } = {χΩ (A)} , {PΩ } −→ A = dPλ λ .
Dieser Satz ist nicht nur mächtig, sondern auch robust gegen eine wichtige Verallgemeinerung, die für den
Aufbau der Quantenmechanik essentiell ist: Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Operatoren.
Spektralprojektoren sind nützlich zur Untersuchung
des Spektrums eines selbstadjungierten Operators:
Satz II.35 λ ∈ σ(A) genau dann, wenn für jedes � > 0
folgendes gilt:
Die Ausarbeitung überlassen wir einer Übung. ∗–< [{; 0)
PΩ j .
Satz II.35 motiviert folgende Klassifikation des Spektrums:
j=1
(4) PΩi PΩj = PΩi ∩Ωj , ∀i, j .
Dies erinnert schon sehr an die ein Maß definierenden
Eigenschaften. Kein Zufall, denn
Def. II.25 Eine Familie von Projektoren,
(1)–(3) von Lemma II.11 erfüllt, heißt
projektiorwertiges Maß.
wie wir recht schnell einsehen können in einer ruhigen
Minute.
Beweis II.35 Die wesentliche Idee des Beweises beruht
auf folgender Feststellung:
�
�
�
−1 �
−1
.
�(A − λI) � = [d(λ, σ(A))]
(2) P∅ = 0.
N →∞
Bsp. II.11 Ist A ein selbstadjungiertert Operator, und
PΩ das zugehörige projektorwertige Maß, so gilt:
�
A=
dPλ λ ,
P(λ−�,λ+�) �= 0 .
(1) Jedes PΩ ist eine orthogonale Projektion.
∞
�
Satz II.33 Sei PΩ ein projektorwertiges Maß und f eine
beschränkte Borel–Funktion auf Träger(PΩ ). Dann gibt
es
� einen eindeutig bestimmten Operator B, den wir mit
dPλ f (λ) bezeichnen, so daß
�
�Φ|BΦ� =
d�φ|Pλ φ� f (λ) , ∀|Φ� ∈ H . (45)
λ∈σ(A)
Spektralprojektoren
PΩ = lim
Natürlich können wir bzgl. eines projektorwertigen
Maßes auch integieren. Sei PΩ ein projektorwertiges Maß,
dann ist �φ|PΩ φ� das gewöhnliches Maß für jedes φ. In
suggestiver Manier werden wir in den Präliminarien die
Integration bzgl. dieses Maßes ganz barock mit d�φ|PΩ φ�
bezeichnen.
die
ein
Def. II.26 Wir nennen
�
�
�
df
�
σkont (A) = λ ∈ σ(A)�dim(Bild(P(λ−�,λ+�) )) = ∞ , ∀� > 0
das kontinuierliche Spektrum, und
df
σdisk (A) = σ(A) \ σkont (A)
das diskrete Spektrum von A.
22
Damit ist σ(A) zerlegt in zwei notwendigerweise disjunkte Untermengen. Dabei ist σdisk nicht unbedingt abgeschlossen, aber:
Satz II.36 σkont ist abgeschlossen.
Beweis II.36 Sei σkont (A) � λn −→ λ, und Iδ := (λ −
δ, λ + δ). Nach Voraussetzung gibt es immer n ∈ N und
� > 0, so daß I� := (λn − �, λn + �) ⊂ Iδ . Damit ist
dim(Bild(PIδ (A))) = ∞, also λ ∈ σkont (A). ∗–< [{; 0)
Es folgenden zwei Sätze geben alternative Charakterisierungen von σdisk und σkont . Die Beweise überlassen
wir den Übungen.
Satz II.37 λ ∈ σdisk genau dann, wenn die folgenden
beiden Kriterien gleichzeitig erfüllt sind:
(1) ∃� > 0, so daß (λ − �, λ + �) ∩ σ(A) = {λ}.
(2) dim({|ψ� ∈ H : A|ψ� = λ|ψ�}) < ∞.
Satz II.38 (Weyls Kriterium) Sei A ein beschränkter
selbstadjungierter Operator. Dann ist λ ∈ σ(A) genau
dann, wenn es eine Folge {|ψj �}j∈N gibt mit �|ψj �� = 1
und limj→∞ �(A − λI)|ψj �� = 0. λ ∈ σkont genau dann,
wenn die Folgenglieder {|ψj �}j∈N alle orthogonal gewählt
werden können.
F.
Unbeschränkte Operatoren
Wir werden schon recht früh sehen, daß wichtige Observablen in der Quantenmechanik durch unbeschränkte Operatoren beschrieben werden. Nach einem Satz
von Hellinger–Toeplitz gilt für einen auf dem gesamten
Hilbert–Raum H definierten Operator A mit der Eigenschaft �φ|Aψ� = �Aφ|ψ� , |φ�, |ψ� ∈ H, daß dieser beschränkt ist. Daher wird ein unbeschränkter Operator
nur auf einer Untermenge von H definiert sein.
1.
Grundbegriffe
5
Präziser, ein Operator T auf einem Hilbert–Raum H
ist eine Abbildung von D(T ) ⊂ H −→ H, wobei der Unterraum D(T ) der Definitionsbereich des Operators T
heißt. Wir nehmen immer an, daß der Definitionsbereich
dicht in H liegt, D(T ) = H. Damit ist der Definitionsbereich eines (unbeschränkten) Operators ein wichtiges
Charakteristikum desselben und gehört eigentlich in die
Definition des Operators, neben dessen expliziten Wirkung auf Vektoren im Definitionsbereich. Diese buchhalterische Mühe wird in der Physik nicht gepflegt.
5
Wir weisen lediglich auf die Qualifikation ’beschränkt’ explizit
hin, ansonsten handelt es sich um einen unbeschränkten Operator.
Bsp. II.12 Der Ortsoperator Sei H = L2 (R) und
�
�
�
df
2
2
2
D(T ) = f ∈ L (R) :
dx x |f (x)| < ∞ .
R
Für f ∈ D(T ) definieren wir:(T f )(x) := xf (x).
Natürlich ist T unbeschränkt, wir brauchen ja lediglich
Funktionen in D(T ) zu wählen, deren Träger sich bis
nach ±∞ erstreckt. Wir können also �T f � so groß machen, wie wir wollen und gleichzeitig �f � = 1 haben.
Nun macht xf (x) auch Sinn, wenn f ∈
/ D(T ), aber
liegt dann halt nicht in L2 (R). Wollen wir aus bestimmten Gründen, oder müssen gar, auf den Hilbert–Raum
L2 (R) einschränken, so erfordert dies, den Definitionsbereich von T zweckmäßig einzuschränken. Der hier angegebene Definitionsbereich ist tatsächlich der größt mögliche, für den das Bild(T ) noch in L2 (R) liegt.
Von von Neumann stammt folgender nützliche Begriff
zum Studium von linearen Abbildungen, der sich als besonders nützlich zur Charakterisierung von unbeschränkten Operatoren erweist.
Def. II.27 Unter dem Graph Γ(T ) einer linearen Abbildung T verstehen wir folgende Menge: {(f, T f ) : f ∈
D(T )} ⊂ H × H. T heißt ein abgeschlossener Operator,
wenn Γ(T ) eine abgeschlossene Untermenge von H × H
ist.
Def. II.28 Seien T1 und T Operatoren auf H. Gilt
Γ(T1 ) ⊃ Γ(T ), dann heißt T1 eine Erweiterung von T ,
kurz: T1 ⊃ T .
Dies ist offenbar äquivalent zu: T1 ⊃ T genau dann, wenn
D(T1 ) ⊃ D(T ) und T1 f = T f , ∀f ∈ D(T ).
Def. II.29 Ein Operator T heißt abschließbar, wenn T
eine abgeschlossene Erweiterung hat. Jeder abschließbare
Operator T hat eine kleinste abgeschlossene Erweiterung,
die wir den Abschluß von T nennen und mit T bezeichnen.
Es ist verführerisch, eine abgeschlossene Erweiterung
von T zu finden, im dem wir den Abschluß des entsprechenden Graphen in H × H suchen. Im allgemeinen ist
dies keine gute Strategie, da Γ(T ) nicht der Graph eines Operators zu sein braucht. Wir werden weiter unten
einsehen, daß dies aber kein Drama für uns darstellt.
Lemma II.12 Sei T ein abschließbarer Operator. Dann
gilt: Γ(T ) = Γ(T ).
Beweis II.37 Sei S eine beliebige abgeschlossene Erweiterung von T , nicht notwendigerweise die kleinste.
Dann gilt Γ(T ) ⊂ Γ(S). Wir definieren einen Operator R durch (1) den Definitionsbereich D(R) = {H �
|ψ� : (|ψ�, |φ�) ∈ Γ(T )} (|φ� = T |ψ�), und (2) durch die
Vorschrift: R|ψ� = |φ�, wobei |φ� ∈ H durch die Forderung (|ψ�, |φ�) ∈ Γ(T ) eindeutig bestimmt ist. Offenbar
23
ist Γ(R) = Γ(T ), also ist R eine abgeschlossene Erweiterng von T . Folglich gilt auch R ⊂ S. Nun ist S aber
eine beliebige abgeschlossene Erweiterung. Mit anderen
Worten R ⊂ S gilt für alle abgeschlossenen Erweiterungen. Das ist aber nur möglich, wenn R = T . ∗–< [{; 0)
Def. II.30 Sei T ein linearer Operator auf dem Hilbert–
Raum H, dessen Definitionsbereich D(T ) dicht in H ist.
Sei D(T † ) die Menge der |φ� ∈ H für die es ein |η� ∈ H
gibt, so daß
Und gleich noch ein Beispiel zu den eben eingeführten
Konzepten:
Für jedes |φ� ∈ D(T † ) definieren wir: T † |φ� = |η�. T †
heißt der adjungierte Opertator zu T .
Bsp. II.13 Sei H = L2 (R) , D(T ) = C0∞ (R), die beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger, und D(T1 ) = C01 (R), die einmal stetig differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger.
Sei (T f )(x) = if � (x) , ∀f ∈ D(T ) und (T1 f )(x) =
if � (x) , ∀f ∈ D(T1 ). T1 ist eine Erweiterung von T , hier
beschränken wir uns aber bescheiden auf die Aussage, daß
Γ(T ) ⊃ Γ(T1 ). Weiter unten zeigen wir, daß T ein symmetrischer Operator und daher abschließbar ist, woraus
folgt T ⊃ T1 . Sei {j� (x)} eine Approximation der Eins,
konkret: j� (x) := j(x/�)/�, wobei j(x) eine positive, beliebig oft differenzierbare Funktion auf dem �Träger (−1, 1)
bezeichne, mit der weiteren Eigenschaft: R dx j(x) = 1.
Für φ ∈ D(T1 ) setzen wir
�
df
φ� (x) =
dt j� (x − t)φ(t) .
Nach dem Satz II.4 von Riesz ist |φ� ∈ D(T † ) genau dann,
wenn |�T ψ|φ�| ≤ C�|ψ�� ∀|ψ� ∈ D(T ). Wir bemerken
noch: S ⊂ T � T † ⊂ S † . Die Forderung, daß D(T ) dicht
in H sein soll, war hier wichtig, damit |η� eindeutig durch
(46) bestimmt ist. Machen Sie sich klar, daß es prinzipiell
möglich ist, folgende Situation vorzufinden: D(T † ) = ∅.
R
Da j� (x) einen kompakten Träger hat und beliebig oft differenzierbar ist, gilt: φ� ∈ C0∞ (R), also φ� ∈ D(T ) ∀� ∈
R+ . Es ist
�
|φ� (x) − φ(x)| ≤
dt j� (x − t) |φ(t) − φ(x)|
�R
��
≤
sup
{t:|x−t|≤�}
=
sup
{t:|x−t|≤�}
|φ(t) − φ(x)|
R
�T ψ|φ� = �ψ|η�
∀|ψ� ∈ D(T ) .
(46)
Satz II.39 Sei T ein auf H dicht definierter Operator.
Dann gelten:
(1) T † ist abgeschlossen.
(2) T ist abschließbar genau dann, wenn D(T † ) = H.
(3) Ist T abschließbar, so gilt: (T )† = T † .
Def. II.31 Sei T ein abgeschlossener Operator auf dem
Hilbert–Raum H. Die Resolventenmenge ρ(T ) ist folgendermaßen definiert:
�
bijektiv
df
ρ(T ) = λ ∈ C : T − λI : D(T ) −→ H
�
und (T − λI)−1 ist beschränkt .
Ist λ ∈ ρ(T ), so heißt Rλ (T ) := (T −λI)−1 die Resolvente
dt j� (x − t) von T an der Stelle λ.
|φ(t) − φ(x)| .
Da φ einen kompakten Träger hat, ist φ gleichmäßig
stetig. Daher konvergiert φ� ∈ D(T ) gleichmäßig gegen
φ ∈ D(T1 ) in L2 (R). Und ähnlich,
�
(T φ� )(x) =
dt (T j� )(x − t)φ(t)
�
�
�R
d
=
dt (−i)
j� (x − t) φ(t)
dt
�R
=
dt j� (x − t)(T1 φ)(t)
R
L2 (R)
−→ (T φ)(x) .
L2 (R)
Insgesamt haben wir also gezeigt, daß φ� −→ φ und
L2 (R)
T φ� −→ T φ für jedes φ ∈ D(T1 ). Daraus folgt Γ(T ) ⊃
Γ(T1 ). ∗–< [{; 0)
Das Konzept des adjungierten Operators kann direkt
auf unbeschränkte Operatoren übertragen werden:
Das Spektrum, Punktspektrum und residuale
Spektrum werden genau so definiert wie im Falle von
beschränkten Operatoren.
Oft kann sich die Physik–Gemeinschaft nicht
des Eindruckes erwehren, daß Fragestellungen
bezüglich des Definitionsbereiches oder des Abschlusses eines Operators lediglich eine buchhalterische Pflicht darstellen, die allenfalls eine technische Unannehmlichkeit von periphärem Interesse bedeutet. Dieser Eindruck kommt in etwa
von folgender Idee: es ist doch lediglich notwendig, den Definitionsbereich ausreichend klein zu
wählen, so daß mit dem unbeschränkte Operator
sinnvoll gerechnet werden kann und mehr steht
da nicht dahinter. Na ja, den Meinungsbildungsprozeß auf Ihrer Seite will ich nicht beeinflussen, allerdings ist es fair zu erwidern, daß ein
sinnvoller Definitionsbereich oft mit der konkreten physikalischen Fragestellung zusammenhängt.
Außerdem hängen viele wichtige Eigenschaften
von Operatoren sensibel von der Wahl des Definitionsbereichs ab, insbesondere natürlich das
Spektrum.
24
2.
Symmetrische und selbst-adjungierte Operatoren
Wir beginnen zügig mit zwei ganz zentralen Begriffen:
Def. II.32 Ein auf einem Hilbert–Raum H dicht definierter Operator T heißt symmetrischer Operator (oder
auch hermitescher Operator), wenn T ⊂ T † , also wenn
D(T ) ⊂ D(T † ) und T |ψ� = T † |ψ� , ∀|ψ� ∈ H. Äquivalent: T ist symmetrisch genau dann, wenn
Auch um den Unterschied zwischen Kapitel II und dem
vorliegenden zu betonen, folgen wir hier der angelsächsischen Schule der informativen Wissensvermittlung ohne
axiomatischen Herangehensweise, sondern behalten einen
lockeren und hoffentlich flüssigen Erzählstil.
Bitte behalten Sie immer das einleitende einladende
Kapitel I im Blick.
A.
�T φ|ψ� = �φ|T ψ� ∀|φ�, |ψ� ∈ H .
Def. II.33 T heißt selbstadjungiert, wenn T = T † , also
genau dann, wenn T symmetrisch ist und D(T ) = D(T † ).
Ein symmetrischer Operator kann immer abgeschlossen werden, da D(T † ) ⊃ D(T ) dicht in H ist. Ist T
symmetrisch, so ist T † ein Abschluß von T . Präziser,
für symmetrische Operatoren gilt: T ⊂ (T † )† ⊂ T † .
Für einen abgeschlossenen symmetrischen Operator gilt:
T = (T † )† ⊂ T † , und für selbstadjungierte Operatoren
gilt sogar: T = (T † )† = T † . Dies impliziert, daß ein
abgeschlossener symmetrischer Operator T genau dann
selbstadjungiert ist, wenn T † symmetrisch ist.
Die Unterscheidung zwischen abgeschlossenen symmetrischen Operatoren und selbstadjungierten Operatoren
ist ungemein wichtig. Nur für selbstadjungierte Operatoren gilt der Spektralsatz. Außerdem können auch lediglich selbstadjungierte Operatoren exponiert werden,
um so unitäre 1–Parametergruppen zu liefern, die unter anderem für die Dynamik in der Quantenmechanik
zuständig sind. Daher benötigen wir ein Kriterium für
Selbsradjungiertheit.
Def. II.34 Ein symmetrischer Operator T heißt
essentiell selbstadjungiert, wenn T selbstadjungiert ist.
Ist T abgeschlossen, so heißt eine Untermenge D ⊂ D(T )
Kern von T , wenn gilt: T |D = T .
Ein essentiell selbstadjungierter Operator T hat genau
eine selbstadjungierte Erweiterung.
III.
PRÄLIMINARIEN (PRAXIS)
Dieser Praxisteil ist gut zum Rechnen und zur Erörterung der physikalischen Grundlagen der Quantenmechanik, hilft Ihnen aber nicht bei der Fundierung der mathematischen Konzepte, die zur Formulierung der Quantenmechanik eingesetzt werden. Eine klare Trennung
zwischen mathematischen und physikalischen Konzepten ist nur schwer möglich und vielleicht auch gar nicht
wünschenswert.
Trotzdem hilft Ihnen dieses Kapitel, in die faszinierende Physik der Quantenmechanik alsbald einzutauchen,
ohne die mathematische Finesse und das Eigenleben der
mathematischen Sprache gebührend zu bewundern. Eine zwar skizzenhafte, aber dennoch angemessene Würdigung des mathematischen Intellekts finden Sie im vorherigen Kapitel II.
Der Zustandsraum
Gegeben sei ein quantenmechanisches System S, dessen physikalischen Zustand wir mit lediglich einer Observablen notwendigerweise unvollständig charakterisieren wollen. Sei O diese Observable und M(O) ⊂ R die
Menge von möglichen Werten dieser Observablen, die bei
einem entsprechenden Experiment am betrachteten System S gemessen werden könnten. Übrigens ist M(O) a
priori nicht bekannt6 . Den Zustandsvektor (oder kurz:
Zustand) bezeichnen wir mit |m� (m ∈ M(O)), genannt
ket (nach Dirac). Für den Moment beschränken wir uns
als Zustandsraum Z auf einen komplexen Vektorraum
(später erweitern wir auf Hilbert–Räume).
Sei c ∈ C, c �= 0, und |m� � := c|m� ∈ Z. Die naheliegende Frage ist, ob |m� und |m� � wirklich unterschiedliche Charakterisierungen von S liefern können sollen? Die
Antwort ist nein, denn das System S soll ja hinsichtlich
einer Messung von O durch M(O) charakterisiert werden7 . Daher führen wir folgende Äquivalenzrelation ein:
|m� ∼ |m� �, wenn |m� � = c|m� (c �= 0). Der komplexe Zustandsraum zerfällt dann durch Quotientenbildung Z/ ∼
in Äquivalenzklassen:
df
[|m�] = {|m� � : ∃ c ∈ C , c �= 0, mit |m� � = c|m�} .
Solche Äquivalenklassen heißen Strahlen. Wir verzichten auf die umständliche Schreibweise und arbeiten immer mit Repräsentanten, sind uns aber der Quotientenbildung stets bewußt.
Wie lesen wir denn nun die Information über O aus einem Zustandsvektor von S aus? Dies ist eine erste naive
Frage nach der mathematischen Beschreibung des Meßprozesses. Physikalisch wäre folgendes wünschenswert:
Das System S wird mit einem Meßapparat in Kontakt
gebracht, welche in der Lage ist, O zu messen, also entsprechend m ∈ M(O) aus dem Zustand |m� auszulesen.
Das Resultat der Messung besteht in der Kenntnis des
Meßwertes m ∈ R und des Zustandes |m�, der das System S direkt nach seinem Kontakt mit dem Meßapparat
charakterisiert. Wir operieren also mit der Meßapparatur
6
7
Es handelt sich bei der Menge M(O) um das Spektrum der Observablen O, siehe Kapitel II.
Tatsächlich renormiert der komplexe Skalar c ja lediglich den
Vektor, der als Informationsträger für die möglichen Meßwerte
fungiert, allerdings haben wir den Begriff der Norm noch nicht
bereitgestellt in diesem Kapitel.
25
auf den Zustand |m� und das Resultat der Messung ist,
daß unsere Apparatur m mißt und das detektierte System
nach der Messung (falls keine weitere Wechselwirkung
folgt) im Zustand |m� ist. Dies können wir mathematisch
durch eine Eigenwertgleichung modellieren, wobei wir
die Apparatur durch die Observable, die sie messen soll,
ersetzen:
linear
O : Z −→ Z ,
O|m� = m|m� .
Hierbei wird die Observable O als linearer Operator realisiert, und der angesprochene Meßprozeß als Eigenwertgleichung, wobei die Eigenwerte m ∈ M(O) ⊂ R die
möglichen Meßwerte bei einer Messung von O am System S im Zustand |m� , m ∈ M(O) sind.
Nun braucht ein System S aber nicht derart präpariert zu sein. Die verwendete Mathematik kommt uns
jetzt zur Hilfe und erklärt auch c1 |m1 � + c2 |m2 � , c1 , c2 ∈
C , m1 , m2 ∈ M(O) als legitimen Zustand, schließlich
ist der Zustandsraum ja ein Vektorraum. Dies bedarf
natürlich einer physikalischen Interpretation, die weiter
unten auch kommen wird. Im Moment halten wir fest: Sei
M(O) = {m1 , . . . , mn } ⊂ R. Dann muß sich ein beliebiger
Zustand von S hinsichtlich O als komplexe Linearkombination der |mj � , j ∈ {1, . . . , n} darstellen lassen:
| z� =
n
�
j=1
cj |mj � , cj ∈ C .
Natürlich fehlt uns im Moment vollkommen die physikalische Interpretation einer solchen Linearkombination
(modulo unserer Einsichten aus Kapitel I)
B.
Der duale Zustandsraum
Sicherlich wollen wir die Möglichkeit haben, Zustandsvektoren linear auf komplexe Zahlen abzubilden. Dies
erlaubt die Identifikation der relevanten geometrischen
Struktur und stellt somit auch eine Intuitionsstütze dar.
Duale Vektoren, bezeichnet mit �n| (nach Dirac bra genannt), tun genau diesen Job für uns:
linear
�n| : Z −→ C ,
df
|m� −→ �n|(|m�) = �n|m� ,
wobei n ∈ M(O� ) und zur Observablen O� auch der Zustandsraum Z gehört.
Die komplexe Zahl �n|m� (nach Dirac bracket gennant) haben wir nicht von ungefähr so notiert: Die Vektoren des Dualraums Z ∗ operieren als lineare Funktionale auf Z. Ist nun der komplexe Vektorraum Z mit einem
Skalarprodukt
bilin.
�◦|◦� : Z × Z −→ C , |m1 � , |m2 � −→ �m1 |m2 �
ausgestattet, so erlaubt der Satz II.4 von Riesz folgende
salopp notierte Interpretation von dualen Vektoren: Zu
jedem �m| ∈ Z ∗ exisitiert ein |m� ∈ Z mit �m| = �m|◦�.
Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:
(1) �n|m� = �m|n�∗ ∀|m�, |n� ∈ Z.
(2) �m|m� ≥ 0 ∀|m� ∈ Z,
wobei �m|m� = 0 genau dann gilt, wenn |m� = 0|m� � für
|m� � ∈ Z, und |m� in diesem Fall Null–ket genannt wird.
Das Skalarprodukt erlaubt es, Geometrie auf dem Zustandsraum Z zu betreiben, und auch eine geometrische
Vorstellung und Intuition zu entwickeln. Zum Beispiel
heißen zwei Zustände |m�, |n� ∈ Z orthogonal zueinander, wenn �n|m� = 0. Dann gilt offenbar auch �m|n� = 0.
Oder ebenfalls ein wichtiges Beispiel: Für |m� =
� Null–ket
betrachten wir normierte Zustandsvektoren,
�
� = |m�/ �m|m� , �m|
� m�
�=1,
|m�
(47)
wobei �m|m� die Norm des Zustandes |m� bezeichnet.
Wir wählen immer normierte Zustandsvektoren als Repräsentanten der entsprechenden Strahlen, diese sind damit ausgezeichnet und diese Auszeichnung wird später
begründet werden.
C.
Beschränkte Observablen
linear
Operatoren O : Z −→ Z sind ein wichtiger Bestandteil zur mathematischen Modellierung von Messungen an
einem quantenmechanischen System S. Sie sind gewissermaßen die Auslesewerkzeuge, mit denen wir Informationen (Werte von Observablen) aus den Zustandsvektoren (kets) extrahieren, die S hinsichtlich der Observablen
O charakterisieren. Eine Besonderheit ist dabei, daß der
Auslesevorgang (die Messung) im wesentlichen durch eine Eigenwertgleichung des Operators beschrieben wird,
der der Observablen zugeordnet wird:
O|m� = m|m� ,
wobei der Bezeichner (möglicher Meßwert) reell sein muß,
m ∈ R. Diese Beschreibung wird uns aufgezwungen, weil
|m� ∈ Z und Z ein komplexer Vektorraum ist, und der
Zustand |m� selbst damit nicht observable sein kann.
Erinnern wir uns an die Klassische Mechanik
nach Hamilton: Hier war der Zustand eines Hamilton–
Systems (P, H) durch einen Vektor in einem reellen Vektorraum (Phasenraum) P = T ∗ M ∼
= Rn × Rn (n ∈ N)
gegeben. Denken wir uns den Phasenraum P global durch
(q, p) ∈ Rn ×Rn koordinatisiert, so sind Klassische Observablen (bzw. deren Komponenten) Funktionen
B : P −→ R , (q, p) −→ B(q, p) .
Wichtige Spezialfälle sind die klassische Ortsvariable:
j
BOrt
:= Pj ◦ Pr1 , j ∈ {1, 2, 3}, wobei Pra , a ∈ {1, 2} die
Projektion auf den a-ten Faktor im kartesischen Produkt
(q, p) bezeichne, und Pj (q) = q j die kanonische Projektion, zum Beispiel durch P j := �ej , ◦� über das Euklidische Skalarprodukt �◦, ◦� realisiert. Also ausführlich,
j
BOrt
(q, p) = Pj (Pr1 (q)) = Pj (q) = q j . Und die klassische Impulsvariable: BImp j := Pj ◦ Pr2 , j ∈ {1, 2, 3},
26
ganz entsprechend. Es hat sich eingebürgert, diese grundlegenden klassischen Observablen mit den entsprechenden Komponenten des Phasenraumvektors gleichzusetj
zen: BOrt
= q j , BImp j = pj .
Wir können folgendermaßen eine engere Beziehung zur
klassischen Formulierung herstellen: Sei P := Z ×Z ∗ und
BO : P −→ R ,
df
(|m�, �n|) −→ BO (m, n) =
�n|O|m�
,
�n|m�
where Z � |m� , |n� �= 0. Mit anderen Worten:
BO (|m�, �n|) = m ∈ M(O) ⊂ R. Die Notation ist so gemeint: Z � |Om� := O|m� und �n|O|m� := �n|Om�.
Es bietet sich nun an zu fragen, welche Eigenschaft von
O verantwortlich ist für M(O) ⊂ R. Zunächst führen wir
den zu O adjungierten Operator O† ein:
linear
O† : Z ∗ −→ Z ∗ , �n| −→ �n|O† .
Dank Riesz können wir dies salopp so interpretieren: es
gibt einen Zustand |On� := O|n� mit der Eigenschaft
�n|O† = �On|◦�. Also, �n|O† |m� = �On|m� = �m|On�∗ =
�m|O|n�∗ ∀|m�, |n� ∈ Z.
Operatoren mit �n|O|m� = �n|O† |m� heißen selbstadjungiert, also �n|O|m� = �m|O|n�∗ , was auch kurz
folgendermaßen notiert wird: O† = O. Selbstadjungierte
Operatoren eignen sich wunderbar als Observablen, denn
BO (m, n) = BO† (m, n) � �n|m�(BO (m, n) − BO∗ (n, m)) =
0 � (m − n∗ )�n|m� = 0. Ist n = m, so folgt m = m∗ ,
also m ∈ R. Gilt m �= n, so folgt (wegen M(O) ⊂ R)
(m − n)�n|m� = 0, weshalb außerdem �n|m� = 0 ∀m, n ∈
M(O) , m �= n folgt. Das bedeutet, daß die Eigenvektoren
(Eigenzustände) von O zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind (setzen wir normierte Eigenzustände
voraus, so sind Eigenzustände zu unterschiedlichen Eigenwerten sogar orthonormiert).
Bezüglich einer Observablen O muß ein beliebiger Zustand | z � als Linearkombination
| z� =
�
m∈M(O)
c(m)|m� , c(m) ∈ C ∀ m ∈ M(O) .
geschrieben werden können, d.h. {|m�}m∈M(O) ist eine vONB von Z. Dies ist physikalisch absolut sinnvoll, allerdings wollen wir diese folkloristische Aussage ein bisschen genauer beleuchten. Der Zustand | z �
kann prinizpiell nämlich noch Information über andere
Observablen O(1) , O(2) , . . . tragen, zum Beispiel | z � =
|m(1) , m(2) , . . . � , m(1) ∈ M(O(1) ), m(2) ∈ M(O(2) ), . . . .
Obige Linearkombination ist daher präziser folgendermaßen zu verstehen: Bezüglich der Observablen O(j) , j ∈
{1, 2, . . . } ⊂ N gilt,
(1)
(j)
| z � ≡ |z , . . . , z , . . . �
�
�
�
c z(1) , . . . , m(j) , . . . |z(1) , . . . , m(j) , . . . � .
=
m(j) ∈M(O (j) )
Es hat sich aber eingebürgert, lediglich den Bezeichner zu
verwenden, der zu der Observablen gehört, die wir konkret zur Charakterisierung des physikalischen Zustandes
eines quantenmechanischen Systems heranziehen wollen.
Es drängt sich die Frage auf, ob wir ohne Sorge Informationen zu jeder beliebigen Observablen-Kombination
oder gar aller Observablen in einen Zustand | z � ablegen
können?
Dies ist in der Klassischen Mechanik der Fall, was wir
sogleich als Eigenschaft der Observablen-Konstruktion
i
einsehen: Zum Beispiel gilt offenbar BOrt
◦ BImp j =
i
BImp j ◦ BOrt . Genau diese Eigenschaft charakterisiert die
Algebra der klassischen Observablen als Abelsch, d.h. es
kommt nicht auf die Reihenfolge der Messungen an, es ist
egal, ob zuerst die j–Komponente des Impulses und dann
die i–Komponente des Ortes gemessen wird, oder umgekehrt. Diese algebraische Eigenschaft von klassischen Observablen ermöglicht es, den Phasenraum eines HamiltonSystems als Informationsspeicher für die gesamte Information über ein gegebenes mechanisches System anzusehen.
Im Falle der Quantenmechanik fragen wir zunächst,
linear
welche Eigenschaft die Observablen O(j) : Z −→
(j)
(1) (2)
(j)
(1) (2)
Z , O |m m � = m |m m � , j ∈ {1, 2} erfüllen
müssen, damit die Reihenfolge, in der diese gemessen
werden, keine Rolle spielt. Die Antwort ist schnell gefunden und für auf eine neue mathematische Struktur:
0 = BO(1) O(2) − BO(2) O(1) = B[O(1) ,O(2) ] , wobei wir den
Kommutator [O(1) , O(2) ] := O(1) ◦ O(2) − O(2) ◦ O(1)
von O(1) und O(2) eingeführt haben. Offenbar spielt
die Reihenfolge der Komposition (Hintereinanderschaltung) von O(1) und O(2) genau dann keine Rolle, wenn
[O(1) , O(2) ] = 0, wenn also O(1) und O(2) kommutieren.
Noch ein kleiner Vermerk zur Notation: [O(1) , O(2) ] = 0
meint [O(1) , O(2) ]|Z� = 0 ∀ | z � ∈ Z. Kommutierende Observablen heißen auch miteinander verträgliche Observablen. Es macht sicherlich Sinn, quantenmechanische Zustände mit miteinander verträglichen Observablen zu kennzeichnen. Aber macht es auch keinen
Sinn, quantenmechanische Zustände mit unverträglichen
(nicht verträglichen) Observablen zu bezeichnen? Sei also [O(1) , O(2) ] = R �= 0. Dann kann |m(1) , m(2) � nicht
gleichzeitig Eigenzustand von O(1) und O(2) sein. Somit eignen sich nur miteinander verträgliche Observablen als gemeinsame Bezeichner von quantenmechanischen Zuständen.
Wir haben oben physiaklisch motiviert, daß
{|m�}m∈M(O) eine vONB von Z hinsichtlich der
Observablen O bildet,
�
| z� =
c(m)|m� , c(m) ∈ C ∀ m ∈ M(O) .
m∈M(O)
Daher sind die c(m) ∈ C durch c(m) = �m | z � gegeben.
Einsetzen in die Linearkombination liefert
�
�
| z� =
�m | z �|m� ≡
|m��m | z � .
m∈M(O)
m∈M(O)
27
Dies legt dem Objekt |m��m| eine strukturelle Bedeutung
dann gilt
linear
nahe. Abbildungstechnisch haben wir |m��m| : Z −→
Z , | z � −→ c(m)|m�. Mit c(m) = �m | z � handelt es bei
|m��m| im geometrischen Sinne um eine Projektion von
| z � auf |m� entlang des Eigenzustandes |m� der Observablen O. Tatsächlich gilt (|m��m| ◦ |m��m|) | z � = |m��m | z �
und (|m� ��m� | ◦ |m��m|) | z � = 0 für m �= m� . Da die
{|m�}m∈M(O) eine vONB bilden, gilt auch
�
m∈M(O)
|m��m| = id ,
wobei id : Z −→ Z , id | z � =| z � den Identitätsoperator
(die identische Abbildung) bezeichne.
Sei | z � ∈ Z normiert. Dann gilt
1 = �z | z �
�
=
m� ∈M(O)
�
=
�
m∈M(O)
2
m∈M(O)
�z|m� ��m� |m�� m | z �
� �� �
δm,m�
|c(m)| .
m� ∈M(O) m∈M(O)
�
�
m� ∈M(O) m∈M(O)
|m� �Ym� m �m| ,
wobei die Komponenten Ym� m der zu Y zugeordneten Matrix folgendermaßen angeordnet seien:


�m1 |Y|m1 � �m1 |Y|m2 � . . .


�m |Y|m � �m |Y|m � . . .
 2
 .
1
2
2




..
..
..
.
.
.
�
m�� ∈M(O)
O
m� ∈M(O)
�
�
m∈M(O)
|m� ��m� |O|m��m|
m|m��m| .
(48)
m∈M(O)
Ebenso können wir Zustände | z � als Komponenten
(�m1 | z �, �m2 | z �, . . . ) von Vektoren bezüglich der Basis
{|mj �}mj ∈M(O) auffassen.
Wir beschließen diesen Abschnitt über beschränkte
Observablen mit einem Beispiel:
Bsp. III.1 Gegeben sei eine SGz (±)–Apparatur. Ein
Silberatom, welches diese Apparatur durchläuft, hat die
Observable Spin Sz in z–Richtung mit den möglichen
Meßwerten: M(Sz ) = {Sz (+), Sz (−)}, der zugehörige Vektorraum ist also 2–dimensional und wird von
{|Sz (−)�, |Sz (+)�} aufgespannt. Der Identitätsoperator
ist explizit durch id = |Sz (−)��Sz (−)| + |Sz (+)��Sz (+)|
gegeben. Nach (48) gibt es dann folgende nützliche Darstellung von Sz :
(1)
(1)
m� m�� O m�� m
Da {|Sz (−)�, |Sz (+)�} eine vONB ist, finden wir ohne
Mühe
Sz |Sz (±)� = Sz (±) |Sz (±)� .
Ein beliebiger Zustand ist durch | z � = c(+)|Sz (+)� +
c(−)|Sz (−)� gegeben, wobei c(±) = �Sz (±) | z �
und wegen |c(+)|2 + √
|c(−)|2 = 1 aus Symmetriegründen c(±) = 1/ 2 gilt. Bezüglich der vONB
{|Sz (−)�, |Sz (+)�} können wir die Eigenzustände von
Sz folgendermaßen darstellen: |Sz (+)� =
� (1, 0) und
|Sz (−)� =
� (0, 1). Wenn Sie es nicht gleich sehen,
dann schreiben Sie für den allgemeinen Zustand | z � =
|Sz (+)��Sz (+) | z � + |Sz (−)��Sz (−) | z �, dies entspricht
in der vONB dem Vektor (�Sz (+) | z �, �Sz (−) | z �). Jetzt
brauchen Sie lediglich auf | z � = |Sz (±)� zu spezialisieren
und die Normierung der Basis–Eigenzustände zu berücksichtigen. Die Matrixdarstellung von Sz ist somit:
�
�
Sz (+)
0
Sz =
�
.
(49)
0
Sz (−)
IV.
Diese Darstellung ist sinnvoll: Sei Y := O(1) ◦ O(2) die
Komposition zweier Operatoren O(j) , j ∈ {1, 2} in Z.
Dann gilt für m, m� ∈ M(O):
Ym� m =
=
�
Sz = Sz (+) |Sz (+)��Sz (+)| + Sz (−) |Sz (−)��Sz (−)| .
Wir erhalten also ohne jede Mühe eine Einschränkung
der Koeffizienten in der Linearkombination, die ganz den
geometrischen Charakter der Projektion widerspiegelt.
Die gewonnene geometrische Einsicht können wir nun
nutzen, um eine bessere Vorstellung von Operatoren auf
Zustandsräumen Z mit dim(Z) < ∞ zu erhalten. Im wesentlichen haben wir es ja mit Endomorphismen zu tun
und können daher nach einer Matrixdarstellung solcher
Operatoren fragen:
�
�
Y =
|m� ��m� |Y|m��m|
≡
O =
.
Die Matrixdarstellung eines
� Operators O wird besonders
einfach, wenn wir id = m∈M(O) |m��m| benutzen, denn
MESSPROZESS & INTERPRETATION
Die Tatsache, daß Zustandsräume in der Quantenmechanik notwendig Vektorräume über dem komplexen
Zahlenkörper sind, zwingt uns so ausführlich über Observablen und den Meßprozeß nachzudenken, insbesondere
auch was die Interpretation von Zuständen als Linearkombination der Basis–Eigenzustände einer Observablen
betrifft.
Statt eine Reihe von an dieser Stelle mehr oder weniger
motivierten Postulaten zu verdauen, wollen wir den Meßprozeß in der Quantenmechanik ein wenig naiv aber instruktiv modellieren. Das Ziel ist, eine sich beinahe schon