¨Ubungen zum Vorkurs Mathematik

Übungen zum Vorkurs Mathematik
Blatt 1
W.S.2008/2009 - Ernst Bönecke
Aufgaben zur Aussagenlogik
1.) Seien 𝐴, 𝐵, 𝐶 Aussagen. Beweisen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln,
dass folgende Aussagen stets wahr sind:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
¬(¬𝐴)
𝐴 ∧ (𝐴 =⇒ 𝐵)
(𝐴 =⇒ 𝐵) ∧ (𝐵 =⇒ 𝐶)
(𝐴 =⇒ 𝐵)
¬(𝐴 ∧ 𝐵)
(𝐴 =⇒ 𝐵) ∧ (𝐵 =⇒ 𝐴)
⇐⇒
=⇒
=⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
𝐴
𝐵
(𝐴 =⇒ 𝐶)
((¬𝐵) =⇒ (¬𝐴))
¬𝐴 ∨ ¬𝐵
(𝐴 ⇐⇒ 𝐵)
2.) Seien 𝐴 und 𝐵 Aussagen. Schreiben Sie eine Wahrheitstafel für die
Verknüpfung “entweder 𝐴 oder 𝐵 ” auf und geben Sie eine logisch
gleichwertige Aussage an, in der 𝐴 und 𝐵 nur durch ¬ , ∧ , ∨ verknüpft sind.
3.) Formulieren Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Aussagenlogik
und überprüfen Sie ihren Wahrheitswert:
a) 9 ist eine Quadratzahl und gerade, oder 9 ist keine Quadratzahl
und ungerade.
b) Wenn 5 Teiler von 35 oder 7 Teiler von 29 ist, dann ist 8 Teiler
von 24 und 24 kleiner als 8 .
4.) Sind die folgenden Aussagen über ganze Zahlen gleichbedeutend, oder
gilt nur “ =⇒ ”?
𝑥
𝑥+1
(𝑥 + 1)2
𝑥2 + 2𝑥 + 1
2𝑥2 + 4𝑥 + 2
∀ 𝑏 ∈ ℤ : (2𝑏 𝑥2 + 4𝑏 𝑥 + 2𝑏
0
Bitte wenden !
=
=
=
=
=
=
=
7
8
64
64
128
128 𝑏)
0 .
Aufgaben zur Mengenlehre
5.) Sei
𝑀1 := {4, 8, 12} ,
𝑀3 := {0, 2, 4, 6} ,
𝑀2 := {3, 6, 9} ,
𝑀4 := {6, 12, 18} .
Berechnen Sie 𝑀 := ((𝑀1 ∪ 𝑀2 ) ∩ 𝑀3 ) ∖ 𝑀4
.
6.) Seien 𝑀 , 𝑁 , 𝑅 Mengen. Zeigen Sie :
a) 𝑀 ⊂ 𝑁 ∧ 𝑁 ⊂ 𝑅 =⇒ 𝑀 ⊂ 𝑅
b) 𝑀 ∩ (𝑀 ∪ 𝑁 ) = 𝑀 ∧ 𝑀 ∪ (𝑀 ∩ 𝑁 ) = 𝑀
c) 𝑀 ⊂ 𝑁 =⇒ (𝑀 ∩ ∁𝑁 𝑀 = ∅ ∧ 𝑀 ∪ ∁𝑁 𝑀 = 𝑁 ) .
7.) Für jedes 𝑘 aus einer nichtleeren Menge 𝐾 sei eine Menge 𝑀𝑘
gegeben. Dann setzt man
∩
𝑀𝑘 := { 𝑥 ∣ ∀ 𝑘 ∈ 𝐾 : 𝑥 ∈ 𝑀𝑘 } und
𝑘∈𝐾
∪
𝑀𝑘
:=
{ 𝑥 ∣ es gibt ein 𝑘 ∈ 𝐾 mit 𝑥 ∈ 𝑀𝑘 }
𝑘∈𝐾
Sei 𝐾 = ℕ und für 𝑘 ∈ ℕ sei
𝑀𝑘
:=
𝑁𝑘
Berechnen Sie
∪
𝑀𝑘
{−𝑘, −(𝑘 − 1), . . . , −1, 0, 1, . . . , 𝑘 − 1, 𝑘} ,
}
{ 𝑟 .
:=
𝑟 ∈ ℤ ∧ −𝑘 2 ≤ 𝑟 ≤ 𝑘 2
𝑘
,
𝑘∈ℕ
∩
𝑀𝑘
,
𝑘∈ℕ
∪
𝑁𝑘
,
∩
𝑁𝑘
.
𝑘∈ℕ
𝑘∈ℕ
8.) Seien 𝑋 und 𝑌 Mengen und
𝑓 : 𝑋 −→ 𝑌
eine Funktion. Seien 𝐴 , 𝐵 ⊂ 𝑋 und 𝐶 ⊂ 𝑌 . Zeigen Sie:
a)
b)
𝑓 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑓 (𝐴) ∪ 𝑓 (𝐵)
𝑓 (𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝑓 (𝐴) ∩ 𝑓 (𝐵)
,
,
−1
𝐴 ⊂
c)
𝑓 (𝑓 (𝐴))
,
−1
d)
𝑓 ( 𝑓 (𝐶)) ⊂ 𝐶
.
Die Aufgaben werden in den Übungen am 29.9.08 besprochen.
.
Übungen zum Vorkurs Mathematik
Blatt 3
W.S.2008/2009 - Ernst Bönecke
Logik und Quantoren
9.) Welche der folgenden Formeln sind formal korrekt? Dabei seien 𝑀 , 𝑁
Mengen und 𝐴(𝑥) , 𝐵(𝑥) , 𝐶(𝑥, 𝑦) Aussagen, deren Wahrheitswert davon abhängt, welches 𝑥 aus 𝑀 und welches 𝑦 aus 𝑁 man einsetzt:
a) 𝑦 ∈ 𝑁 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑀 : 𝐴(𝑥) ∧ 𝐵(𝑥)
b) ∀ 𝑥 ∈ 𝑀 ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 : (𝐴(𝑥) ∧ 𝐶(𝑥, 𝑦)))
c) ∀ 𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 : (𝐴(𝑥) ∨ 𝐵(𝑥))
d) 𝑥 ∈ 𝑀 ∧ ∃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑀 × 𝑁 : 𝐶(𝑥, 𝑦)
10.) Sei 𝑀 die Menge aller verheirateten Menschen, dann definieren wir für
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 :
𝑆(𝑥) := 𝑥 kann schwimmen.
𝑁 (𝑥) := 𝑥 ist Nichtschwimmer.
𝑉 (𝑥, 𝑦) := 𝑥 ist mit 𝑦 verheiratet.
Geben Sie damit Aussagen an, die beweisen, dass in den Formeln (4)
und (9) von (2.8) nicht “ ⇐⇒ ” stehen darf. Ist die Aussage
∀ 𝑧 ∈ 𝑀 ∃ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 : (𝑉 (𝑥, 𝑧) ∧ 𝑉 (𝑦, 𝑧)) richtig ?
11.) Sind die folgenden Aussagen wahr ? Geben Sie einen Beweis für Ihre
Behauptung an:
a) ∀ 𝑥 ∈ ℕ ∃ 𝑦 ∈ ℕ : 𝑦 < 𝑥 ,
b) ∀ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ : 𝑦 < 𝑥 − 2 ,
c) ∃ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℕ : (𝑥 = 𝑦 2 ∧ 𝑥 = 𝑧 3 ) ,
d) ∃ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℕ : 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ,
e) ∃ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℕ : 𝑥3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 ,
f) ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑝 ∈ ℕ : (𝑝 > 𝑛 ∧ 𝑝 ist prim ∧ 𝑝 + 2 ist prim) .
( e) und f) werden Sie vielleicht nicht heute schaffen. )
12.) Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Quantoren in möglichst
einfacher Form, verneinen Sie die Aussagen und übersetzen Sie sie wieder in deutsche Sätze:
a) Jedes Haus hat einen Aufzug.
b) Jedes Haus hat eine Wohnung mit Balkon.
c) Jedes Haus hat eine Wohnung ohne Balkon.
d) Es gibt ein Haus mit einer Wohnung mit Balkon.
e) Es gibt ein Haus, in dem alle Wohnungen einen Balkon haben.
Bitte wenden!
Gleichungen und Ungleichungen
13.) Finden Sie die reellen Lösungen 𝑥 der folgenden Gleichungen:
∣𝑥 − 3∣ =
a)
b)
c)
2𝑥 + 7
4𝑥 − 2
√
√
√
3 − 𝑥 − 𝑥 + 5 − 3𝑥
2𝑥
,
=
𝑥 − 10
4𝑥 − 5
,
=
0
.
14.) Finden Sie die reellen Lösungen 𝑥 von 𝑓 (𝑥) = 0 für
a)
b)
c)
𝑓 (𝑥) :=
𝑓 (𝑥) :=
𝑓 (𝑥) :=
3𝑥2 − 3𝑥 − 6
𝑥2 − 4𝑥 + 4
𝑥2 + 144
,
,
,
und zeichnen Sie die Mengen { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∣ 𝑦 = 𝑓 (𝑥) }
.
15.) Haben die folgenden Ungleichungssysteme eine Lösung ? Zeichnen Sie
gegebenenfalls die Lösungsmenge:
a)
b)
c)
𝑦 ≥ ∣𝑥 − 3∣
𝑦 ≥ ∣𝑥 − 3∣
𝑥 ≥ 𝑦2 − 2
∧
∧
∧
𝑦 ≤ −∣𝑥 − 3∣ + 2
𝑦 < −∣𝑥 − 3∣
𝑥 ≤ 2 − 𝑦2
,
,
.
16.) Im Analysis-Teil haben Sie den binomischen Lehrsatz
)
𝑛 (
∑
𝑛
𝑛
∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ : (𝑎 + 𝑏) =
𝑎𝑘 𝑏𝑛−𝑘
𝑘
𝑘=0
kennengelernt. Zeigen Sie damit (ohne Induktion)
)
𝑛 (
∑
𝑛
𝑛
∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑥 ∈ ℝ : (1 + 𝑥) =
𝑥𝑘
𝑘
𝑘=0
und damit (direkt, ohne Induktion)
a) ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀𝑥 ∈ ℝ : (𝑥 ≥ 0 =⇒ (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥) ,
(
( ) )
𝑛
𝑛
b) ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑛 ≥ 2 =⇒ (1 + 𝑥) ≥ 1 +
𝑥2
2
und mit b), direkt, dass für alle natürlichen Zahlen größer oder gleich
2 gilt :
√
√
2
𝑛
𝑛−1 ≤
.
c)
𝑛
Die Aufgaben werden in den Übungen am 1.10.08 besprochen.
Übungen zum Vorkurs Mathematik
Blatt 5 a
W.S.2008/2009 - Ernst Bönecke
Geraden und Ebenen
17.) Im ℝ2 seien 𝑝 := (1, 2) und 𝑞 := (−3, 5).
a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden 𝐺 durch 𝑝 und
𝑞 an.
b) Geben Sie eine Gleichungsdarstellung dieser Geraden an, d.h. finden
Sie 𝑐 ∈ ℝ2 und 𝛼 ∈ ℝ , so dass
{
}
𝐺 = 𝑥 ∈ ℝ2 < 𝑐, 𝑥 > = 𝛼
ist. (Tipp: Satz 5.11.)
18.) Sei 𝐻𝑐,𝛼 = { 𝑥 ∈ ℝ2 ∣ < 𝑐, 𝑥 > = 𝛼 }
mit 𝑐 ∈ ℝ2 ∖ {0} und
𝛼 ∈ ℝ die Gleichungsdarstellung einer Geraden. Berechnen Sie, wenn
sie existieren, die Schnittpunkte dieser Geraden mit der 𝑥1 − und der
𝑥2 −Achse und zeichnen Sie die Gerade.
19.) Für 𝑐 := (1, −1, 2) ∈ ℝ3 und 𝛿 := −1 sei
{
}
𝐸 := 𝑥 ∈ ℝ3 < 𝑐, 𝑥 > = 𝛿
.
Finden Sie Vektoren 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ3 ∖ {0} mit 𝑎⊥𝑏 , 𝑎⊥𝑐 und 𝑏⊥𝑐 , ein
Element 𝑝 ∈ 𝐸 und zeigen Sie damit
𝐸 = 𝐸𝑝,𝑎,𝑏
.
Geht das auch allgemein für beliebiges 𝑐 ∈ ℝ3 ∖ {0} und 𝛿 ∈ ℝ ?
Hinweis: Sei 𝑥 ∈ ℝ3 , dann ist (𝑥, 𝑎, 𝑏, 𝑐) nach Folgerung 6.18
linear abhängig. Zeigen Sie damit, dass 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 ∈ ℝ existieren mit
𝑥 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑏 + 𝛾𝑐 .
20.) Sei 𝐸𝑝,𝑎𝑏 mit 𝑝, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ3 und linear unabhängigem Paar (𝑎, 𝑏) eine
Ebene im ℝ3 .
a) Zeigen Sie: Es gibt ein 𝑐 ∈ ℝ3 mit 𝑐⊥𝑎 und 𝑐⊥𝑏 , so dass
{
}
𝐸𝑝,𝑎,𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ3 < 𝑐, 𝑥 > = < 𝑐, 𝑝 >
ist.
b) Berechnen Sie 𝑐 und < 𝑝, 𝑐 > für
𝑝 := (1, −1, 2) , 𝑎 := (3, −4, 7) und 𝑏 := (1, 1, 3) .
c) Wie kann man allgemein 𝑐 aus 𝑎 und 𝑏 berechnen ?
Die Aufgaben werden in den Übungen am 6.10.08 besprochen.
Übungen zum Vorkurs Mathematik
Blatt 6
W.S.2008/2009 - Ernst Bönecke
Matrizenrechnung
21.) Berechnen Sie alle möglichen Produkte der folgenden Matrizen mit Elementen aus ℝ :
⎛
⎞
(
)
(
)
1 2
1 2
0 1 −1
𝐴 :=
, 𝐵 :=
, 𝐶 := ⎝ 3 −1 ⎠ ,
−1 1
2 1 3
2 0
⎛
⎞
3 0 4
⎝
−1
1 −2 ⎠ .
𝐷 :=
2 1 7
22.) Sei 𝑚 ∈ ℕ und 𝐴 ∈ ℳat(𝑚 × 𝑚, ℝ) . Dann definiert man die 𝑘−te
Potenz 𝐴𝑘 von 𝐴 rekursiv durch
𝐴0 := 𝐸𝑚
,
𝐴𝑘+1 := 𝐴𝑘 ⋅ 𝐴 für 𝑘 ∈ ℕ0
Berechnen Sie 𝐴𝑘 für 𝑘 ∈ ℕ0 und 𝐴 :=
(
)
(
)
0 1
−1 −1
,
,
−1 0
1
0
⎞
0 0 0
⎝ 1 0 0 ⎠
3 2 0
.
⎛
.
Beweisen Sie Ihre Behauptungen durch Induktion.
23.) In ℳat(2 × 2, ℝ) setzt man
(
02 :=
0 0
0 0
)
.
a) Zeigen Sie : ∀ 𝐴 ∈ ℳat(2 × 2, ℝ) : 02 ⋅ 𝐴 = 𝐴 ⋅ 02 = 02 .
b) Gilt die Aussage :
∀ 𝐴, 𝐵 ∈ ℳat(2 × 2, ℝ) : (𝐴 ∕= 02 ∧ 𝐵 ∕= 02 =⇒ 𝐴 ⋅ 𝐵 ∕= 02 ) ?
(
)
𝑎 𝑏
∈ ℳat(2 × 2, ℝ) . Unter welcher Voraussetzung
24.) Sei 𝐴 =
𝑐 𝑑
existiert ein 𝐵 ∈ ℳat(2 × 2, ℝ) mit
(
)
1 0
𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐸2 =
?
0 1
a) Zeigen Sie mit Rechenregel (6.7) b) : Wenn so ein 𝐵 existiert, ist
es eindeutig bestimmt. Man schreibt daher
𝐴−1
:=
𝐵
.
b) Geben Sie eine Formel zur Berechnung von 𝐴−1 an, falls es
existiert.
c) Zeigen Sie: Seien 𝐴, 𝐶 ∈ ℳat(2 × 2, ℝ) und es existiere 𝐴−1 und
𝐶 −1 . Dann existiert auch (𝐴 ⋅ 𝐶)−1 .
Bitte wenden !
Lineare Gleichungssysteme
25.) Im ℝ3 seien die Ebenen
{
𝐸 := 𝑥 ∈ ℝ3
{
𝐹 := 𝑥 ∈ ℝ3
}
2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 = 1 ,
}
− 𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 4
gegeben. Geben Sie, falls existent, die Schnittgerade 𝐺 := 𝐸 ∩ 𝐹 in
Parameterform an.
26.) Geben Sie eine auf der Ebene 𝐸 := 𝐸(0,1,1),(1,−1,2),(0,2,1) senkrechte
Gerade 𝐺 durch (2, −2, 0) in Parameterform an, bestimmen Sie den
Schnittpunkt 𝑠 von 𝐺 und 𝐸 und den Abstand ∥𝑠 − (2, −2, 0)∥ .
27.) Bestimmen Sie, abhängig von 𝛽 ∈ ℝ , alle Lösungen
(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ) ∈ ℝ4 von
a)
b)
𝑥1
2𝑥1
3𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑥1
+
2𝑥2
−
𝑥2
+ (1 − 𝛽)𝑥2
−
2𝑥2
+ 2𝑥2
− 𝑥2
+ 𝑥2
− 2𝑥2
−
𝑥3
+
3𝑥3
+ (𝛽 − 3)𝑥3
−
𝑥3
+ 3𝑥3
− 𝑥 3 + 𝑥4
− 𝑥 3 − 𝑥4
+ 𝑥3 + 3𝑥4
=
=
=
=
+ 𝑥4
− 𝑥4
+ 𝑥4
+ 3𝑥4
𝛽
2𝛽
1
0
= 0
= 0
= 0
= 0
,
.
28.) Prüfen Sie, ob (𝑎, 𝑏, 𝑐) linear unabhängig ist, für folgene Vektoren
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ4 :
a) 𝑎 := (1, 2, 3, 4) , 𝑏 := (5, 6, 7, 8) , 𝑐 := (9, 10, 11, 12) ,
b) 𝑎 := (1, 1, 2, 2) , 𝑏 := (2, 1, 2, 1) , 𝑐 := (3, 4, 5, −1) .
Die Aufgaben werden in den Übungen am 6.10.08 besprochen.
Aufgaben, die nicht mehr besprochen werden
(und über die Sie bis zum Beginn der Vorlesungen nachdenken können):
29.) Seien 𝑠, 𝑚, 𝑛, 𝑟 ∈ ℕ , 𝐶 ∈ ℳat(𝑠 × 𝑚, ℝ) , 𝐴 ∈ ℳat(𝑚 × 𝑛, ℝ) ,
𝐵 ∈ ℳat(𝑛 × 𝑟, ℝ) . Beweisen Sie die Rechenregel (6.7) b)
(“Assoziativgesetz für die Matrizenmultiplikation”):
𝐶 ⋅ (𝐴 ⋅ 𝐵)
=
(𝐶 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐵
Hinweis: 𝐴 ⋅ 𝐵 ist die Matrix (𝑑𝑘𝑙 ) mit
𝑑𝑘𝑙 =
𝑛
∑
𝑎𝑘𝑗 𝑏𝑗𝑙
für 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑚} , 𝑙 ∈ {1, . . . , 𝑟} ,
𝑗=1
es kommt auf einen geschickten Umgang mit dem Summenzeichen an.
⎛
⎞
1 −1 3
30.) Sei 𝐴 = ⎝ 2 5 −7 ⎠ ∈ ℳat(3 × 3, ℝ) . Berechnen Sie
0 7
6
𝐵 := 𝐴−1 mit dem Gauß-Algorithmus. Fassen Sie dazu die Spalten 𝑏𝑗
der Matrix 𝐵 als unbekannten Vektor im Gleichungssystem 𝐴⋅𝑏𝑗 = 𝑒𝑗
auf, wobei 𝑒𝑗 der 𝑗−te Spaltenvektor von 𝐸3 ist, für 𝑗 ∈ {1, 2, 3} .
Das sind drei Gleichungssysteme mit je 3 Unbekannten und der gleichen
einfachen Koeffizientenmatrix, die Sie (am besten gleichzeitig) lösen
können, indem Sie die Matrix 𝐴 durch elementare Zeilenumformungen nicht nur auf Zeilenstufenform, sondern sogar auf die Form 𝐸3
bringen, und natürlich die gleichen Umformungen an den “rechten Seiten” 𝑒𝑗 vornehmen.
31.) Sei 𝑛 ∈ ℕ , 𝐴, 𝐶 ∈ ℳat(𝑛 × 𝑛, ℝ) , und wir setzen voraus, dass
𝐴−1 , 𝐶 −1 existieren mit
𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐸𝑛
,
𝐶 ⋅ 𝐶 −1 = 𝐶 −1 ⋅ 𝐶 = 𝐸𝑛
a) Zeigen Sie (allgemeiner als in Aufgabe 24) , dass auch
(𝐴 ⋅ 𝐶)−1 und (𝐶 ⋅ 𝐴)−1 existieren.
b) Existiert auch (𝐴 + 𝐶)−1 ?
.