Vorkurs Mathematik– Teil II. Analysis

Inhalt
Vorkurs Mathematik–
Teil II. Analysis
1.
2.
3.
4.
Konvergenz
Grundlegendes über Funktionen, Stetigkeit, Ableitung und Integral
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Elementare Funktionen
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1.1 Konvergenz - Motivation
1.1 Konvergenz - Motivation
√
√
Wie wir gesehen haben, ist 2 nicht als ein Bruch darstellbar. Das bedeutet, dass 2
eine Dezimaldarstellung hat, die weder abbricht, noch irgendwann√periodisch wird.
Benutzung eines Taschenrechners ergibt nach dem Eintippen von 2 eine Ausgabe
von
1.414213562373095
aber diese Zahl ist gleich
1414213562373095
,
1000000000000000
√
also ein Bruch und kann deswegen
nicht gleich 2 sein. Das liegt daran, dass man
√
die Dezimaldarstellung von 2 nicht einfach abbrechen lassen kann. Sie vollständig
hinschreiben kann man aber auch nicht, es sei denn, man hat unendlich lange Zeit.
Das bedeutet, wir müssen neu darüber nachdenken, was es überhaupt heissen soll,
eine irrationale
Zahl hinzuschreiben. Im Beispiel der Wurzel aus zwei wissen wir,
√
dass 2 − 1.41421 eine Zahl ist, deren Dezimaldarstellung mit 5 Nullen nach dem
Komma beginnt, d.h.
√
2 − 1.41421 = 0.00000irgendwas < 0.00001 = 10−5.
√
Wir können also 2 durch eine Zahlenfolge (an )n∈N mit √
a1 = 1, a2 = 1.4, a3 = 1.41
Stelle
a4 = 1.414 usw. (d.h. an ist die Dezimalentwicklung von 2 bis zur (n −1)-ten
√
nach dem Komma) darstellen. Diese Folge hat die Eigenschaft, dass | 2 − an | <
10−(n−1) ist, d.h. an liefert eine immer bessere Näherung der Wurzel aus zwei.
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Wenn wir ein bischen weiter darüber nachdenken, ist sowohl die speziell ausgewählte Folge, als auch die Eigenschaft, dass sich die Approximation in jedem Schritt
verbessert, nicht entscheidend. So erhalten wir durch Abstraktion dieser speziellen
Situation die Definition von Folgen und ihrer Konvergenz.
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1.2 Konvergenz - Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte
Definition 1
Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : N → R, n 7→ a(n). Meistens
schreiben wir eine Folge kurz als (an )n≥1, wobei an := a(n). Die Zahlen an heißen
Folgenglieder.
Definition 2
Eine Folge (an )n≥1 reeller Zahlen konvergiert gegen die reelle Zahl a, wenn es zu
jedem > 0 ein n0 ∈ N gibt mit
|an − a| < für alle n ∈ N mit n ≥ n0. a heißt dann der Grenzwert der Folge und wir schreiben
a = lim an
n→∞
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konvergiert mit Grenzwert
3n2 + 2
= 3,
n→∞ n 2 + 6
lim
(4) an := (−1)n divergiert, (5) an :=
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a1 := 1, an+1 := 21 an + a1n
festlegen. Man nennt dieses Vorgehen eine rekursive Definition der Folge. Es
ergeben sich die ersten Folgenglieder
1
1 3
17
577
a1 = 1, a2 = · 1 + = = 1.5, a3 =
= 1.416, a4 =
= 1.414215685....
2
1 2
12
408
√
Die √
Folge (an )n≥1 konvergiert gegen 2. (Bereits a4 stimmt mit dem exakten Wert
für 2 auf den ersten fünf Nachkommastellen überein.)
2n 2
n+1
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1.2 Konvergenz - Häufungspunkte
Es ist keineswegs so, dass Folgen immer Grenzwerte besitzen. Einen Grenzwert zu
besitzen ist sogar eine sehr besondere Eigenschaft einer Folge.
Definition 3
Besitzt eine Folge (an )n∈N einen Grenzwert, so sagen wir, die Folge konvergiert.
Andernfalls sagen wir, die Folge divergiert.
Beispiel 2. Die Folge (an )n≥1 mit: (1) an := 1 (konstante Folge) konvergiert
mit Grenzwert 1, (2) an := 1/n konvergiert mit Grenzwert
1
lim = 0,
n→∞ n
3n2 +2
n2 +6
Oft werden die Folgen durch ein Bildungsgesetz angegeben, d.h. die Folge (an )n≥1
wird zum Beispiel gegeben durch an := n2, d.h. wir haben a1 = 12 = 1, a2 = 4,
a3 = 9, .... usw. Auf diese Weise kann man erreichen, dass man eine irrationale Zahl
doch in endlicher Zeit hinschreiben kann, nämlich indem man das Bildungsgesetz
einer Folge hinschreibt, die gegen die gegebene Zahl konvergiert.
√
Beispiel 1. Für 2 können wir eine Folge (an )n≥1 durch das Bildungsgesetz
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1.2 Konvergenz - Häufungspunkte
(3) an :=
1.2 Konvergenz - Folgen reeller Zahlen und Grenzwerte
divergiert ebenfalls.
Die anschauliche Bedeutung, dass eine konvergente Folge Ihrem Grenzwert beliebig
nahe kommt, muss aber mit einiger Vorsicht genossen werden. Dazu zwei Beispiele:
Die Folge (an )n≥1 mit
1
n gerade
an := n
n n ungerade
kommt a = 0 ∈ R beliebig nahe, konvergiert aber nicht, denn zum Beispiel für
= 1/2 gibt es unendlich viele Folgenglieder an (nämlich alle an mit ungeradem
Index) die nicht in dem Intervall (−1/2, 1/2) liegen. Damit konvergiert die Folge
nicht gegen Null, aber die Folge kann auch gegen keinen anderen reellen Wert als
Null konvergieren. Gäbe es einen Grenzwert a 6= 0, so lägen auch außerhalb von
(a − 1/3, a + 1/3) unendlich viele Folgenglieder, denn da alle Folgenglieder a2n einen
Abstand voneinander haben, der größer oder gleich Eins ist, kann höchstens eins dieser Folgenglieder innerhalb eines Intervalls der Länge 2/3 liegen. Alle anderen (und
das sind unendlich viele) der Folgenglieder a2n liegen somit außerhalb des angegebenen Intervalls um a.
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1.2 Konvergenz - Häufungspunkte
1.2 Konvergenz - Häufungspunkte
Der Punkt 0 aus dem vorigen Beispiel spielt für die Folge (an )n≥1 aber trotzdem
eine Sonderrolle.
Kurz gesagt, lassen sich beide Begriffe wie folgt voneinander abgrenzen:
Definition 4
Ist h ∈ R eine Zahl, so dass für jedes feste > 0 unendlich viele Glieder an der
Folge innerhalb des Intervalls (h − , h + ) liegen, so heißt h Häufungspunkt der
Folge.
(1) h ist ein Häufungspunkt, wenn in jedem Intervall der Form (h − , h + ) mit
> 0 unendlich viele Folgenglieder liegen.
(2) a ist Grenzwert, wenn außerhalb jedes Intervalls der Form (a − , a + ) mit
> 0 nur endlich viele Folgenglieder liegen.
Jeder Grenzwert ist auch ein Häufungspunkt, aber nicht jeder Häufungspunkt ist
auch ein Grenzwert, wie das Beispiel gezeigt hat.
Beispiel 3. Die Folge (an )n≥1 mit an := (−1)n aus Beispiel 2, (4) hat zwei
Häufungspunkte h1 = 1 und h2 = −1. Daraus folgt bereits, dass die Folge divergiert.
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Häufungspunkte und Grenzwerte
Eine Folge kann beliebig viele Häufungspunkte haben, aber nur einen Grenzwert.
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1.2 Konvergenz - Bedingte Divergenz
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1.3 Konvergenz - Die Grenzwertsätze
Es gibt noch einen Typ divergenter Folgen, die keinen Häufungspunkt besitzen.
Satz 1 (Die Grenzwertsätze)
Definition 5
(1) Eine Folge für die gilt: Zu jedem M ∈ R gibt es ein n0 ∈ N mit an > M für alle
n ≥ n0, heißt bestimmt divergent gegen +∞.
(1) Eine Folge für die gilt: Zu jedem M ∈ R gibt es ein n0 ∈ N mit an < M für alle
n ≥ n0, heißt bestimmt divergent gegen −∞.
Seien (an )n≥1, (bn )n≥1 konvergente Folgen mit a = limn→∞an , b = limn→∞bn . Dann
gilt:
Analog zu den Betrachtungen vorher können wir die Definition bestimmter Divergenz
alternativ formulieren durch: Die Folge (an )n≥1 ist bestimmt divergent gegen +∞
(−∞), wenn für jede reelle Zahl M ∈ R nur endlich viele Glieder der Folge auf der
Zahlengerade links von (rechts von) M liegen.
(3) Sind alle bn und der Grenzwert b ungleich Null, so ist die Folge (cn )n≥1 mit
cn := an /bn konvergent mit limn→∞ cn = a/b .
Beispiel 4. Die Folge (an )n≥1 mit an :=
mit limn→∞ an = +∞.
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2n2
n+1
(1) Die Folge (cn )n≥1 mit cn := an + bn ist konvergent mit limn→∞ cn = a + b .
(2) Die Folge (cn )n≥1 mit cn := an bn ist konvergent mit limn→∞ cn = a b .
aus Beispiel 2, (5) divergiert bestimmt
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1.3 Konvergenz - Die Grenzwertsätze
2.1 Grundlegendes über Funktionen - Definition
Satz 2
Wenn die rekursiv definierte Folge (an )n≥1 aus Beispiel 1 gegen einen Grenzwert
√
konvergiert, der ungleich Null ist, dann ist ihr Grenzwert a := limn→∞ an = 2.
Wir betrachten in diesem Teil des Vorkurses nur reelle Funktionen, d.h. Abbildungen
von Teilmengen der reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen.
Beweis. (1) Alle Folgenglieder an sind positiv: (a) Induktionsanfang a1 = 1 > 0,
(b) Induktionsschluss: Ist an > 0, so ist an+1 = a2n + a1n als Summe zweier positiver
Zahlen ebenfalls positiv, also folgt an > 0 für alle n ∈ N. (2) Da die Folge nach Voraussetzung konvergiert mit Grenzwert a 6= 0, erhalten wir aus der Rekursionsformel
für die Folgenglieder mit den Grenzwertsätzen und (1)
1
a 1
an
a = lim an+1 = lim
+
= + .
n→∞
n→∞
2 an
2 a
√
√
Diese Gleichung ist äquivalent zu a2 = 2, d.h. a = 2√∨ a = − 2. Da die
Folgenglieder alle positiv sind, kann der Grenzwert nur a = 2 sein.
Bemerkung. Den Beweis, dass die Folge tatsächlich gegen einen Grenzwert ungleich
Null konvergiert, lassen wir weg.
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Definition 6
Eine (reelle) Funktion f : D → R ist eine Abbildung einer (nichtleeren)
Teilmenge D ⊂ R, dem Definitionsbereich der Funktion, nach R, dem
Zielbereich der Funktion. Die Menge
heißt Bild von f .
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f (D ) := {y ∈ R : y = f (x ), x ∈ D } ⊂ R
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2.2 Grundlegendes über Funktionen - Der Graph einer Funktion
2.3 Grundlegendes über Funktionen – Summen und Produkte
Definition 7
Sei f : D → R eine Funktion. Die Teilmenge
Wir nutzen nun die Möglichkeit, reelle Zahlen zu addieren und zu multiplizieren,
um Summen und Produkte von Funktionen zu definieren.
Definition 8
Seien f : D1 → R, g : D2 → R zwei reelle Funktionen.
graph(f ) := {(x , f (x )) ⊂ R × R : x ∈ D } ⊂ R × R
des kartesischen Produktes von R mit sich selbst, heißt Graph der Funktion f .
Beispiel 5. Der Graph der Funktion f : R → R, x 7→ x 3 − 20x − 10.
(i) Ist D := D1 ∩ D2 6= ∅, so ist die Summe f + g : D → R von f und g definiert durch
(f + g )(x ) := f (x ) + g (x ).
(ii) Ist D := D1 ∩ D2 6= ∅, so ist das Produkt f g : D → R von f und g definiert durch
(f g )(x ) := f (x )g (x ).
(iii) Den Quotienten von zwei Funktionen können wir überall dort erklären, wo der Nenner nicht Null
wird, d.h. ist D := {x ∈ D1 ∩ D2 : g (x ) 6= 0} =
6 ∅, dann wird durch
f (x )
f
(x ) :=
g
g (x )
eine Funktion
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f
g
: D → R definiert, der Quotient der Funktionen f und g .
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2.4 Grundlegendes über Funktionen - Monotonie
Um das Verhalten von Funktionen zwischen lokalen Extremwerten zu beschreiben,
ist das folgende Konzept hilfreich.
Definition 9
(1) Eine Funktion f : D → R heißt monoton wachsend (fallend), falls für
x , y ∈ D mit x < y die Ungleichung f (x ) ≤ f (y ) (f (x ) ≥ f (y )) folgt.
(2) Eine Funktion f : D → R heißt streng monoton wachsend (fallend), falls
für x , y ∈ D mit x < y die Ungleichung f (x ) < f (y ) (f (x ) > f (y )) folgt.
Strenge Monotonie impliziert (einfache) Monotonie, jedoch gibt es monotone Funktionen die nicht streng monoton sind.
2.4 Grundlegendes über Funktionen - Monotonie
Satz 1
Eine streng monotone Funktion f : D → R ist injektiv.
Beweis. Seien x , y ∈ D mit x 6= y . Ohne Einschränkung können wir dann annehmen, dass x < y ist (sonst benennen wir die beiden Punkte einfach andersrum).
Dann ist entweder f (x ) < f (y ) wenn f streng monoton wächst, oder f (x ) > f (y ),
wenn f streng monoton fällt. Damit ist f (x ) 6= f (y ) und somit ist f injektiv.
2
Beispiel 6. Die Funktion f : R+
0 → R, x 7→ x ist streng monoton wachsend. Ist
y > x ≥ 0, so ist y = x + h mit h > 0 und mit dem binomischen Satz folgt
f (y ) − f (x ) = y 2 − x 2 = (x + h)2 − x 2 = x 2 + 2xh + h2 − x 2 = 2xh + h2 > 0,
also f (y ) > f (x ).
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2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit
Definition 10
Eine Funktion f : D → R heißt stetig im Punkt x0 ∈ D , wenn für alle Folgen
(xn )n≥1 mit xn ∈ D und limn→∞ xn = x0 auch die zugehörigen Folgen (yn )n≥1 mit
yn := f (xn ) konvergieren mit Grenzwert limn→∞ f (xn ) = f (x0). Die Funktion heißt
stetig in D , wenn f stetig ist in jedem Punkt x0 ∈ D ,
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2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit
Beispiel 7.
Definition 11
Ist f : D → R eine Funktion und gilt für alle Folgen (xn )n≥1 mit xn ∈ D für alle
n ≥ 1 mit limn→∞ xn = x0 die Gleichung limn→∞ f (xn ) = a ∈ R, d.h. alle Folgen
(f (xn ))n≥1 konvergieren und haben denselben Grenzwert, so schreiben wir meistens
kürzer
lim f (x ) = a.
x →x0
f ist also stetig in x0 ∈ D genau dann, wenn limx →x0 f (x ) = f (x0).
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2.5 Grundlegendes über Funktionen - Stetigkeit
2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit
(a) Die Funktion x 7→ x 2 ist stetig in x0 = 0: Ist (xn ) eine beliebige Folge mit
limn→∞ xn = 0, dann ist nach den Grenzwertsätzen
lim f (xn ) = lim xn2 = lim xn lim xn = 0 · 0 = 0 = f (x0).
n→∞
n→∞
Also ist f stetig in x0 = 0.
n→∞
n→∞
yn =
(b) Die Funktion in (b) ist nicht stetig in x0 = 0: Es gibt nämlich zwei Folgen
(xn )n≥1 und (wn )n≥1, die gegen Null konvergieren, so dass die Folgen (f (xn ))n≥1 und
(f (wn ))n≥1 unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Mit xn := 1/n, wn := −1/n folgt
lim f (xn ) = lim 1 = 1 6= 0 = lim 0 = lim f (wn ).
n→∞
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n→∞
n→∞
n→∞
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2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit
Beispiel 8.
Definition 12
Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar im Punkt x0 ∈ R , wenn für alle
Folgen (xn )n≥1 mit xn ∈ D \ {x0} und limn→∞ xn = x0 auch die Folge
f (xn ) − f (x0)
xn − x0
konvergiert und deren Grenzwert für alle Folgen (xn )n≥1 derselbe ist. Der Grenzwert
f 0(x ) := limn→∞ yn heißt dann die Ableitung von f im Punkt x0 ∈ D . Die
Funktion heißt differenzierbar in D , wenn f differenzierbar ist in jedem Punkt
x0 ∈ D .
Bemerkung. (1) Die Ableitung konstanter Funktionen ist die Nullfunktion. (2)
Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe der Ableitungen, d.h.
(f + g )0 = f 0 + g 0. (3) Die Ableitung eines reellen Vielfachen einer Funktion ist
dasselbe Vielfache der Ableitung, d.h. (af )0 = a f 0, a ∈ R. (4) Die Folge (yn )n≥1
heißt auch Folge der Differenzenquotienten.
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2.6 Grundlegendes über Funktionen - Differenzierbarkeit
(a) Die Funktion ist differenzierbar im Punkt x = 0, denn für jede Folge (xn ) mit
limn→∞ xn = 0 gilt
( 2
xn
f (xn ) − f (x ) f (xn )
, xn > 0
xn , xn > 0
=
= x0n
=
0 , xn ≤ 0
xn − x
xn
=
0
,
x
≤
0
n
xn
Damit ist
f (xn ) − f (0)
=0
xn − 0
unabhängig von der speziellen Wahl der Folge. (b) Die Funktion ist nicht differen-
lim
n→∞
zierbar in x = 0: Es gibt nämlich zwei Folgen (xn )n≥1 und (wn )n≥1, die gegen Null
konvergieren, so dass die Folgen der Differenzenquotienten unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Mit xn := 1/n, wn := −1/n folgt
xn
f (wn ) − f (x )
f (xn ) − f (x )
= lim
= lim 1 = 1 6= 0 = lim 0 = lim
.
n→∞
n→∞ xn
n→∞
n→∞
n→∞
xn − x
wn − x
lim
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2.7 Grundlegendes über Funktionen - Das Integral stetiger Funktionen
Sei I = [a, b ] ⊂ R ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall und f : I → R
eine stetige Funktion.
2.7 Grundlegendes über Funktionen - Das Integral stetiger Funktionen
Beispiel 9.
Definition 13
Das bestimmte Integral von f über das Intervall I ist der Grenzwert der Folge
(Sn )n≥1 von Partialsummen
n
k
b−aX
f a + (b − a ) .
Sn :=
n k =1
n
Wir schreiben
Z
a
b
f (x )dx := lim Sn .
n→∞
Die Partialsummen Sn liefern eine Approximation des Flächeninhaltes zwischen Funktionsgraph und x -Achse.
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3.1 Differential- und Integralrechnung - Ableitung und Stammfunktion
Ableitungen und Integrale über die Definition mit Hilfe der Grenzwerte zu berechnen, ist meist sehr mühsam. Die bei Weitem wichtigste Beziehung, um Integrale zu
berechnen, ist der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung. Dazu benötigen
wir zunächst den Begriff der Stammfunktion.
Definition 14
Sei f : D → R eine Funktion. Eine Funktion F : D → R
R heißt Stammfunktion
von f , wenn F 0(x ) = f (x ). Wir schreiben auch F (x ) = f (x )dx und nennen diesen
Ausdruck unbestimmtes Integral.
Bemerkung. Stammfunktionen sind aufgrund der Definition nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Ist nämlich F 0(x ) = f (x ), so ist auch (F + c )0 = F 0 + c 0 =
F 0 + 0 = f für alle c ∈ R.
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3.1 Differential- und Integralrechnung - Ableitung und Stammfunktion
Satz 2
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Ist f : D → R eine
stetige Funktion. Dann besitzt f eine Stammfunktion F und es gilt für alle
Intervalle [a, b ] ⊂ D
Z
b
a
f (x )dx = F (b ) − F (a).
Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung heißt auch bestimmtes Integral.
Bemerkung. (1) Diese Beziehung zwischen Ableitungen und Integralen ist an sich
volkommen überraschend. (2) Die spezielle Wahl der Stammfunktion ist egal für die
Berechnung des Integrals, denn Stammfunktionen sind aufgrund der Definition bis
auf eine additive Konstante bestimmt. Damit ist aber (F + c )(b ) − (F + c )(a) =
F (b )+ c −(F (a)+ c ) = F (b )− F (a) für alle c ∈ R. Die rechte Seite des Hauptsatzes
ist somit unabhängig von der speziellen Wahl einer Stammfunktion.
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3.2 Differential- und Integralrechnung - Ableitungs- und
Integrationsregeln
3.2 Differential- und Integralrechnung - Produktformel/partielle
Integration
Wir betrachten nun zwei der nützlichsten Hilfsmittel um Ableitungen zu berechnen,
die Produkt- und die Kettenregel. Aufgrund des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung gibt es für jede dieser Regeln eine entsprechende Regel für die
Berechnung von Integralen. Der Produktregel entspricht die partielle Integration,
der Kettenregel die Integration durch Substitution.
Satz 3
Sind f , g : D → R zwei differenzierbare Funktionen, so gilt für die Ableitung der
Produktfunktion fg : D → R die Produktregel
Diesen Zusammenhang wollen wir uns jetzt etwas näher ansehen.
(fg )0 = f 0g + fg 0.
Wir können die Produktregel auch so interpretieren, dass fg die Stammfunktion
von f 0g + fg 0 ist.
R b Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
bedeutet dies a (f 0g + fg 0)dx = fg (b ) − fg (a) und wenn wir den zweiten
Summanden links auf die andere Seite bringen, erhalten wir:
Satz 4
Es gilt die Regel der partiellen Integration
Z b
Z b
0
f gdx = fg (b ) − fg (a) −
fg 0dx .
a
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3.2 Differential- und Integralrechnung - Produktformel/partielle
Integration
Beispiel 10. Gesucht ist das Integral
Z 1
x
xe dx =?
0
Wir machen den Ansatz u (x ) = x , v 0(x ) = e x . Da die Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion selber ist, ist die Stammfunktion von v 0 die
Funktion v (x ) = e x . Mit u 0(x ) = 1 folgt also mit partieller Integration
Z 1
Z 1
Z 1
xe x dx =
u (x )v 0(x )dx = u (x )v (x )|10 −
u 0(x )v (x )dx
0
0
0
Z 1
x 1
e x dx
= xe |0 −
1
0
0
= 1e − 0e −
e x |10
= e − (e − 1) = 1.
Umgekehrt kann man mit Hilfe der Produktregel sehen, dass (xe x )0 = e x + xe x .
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3.2 Differential- und Integralrechnung - Kettenregel/Integration durch
Substitution
Satz 5
Sind f : D1 → R, g : D2 → R zwei differenzierbare Funktionen mit f (D1) ⊂ D2, so
gilt für die Ableitung der Komposition g ◦ f : D1 → R die Kettenregel
(g ◦ f )0(x ) = g 0(f (x )) · f 0(x ).
Wir können die Kettenregel auch so interpretieren, dass (g ◦ f )(x ) die Stammfunktion
von g 0(f (x )) · f 0(x ) ist. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
bedeutet dies:
Satz 6
Es gilt die Regel der Integration durch Substitution
Z b
Z
0
0
g (f (x )) · f (x )dx = g (f (b )) − g (f (a)) =
a
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a
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f (b )
f (a)
g 0(u )du .
3.2 Differential- und Integralrechnung - Kettenregel/Integration durch
Substitution
Beispiel 11. Gesucht ist das Integral
Z 1
2
xe x dx =?
0
Wir machen den Ansatz g (u ) = e u , f (x ) = x 2, dann ist f für alle x ∈ R definiert
mit f (R) = R+
0 . Da die Exponentialfunktion für alle x ∈ R definiert ist, ist die
Komposition g ◦ f : R → R wohldefiniert. Da die Ableitung der Exponentialfunktion
die Exponentialfunktion selber ist, folgt nach der Kettenregel
2
2
2
(e x )0 = g 0(x 2)f 0(x ) = e x 2x = 2xe x .
Daraus folgt
Z
Z 1
1h 2 i 1 2
1
1 1
2
2
x2
2xe x dx = e x |10 = (e 1 − e 0 ) = (e − 1).
xe dx =
2 0
2
2
2
0
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3.3 Differential- und Integralrechnung - Höhere Ableitungen
Definition 15
(1) Eine differenzierbare Funktion f : D → R heißt stetig differenzierbar, wenn
die Ableitung f 0 : D → R stetig ist. (2) Ist die Ableitung f 0 : D → R einer
differenzierbaren Funktion wieder differenzierbar, so heißt ihre Ableitung
f 00 := (f 0)0 : D → R die zweite Ableitung von f .
Indem wir diese Methode iterieren, können wir bei hinreichender Differenzierbarkeit
der Ausgangsfunktion beliebig hohe Ableitungen konstruieren.
Definition 16
(1) Eine Funktion f : D → R heißt n-mal differenzierbar, wenn die Ableitungen
f , f 0, f 00, f 000 = (f 00)0, ..., f (n−1) := (f (n−2))0 differenzierbar sind. Mit f (k ) : D → R
wird die k-te Ableitung von f bezeichnet. (2) Eine Funktion f : D → R heißt
n-mal stetig differenzierbar, wenn f n-mal differenzierbar ist und die Ableitung
f (n) stetig ist.
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3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum, Minimum
3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum
Sei S ⊂ R eine Teilmenge.
Beispiel 12. (Maxima und Minima)
Definition 17
(1) Enthält S ein größtes Element s0 (d.h. s0 ∈ S und s ≤ s0 für alle s ∈ S ), so
nennen wir s0 das Maximum von S (oder das maximale Element von S ) und
schreiben s0 = max S .
(2) Enthält S ein kleinstes Element s0 (d.h. s0 ∈ S und s ≥ s0 für alle s ∈ S ), so
nennen wir s0 das Minimum von S (oder das minimale Element von S ) und
schreiben s0 = min S .
(3) Eine nichtleere Teilmenge S ⊂ R heißt beschränkt, wenn es ein
abgeschlossenes Intervall [a, b ] gibt mit S ⊂ [a, b ].
(1) Für S1 = {1, 2, 3, 4, 5} gilt min S1 = 1 und max S1 = 5.
(2) Für S2 = {n ∈ Z : −4 < n ≤ 100} gilt min S2 = −3 und max S2 = 100.
(3) Die Menge S3 = (a, b ] := {x ∈ R : a < x ≤ b } mit a, b ∈ R hat kein Minimum
aber ihr Maximum ist b .
√
(4) Die Menge S4 = {r ∈ Q : √0 ≤ r ≤ 2} hat 0 als Minimum aber kein
Maximum. Das liegt daran, daß 2 √
keine rationale Zahl ist. In S4 gibt es aber
rationale Zahlen, die beliebig nahe an 2 liegen.
Bemerkung. (1) Eine Menge, die ein Maximum und Minimum besitzt, ist beschränkt. Die Umkehrung gilt nicht. (2) Alle endlichen Teilmengen von R sind beschränkt und besitzen ein Minimum und ein Maximum.
(5) Das Minimum der Menge [2, ∞) ist 2, die Menge besitzt kein Maximum.
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(6) Die Menge Z ⊂ R besitzt weder ein Minimum noch ein Maximum.
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3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum
3.4 Differential- und Integralrechnung - Maximum und Minimum
Definition 18
(1) Eine Funktion f : D → R besitzt ein globales Maximum (Minimum),
wenn das Bild f (D ) ⊂ R ein Maximum (Minimum) besitzt.
(2) Ein Punkt x ∈ D heißt globales Maximum (Minimum) der Funktion f ,
wenn der Funktionswert f (x ) von x das Maximum (Minimum) von f (D ) ist. f (x )
heißt globaler Maximal- bzw. Minimalwert.
(3) Ein Punkt x ∈ D heißt lokales Maximum (Minimum) der Funktion f ,
wenn es ein offenes Intervall I ⊂ D mit x ∈ I gibt, so dass der Funktionswert f (x )
von x das Maximum (Minimum) von f (I ) ist. f (x ) heißt lokaler Maximal- bzw.
Minimalwert.
(a) x 7→ x 3
(b) x 7→ x 2
(c) x 7→ x 3 − 20x − 10
(d) x 7→ xe −x
2
Keine Extrema (a), ein globales Minimum (b), je ein lokales Maximum und
Minimum (c), und ein globales Maximum und Minimum (d).
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3.4 Differential- und Integralrechnung - Extremwerte und Ableitungen
4.1 Elementare Funktionen - Beispiele
Abschließend betrachten wir die Kriterien für die Erkennung lokaler Extremwerte
differenzierbarer Funktionen.
Wir betrachten nun eine Anzahl von wichtigen Beispielen für Funktionen. Wir werden dabei immer so vorgehen, dass wir die Abbildungseigenschaften, den Graph der
Funktion, Ableitung und Stammfunktion, und gegebenenfalls ihre Umkehrfunktion,
sowie etwaige Besonderheiten auflisten. Dabei werden die Potenz- und Wurzelfunktionen für rationale Exponenten aus den Grundlagen als bekannt vorausgesetzt.
Satz 7
Sei a < b und f : (a, b ) → R 2-mal stetig differenzierbar. (1) Ist x0 ∈ (a, b ) ein
lokales Minimum oder lokales Maximum von f , so ist f 0(x0) = 0. (2) Ist f 0(x0) = 0
und f 00(x0) > 0(< 0), so ist x0 ein lokales Minimum (Maximum) von f .
Mit Hilfe dieses Kriteriums können wir eine Funktion durch Angabe der Extremstellen
und der Monotonieeigenschaften zwischen den Extremstellen beschreiben (Kurvendiskussion).
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4.2 Elementare Funktionen - Polynomfunktionen
4.2 Elementare Funktionen - Polynomfunktionen
Definition 19
Eine Polynomfunktion p : R → R vom Grad n ∈ N0 ist eine Funktion mit
n
X
x 7→ p (x ) := an x n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 =
ak x k
k =0
mit festen Koeffizienten a0, a1, ..., an ∈ R, an 6= 0. Wir schreiben n = grad(p ).
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Monotonie
Bild
Nullstellen
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überall stetig
überall beliebig
oft differenzierbar
P
p 0(x ) = P nk =1 kak x k −1
k
P (x ) = nk =0 ka+1
x k +1
im Allgemeinen keine
für n ungerade ist p (R) = R, sonst keine Aussage möglich
maximal n reelle Nullstellen, für n ungerade mindestens eine
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(a) x 7→ x 3 − 20x − 10
Bemerkung. Eine Polynomfunktion vom Grad 0 ist konstant, vom Grad 1 ist eine
lineare Funktion und vom Grad 2 ist eine quadratische Funktion (Parabel).
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4.3 Elementare Funktionen - Rationale Funktionen
(b) x 7→ x 4 + 5x − 4
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4.3 Elementare Funktionen - Rationale Funktionen
Definition 20
Sind p : R → R und q : R → R Polynomfunktionen mit grad(q ) ≥ 1, so ist eine
rationale Funktion r : {x ∈ R : q (x ) 6= 0} → R gegeben durch den Quotienten
x 7→ r (x ) :=
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Monotonie
Bild
Nullstellen
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p (x )
.
q (x )
stetig im Definitionsbereich
beliebig oft differenzierbar im Definitionsbereich
0
0
r 0 = p qq−2pq
keine allgemeine geschlossene Formel
im Allgemeinen keine
keine Aussage möglich
maximal soviele wie das Zählerpolynom
(a) x 7→ 1/x
(b) x 7→
x 4 +5x
x 2 −x
Bemerkung. Definitionslücken rationaler Funktionen sind genau die Nullstellen des
Nennerpolynoms. (1) Ist x0 ∈ R \ D eine Definitionslücke mit limx →x0 |r (x )| = ∞,
dann heißt x0 eine Polstelle von r . (2) Eine Definitionslücke, in die die Funktion
stetig fortgesetzt werden kann, heißt hebbare Singularität.
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Mit Hilfe der Potenzgesetze haben wir für a ∈ R, a > 0, die Funktion f : Q → R
mit f (x ) := ax erklärt. Wir haben gesehen, dass diese Funktion
(1) die Funktionalgleichung ax +y = ax ay erfüllt, und
(2) dass a1 = a ist.
Es gibt aber tatsächlich für festes a > 0 sehr viele Funktionen f : R → R mit
den Eigenschaften (1) und (2). Um die Funktionen der Form x 7→ ax zu einer Basis
a > 0 auf den reellen Zahlen eindeutig festzulegen, benötigen wir den Begriff der
Stetigkeit.
4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Satz 8
Für alle a > 0 gibt genau es genau eine stetige Funktion f : R → R mit
f (x + y ) = f (x )f (y ), f (1) = a,
Sie stimmt auf Q ⊂ R mit der Funktion x 7→ ax , die wir in den Grundlagen
konstruiert haben, überein, und wir benutzen deswegen dieselbe Bezeichnung für
die Funktionsvorschrift.
Aus verschiedenen Gründen besitzt die Funktion x 7→ e x zur Basis e = 2.7182...
(Eulersche Zahl) eine Sonderrolle und wird daher die Exponentialfunktion genannt.
Bemerkung. Die Zahl e ∈ R ist irrational und kann durch den Grenzwert
1 n
e := lim 1 +
n→∞
n
charakterisiert werden.
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Definition 21
(Exponentialfunktion) Die eindeutig bestimmte stetige Funktion exp : R → R
mit den Eigenschaften
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Wir zeigen den Graph der Funktionen x 7→ ax für a = 2, e , 10.
exp(x + y ) = exp(x ) exp(y ), exp(1) = e ,
heißt Exponentialfunktion. Wir bezeichnen die Funktionsvorschrift mit
x 7→ exp(x ) oder x 7→ e x .
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Monotonie
Bild
Nullstellen
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überall stetig
überall beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = exp(x )
F (x ) = exp(x )
streng monoton wachsend
R+ = (0, ∞)
keine
Grün: x 7→ 10x , Blau: x 7→ e x , Rot: x 7→ 2x
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Für y ∈ R betrachten wir die Gleichung exp(x ) = y . Da das Bild der
Exponentialabbildung exp(R) = R+ ist, folgt:
Lemma 3
Ist y ≤ 0, so ist {x ∈ R : exp(x ) = y } = ∅, d.h. die Gleichung besitzt keine
Lösung.
Da die Exponentialabbildung streng monoton wachsend ist, ist sie nach Satz 1 injektiv und somit bijektiv als Abbildung exp : R → (0, ∞). Damit besitzt sie eine
Umkehrabbildung φ : (0, ∞) → R. Aufgrund der Eigenschaft einer Umkehrabbil!
dung gilt φ(y ) = φ(exp(x )) = x und somit gilt:
4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Definition 22
Die Umkehrfunktion φ : (0, ∞) → R der Exponentialfunktion heißt natürlicher
Logarithmus und die Funktionsvorschrift wird mit x 7→ ln(x ) bezeichnet. Es gilt:
e ln(y ) = y für alle y ∈ R+ und ln(e x ) = x für alle x ∈ R.
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Monotonie
Bild
Nullstellen
Lemma 4
Ist y > 0, so ist {x ∈ R : exp(x ) = y } = {φ(y )}, d.h. es gibt genau eine Lösung,
die durch die Umkehrfunktion von exp gegeben wird.
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stetig auf ganz D = (0, ∞)
auf D beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = 1/x
F (x ) = x ln(x ) − x
streng monoton wachsend
R
x =1
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Wie ist das nun mit den Gleichungen ax = y , y ∈ R+
0 für andere Werte von a > 0
? Da a > 0 ist, ist a = e ln(a) und somit wegen der Potenzgesetze
x
y = ax = e ln(a) = e x ln(a).
Definition 23
Für festes a > 0 ist der Logarithmus loga y definiert als die eindeutige Lösung der
obigen Gleichung
x = loga y :⇔ ax = y
Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus nehmen, haben wir
somit
ln(y )
ln(y ) = x ln(a), bzw. x =
ln(a)
und damit haben wir die Gleichung gelöst. Es ist nun bequemer, für diese Lösungen
ebenfalls eine eigene Schreibweise einzuführen.
a heißt Basis, y heißt Numerus. Da a1 = a und a0 = 1 ist folgt
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loga a = 1
und
loga 1 = 0.
Bemerkung. (1) Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen und es
wird die Bezeichnung log10b = lg b benutzt.
(2) Logarithmen zur Basis a = 2 heißen Zweierlogarithmen und es wird die
Bezeichnung log2x = lb x benutzt.
(3) Logarithmen zur Basis a = e = 2.7182... (Eulersche Zahl) sind wieder die
natürlichen Logarithmen mit Bezeichnung loge y = ln y benutzt.
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Logarithmen zu verschiedenen Basen lassen sich ineinander umrechnen.
Außerdem gelten die folgenden Rechenregeln:
Lemma 5
Für a, c ∈ R mit a, c > 0 und y ∈ R mit y > 0 gilt
logc y
loga y =
.
logc a
Lemma 6
Für a ∈ R mit a > 0 und u , v ∈ R mit u , v > 0 gilt
loga (u ·v ) = loga (u ) + loga (v ) ;
u
= loga (u ) − loga (v ) .
loga
v
(1)
(2)
Beweis. Da a > 0 ist, ist a = e ln(a) und somit wegen der Potenzgesetze
y = ax = e x ln(a). Wenn wir auf beiden Seiten dieser Gleichung den Logarithmus
nehmen, haben wir somit ln(y ) = x ln(a). Analog folgt mit y = c z die Gleichung
ln(y ) = z ln(c ). Andererseits ist aber x = loga (y ) und z = logc (y ), also
loga (y ) = x =
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ln(y ) z ln(c ) ln(c )
logc (y )
=
=
logc (y ) =
.
ln(a)
ln(a)
ln(a)
logc (a)
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
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4.4 Elementare Funktionen - Exponentialfunktion und Logarithmus
Beweis. (1) Setze x = loga (u ) und y = loga (v ), d.h.
ax = u
Daraus folgt
Und dies impliziert schließlich
ay = v .
u · v = ax · ay = ax +y .
loga (u · v ) = x + y = loga (u ) + loga (v ).
= 1/v und aloga(v ) = v folgt
1
aloga(v ) = v = log (1/v ) = (aloga(1/v ))−1 = a− loga(1/v ),
a a
und somit aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung loga (v ) = − loga (1/v ). Damit ist
aber wegen (1)
1
loga (u /v ) = loga u
= loga (u ) + loga (1/v ) = loga (u ) − loga (v ).
v
t
u
(2) Wegen a
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loga (1/v )
und
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Gelb: x 7→ log10(x ), Grün: x 7→ loge (x ) = ln(x ), Rot: x 7→ log2(x )
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4.5 Elementare Funktionen - Potenzfunktionen
4.6 Elementare Funktionen - Trigonometrische Funktionen
Definition 24
Eine Funktion f : D → R, x 7→ x a heißt Potenzfunktion. Der Definitionsbereich
D hängt hierbei vom Exponenten a wie folgt ab:
Definition 25
Die Trigonometrischen Funktionen sind
a∈Z
a∈
/Z
a>0 a<0
R R \ {0}
R+
R+
0
a ln(x )
x := e
,a ∈
/ Z, a < 0
a ln(x )
e
,x > 0
xa :=
,a ∈
/ Z, a > 0
0
,x = 0
a
Stetigkeit
stetig im Definitionsbereich
Differenzierbarkeit beliebig oft differenzierbar in D für a ∈ Z, und in R+ für a ∈
/Z
Ableitung
f 0(x ) = ax a−1
x a+1
, a 6= −1
Stammfunktion
F (x ) = a+1
ln(x ) , a = −1
Nullstellen
für a > 0 in x = 0, für a < 0 keine
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1.
2.
3.
4.
Sinus sin : R → R, x 7→ sin(x ),
Cosinus cos : R → R, x 7→ cos(x ),
Tangens tan(x ),
Cotangens cot(x ).
Sie dienen der Winkel- und Längenberechnung in Dreiecken. Wie in der folgenden
Graphik dargestellt, kann jede dieser Funktionen als eine bestimmte Seitenlänge
eines bestimmten in oder auf den Einheitskreis einbeschriebenen rechtwinkligen
Dreiecks in Abhängigkeit eines seiner Innenwinkel dargestellt werden.
Der Parameter x der Winkelfunktion ist der in der Graphik eingezeichnete Winkel
α, der im Bogenmaß angegeben wird. sin(x ) ist dann zum Beispiel die
Seitenlänge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite des in den Einheitskreis
einbeschriebenen, rechtwinkligen Dreiecks.
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4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus
4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus
Die Trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
Eigenschaften der Sinus-Funktion.
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
Periodizität
Da für einen Winkel α + 2π im Bogenmaß genau dasselbe Bild wie für α
herauskommt, haben auch alle Winkelfunktionen denselben Wert. Bezeichnet f
eine der trigonometrischen Funktionen, so gilt also f (α + 2π) = f (α) für alle
α ∈ R. Die Winkelfunktionen sind periodisch.
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überall stetig
überall beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = cos(x )
F (x ) = − cos(x )
[−1, 1]
xn = nπ, n ∈ Z
ungerade: sin(−x ) = − sin(x )
Periode 2π
4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus
Blau: Graph von f (x ) = sin(x ), Rot: Graph von cos(x ).
Eigenschaften der Cosinus-Funktion.
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
Periodizität
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4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus
überall stetig
überall beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = − sin(x )
F (x ) = sin(x )
[−1, 1]
xn = π2 + nπ, n ∈ Z
gerade: cos(−x ) = cos(x )
Periode 2π
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4.7 Elementare Funktionen - Sinus und Cosinus
4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens
Satz 7
Für alle x ∈ R gilt:
Definition 26
Die Tangens-Funktion tan : D → R ist gegeben durch
D := R \ { π2 + k π : k ∈ Z} und die Funktionsvorschrift x 7→ tan(x ) :=
π
cos(x ) = sin x +
,
2
π
sin(x ) = cos x −
.
2
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
Periodizität
Zum Beweis müssen wir einfach die Zeichnung mit den trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis um 90 Grad = π2 entgegen des Uhrzeigersinns drehen.
Die folgende nützliche Tatsache folgt schließlich aus dem Satz von Pythagoras für
das in den Kreis einbeschriebene rechtwinklige Dreieck.
Satz 9
Für alle x ∈ R gilt
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sin2(x ) + cos2(x ) = 1.
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in D stetig
in D beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = cos12(x )
F (x ) = − ln (cos(x ))
R
xn = nπ, n ∈ Z
ungerade: tan(−x ) = − tan(x )
Periode π
sin(x )
cos(x )
4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens
Graph von f (x ) = tan(x )
4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens
Definition 27
Die Cotangens-Funktion cot : D → R ist gegeben durch
D := R \ {k π : k ∈ Z} und die Funktionsvorschrift x 7→ cot(x ) :=
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
Periodizität
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4.8 Elementare Funktionen - Tangens und Cotangens
Graph von f (x ) = cot(x )
in D stetig
in D beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = − sin21(x )
F (x ) = ln (sin(x ))
R
xn = π2 + nπ, n ∈ Z
ungerade: cot(−x ) = − cot(x )
Periode π
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4.9 Elementare Funktionen - Die Additionstheoreme
Satz 10
Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen lauten: Für alle
x , y ∈ R, so dass beide Seiten der Gleichung definiert sind, gilt:
sin(x ± y ) = sin(x ) · cos(y ) ± cos(x ) · sin(y )
cos(x ± y ) = cos(x ) · cos(y ) ∓ sin(x ) · sin(y )
tan(x ) ± tan(y )
tan(x ± y ) =
1 ∓ tan(x ) · tan(y )
cot(x ) · cot(y ) ∓ 1
cot(x ± y ) =
.
cot(x ) ± cot(y )
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cos(x )
sin(x )
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4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
Wir führen die Umkehrfunktionen zu sin(x ), cos(x ), tan(x ) und cot(x ) ein. Da die
Funktionen periodisch sind, können sie nicht injektiv sein. Daher ist es nötig, die
Funktionen auf Bereiche einzuschränken, wo sie injektiv sind, um eine
Umkehrfunktion konstruieren zu können. Für die Wahl dieser Bereiche haben sich
folgende Konventionen durchgesetzt:
1. Die Arcussinus-Funktion
arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2 , y 7→ arcsin(y ) ist die Umkehrfunktion
von sin : − π2 , π2 → [−1, 1]. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x 7→ sin(x )
eine bijektive Abbildung.
2. Die Arcuscosinus-Funktion arccos : [−1, 1] → [0, π], y 7→ arccos(y ) ist die Umkehrfunktion
von cos : [0, π] → [−1, 1]. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x 7→ arccos(x )
eine bijektive Abbildung.
3. Die Arcustangens-Funktion
arctan : R → − π2 , π2 , y 7→ arctan(y ) ist die Umkehrfunktion
π π
von tan : − 2 , 2 → R. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x 7→ arctan(x ) eine
bijektive Abbildung.
4. Die Arcuscotangens-Funktion arccot : R → [0, π], y 7→ arccot(y ) ist die Umkehrfunktion
von cot : [0, π] → R. Mit dem genannten Definitions- und Zielbereich ist x 7→ arccot(x ) eine
bijektive Abbildung.
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sin(x )
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4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
arcsin(x )
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4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
Definition 28
Die Arcussinus-Funktion arcsin : D → R ist gegeben durch D := [−1, 1] und
die Funktionsvorschrift x 7→ arcsin(x ).
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
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in D stetig
in (−1, 1) beliebig oft differenzierbar
1
f 0(x ) = √1−
x2
√
F
(
x
)
=
x
arcsin(
x) + 1 − x2
π π
−2, 2
x =0
ungerade: arcsin(−x ) = − arcsin(x )
cos(x )
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arccos(x )
4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
Definition 29
Die Arcuscosinus-Funktion arccos : D → R ist gegeben durch D := [−1, 1] und
die Funktionsvorschrift x 7→ arccos(x ).
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
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in D stetig
in (−1, 1) beliebig oft differenzierbar
1
f 0(x ) = − √1−
x2
√
F (x ) = x arccos(x ) − 1 − x 2
[0, π]
x =1
keine
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tan(x )
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4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
arctan(x )
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4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
Definition 30
Die Arcustangens-Funktion arctan : R → R ist gegeben durch die
Funktionsvorschrift x 7→ arctan(x ).
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
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überall stetig
überall beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = 1+1x 2
F (x ) =x arctan(x ) − 12 ln(1 + x 2)
− π2 , π2
x =0
ungerade: arctan(−x ) = − arctan(x )
cot(x )
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f (x ) = arccot(x )
4.10 Elementare Funktionen - Umkehrfunktionen trigonometrischer
Funktionen
4.11 Elementare Funktionen - Gleichungen mit trigonometrischen
Funktionen
Definition 31
Die Arcuscotangens-Funktion arccot : R → R ist gegeben durch die
Funktionsvorschrift x 7→ arccot(x ).
Die Wahl eines passenden Bereichs für die Konstruktion der Umkehrfunktion der
Winkelfunktionen hat einige Konsequenzen für die Lösung von Gleichungen. Wir
betrachten dazu ein Beispiel.
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Ableitung
Stammfunktion
Bild
Nullstellen
Symmetrie
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überall stetig
überall beliebig oft differenzierbar
f 0(x ) = − 1+1x 2
F (x ) = x arccot(x ) + 12 ln(1 + x 2)
(0, π)
keine
keine
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4.11 Elementare Funktionen - Gleichungen mit trigonometrischen
Funktionen
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Beispiel 13. Wir suchen alle Lösungen der Gleichung sin(x ) = a ≥ 0.
1. Für a > 1 gibt es keine Lösungen, da in diesem Fall a ∈
/ sin(R) = [−1, 1].
2. Für a = 1 sind die Lösungen die Maxima der Sinusfunktion, d.h. die Punkte xk = π2 + 2k π mit
k ∈ Z.
3. Für a = 0 sind die Lösungen die Nullstellen der Sinusfunktion, d.h. die Punkte xk = k π mit
k ∈ Z.
4. Für 0 < a < 1 wollen wir nun die Lösungen mit Hilfe der Umkehrfunktion ausdrücken. Sei
A = arcsin(a), dann ist die Lösungsmenge der Gleichung
L = {A + 2k π : k ∈ Z} ∪ {−A + (2k + 1)π : k ∈ Z}.
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