Ubung 1 (Analysis II) - Technische Universität Braunschweig

21.-25. April 2008
Technische Universität Braunschweig
Carl-Friedrich-Gauß-Fakultät
Prof. Dr. K.-J. Wirths, Dr. W. Marten, C. Weinhold
Analysis II“ und Differentialgleichungen“
”
”
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Sommersemester 2008
Übung 1 (Analysis II)
Aufgabe 1: Gegeben seien a1 , a2 , a3 ∈ R3 mit






1
0
1
a1 =  −1 , a2 =  1 , a3 =  1 .
0
−1
1
Orthonormalisieren Sie a1 , a2 , a3 mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.
Lösung:
1
2
1
2

l1 =
√1 a1
2
,
l2 =
√1
6


,
−1


1
l3 = √13  1  .
1
Hausaufgabe: Gegeben seien a1 , a2 , a3 ∈ R4 mit



1
 −1 



a1 = 
 0 , a2 = 
0


2
6
 2
0 
, a = 
1  3  7
0
0


.

Orthonormalisieren Sie a1 , a2 , a3 mit dem Verfahren von Gram-Schmidt.
Lösung:

l1 =
√1 a1
2
,

1
 1 

l2 = √13 
 1 ,
0


−1
 −1 

l3 = √16 
 2 
0
Aufgabe 2: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R2 → R mit
√
f (x1 , x2 ) = 9x21 − 4x1 x2 + 6x22 + 5(6x1 − 8x2 ) + 10 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f (x) = xt Ax + bt x + c mit x ∈ R2 , A ∈ R2×2 , b ∈ R2 , c ∈ R.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.
Lösung:
a) f (x) =
x1
x2
9
−2
−2
6
x1
x2
+
√
5
6
−8
b) Eigenwerte: λ1 = 10, λ2 = 5
Zugehörige Eigenvektoren: v1 =
2
−1
1
, v2 =
2
x1
x2
+ 10
c) normierte Eigenvektoren: l1 = √15 v1 , l2 = √15 v2
10 0
2 −1
20
1
t
t
√
D=
, S = 5
, S b=
0 5
1
2
−10
10y12 + 5y22 + 20y1 − 10y2 + 10 = 0
Transformierte Quadrik in neuen Variablen:
Normalform:
2z12 + z22 = 1 mit z1 = y1 + 1 , z2 = y2 − 1
Ellipse im R2
⇒
Hausaufgabe: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R2 → R mit
f (x1 , x2 ) = 3x21 − 4x1 x2 − 2x1 + 4x2 − 5 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f (x) = xt Ax + bt x + c mit x ∈ R2 , A ∈ R2×2 , b ∈ R2 , c ∈ R.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.
Lösung:
a) f (x) =
x1
x2
3
−2
−2
0
x1
x2
−2
+
4
x1
x2
−5
b) Eigenwerte: λ1 = 4, λ2 = −1.
Zugehörige Eigenvektoren: v1 =
2
−1
−1
, v2 =
−2
c) normierte Eigenvektoren: l1 = √15 v1 , l2 =
4
0
2 −1
1
t
√
D=
, S = 5
,
0 −1
−1 −2
√1 v2
5
Transformierte Quadrik in neuen Variablen:
Normalform:
z12 − 41 z22 = 1 mit z1 = y1 −
√1
5
−8
−6
4y12 − y22 −
√8 y1
5
−
, z2 = y 2 +
√3
5
t
S b=
√1
5
√6 y2
5
⇒
−5=0
Hyperbel im R2
Hausaufgabe: Gegeben sei die quadratische Funktion f : R3 → R mit
f (x1 , x2 , x3 ) = 4x21 + 2x22 + 3x23 + 4x1 x3 − 4x2 x3 + 8x1 − 4x2 + 8x3 .
a) Stellen Sie f in der folgenden Form dar:
f (x) = xt Ax + bt x + c mit x ∈ R3 , A ∈ R3×3 , b ∈ R3 , c ∈ R.
b) Die reelle Matrix A ist symmetrisch und besitzt die Eigenwerte λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 0.
Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren von A.
c) Berechnen Sie die Normalform der Nullstellenmenge von f und bestimmen Sie den Typ.
Lösung:





0
2
x1
x1
2 −2   x2  + 8 −4 8  x2 
a) f (x) = x1 x2 x3
−2
3
x3
x3






2
2
1
b) Zugehörige Eigenvektoren: v1 =  2 , v2 =  −1 , v3 =  −2 
−1
2
−2
4
 0
2
c) normierte

3
D= 0
0
1
3 v1 ,
Eigenvektoren:
l1 
=

0 0
6 0 , S t = 31 
0 0
l2 = 13 v2
, l3 = 31 v3 

2 −1
0
−1
2 , S t b =  12 
−2 −2
0
2
2
1
3y12 + 6y22 + 12y2 = 0
Transformierte Quadrik in neuen Variablen:
1 2
2 z1
Normalform:
+ z22 = 1 mit z1 = y1 , z2 = y2 + 1
⇒
elliptischer Zylinder im R3
Aufgabe 3: Rechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale nach.
Z e
Z 2
ln x
1
3
b)
dx =
a)
x ln x dx = 2 ln 2 −
4
x
2
1
1
Lösung:
a) Partielle Integration:
2
Z
1
b) Substitution:
2 Z
1
1 2
3
x ln x −
x dx = 2 ln 2 −
x ln x dx =
2
2
4
1
du
dx
u := ln x ,
e
Z
ln x
dx =
x
1
=
Z
1
x
u(e)
u(1)
⇔
dx = x du
1 2
u du =
u
2
u(e)
u(1)
1
=
(ln x)2
2
e
=
1
1
2
Hausaufgabe: Rechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale nach.
Z 2π
Z π
π
1
1
x cos x dx = 1 −
a)
b)
ex sin x dx = eπ −
π
2
2
2
0
2
Z
c)
π
2
sin x cos3 x dx =
0
2
Z
d)
1
4
0
8
2x2 dx
√
=
3
3
1+x
Lösung:
a) Partielle Integration:
Z
f 0 (x) = cos x , g(x) = x
2π
Z
2π
2π
x cos x dx = [x sin x] π −
2
π
2
sin x dx = 1 −
π
2
π
2
b) Partielle Integration:
f 0 (x) = ex , g(x) = sin x
Z π
Z π
1
1
1
x
x
π
e sin x dx = [e sin x]0 −
ex cos x dx = [ex sin x − ex cos x]π0 = eπ +
2
2
2
0
0
(Vorzeichenfehler in der Aufgabenstellung)
c) Substitution:
du
dx
u := cos x ,
π
2
Z
= − sin x
Z
3
u( π
2)
sin x cos x dx = −
0
d) Substitution:
u(0)
u := x3 ,
Z
0
2
du
dx
= 3x2
2x2 dx
√
=
1 + x3
Z
⇔
u(2)
u(0)
du
dx = − sin
x
⇔
π2
1
1
4
u du = − cos x
=
4
4
0
3
dx =
du
3x2
p
2
2 du
4
8
√
=
1 + x3 =
3 1+u
3
3
0
Aufgabe 4: Lösen Sie das Anfangswertproblem y 0 (x) − 2y(x) = x2 , y(0) = 3 mit der LaplaceTransformation.
Lösung:
Laplace-Transformation der Gleichung:
L[y 0 (x)] − 2L[y(x)]
= L[x2 ]
2
sY (s) − 3 − 2Y (s) =
s3
2
3
+
Y (s) =
s − 2 s3 (s − 2)
3
1
1
1
1
=
− 3− 2−
+
s−2 s
2s
4s 4(s − 2)
Rücktransformation:
1
1
1 1
y(x) = 3e2x − x2 − x − + e2x
2
2
4 4
Probe: y(x) und y 0 (x) = 6e2x − x −
1
2
+ 12 e2x in die Differentialgleichung einsetzen.