Lineare Algebra - Studentenportal

Mathematik für Informatiker
Analysis
Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik
Graphen und Bäume
Kryptographie
Ammann Roman
Hochschule Rapperswil
[email protected]
6. Oktober 2002
Inhaltsverzeichnis
1 Logische Grundlagen
1.1 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Normalform . . . . . . . . . . .
1.1.3 Tupel und kartesische Produkte .
1.2 Abbildungen oder Funktionen . . . . . .
1.2.1 Darstellung . . . . . . . . . . .
1.3 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Aussagenlogische Formeln . . . .
1.3.2 Normalform . . . . . . . . . . .
1.3.3 Boolesche Funktionen . . . . . .
1.3.4 Indirekte Beweise . . . . . . . .
1.3.5 Shefferstrich . . . . . . . . . . .
1.3.6 Hornformel . . . . . . . . . . . .
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6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
9
2 Zahlen
2.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ganze und rationale Zahlen . . . . . . . .
2.2.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Permutationen und Kombinationen
2.2.3 Die binomische Formel . . . . . .
2.2.4 Intervallschachtelung . . . . . . .
2.2.5 Dezimalbrüche . . . . . . . . . . .
2.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Darstellungformen . . . . . . . . .
2.3.2 Komplexe Rechnung . . . . . . . .
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12
13
3 Gleichungen
15
3.1 Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Reelle Funktionen
17
4.1 Operationen mit Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Verkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.1.2 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x → ±∞ . . . .
4.2.2 Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
4.2.3 Bernoulli und de l’Hospital . . . . . . . . . .
Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen) . . .
4.3.1 Lineare Polynome . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Quadratische Polynome . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Linearfaktorisierung . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . .
Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logarithmus und Exponenzialfunktionen . . . . . . .
4.5.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen . .
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Vorzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.5 Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . .
4.6.6 Trigonometrischer Pythagoras . . . . . . . .
4.6.7 Additionstheorem . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.8 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . .
5 Rekursion und Induktion
5.1 Rekursive Definitionen .
5.2 Vollständige Induktion .
5.2.1 Beispiel . . . .
5.2.2 Häufige Folgen
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6 Hyperbelfunktionen
6.1 Definition . . . . . . . . .
6.1.1 Hyperbelsinus . . .
6.1.2 Hyperbelcosinus . .
6.1.3 Hyperbeltangens . .
6.1.4 Hyperbelcotangens
6.2 Beziehungen . . . . . . . .
6.2.1 Symmetrie . . . . .
6.2.2 Quadrate . . . . . .
6.2.3 Additionstheoreme .
6.2.4 Differenziale . . . .
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6.2.5
6.2.6
Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
34
7 Differenzialrechnung
7.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Ableitung von Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Produkteregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.6 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . .
7.3.7 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Regel von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Kurvenuntersuchung mit der Differenzialrechnung . . . . .
7.5.1 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Wende- und Terassenpunkte . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Allgemeine Kriterien für einen relativen Extremwert
7.5.4 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . .
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39
8 Integralrechnung
8.1 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Elementare Eigenschaften des bestimmten
8.1.2 Berechnung des bestimmten Integrals . .
8.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . .
8.3 Einfache Integrationsregeln . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . .
8.4 Integrale von Grundfunktionen . . . . . . . . . .
8.5 Integration der gebrochenrationalen Funktionen .
8.5.1 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Polynomdivison . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Brüche zerlegen . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 1. Version (Umkehrung der Kettenregel) .
8.6.2 2. Version . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Anwendunge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.1 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . .
8.7.2 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . .
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Integrals
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9 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
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9.1 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.1.2 Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
9.2
9.3
9.4
9.5
9.1.3 Summenhäufigkeit . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Permutationen . . . . . . . . . .
9.2.2 Kombinationen . . . . . . . . .
9.2.3 Variationen . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitrechnung . . . . . . .
9.3.1 Ereigniss . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . .
9.3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit . .
Wahrscheinlichkeitsgleichverteilungen . .
9.4.1 Diskrete Zufallsvariable . . . . .
9.4.2 Stetige Zufallsvariable . . . . . .
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
9.5.1 Binominalerteilung . . . . . . .
9.5.2 Hypergeometrische Verteilung .
9.5.3 Poisson-Verteilung . . . . . . . .
9.5.4 Gausssche Normalverteilung . . .
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10 Graphen und Bäume
10.1 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Arten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Rekursive Algorithmen auf Bäumen . . . .
10.2.2 Binärbäume . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 AVL-Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Einfügen in AVL-Bäume . . . . . . . . . . .
10.3.2 Entfernen von Knoten aus einem AVL-Baum
10.4 Sortieralgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Sortieren durch Einfügen . . . . . . . . . .
10.4.2 Sortieren durch Auswahl . . . . . . . . . .
10.4.3 Bubble Sort . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.4 Merge-Sort . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.5 Quicksort . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Kryptographie
11.1 Elementare Zahlentheorie . . .
11.1.1 Modulo Divison . . . .
11.1.2 Erweiterter Euklidischer
11.1.3 Eulersche ϕ-Funktion .
11.2 Modulare Arithmetik . . . . .
11.2.1 Kongurenzen . . . . . .
11.2.2 Zm . . . . . . . . . . .
11.2.3 Zm ∗ . . . . . . . . . .
4
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Algorithmus
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70
70
70
70
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71
71
72
72
11.2.4 Anwendungen . . . . . . .
11.3 Endliche Körper . . . . . . . . . .
11.3.1 Polynome mit Koeffizienten
11.3.2 Kongurenz . . . . . . . . .
11.3.3 GF (pn ) . . . . . . . . . .
11.3.4 Anwendungen . . . . . . .
5
. . . .
. . . .
in Zp
. . . .
. . . .
. . . .
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72
74
74
74
74
75
Kapitel 1
Logische Grundlagen
1.1
1.1.1
Mengenlehre
Begriffe
Definition 1.1.1 Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen.
{} oder ∅ leere Menge
A⊂B
A ist Teilmenge von B
A∪B
Vereinigung von A und B
A∩B
Durchschnitt von A und B
A
nicht A, Komplement
A\B
Differenz
Als Äquivalent gelten folgende Ausdrücke:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
1.1.2
Normalform
(A ∩ B) ∪ (C ∩ D) ∪ E
(A ∪ B) ∩ (C ∪ D) ∩ E
disjunktive Normalform
Normalform herstellen:
konjunktive Normalform
(a) A \ B = A ∩ B
(b) A ∩ B = A ∪ B oder
A∪B =A∩B
(c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) oder
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6
1.1.3
Tupel und kartesische Produkte
Tupel sind Mengen, bei denen die Reihenfolge wesentlich ist. Die mengentheoretische Definition lautet:
(a, b) := {{a}, {a, b}}
Die Definition des kartesischen Produktes lautet:
A × B := {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B}
A = {a1 , a2 }, B = {b1 , b2 , b3 } A × B = {a1 b1 , a1 b2 , a1 b3 , a2 b1 , a2 b2 , a2 b3 }
1.2
Abbildungen oder Funktionen
D
Z
D ist die Definitionsmenge und Z die Zielmenge. Für jedes Element der
Menge D gibt es genau ein Element in der Menge Z. Die Menge D enthält die
Argumente und Z die Werte.
f :D→Z
f (x) = y
1.2.1
Darstellung
Wertetabelle
x
f(x)
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
Abbildungsvorschrift
f : R → R : x → x2
7
2
4
3
9
Abbildungsgleichung
y = x2 , f (x) = x2
1.3
1.3.1
Aussagenlogik
Aussagenlogische Formeln
>
wahr
⊥
falsch
¬A
nicht A
(A ∧ B)
A und B
(A ∨ B)
A oder B
(A → B) wenn A dann B (Implikation)
(A ↔ B) A genau dann wenn B (Äquivalenz)
Als Äquivalent gelten folgende Ausdrücke:
A → B ↔ ¬A ∨ B
(A → B) ↔ (¬B ∨ ¬A)
(A ↔ B) ↔ ((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B))
1.3.2
Normalform
(A ∧ B) ∨ (C ∧ D)
(A ∨ B) ∧ (C ∨ D)
disjunktive Normalform
konjunktive Normalform
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
¬¬A ↔ A
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(a) Ersetze A → B durch ¬A ∨ B und A ↔ B durch (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B).
(b) Wende De Morganschen Regel an, bis alle Negationen direkt vor den
Variablen stehen.
(c) Wende das Distributivgesetz an.
8
1.3.3
x1
w
w
w
w
f
f
f
f
Boolesche Funktionen
x2
w
w
f
f
w
w
f
f
x3
w
f
w
f
w
f
w
f
f (x1 , x2 , x3 )
f
w
f
f
f
w
w
f
Disjunktive Normalform (alle wahr)
(x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ) ∨ (¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 )
Konjunktive Normalform (alle falsch)
(¬x1 ∨¬x2 ∨¬x3 )∧(¬x1 ∨x2 ∨¬x3 )∧(¬x1 ∨x2 ∨x3 )∧(x1 ∨¬x2 ∨¬x3 )∧(x1 ∨x2 ∨x3 )
1.3.4
Indirekte Beweise
(¬A → ⊥)
(A → B)
1.3.5
→
↔
A
(¬B → ¬A)
Shefferstrich
x | y := ¬(x ∧ x)
x | x ↔ ¬x
(x | x) | (y | y) ↔ x ∨ y
(x | y) | (x | y) ↔ x ∧ y
1.3.6
Hornformel
A ↔ >→A
¬A ∨ B ↔ A → B
¬A ∨ ¬B ∨ C ↔ A ∧ B → C
¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ∨ D ↔ A ∧ B ∧ C → D
¬A ∨ ¬B ↔ A ∧ B → ⊥
9
Kapitel 2
Zahlen
2.1
N
N∗
Z
Q
R
C
2.2
Zahlenmengen
=
=
=
=
=
=
{0, 1, 2, . . .}
{1, 2, 3, . . .}
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
{x|x = ab mit a ∈ Z und b ∈ N∗}
{z|z = x + ıy; x, y ∈ R}
natürliche Zahlen
positive ganze Zahlen
ganze Zahlen
rationale Zahlen
reele Zahlen
komplexe Zahlen
Ganze und rationale Zahlen
2.2.1
Potenzen
a0 = 1
an am = an+m
an
= an−m
am
an bn = (ab)n
(an )m = anm
1
a−n =
n
a
√
n
m n
a = am 1
Beispiel
(x − y)4 = z 4
1
Scheinlösung können entstehen
10
x−y = z
x − y = −z
Für eine geraden Exponenten gibt es immer noch eine negative Lösung.
2.2.2
Permutationen und Kombinationen
n! := 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) =
n
Y
k
k=1
resultat = 1;
for (k=1; k<=n; k++) {
resultat += k;
}
2.2.3
Die binomische Formel
(a + b)n =
n X
n
m
m=0
(a − b)n =
n
X
(−1)m
an−m bm = an +
n
m
m=0
n
1
an−m bm = an −
an−1 b1 +
n
1
n
2
an−1 b1 +
an−2 b2 + . . .
n
2
an−2 b2 − . . .
Binominalkoeffizient
n
m
=
n!
m!(n − m)!
Pascalsche Dreieck
Die Binominalkoeffizienten können auch direkt aus dem Pascalschen Dreieck
abgelesen werden.
1
1
1
1
1
1
1
Der Koeffizient
n
k
3
4
5
6
1
2
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
steht dabei in der (n + 1)-ten Zeile an (k + 1)-ter Stelle.
11
2.2.4
Intervallschachtelung
[a, b]
]a, b[
[a, b[
]a, b]
:=
:=
:=
:=
{x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
{x ∈ R|a < x < b}
{x ∈ R|a ≤ x < b}
{x ∈ R|a < x ≤ b}
[a, ∞[
]a, ∞[
] − ∞, b]
] − ∞, b[
2.2.5
abgeschlossenes Intervall
offenes Intervall
halboffenes Intervall
halboffenes Intervall
{x ∈ R|a ≤ x}
{x ∈ R|a < x}
{x ∈ R|a ≥ x}
{x ∈ R|a > x}
:=
:=
:=
:=
Dezimalbrüche
∈
∈
∈
∈
∈
..
.
π
π
π
π
π
[3, 4]
[3.1, 3.2]
[3.14, 3.15]
[3.141, 3.142]
[3.1415, 3.1416]
0.9 = 1
x
1000x
999x
2.3
Komplexe Zahlen
2.3.1
Darstellungformen
=
=
=
0.123
123.123
123
Algebraische oder kartesiche Form
z =x+ı·y
x
y
Realteil von z
Imaginärteil von z
Trigonometrische Form
z = r(cos ϕ + ı · sin ϕ)
r
ϕ
Betrag von z
Argument (Winkel) von z
12
Exponential Form
Unter der Verwengung der von Euler stammenden Formel
eı·ϕ = cos ϕ + ı · sin ϕ
erhält man aus der Trigonometrischen Form die Exponential Form
z = r · eı·ϕ
r
ϕ
Betrag von z
Argument (Winkel) von z
Umrechnungen
Polarform → Kartesische Form
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
Kartesische Form → Polarform
p
x2 + y 2
y
ϕ = arctan
x
Wobei ϕ für den II und III Quadraten mit π addiert werden muss und für den
IV Quadratent mit 2π. Komplexe Zahlen werden zuerst in die Trigonometrische
Form gebracht, bevor sie weiterverarbeitet werden.
r = |z| =
2.3.2
Komplexe Rechnung
Addition und Subtraktion
Für die Addition und Subtraktion müssen die komplexen Zahlen z1 , z2 in der
kartesischen Form vorliegen.
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + ı · (y1 + y2 )
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + ı · (y1 − y2 )
Multiplikation und Division
In der kartesischen Form
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + ı · (x1 y2 + x2 y1 )
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
z1
=
+ı·
z2
x22 + y22
x22 + y22
oder in den polaren Formen
z1 · z2 = (r1 r2 )[cos(ϕ1 + ϕ2 ) + ı · sin(ϕ1 + ϕ2 )] = (r1 r2 )eı(ϕ1 +ϕ2
z1
r1
r1
= ( )[cos(ϕ1 − ϕ2 ) + ı · sin(ϕ1 − ϕ2 )] = ( )eı(ϕ1 −ϕ2
z2
r2
r2
13
Potenzieren
z n = [r · eı·ϕ ]n = rn · eı·nϕ
z n = [r(cos ϕ + ı · sin ϕ)]n = rn [cos(nϕ) + ı · sin(nϕ)]
Radizieren
Satz 2.1 Eine algebraische Gleichung n-ten Grades
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z 1 + a0 = 0
besitzt in der Menge C der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen.
Die spezielle Gleichung
z n = a = a0 · eı·α
besitzt im Komplexen genau n verschieden Lösungen (Wurzeln)
zk = r(cos ϕk + ı · sin ϕk ) = r · eı·ϕk
mit
r=
√
n
a0 und ϕk =
α + k · 2π
wobei k := 0 . . . n − 1
n
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus für die komplexe Zahl z = r · eı·(ϕ+kπ) ist unendlich
vieldeutig
ln z = ln r + ı · (ϕ + k · 2π)
Der Hauptwert für k = 0 ist
ln z = ln r + ı · ϕ
14
Kapitel 3
Gleichungen
3.1
Betragsgleichungen
y = |x − 2| =
x−2
x≥2
für
−(x − 2)
x<2
Lösungsweg
Eine Betragsgleichung der Art
|2x − 1| = −x + 1
wird durch Fallunterscheidung gelöst.
1. Fall:
2x − 1 ≥ 0
x ≥ 0.5
In diesem Fall können die Betragsstriche weggelassen werden. Die Gleichung lautet nun
2x − 1 = −x + 1
15
und hat die Lösung
2
3
Die Lösung muss natürlich die Anfangsbedingung x ≥ 0.5 erfüllen, was
sie auch tut. Das Resultat ist eine Lösung der Betragsgleichung
x1 =
2. Fall:
2x − 1 < 0
x < 0.5
In diesem Fall ist der Term 2x − 1 negativ, den Betrag erhälten wir durch
Multiplikation mit −1. Die Gleichung lautet nun
−1(2x − 1) = −x + 1
und hat die Lösung
x2 = 0
Auch diese Lösung muss die Anfangsbedingung x < 0.5 erfüllen, was sie
auch tut.
Die Betragsgleichung hat demnach die Lösungsmenge L = { 32 , 0}. Hat eine Betragsgleichung mehrere Beträge, so ist für jeden Betrag die Fallunterscheidung
zu treffen.
16
Kapitel 4
Reelle Funktionen
4.1
4.1.1
Operationen mit Funktionen
Verkettung
g ◦ f := g(f (x))
möglich, wenn Zielmenge von f (x) Teilmenge der Definitionsmenge von g(x)
ist.
4.1.2
Inverse Funktionen
Eine Funktion ist injenktiv, wenn jede Parallele zur x-Achse den Grafen höchstens einmal schneiden. Sie ist surjektiv,wenn der Graf jede Parallele mindestens
einmal schneidet und sie ist bijektiv, wenn der Graf jede Parallele genau einmal schneidet. Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist
(man kann sie auch unterteilen, bis die einzelnen Teile bijektiv werden). Die
Umkehrung ist die Spiegelung an der Geraden der Gleichung x = y.
4.2
Grenzwert
Definition 4.2.1 Eine Funktion y = f (x) sei in der Umgebung von x0 definiert.
Gilt dann für jeden im Definitionsbereich der Funktion liegenden und gegen die
Stelle x0 konvergierdene Zahlenfolge < xn > mit xn 6= x0 stets
lim f (xn ) = g
n→∞
so heisst g der Grenzwert von y = f (x) an der Stelle x0 . Die symbolische
Schreibweise lautet:
lim f (x) = g
x→x0
17
4.2.1
Grenzwert einer Funktion für x → ±∞
1
lim
=0
x→∞ x
4.2.2
Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
lim [C · f (x)] = C ·
x→x0
lim f (x)
x→x0
lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x)
x→x0
x→x0
lim [f (x) · g(x)] =
x→x0
x→x0
lim f (x) · lim g(x)
x→x0
x→x0
f (x)
limx→x0 f (x)
=
x→x0 g(x)
limx→x0 g(x)
q
p
lim n f (x) = n lim f (x)
lim
x→x0
x→x0
lim [f (x)]n =
x→x0
n
lim f (x)
x→x0
lim af (x) = a(limx→x0 f (x))
x→x0
lim [loga f (x)] = loga
x→x0
4.2.3
lim f (x)
x→x0
Bernoulli und de l’Hospital
Wenn beide Limes von g(x) und f (x) Richtung 0 oder ±∞ laufen gilt:
lim
x→x0
4.3
g 0 (x)
f (x)
= lim 0
g(x) x→x0 f (x)
Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
Definition 4.3.1 Funktionen vom Typ
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
werden als Polynomfunktionen bezeichnet (x ∈ R). Die Koeffiienten a0 , a1 , . . . , an
heissen Polynomkoeffizienten (an 6= 0), der höchste Exponent n bestimmt den
Polynomgrad.
18
4.3.1
Lineare Polynome
y = ax + b
a ist die Steigung und b der Schnittpunkte bei x = 0.
4.3.2
Quadratische Polynome
y = ax2 + bx + c
b
x = − 2a
ist der Scheitelpunkt. Bei a < 0 ist dort der maximal Wert, bei a > 0
der minimal Wert.
Nullstellen
ax2 + bx + c = 0
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
x1,2,3,4
4.3.3
ax4 + bx2 + c = 0
s
√
−b ± b2 − 4ac
√
= u1,2 =
2a
Linearfaktorisierung
Satz 4.1 Besitzt die Polynomfunktion f (x) vom Grade n an der Stelle x1 eine
Nullstelle, ist also f (x1 ) = 0, so ist die Funktion auch in der Form
f (x) = (x − x1 ) · f1 (x)
darstellbar. Der Faktor (x − x1 ) heisst Linearfaktor, f1 (x) is das sogenannte 1.
reduzierte Polynom vom Grade n − 1.
4.3.4
Polynomdivision
f (x)/g(x) = q(x) Rest r(x)
r(x)
f (x)
= q(x) +
g(x
g(x)
19
(x4 + 3x3
x4 + x3
2x3
2x3
+ 5x2
+ x2
+ 4x2
+ 2x2
2x2
2x2
+ 7x − 5) / (x2 + x + 1) = x2 + 2x + 2 Rest 3x − 7
+
+
+
+
7x
2x
5x −
2x +
3x −
5
2
7
Ein Polynom des n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Man findet die
Nullstellen eines Polygon n-ten Grades indem man den ganzen Polynom durch
eine bekannt Nullstelle dividiert.
4.3.5
Horner-Schema
Mit Hilfe des Horner-Schemas lassen sich Nullstellen von Polynomfunkionen
f (x) bestimmen. Der Ablauf ist wie folgt:
• Die erste Nullstelle x1 wird durch Probieren, Erraten oder graphische oder
numerische Rechenverfahren (vergl. Abschnitt 7.4 Newton) bestimmt.
• Dann wird der Liniearfaktor (x − x1 ) durch Polynomdivision abgespalten.
• Wenn das Polynom vom Grad n > 2 ist wird analog oben weitergefahren.
Sonst wird die quadratische Gleichung gelöst. Das Polynom wird durch
beide Lösungen dividiert, damit man die Konstante erhält.
4.4
Gebrochenrationale Funktionen
Definition 4.4.1 Funktionen, die als Quotient zweier Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen) g(x) und h(x) darstellbar sind, heissen gebrochenrationale
Funktionen:
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0
y=
bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0
Ist der Grad des Nennerpolynoms grösser als der Grad des Zählerpolynoms,
spricht man von echt gebrochenenen Funktionen, sonst von unecht gebrochenen
Funktionen.
4.4.1
Nullstellen
Man zerlege zuerst Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren und kürze
gemeinsame Faktoren heraus. Die im Zähler verbliebenen Linearfaktoren liefern
dann die Nullstellen. Die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren liefern die
Polstellen (Bereiche in denen die Funktion nicht definiert ist).
20
Beispiel
y=
2x3 + 2x2 − 32x + 40
x3 + 2x2 − 13x + 10
d.h. der Zähler muss 0 sein
x2 − 1 = 0
x1,2 = ±1
dabei muss der Nenner immer 6= 0 sein, was hier erfüllt ist.
4.5
4.5.1
Logarithmus und Exponenzialfunktionen
Exponentialfunktionen
Definition 4.5.1 Funktionen vom Typ
y = an
mit positiver Basis a > 0 und a 6= 1 heissen Exponentialfunktionen.
au+v = au · av
au
au−v =
av
nu
a
= (au )n
n
n
a m u = (au ) m
aloga u = u
n
aloga u· m
n
n
= a(loga u) m = u m
Spezielle Exponentialfunktionen
Die Exponentialfunktionen
y = ex
und
x
1
y=
= e−1
e
sind von besonderer Bedeutung. Dabei ist e durch den Grenzwert
1 n
= 2.18281...
e = lim 1 + )
n→∞
n
definiert. Die e-Funktion hat als Basis die Eulersche Zahl.
21
4.5.2
Logarithmus
Definition 4.5.2 Unter der Logarithmusfunktion y = loga x versteht man die
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ax (a > 0, a 6= 0).
Die Logarithmusfunktion besitzt unabhängig von der Basis genau eine Nullstelle
bei x0 = 1
loga 1 = 0
Rechenregeln für Logarithmen
loga (u · v)
u
loga ( )
v
loga (un )
√
loga ( n u)
= loga u + loga v
= loga u − loga v
= n · loga u
1
=
loga u
n
n
n
loga (u m ) =
· loga u
m
Basiswechsel
logb u =
loga u
loga b
Spezielle Logarithmen
Der natürliche Logarithmus hat als Basis die Eulersche Zahl e.
eln(x) = x
ln(e) = 1
4.5.3
Exponential- und Logarithmusgleichungen
Exponentialgleichungen
1. Beispiel
ecos x = 1
Durch Logarithmieren erhält man die Gleichungen
ln ecos x = ln 1
cos x · ln e = 0
22
Die Gleichung besitzt demnach unendlich viele Lösungen.
2. Beispiel
4
2x + x − 5 = 0
2
Durch Substitution von z = 2x erhält man zwei reele Lösungen
z 2 + 4 − 5z = 0
z1 = 4, z2 = 1
Nach Rücksubstitution und anschliessendem Logarithmieren folgt schliesslich
2x = 4
ln 2x = ln 4
ln 2x = ln 22
x1 = 2
und
2x = 1
ln 2x = ln 1
ln 2x = 0
x2 = 0
Logarithmusgleichungen
1. Beispiel
log(4x − 5) = 1.5
Durch Entlogarithmierung erhält man
10log(4x−5) = 101.5
4x − 5 = 101.5
4x − 5 = 31.6628
x1 = 9.1557
2. Beispiel
ln(x2 − 1) = ln x + 1
23
Durch anwenden der Rechenregel ln e = 1 erhält man
ln(x2 − 1) = ln x + ln e
ln(x2 − 1) = ln(xe)
x2 − 1) = xe
Durch Lösen der Quadratischen Gleichung erhält man die beiden Lösungen
x1/2 = 1.3591 ± 1.6874
4.6
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen.
3
cot(x)
tan(x)
2
1
cos(x)
sin(x)
0
−1
−2
−3
−π
0
π
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
tan(−ϕ) = − tan(ϕ)
cot(−ϕ) = − cot(ϕ)
24
2π
4.6.1
Vorzeichen
Das Vorzeichen hängt vom Quadraten ab
Quadrant
I
II
π
π
0<x< 2 2 <x<π
sin(ϕ)
>0
>0
cos(ϕ)
>0
<0
tan(ϕ)
>0
<0
cot(ϕ)
>0
<0
4.6.2
III
π<x<
<0
<0
>0
>0
3π
2
Sinusfunktion
sin(ϕ + 2π) = sin(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
sin(π − ϕ) = sin(ϕ)
π
sin( − ϕ) = cos(ϕ)
2
π
sin(ϕ + ) = cos(ϕ)
2
1
2
sin (ϕ) =
[1 − cos(2ϕ)]
2
4.6.3
Cosinusfunktion
cos(ϕ + 2π) = cos(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
cos(π − ϕ) = − cos(ϕ)
π
cos( − ϕ) = sin(ϕ)
2
π
cos(ϕ + ) = − sin(ϕ)
2
1
cos2 (ϕ) =
[1 + cos(2ϕ)]
2
4.6.4
Tangensfunktion
tan(ϕ + π) = tan(ϕ)
tan(π − ϕ) = − tan(ϕ)
π
tan( − ϕ) = cot(ϕ)
2
π
tan(ϕ + ) = − cot(ϕ)
2
25
3π
2
IV
< x < 2π
<0
>0
<0
<0
4.6.5
Kotangensfunktion
cot(ϕ + π) = cot(ϕ)
cot(π − ϕ) = − cot(ϕ)
π
cot( − ϕ) = tan(ϕ)
2
π
cot(ϕ + ) = − tan(ϕ)
2
4.6.6
Trigonometrischer Pythagoras
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
1 + cot2 (ϕ) =
1 + tan2 (ϕ) =
sin(ϕ)
sin(ϕ)
sin(ϕ)
cos(ϕ)
p
± 1 − sin2 (ϕ)
tan(ϕ)
± √ sin(ϕ)2
√1−sin2 (ϕ)
1−sin (ϕ)
± sin(ϕ)
cot(ϕ)
4.6.7
1
sin (ϕ)
1
2
cos (ϕ)
cos(ϕ)
p
± 1 − cos2 (ϕ)
±
cos(ϕ)
√
2
1−cos (ϕ)
cos(ϕ)
± √ cos(ϕ)2
1−cos (ϕ)
2
tan(ϕ)
± √ tan(ϕ)2
1+tan (ϕ)
±√ 1 2
1+tan (ϕ)
1
1+cot2 (ϕ)
± √ cot(ϕ)2
1+cot (ϕ)
±√
tan(ϕ)
1
cot(ϕ)
1
tan(ϕ)
cot(ϕ)
Additionstheorem
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) · cos(ψ) − sin(ϕ) · sin(ψ)
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) · cos(ψ) + cos(ϕ) · sin(ψ)
tan(ϕ) + tan(ψ)
tan(ϕ + ψ) =
1 − tan(ϕ) · tan(ψ)
cot(ϕ) · cot(ψ) − 1
cot(ϕ + ψ) =
cot(ϕ) + cot(ψ)
cos(ϕ − ψ) = cos(ϕ) · cos(ψ) + sin(ϕ) · sin(ψ)
sin(ϕ − ψ) = sin(ϕ) · cos(ψ) − cos(ϕ) · sin(ψ)
tan(ϕ) − tan(ψ)
tan(ϕ − ψ) =
1 + tan(ϕ) · tan(ψ)
26
cot(ϕ)
cot(ϕ − ψ) =
− cot(ϕ) · cot(ψ) − 1
cot(ϕ) − cot(ψ)
Doppelwinkel
cos(2ϕ) = 2 cos2 (ϕ) − 1
= 1 − 2 sin2 (ϕ)
= cos2 (ϕ) − sin2 (ϕ)
sin(2ϕ) = 2 sin(ϕ) · cos(ϕ)
2 tan(ϕ)
tan(2ϕ) =
1 − tan2 (ϕ)
cot2 (ϕ) − 1
cot(2ϕ) =
2 cot(ϕ)
Multiplikationen
cos(ϕ) · cos(ψ) =
sin(ϕ) · sin(ψ) =
sin(ϕ) · cos(ψ) =
4.6.8
1
(cos(ϕ + ψ) + cos(ϕ − ψ))
2
1
(cos(ϕ − ψ) − cos(ϕ − ψ))
2
1
(sin(ϕ + ψ) + sin(ϕ − ψ))
2
Harmonische Schwingungen
x = A sin(ωt + ϕ)
A sin(ωt + ϕ) = (A cos(ϕ)) · sin(ωt) + (A sin(ϕ)) · cos(ωt)
Mit den Definitionen
B := A cos(ϕ)
C := A sin(ϕ)
vereinfacht sich die Gleichung zu
x = B sin(ωt) + C cos(ωt)
Die Amplitude A lässt sich durch folgende Formel berechnen
p
A = B2 + C 2
27
Weiter lässt sich der Phasenwinkel ϕ berechnen
C
) oder
B
C
ϕ = arctan( ) + π
B
ϕ = arctan(
Falls C > 0, so muss ϕ im 1. oder 2. Quadranten liegen, d.h. ϕ muss evtl.
durch die Addition von π in den 1. oder 2. Quadraten verschoben werden. Falls
C < 0, so muss ϕ im 3. oder 4. Quadraten liegen.
28
Kapitel 5
Rekursion und Induktion
5.1
Rekursive Definitionen
Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Folge
(an )n∈N := (a0 , a1 , a2 , . . .)
zu beschreiben:
(a) Man definiert für jedes Glied eine Formel, z.B.
an = 2n
(b) oder man gibt das erste Glied an und gibt eine Rekursionsformel an
a0 = 1
an+1 = 2an
5.2
Vollständige Induktion
Man möchte zeigen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Eine
allgemeine Formel wird bewiesen, in dem eine Verankerung bewiesen und der
Schritt zum nächsten Element bewiesen wird.
5.2.1
Beispiel
Für die rekursive Folge a0 := 1 und an+1 := 3an − 1 soll bewiesen werden, dass
an = 12 (3n + 1) gilt.
Die Induktionsverankerung a0 = 12 (30 + 1) stimmt offensichtlich. Für den
Induktionsschritt nehmen wir an, dass die Vermutung für n = m stimmt, also
gilt
1
am = (3m + 1)
2
29
Durch die Rekursionsformel gilt für am+1
am+1 = 3am − 1
1
= 3 (3m + 1) − 1
2
1 m
(3 · 3 + 3) − 1
=
2
1 m+1
(3
+ 3) − 1
=
2
1
= 3 (3m+1 + 1)
2
und durch die direkte Formel gilt
am+1 =
1 m+1
(3
+ 1)
2
Die beiden Resultate sind identisch, die direkte Formel stimmt also.
5.2.2
Häufige Folgen
Summe der ersten n Quadrate
n
X
r=1
1
r2 = 12 + 22 + 32 + 42 + . . . = n(n + 1)(2n + 1)
6
Summe der ersten n Teilbrüche
n
X
r=1
1
1
1
1
1
n
=
+
+
+
+ ... =
r(r + 1)
1·2 2·3 3·4 4·5
n+1
Arithmetische Folgen
Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Glieder konstant ist, z.B.
10, 13, 16, 19, . . .
Für a = 7 und d = 3 gilt
a + 1 · d, a + 2 · d, a + 3 · d, a + 4 · d, . . .
Für eine arithmetische Folge (ar )r∈N gilt
n
X
r=1
ar =
n(a1 + an
2
30
wobei
an = a + nd
Wenn die Differenz zwischen den Elemente 1 ist gilt der Speziallfall
n
X
r=1
1
r = n(n + 1)
2
Geometrische Folgen
Eine geometrische Folge ist eine Folge, in der das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich ist, z.B.
10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .
Für a = 5 und q = 2 gilt
aq 1 , aq 2 , aq 3 , aq 4 , . . .
Für eine geometrische Folge (ar )r∈N gilt
n
X
ar =
r=1
qan − a1
q−1
wobei
an = aq n
Dadurch ändert sich die Summenformel
n
X
r=1
ar =
q n+1 a − a1
q−1
31
Kapitel 6
Hyperbelfunktionen
6.1
6.1.1
Definition
Hyperbelsinus
1
y = sinh x = (ex − e−x )
2
6.1.2
Hyperbelcosinus
1
y = cosh x = (ex + e−x )
2
6.1.3
Hyperbeltangens
y = tanh x =
6.1.4
Hyperbelcotangens
y = tanh x =
6.2
6.2.1
(ex − e−x )
(ex + e−x )
(ex + e−x )
(ex − e−x )
Beziehungen
Symmetrie
sinh(−x) = − sinh(x)
cosh(−x) = cosh(x)
tanh(−x) = − tanh(x)
coth(−x) = − coth(x)
32
6.2.2
Quadrate
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
6.2.3
Additionstheoreme
sinh(u ± v) = sinh(u) cosh(v) ± cosh(v) sinh(v)
cosh(u ± v) = cosh(u) cosh(v) ± sinh(v) sinh(v)
6.2.4
Differenziale
sinh0 (x) = cosh(x) + C
cosh0 (x) = sinh(x) + C
1
= 1 − tanh2 (x) + C
tanh0 (x) =
2
cosh (x)
1
coth0 (x) =
= 1 − coth2 (x) + C
sinh2 (x)
√
arcsinh0 (x) =
√
arcsinh0 (x) =
1
+C
1 − x2
1
+C
1 − x2
arcsinh0 (x) =
6.2.5
1
arcsinh0 (x) =
x2
+1
1
x2
−1
Integrale
Z
sinh(ωx) dx =
cosh(ωx)
+C
ω
Z
1
dx = − coth x + C
sinh2 (x)
Z
sinh(ωx)
cosh(ωx) dx =
+C
ω
Z
1
dx = − tanh x + C
cosh2 (x)
33
+C
+C
Z
tanh(ωx) dx =
Z
coth(ωx) dx =
Z
arcsinh(ax) dx =
Z
arcsinh(ax) dx =
Z
arcsinh(ax) dx =
Z
arcsinh(ax) dx =
6.2.6
ln(| cosh(ωx)|)
+C
ω
ln(| sinh(ωx)|)
+C
ω
r
1
x arcsinh(ax) +
− x2 + C
a2
r
1
x arcsinh(ax) −
− x2 + C
a2
1
1
2
x arcsinh(ax) −
ln
+x +C
2a
a2
1
1
2
x arcsinh(ax) −
ln
+x +C
2a
a2
Umkehrfunktionen
arcsinh(x) = ln(x +
p
p
x2 + 1)
arcsinh(x) = ln(x + x2 − 1)
1 1+x
arcsinh(x) =
ln
2 1−x
1 x+1
arcsinh(x) =
ln
2 x−1
34
Kapitel 7
Differenzialrechnung
7.1
Allgemein
d
= f 0 (x)
dx
d
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim
dx ∆x→0
∆x
7.2
Ableitung von Grundfunktionen
Grundfunktion
Ableitung
c → 0
n
x → nxn−1
√
1
1
√ = x2
x →
2 x
1
ln(x) →
x
ex → ex
ax → ln(a)ax
1
loga x →
ln(a)x
sin(x) → cos(x)
cos(x) → − sin(x)
1
cot(x) → − 2
sin (x)
1
tan(x) →
cos2 (x)
1
arcsin(x) → √
1 − x2
35
1
1 − x2
1
arctan(x) →
1 + x2
1
arccot(x) → − 2
sin (x)
arccos(x) → − √
7.3
7.3.1
Ableitungsregeln
Faktorregel
(C · f )0 = C · f 0
7.3.2
Summenregel
(f1 + f2 + ...)0 = f10 + f20 + ...
7.3.3
Produkteregel
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
(f · g · h)0 = f 0 · g · h + f · g 0 · h + f · g · h0
7.3.4
Quotientenregel
f 0g − f g0
f
( )0 =
g
g·g
7.3.5
Kettenregel
(f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
y = F (u(x))
y = y(u)
u = u(x)
dy
dy du
y0 =
=
dx
du dx
36
7.3.6
Logarithmische Ableitung
In vielen Fällen, beispielsweise bei Funktionen vom Typ f (x) = [u(x)]v(x) mit
u(x) > 0, gelingt die Differentiation einer Funktion nach dem folgenden Schema:
• Logarithmieren der Funktionsgleichung
• Differenzieren der logarithmierenten Gleichung unter Verwenung der Kettenregel
ln f (x) = ln xx = x · ln x
1
f 0 (x)
· f 0 (x) =
f (x)
f (x)
Beispiel
y = xsin x
durch Logarithmieren erhält man
ln y = ln xsin x = sin x · ln x
die Gleichung wird differnenziert wobei zu beachten ist, dass y eine Funktion
von x ist
1 0
1
· y = cos x · ln x + sin x
y
x
x cos x · ln x + sin x
x
y(x cos x · ln x + sin x)
0
y =
x
sin
x
x
(x cos x · ln x + sin x
x
sin x−1)
x
(x cos x · ln x + sin x)
7.3.7
Inverse
(f −1 (x))0 =
1
(f (f −1 (x)))0
37
7.4
Regel von Newton
Newton hat ein Nährungsverfahren entwickelt um Nullstellen einer Funktion zu
bestimmen. Man nimmt eine Lösung an, bestimmt die Tangenten der Funktion
an dieser Stelle, setzt sie gleich Null und beginnt mit dem neuen Wert von vorne.
xn+1 = xn −
7.5
7.5.1
f (xn )
f 0 (xn )
Kurvenuntersuchung mit der Differenzialrechnung
Relative Extremwerte
Eine Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x0 einen relativen Extremwert,
wenn die Bedingungen
f 0 (x0 ) = 0
und
f 00 (x0 ) = 0
erfüllt sind.
Relatives Minimum und Maximum
Für
f 00 (x0 ) > 0
liegt ein relatives Minumum und für
f 00 (x0 ) < 0
liegt ein relatives Maximum vor.
7.5.2
Wende- und Terassenpunkte
Eine Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x0 einen Wendepunkt, wenn die
Bedingungen
f 00 (x0 ) = 0
und
f 000 (x0 ) 6= 0
erfüllt sind.
Terassenpunkt
Falls zusätzlich gilt
f 0 (x0 ) = 0
liegt ein Terassenpunkt vor.
38
7.5.3
Allgemeine Kriterien für einen relativen Extremwert
Die Funktion y = f (x) gilt f 0 (x0 ) = 0, d.h. die Funktion besitzt an der Stelle x0
eine waagrechte Tangente. Die nächstfolgende Ableitung f (n) (x0 ) wird gesucht,
für die gilt f (n) (x0 ) 6= 0. Falls die Ordnung n der Ableitung gerade ist liegt für
f (n) (x0 ) > 0
ein relatives Minimum vor, und für
f (n) (x0 ) < 0
ein relatives Maximum. Ist jedoch die Ordnung n ungerade, so liegt an der Stelle
x0 ein Terassenpunkt vor.
7.5.4
Tangente und Normale
Die Tangente einer Funktion f (x) beim Punkt x0 ist
y − y0
= f 0 (x0 )
x − x0
Die Normale einer Funktion f (x) beim Punkt x0 ist
y − y0
a
=− 0
x − x0
f (x0 )
Dabei ist die Normalensteigung das negative reziproke der Tangentensteigung.
39
Kapitel 8
Integralrechnung
8.1
Das bestimmte Integral
8.1.1
Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals
Za
f (x)dx = 0
a
Zb
Za
f (x)dx = −
a
8.1.2
f (x)dx
b
Berechnung des bestimmten Integrals
F (x) ist die Stammfunktion von f (x), d.h. F 0 (x) = f (x).
Zb
h
ib
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a)
a
a
Beispiel
Z8
7
x dx =
2
=
40
1 8
x
8
8
2
1 8 1 8
8 − 2
8
8
8.2
Das unbestimmte Integral
f sei eine stetige Funktion und F sei eine Integralfunktion von f . Dann gilt
F0 = f
Z
f (x)dx := F (x) + C
8.3
Einfache Integrationsregeln
Z
Z
cf (x)dx = c
f (x)dx
Z
Z
Z
f (x)dx +
f (x)dx =
Z
Z
f (x) + g(x)dx =
8.3.1
f (x)dx
Z
f (x)dx +
g(x)dx
Partielle Integration
u(x) und v(x) seien Funktionen. Dann gilt
Z
Z
0
u(x) · v (x)dx = u(x) · v(x) − u0 (x) · v(x)dx + C
Beispiel
Z
x · ex dx
x → u(x) und ex → v 0 (x)
8.4
Integrale von Grundfunktionen
Z
xn dx =
1
xn+1 + C
n+1
Z
1
dx = ln(|x|) + C
x
Z
−1
1
dx =
+C
n
x
(n − 1)xn−1
Z
ex dx = ex + C
41
Z
ecx dx =
Z
ax dx =
1 cx
e +C
c
ax
+C
ln(a)
Z
ln x dx = x ln(x) − x + C
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
Z
1
sin(ωx) dx = − cos(ωx) + C
ω
Z
1
dx = cot x + C
2
sin
x
Z
cos x dx = sin x + C
1
cos(ωx) dx =
sin(ωx) + C
ω
Z
1
dx = tan x + C
cos2 x
Z
tan x dx = − ln(|cos(x)|) + C
Z
ln(| cos(ωx)|)
+C
ω
ln(| sin(ωx)|)
+C
ω
r
1
x arcsin(ax) +
− x2 + C
a2
r
1
x arccos(ax) −
− x2 + C
a2
1
1
2
x arctan(ax) −
ln
+x +C
2a
a2
1
1
2
x arctan(ax) −
ln
+x +C
2a
a2
arctan x + C
− arccotx + C

 arctanhx + C = 1 ln 1+x + C
2 1−x
 arcothx + C = 1 ln 1+x + C
2
x−1
arcsin x + C
− arccos x + C
p
arcsinh x + C = ln x + x2 + 1 + C
tan(ωx) dx = −
Z
cot(ωx) dx =
Z
arcsin(ax) dx =
Z
arccos(ax) dx =
Z
arctan(ax) dx =
Z
arccot(ax) dx
Z
1
dx
1 + x2
Z
1
dx
1 − x2
Z
1
√
dx
1 − x2
Z
1
√
dx
x2 + 1
=
=
=
=
=
42
Z
8.5
8.5.1
√
1
x2 − 1
p
dx = arcsinh |x| + C = ln x + x2 − 1 + C
Integration der gebrochenrationalen Funktionen
Grundintegrale
Z
1
dx
x+a
Z
1
dx
(x + a)n
Z
1
dx
x2 + a2
Z
1
dx
(x + b)2 + a2
Z
x
dx
2
x +a
Z
x+b
dx
(x + b)2 + a
8.5.2
= ln(|x + a|) + C
=
=
=
=
=
−1
+C
(n − 1)(x + a)n−1
1
x
arctan + C
a
a
1
x+b
arctan
+C
a
a
1 2
ln( x + a) + C
2
1 ln( (x + b)2 + a) + C
2
Polynomdivison
Wenn der Grad des Zählerpolynoms grösser oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist muss eine Polynomdivison durchgeführt werden (vgl. Abschnitt
4.3.4 Polynomdivision).
8.5.3
Brüche zerlegen
f (x)
a
b
c
=
+
+
+ ...
g(x)
x − x1 x − x2 x − x3
Anzahl reele Nullstellen von g(x) bestimmen. Jeder Nullstelle eine Partialbruch zuordnen.
N S(g(x)) = 2, 5, −4
a
b
c
,
,
x−2 x−5 x+4
Für einfache Nullstellen gilt:
a
x − x1
43
Für zweifache Nullstellen gilt:
a
b
+
x − x1 (x − x1 )2
Für n-fache Nullstellen gilt:
a
b
n
+
+ ... +
x − x1 (x − x1 )2
(x − x1 )n
Beispiel
x2 + 2
a
b
c
= +
+
2
x(x − 1)
x x − 1 (x − 1)2
x2 + 2
a
b
c
= + 2+
2
x (x − 1)
x x
(x − 1)
Nennerpolynom besitzt unzerlegbar quadratische Faktoren
x
a
bx + c
=
+ 2
2
(x − 1)(x + 1)
x−1 x +1
8.6
Substitutionsregel
8.6.1
1. Version (Umkehrung der Kettenregel)
Z
f 0 (g(x)) · g 0 (x)dx = F (g(x)) + C
Beispiel
Z
x cos(x2 ) dx
u := x2
du
= 2x
dx
du
dx =
2x
1
du = xdx
2
Z
x cos(u)
du
=
2x
Z
1
1
1
cos(u)du = sin(u) = sin(x2 )
2
2
2
44
8.6.2
2. Version
Falls u = g(x) eine invertierbare Funktion ist, so gilt
Z
Z
f (u)du = f (g(x)) · g 0 (x)dx
Beispiel
Z
√
u
√ du
1+ u
u := x2
du
= 2x
dx
du = 2xdx
Z
√
u
√ du =
1+ u
Z
x
· 2xdx = x2 − 2x + 2 ln(|1 + x|)
1+x
Durch zurücksubstituieren erhält man
√
Z
√
√
u
√ du = u − 2 u + 2 ln(1 + u)
1+ u
8.7
8.7.1
Anwendunge
Rotationskörper
Matelfläche
Die Mantelfläche des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion
y = f (x) zwischen den Grenzen a ≤ x ≤ b um die x-Achse geschaffen wird, ist
Zb
f (x) ·
Mx = 2π
p
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
Die Mantelfläche des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion
x = g(y) zwischen den Grenzen c ≤ x ≤ d um die y-Achse geschaffen wird, ist
Zd
g(y) ·
My = 2π
p
c
45
1 + [g 0 (y)]2 dx
Rotationsvolumen
Bei der Drehung einer Funktion y = f (x) zwischen den Grenzen a ≤ x ≤ b um
die x-Achse entsteht das Volumen
Zb
Vx = π
[f (x)]2 dx
a
Bei der Drehung einer Funktion x = g(y) zwischen den Grenzen c ≤ x ≤ d um
die y-Achse entsteht das Volumen
Zc
Vy = π
[g(y)]2 dx
c
8.7.2
Bogenlänge
Die Bogenlänge einer ebenen Kurve der Funktion y = f (x) zwischen den Punkt
a und b ist
Zb p
s=
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
46
Kapitel 9
Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik
9.1
Statistik
9.1.1
Grundbegriffe
Mittelwert oder Durchschnit
n
1X
x=
xi
n
i=1
Spanne
max(xi ) − min(xi )
Varianz oder mittlere quadratische Abweichung
n
t2 =
=
1X
(xi − x)2
n
i=1
!
n
1X 2
xi − x2
n
i=1
Standardabweichung
v
u n
u1 X
t=t
(xi − x)2
n
i=1
47
Empirische Varianz
n
s2 =
=
1 X
(xi − x)2
n−1
i=1
!
n
1 X 2
n
xi −
x2
n−1
n−1
i=1
Empirische Standardabweichung
v
u
u
s=t
n
1 X
(xi − x)2
n−1
i=1
9.1.2
Häufigkeitsverteilungen
Relative Häufigkeit
hi =
ni
n
wobei immer gilt
k
X
hi = 1
i=1
Mittelwert
k
1X
x=
hi xi
n
i=1
Varianz
2
t =
k
X
hi (xi − x)2
i=1
9.1.3
Summenhäufigkeit
9.2
Kombinatorik
9.2.1
Permutationen
Eine Anordnung von n verschiedenen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge ist eine Permutation der n Elemente.
48
n verschiedene Elemente lassen sich in
P (n) = n!
Permutationen anordnen.
n Elemente mit jeweils n1 , n2 , ..., nk gleichen Elementen lassen sich in
P (n; n1 , n2 , ..., nk ) =
n!
n1 !n2 !...nk !
Permutationen anordnen.
9.2.2
Kombinationen
Eine ungeordnete Stichprobe von k Elementen heisst Kombination k-ter Ordnung.
Aus einer Menge mit n Elementen können C verschieden Kombinationen mit
k Elementen erstellt werden. Jedes Element kann nur einmal gezogen werden.
n
C(n, k) =
k
Wenn jedes Element beliebig oft gezogen werden kann, sind es
n+k−1
Cw (n, k) =
k
Kombinationen. vergl. Abschnitt 2.2.3 Absatz Binominalkoeffizient
9.2.3
Variationen
Eine geordnete Stichprobe von k Elementen heisst Variation k-ter Ordnung.
Die Anzahl Variationen k-ter Ordnung, für eine Menge mit n Elementen,
beträgt
n!
V (n, k) =
(n − k)!
Wenn ein Element mehrfach ausgewählt werden kann, beträgt die Variation
V (n, k) = nk
9.3
9.3.1
Wahrscheinlichkeitrechnung
Ereigniss
Definition 9.3.1 Das Resultat eines einzelnen Versuches nennt man Ergebnis.
Die Menge aller Ergebnisse heisst Ergebnismenge.
49
Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes. Die leerer Menge wird
als unmögliches Ereignis bezeichnet und die Menge aller Ergebnisse als das
sicherer Ereignis bezeichnet.
Zwei Ereignisse heissen unvereinbar, wenn sie keine gemeinsame Elemente
haben und vereinbar wenn sie mindestens ein gemeinsames Element haben.
Eine Ergebnis ist das was es geben kann, eine Ereignis das was gefragt ist
oder was es gibt.
9.3.2
Wahrscheinlichkeit
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (E) = 1 − P (E)
Wenn der Ergebnisraum m Elemente umfasst und die dazugehörigen Elementarereignisse alle gleichwahrscheinlich sind, dann gilt für ein Ereignis E mit g
Elementen
g
P (E) =
m
A und B seien Ereignisse und P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann
gilt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
Spezialfälle
Wenn die Ereignisse A und B nicht gleichzeitig eintreten können, d.h. unvereinbar sind gilt
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Wenn die Ereignisse A und B nicht voneinander beeinflusst werden, d.h.
unabhängig sind gilt
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
9.3.3
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P (Z|M )
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Z unter der Bedingung, dass M eingetreten ist. Mit dem Ereignis nach dem senkrechten Strich wird gesagt, was 100%
ist.
P (E ∩ F )
P (E|F ) =
P (F )
50
9.4
9.4.1
Wahrscheinlichkeitsgleichverteilungen
Diskrete Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsmassefunktion
f (x) = P (X = x)
f (x)
x1 x2 x3 x4
x
xn
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x)
F (x)
1
pn
p4
p3
p2
p1
x1 x2 x3 x4
F (x) =
xn
X
f (xi )
xi ≤x
Erwartungswert
X
µ = E(X) =
xi f (xi )
i
E(X 2 ) =
X
i
51
x2i f (xi )
x
Varianz
σ 2 = Var(X) =
X
(xi − µ)2 f (xi )
i
σ 2 = E(X 2 ) − µ2
Standardabweichung
σ=
9.4.2
p
Var(X)
Stetige Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
f (x) = F 0 (x)
Z∞
f (x)dx = 1
−∞
f (x)
x
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis x eintritt.
Z x
F (x) = P (X ≤ x) =
f (x)dx
−∞
52
F (x)
1
x
Erwartungswert
Z∞
µ = E(X) =
xf (x)dx
−∞
Z∞
2
E(X ) =
x2 f (x)dx
−∞
Varianz
Z∞
σ 2 = Var(X) =
(x − µ)2 f (x)dx
−∞
= E(X 2 ) − µ2
Standardabweichung
σ=
9.5
p
Var(X)
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es sind alles Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen
9.5.1
Binominalerteilung
Zufallsexperimente mit nur zwei verschiedenen möglichen Ausgängen führen zur
Binominalverteilung. Die beiden Ereignisse müssen sich gegenseitig ausschliessen. Wenn ein Versuch n mal durchgeführt wird und die Wahrscheinlichkeit p,
53
dass ein gewisses Ereigniss eintritt, unabhänig von den übrigen Versuchen ist,
dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau x mal eintrifft
n
f (x) =
px (1 − p)n−x
x
Ein solches Experiment nennt man auch Bernouill-Experiment mit n Versuchen und der Grundwahrscheinlichkeit p. Für eine binominalverteilte Zufallsvariable X gilt
µ = E(X) = np
σ 2 = Var(X) = np(1 − p)
Die Binominalverteilung ist eine gute Näherung für eine Hypergeometrische
Verteilung wenn n < 0.05N ist.
z.B. Münze werfen (entweder Vorderseite oder Rückseite)
9.5.2
Hypergeometrische Verteilung
Eine Menge mit N Elementen enthalte M Elemente mit einem bestimmten
Merkmal. Dann lassen sich
N −M
M
m=
n−x
x
Stichproben vom Umfang n bilden, welche genau x Elemente mit dem Merkmal
enthalten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau x Exemplare mit dem Merkmal in einer
Strichprobe sind ist
M
N −M
x
n−x
f (x) =
N
n
z.B. Qualitätskontrolle (Entnahme ohne zurücklegen)
µ=n
σ2 =
M
N
nM (N − M )(N − n)
N 2 (N − 1)
54
9.5.3
Poisson-Verteilung
Ein Bernoullie-Experiment mit Ereignissen der Auftrisswahrscheinlichkeit sehr
gering ist, wird durch eine Poission-Verteilung beschrieben. Eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsmassefunktion
f (x) =
µx −µ
e
x!
heisst poissonverteilt. Die zugehörige Verteilfunktion lautet
F (x) = P (X ≤ x) = e−µ
X µk
k≤x
k!
Für die Poisson-Verteilung gilt.
E(X) = Var(X), µ = σ 2
Die Poisson-Verteilung kann als Näherung für die Binominalverteilung benutzt
werden wenn np < 10 und n > 1500p.
z.B. Zerfallsrate von Atomen, Regentage in einem Zeitraum wenn durchschnittliche Anzahl Regentage pro Monat bekannt
9.5.4
Gausssche Normalverteilung
Die Dichtefunktion der Gaussschen-Normalverteilung
1
x−µ 2
e− 2 ( σ )
√
f (x) =
σ 2π
wird auch als Gausssche Glockenkurve bezeichnet.
Standardisierte Formen
Dichtefunktion f (x)
u2
e− 2
ϕ(u) = √
2π
Verteilfunktion F (x)
1
Φ(u) = P (U ≤ u) = √
2π
Zu
z2
e− 2 dz
−∞
Eine normalverteilte Funktion lässt sich mit folgender Formel in eine standardnormalverteilte Funktion umrechnen.
u=
x−µ
σ
55
Erwartungswert
µ = np
Standardabweichung
σ=
p
np(1 − p)
Verteilfunktion Φ(u) der Standardnormalverteilung
u
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7258
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
1
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7612
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
2
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
3
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
56
4
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7996
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
5
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
6
0.5239
0.5639
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
7
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
8
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7518
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
9
0.5359
0.5754
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8398
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Einseitige Abgrenzung nach oben
P (U ≤ c) = Φ(c)
Φ(−u) = 1 − Φ(u)
Einseitige Abgrenzung nach unten
P (U ≥ c) = 1 − P (U ≤ c) = 1 − Φ(c)
Zweiseitige unsymmetrische Abgrenzung
P (a ≤ U ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)
Zweiseitige symmetrische Abgrenzung
P (−c ≤ U ≤ c = P (|U | ≤ c) = 2·Φ(c)−1
57
Kapitel 10
Graphen und Bäume
10.1
Graphen
Definition 10.1.1 Ein Graph besteht aus einer Menge K von Knoten und einer
Menge P von Pfeilen, so wie zwei Funktionen
tail:
P → K Anfangsknoten
head: P → K Endknoten
10.1.1
Arten
gerichteter Graph
ungerichteter Graph
58
10.1.2
Zyklen
kein Zyklus
Zyklische Graphen
Definition 10.1.2 Ein Graph mit Zyklen heisst zyklischer Graph.
Eigenschaften eines zyklischen Graphen
• Falls man aus einem zyklischen Grphen ein Anfangselement entfernt bleibt
er ein zyklischer Graph
Azyklische Graphen
Definition 10.1.3 Ein Graph ohne Zyklen heisst azyklischer Graph oder DAG.
Eigenschaften eines azyklischen Graphen
• Ein endlicher DAG besitzt mindestens ein Anfangselement
• Falls man aus einem DAG ein Element entfernt so bleibt er ein DAG
Die folgende Aufstellung zeigt die Schritte zur Bestimmung ob ein endlicher
Graph zyklisch ist.
(a) Bestimme alle (einen) Anfangsknoten
(b) Falls kein Anfangsknoten gibt ist der Graph zyklisch
(c) Entferne einen Anfangskonten und dazugehende Pfeile
(d) Falls der Graph leer ist ist es ein DAG
(e) Gebe mit reduzierten Graph zu 1
59
10.2
Bäume
Definition 10.2.1 Ein Baum ist ein gerichteter Graph mit den Eigenschaften
• ein Baum ist azyklisch
• für zwei Pfeile p1 , p2 gilt p1 6= p2 , d.h. es können nicht zwei verschieden
Pfeile auf das gleiche Element zeigen.
• es gibt einen ausgezeichneten Knoten, die Wurzel, von dem aus alla anderen Knoten erreichbar sind
Wurzel
Blätter
10.2.1
Rekursive Algorithmen auf Bäumen
Anzahl Knoten
int getNumberOfNods()
{
int result = 1;
for( int index=0; index < getNumberOfChildren(); index++ )
{
result += getChild( index ).getNumberOfNodes();
}
return result;
}
Wurzel
Node getRoot()
{
Node parent = getParent();
if( parent == NULL )
return *this;
else
parent.getRoot();
60
}
Tiefe, Höhe
Ein Baum mit nur der Wurzel hat die Tiefe 0, mit einem Blatt und der Wurzel
die Tiefe 1.
int depth()
{
if( getNumberOfChildren == 0 )
return 0;
else
return( 1 + max( getChildren( 0 ).depth(), ... , getChildren( last ).depth() ) )
}
Knoten ausgeben
print( Node ); //druckt Label des Nodes
printTree( Node node )
{
print( node ); //Prävisit
for( int i=0; i < node.getNumberOfChildren(); i++ ) {
printTree( node.getChild( i ) );
}
print( node ); //Postvisit
}
Baum traversieren
Beim traversieren eines Baums hat man die Möglichkeit eine Funktion auf eine
Knoten aufzurufen beim Absteigen (Prävisit) oder erst beim Aufsteigen (Postvisit).
void travers( Node node )
{
praeVisit( node );
for( int i=0; i < node.getNumberOfChildren(); i++ ) {
traverse( node.getChild( i ) );
}
postVisit( node );
}
Man kann auch einen Baum traversieren ohne eine rekursiven Algorithmus zu
verwenden.
61
void traverse( Node node )
{
stack stack;
zustand = down; //mögliche Werte sind up, down
while( 1 ) {
if( zustand == down ) {
praevisit( node );
if( node ist Blatt ) {
postvisit( node );
zustand = up;
}
else if( node ist kein Blatt ) {
stack.push( <node, 0> );
node = node.getChild();
}
}
else if( zustand == up ) {
if( stack ist leer )
return;
<parent, index> = stack.pop();
if( index bezeichnet letztes Kind )
postvisit( node );
else {
node =- parent.getChild( index+1 );
stack.push( <parent, index+1> );
}
}
} //while(1);
}
10.2.2
Binärbäume
Definition 10.2.2 Ein Binärbaum ist ein Baum welcher höchstens zwei Kinder
hat.
Jeder Knoten hat folgendes Interface.
getLeft();
getRight();
getParent();
Traversieren
Traversieren in symmetrischer Ordnung, d.h. es werden zuerst alle linken Nachfolger dann alle Konten und zuletzt alle rechten Nachfolger besucht.
62
traverse( Node node )
{
if( node.getLeft() != NULL )
traverse( node.getLeft() );
visit( node );
if( node.getRight() != NULL )
traverse( node.getRight() );
}
Suchen von Objekten
Es wird ein Baum erstellt, in dem alle linken Nachkommen kleiner sind und alle
rechten grösser als der Knoten selber.
Einfügen von Elementen
Das Vorgehen ist wie beim Suchen. Bei letzten Element des Suchpfades wird
20
10
1
22
13
21
100
23
das neue Element angefügt.
Entfernen eines Elements
Ein Blatt kann einfach entfernt werden. Bei einem Knoten mit genau einem Kind
kann man das Kind an den darüberliegenden Knoten anhängen. Wenn man einen
Knoten mit zwei Kindern entfernen will, so muss man an die Stelle des Knoten
das grösste Blatt des linken Teilbaums setzen oder das kleinste Blatt des rechten
63
2
2
6
1
1
4
3
5
5
8
7
4
9
3
8
7
9
Teilbaums.
Tiefe eines Baumes
Die Tiefe ist die maximal mögliche Anzahl von Knoten in einem absteigenden
Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt.
Satz 10.1 Für eine Binärbaumes mit K Knoten und der Tiefe T gilt:
K ≤ 2T − 1
dld(K + 1)e ≤ T
Ein Baum heisst total ausgeglichen, wenn für jeden Knoten die Anzahl der
Knoten im linken und im rechten Teilbaum sich höchstens um 1 unterscheiden.
Satz 10.2 Für einen total ausgelichenen Baum mit K Knoten und der Tiefe T
gilt
dld(K + 1)e = T
10.3
AVL-Bäume
Definition 10.3.1 Ein ALV-Baum1 (Adelson, Velskij, Landis 1962) ist ein Baum
dessen Teilbäume sich in der Tiefe höchstens um 1 unterscheiden.
Die Funktion balance b() ist die Differenz zwischen der Tiefe des rechten
Teilbaums und der Tiefe des linken Teilbaums.
Satz 10.3 Ein Baum ist ein ALV-Baum wenn für alle Knoten gilt:
b() ∈ 0, −1, 1
1
http://www.purists.org/avltree
64
10.3.1
Einfügen in AVL-Bäume
Vorgehen beim Einfügen:
(a) Knoten anhängen als Blatt
(b) Untersuche Balance für alle Knoten auf dem Pfad vom neuen Blatt bis
hinauf zur Wurzel
(c) Falls kein solcher Knoten b() 3 0, −1, 1 fertig, sonst den am weitest unten
stehenden Teilbaum bearbeiten für den gilt b() = ±2
Balance beim Knoten A verletzt. Es werden 3 Pointer umgehängt.
A
B
B
A
R
T
S
R
R<B<S<A<T
S
T
R<B<S<A<T
Balance beim Knoten A verletzt. Es werden 2x3 Pointer umgehängt.
A
B
B
C
A
C
R
S
T
U
R
S
R<B<S<C<T<A<U
65
T
U
10.3.2
Entfernen von Knoten aus einem AVL-Baum
A
B
B
A
T
R
S
R
T
S
A
B
C
C
R
B
U
S
T
R
A
S
T
U
Beispiel
In der Abbildung 10.1 wird ein Beispiel gezeigt, wie Elemente entfernt werden.
10.4
Sortieralgorithmen
10.4.1
Sortieren durch Einfügen
Man nehme ein leeres Array mit n Elementen und füge die Elemente der Reihe
nach in das Array ein. Dabei wird das jeweilige Element an die richtige Stelle
gesetzt.
10.4.2
Sortieren durch Auswahl
Wähle aus einer Menge von Datensätzen zuerst den kleinsten, dann den zweitkleinsten ... Es sind somit keine Schiebevorgänge nötig.
10.4.3
Bubble Sort
Man beacht in einem unsortieren Array jeweils zwei benachbarte Element und
vertausche sie wenn rechts das kleinere steht. Man arbeite einen Array mit
66
n Elementen n-1 mal durch. Das Verfahren ist schlechter als Sortieren durch
Auswahl und Sortieren durch Einfügen.
10.4.4
Merge-Sort
Teile den Array in der Mitte und sortiere die Hälften unabhängig voneinander.
Teile dazu den Teilarray jeweils wieder in zwei Hälften und sortiere diese. Wenn
die beiden Hälften sortiert sind kannst du die Hälften wiederum sortieren. Jetzt
kannst du das sortierte Teilarray wieder an die aufrufende Funktion zurückgeben.
mergesort( array )
{
if( Länge( array ) <= 1 )
return array;
array1 = linke Hälfte von array;
array2 = rechte Hälfte von array;
array1 = mergesort( array1 );
array2 = mergesort( array2 );
return( merge( array1, array2 ) ); //verbindet die Arrays sortiert
}
Satz 10.4 Mergesort braucht höchstens
ndld(n)e
viele Vergleiche.2
10.4.5
Quicksort
Wähle zufällig einen Datensatz mit dem Wert m aus. Beginne von den Rändern
her die Datensätze mit m zu vergleichen. Verschiebe die Ränder abwechslungsweise um ein Element nach innen. Wenn der Datensatz von links eine Wert
kleiner als m hat oder der Datensatz von rechts eine Wert grösser als m hat
darfst du die Ränder weiter zur Mitte verschieben. Sonst musst du den Rand
stehen lassen. Wenn beide Ränder stehen, kannst du die Elemente austauschen.
Jetzt kannst du wieder beide Ränder zur Mitte hin verschieben. Wenn die Ränder
zusammenkommen kannst du mit dem linken und rechten Teil das Verfahren
wiederholen.
2
Speziallfall: n = 2m , Induktion nach m
67
Das Verfahren hat ein schlechtes Worst-Case-Verhalten, die mittlere Laufzeit
si
i
ist aber besser als von Mergesort.
quicksort( array, si, ei )
{
if( si == ei ) return;
wähle m;
i=si;
j=ei;
i&j zusammenschieben;
quicksort( array, si, i );
quicksort( array, ei, j );
}
68
i=j j
<m<
ei
Ausganslage
4 entfernt
5
5
3
2
2
8
4
1
7
1
10
6
9
8
3
10
6
11
8 entfernt
7
9
11
6 entfernt
5
5
2
1
7
3
2
6
10
9
1
10
3
7
11
5 entfernt
11
9
2 entfernt
3
7
2
10
1
7
3
11
10
1
9
11
9
1 entfernt
7 entfernt
7
10
3
10
9
3
11
11
9
Abbildung 10.1: Elemente aus einem AVL-Baum entfernen
69
Kapitel 11
Kryptographie
11.1
Elementare Zahlentheorie
11.1.1
Modulo Divison
21x = 2 mod 74
21x = 2 + 74y
2 = 21x − 74y
11.1.2
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
ggT(a, b) = un a + vn b
i
0
1
..
.
ai
a0 = a
a1 = b
..
.
qi
q1
..
.
ui
u0 = 1
u1 = 0
..
.
vi
v0 = 0
v1 = 1
..
.
i
n−1
n
-
ai
qi
ui
vi
an−1
ggT(a, b)
0
qn−1
-
un−1
un
-
vn−1
vn
-
ai−2 = ai−1 qi + ai
ui = ui−2 − qi−1 ui−1
vi = vi−2 − qi−1 vi−1
70
Beispiel
1 = 3x − 11y
i
1
2
3
4
5
ai
11
3
2
1
0
qi
3
1
2
-
ui
1
0
1
-1
-
vi
0
1
-3
4
1 = 11(−1) + 3 · 4)
1 = 3 · 4 − 11(1)
y=1
x=4
11.1.3
Eulersche ϕ-Funktion
Definition 11.1.1 Es sei n eine natürliche Zahl. Die Eulersche Funktion ϕ(n)
sei die Anzahl natürlicher Zahlen m für die gilt:
1≤m<n
und
ggT(m, n) = 1
d.h. m und n sind teilerfremd.
Bemerkung
Wenn n das Produkt von Primzahlen ist
kn
n = pk1
1 · ... · pn
dann gilt
ϕ(n) = n(1 −
1
1
) · ... · (1 − )
p1
pn
Falls n eine Primzahl ist gilt
ϕ(p) = p − 1
11.2
Modulare Arithmetik
11.2.1
Kongurenzen
Definition 11.2.1 x1 ist kongurent zu x2 modulo m wenn m ein Teiler von
x1 − x2 ist. D.h. für beliebige Werte x1 , x2 , m gibt es ein y für das gilt
x1 = x2 + ym
71
11.2.2
Zm
Es existiert nicht immer ein inverses Element für die Multiplikation in Zm .
11.2.3
Zm ∗
Es existiert immer ein inverses Element für die Multiplikation in Zm ∗.
Satz 11.1 Für x ∈ Zm gilt
x ∈ Zm ∗ ⇔ ggT(x, m) = 1
Satz 11.2 (Euler) Für jedes y ∈ Zm ∗ gilt
y ϕ(m) = 1 mod m
Konsequenz 1
Satz 11.3 (Fermat) Zp ∗ = {1, ..., p − 1}
Für jedes y, 1 ≤ y ≤ p − 1 gilt:
y p−1 = 1 mod p
Konsequenz 2
m = pq, p, q: Primzahlen ϕ(m) = (p − 1)(q − 1)
Für jede y ∈ Zm ∗ gilt
y (p−1)(q−1) = 1 mod m
11.2.4
Anwendungen
Gleichung
3x + 72 = 0 in Z86
3x = 14 mod 86
3x = 14 + 86y
14 = 3x − 86y = 3x + 86(−y)
Mit dem erweitereten Euklidischen Algorithmus erhalten wir
1 = 3 · 29 + (−1)86
Durch Mulitplizieren mit 14 erhalten wir die gewünschten Resultate
14 = 3 · 406 + (−14)86
Als Lösung in Z86 erhalten wir
x = 62
72
Rest der euklidischen Division
Rest der euklidischen Division von 347 mod 23
R = 347 mod 23
= 33 (322 )2 mod 23
Wobei durch den Satz von Fermat gilt:
322 = 1 mod 23
R = 33 (1 + 2 · 46x + 232 x2 ) + 23y
= 27 mod 23
= 4 mod 23
Wobei zu beachten ist, das der Ausdruck in der Klammer 1 mod 23 ist, d.h. der
Ausrück muss nicht ausgeschrieben werden da er den Wert 1 hat.
0
0
0
0
0
0
0
Rest der euklidischen Division von 111111 111 111 111 111 111 111 111 mod 11
0
0
0
0
0
0
0
R = 111111 111 111 111 111 111 111 111 mod 11
= 1111+10a mod 11
= 1111 (11110 )a mod 11
Wobei durch den Satz von Fermat gilt:
11110 = 1 mod 11
R = 111 mod 11
= 1 mod 11
Durch den binomische Formel ist schnell ersichtlich, dass (1 mod 11)a = 1 mod 11
ist.
Letztes Digit eine Zahl
Gesucht ist das letzte Digit D von 723 .
D = 793 mod 10
= 71+24·4 mod 10
73
Durch die 2. Konsequenz aus dem Satz von Euler gilt
74 = 7(5−1)(2−1) = 1 mod 10
D = 7(74 )23 mod 10
= 7 mod 10
= 7
11.3
Endliche Körper
11.3.1
Polynome mit Koeffizienten in Zp
Definition 11.3.1 Ein Polynom mit Koeffizienten in Zp ist ein Ausdruck der
Form
a(x) = a0 + a1 x + ... + ann
mit ai ∈ Zp für alle i.
Satz 11.4 Es gibt pn Polynome vom Grad ≤ n und mit Koeffizienten in mathbbZp .
Definition 11.3.2 f (x) in Zp [x] ist irreduzibel falls
f (x) = g(x) · h(x)
dann ist h(x) eine Konstante oder g(x) ist eine Konstante, d.h. deg(h(x)) = 0
oder deg(g(x)) = 0.
11.3.2
Kongurenz
Definition 11.3.3 f (x), g(x), h(x) ∈ Zp [x]
f (x) ist kongurent zu g(x) mod h(x), wenn h(x) ein Teiler von f (x) − h(x) ist.
11.3.3
GF (pn )
Definition 11.3.4 Ein Körper ist eine Menge M mit zwei Verknüpfungen (+
Addition, · Multiplikation) mit folgenden Eigenschaften:
• a + b = b + a, a · b = b · a (Kommutativität)
• (a + b) + c = a + (b + c), (a · b)c = a(b · c) (Assoziativität)
• Es gibt ein 0 ∈ M mit a + 0 = a (Existenz eine neutralen Elements)
• Es gibt ein 1 ∈ M mit a · 1 = a (Existenz eine neutralen Elements)
74
• Für jedes a ∈ M gibt es ein a mit a + a = 0 (Existenz eines entgegengesetzen Elementes)
• Für jedes a ∈ M, a 6= 0 gibt es ein a−1 mit a · a−1 = 1 (Existenz des
Inversen)
• a · (b + c) = a · b + a · c (Distributivgesetz)
Satz 11.5 Zn ist ein Körper ⇔ n ist eine Primzahl.
Satz 11.6 Sei f (x) ein irreduziebles Polynom vom Grad n. Dann ist Zn [x]/(f (x))
ein Körper mit pn Elementen.
Definition 11.3.5 Ein Element g in einem endlichen Körper M heiss primitives
Element, wenn es für jedes m ∈ M, m 6= 0 eine ganze Zahl n gitb mit:
a = mn
Die Menge M der irreduziblen Polynome vom Grad 2 in Z2 [x] ist
M = {0, 1, x, x + 1, x2 , x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1}
Ein Polynom vom Grad 2 ist dann reduzibel, wenn es durch ein Polynom vom
Grad 1 teilbar ist.
11.3.4
Anwendungen
Inverse berechnen in Zp [x]
Das Inverse von x4 + x + 1 in Z2 [x]/(x6 + 1)
(x4 + x + 1)g(x) = 1 + h(x)(x6 + 1)
g(x) ist das Inverse. Mit der Form
1 = (x4 + x + 1)g(x) − (x6 + 1)h(x)
lässt sich der erweiterte Euklidische Algorithmus anwenden.
x6 − 1
1
0
4
2
x +x+1 x
0
1
x3 + x2 + 1 x
1
x2
x3 + 1
1
x
1 + x3
2
3
x
x 1 + x x + x2 + 1
1
x2
x2
x4 + x + 1
0
Damit ist das Inverse
g(x) = x4 + x + 1
75