Algebraische Topologie - sigma

Algebraische Topologie
Vorlesung 18
04.07.2005
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Nachtrag:
(3.23) Lemma. Sei d ≥ 1 und 1 ≤ k ≤ d+1. Sei fk : S d → S d , (x1 , . . . , xk , . . . , xd+1 ) 7→ (x1 , . . . , −xk , . . . , xd+1 ).
Dann ist Hd (fk ) = − idR .
Beweis. 1. Schritt: fk ≃ fj für alle 1 ≤ k 6= j ≤ d + 1. Betrachte F : S d × [0, 1] → S d ,
((x1 , . . . , xj , . . . , xk , . . . , xd+1 ), t) 7→ (x1 , . . . , xj cos(πt)+xk sin(πt), . . . , −xk cos(πt)+xj sin(πt), . . . , xd+1 ). ⇒ F
stetig, F0 = fk , F1 = fj .
(3.35) Definition. Sei n ∈ N.
(a) ∆n := {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | xi ≥ 0,
∆1 = {(x, y) ∈ R2 | x, y ≥ 0, x + y = 1}.
Pn+1
i=1
xi = 1} heißt das Standard-n-Simplex. [−∆0 = {1} ⊆ R,
(b) Für 1 ≤ k ≤ n + 1 und n ≥ 1 sei
ink : ∆n−1


k = 1,
(0, x1 , . . . , xn ),
→ ∆n , (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xk−1 , 0, xk , . . . , xn ), 2 ≤ k ≤ n,


(x1 , . . . , xn , 0),
k = n + 1.
ink (∆n−1 ) heißt die k-te Seite von ∆n .
(3.36) Definition. Sei X topologischer Raum.
(a) Sei n ∈ N. Eine stetige Abbildung σ : ∆n → X heißt singulärer n-Simplex in X. Sn (X) := Menge der
singulären n-Simplizes in X.
sing
(b) Für n ∈ Z, n < 0 sei Cnsing (X;
PR) := {0}. Für n ∈ Z, n ≥ 0 sei Cn (X; R) := freier R-Modul auf Sn (X).
sing
[Elemente von Cn (X; R): σ∈Sn (X) rσ σ, rσ ∈ R für alle σ ∈ Sn (X), rσ = 0 für fast alle σ. (formale
Linearkombinationen)]
sing
(X; R), definiert durch
(c) Für n ∈ Z, n ≤ 0 sei csing
:= 0 und für n ∈ Z, n ≥ 1 sei csing
: Cnsing (X; R) → Cn−1
n
n
Pn+1
in
σ
k
k+1
n
σ 7→ k=1 (−1)
σ ◦ ik [∆n−1 −→ ∆n −→ X].
(3.37) Hilfssatz. Bezeichnungen wie in (3.36). Dann ist csing
◦ csing
n
n+1 = 0 für alle n ∈ R.
Beweis. Klar für n ≤ 0. Sei also n ≥ 1. Dann gilt für alle 1 ≤ k < l ≤ n + 2: in+1
◦ ink = in+1
◦ inl−1 . Sei
l
k
sing
σ : ∆n+1 → X ∈ Cn+1 (X; R). ⇒
n+2
X
sing
sing
csing
n (cn+1 (σ)) = cn (
(−1)l+1 σ ◦ in+1
)=
l
=
k+l
(−1)
σ◦
in+1
k
◦ inl−1 +
1≤k<l≤n+2
=−
X
◦ ink
(−1)k+l σ ◦ in+1
l
k=1 l=1
l=1
X
n+1
X
X n+2
X
(−1)k+l σ ◦ in+1
◦ ink
l
X
(−1)k+l σ ◦ in+1
◦ inl = 0
k
1≤l≤k≤n+1
k+l
(−1)
σ◦
in+1
k
◦
inl
+
1≤k≤l≤n+1
1≤k≤l≤n+1
1
2
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Erhalten R-Kettenkomplex (C∗sing (X; R), csing
∗ ). Im Folgenden lasse ich den superscript sing weg, und auch R.
(3.38) Bemerkung. Seien X, Y topologische Räume, f : X → Y stetig. Dann induziert f eine Kettenabbildung
f∗ : C∗ (X) → C∗ (Y )
σ
f
Beweis. Sei n ≥ 0. Definiere fn : Cn (X) → Cn (Y ) durch fn (σ) = f ◦ σ für alle σ ∈ Sn (X) [∆n −→ X −→ Y ].
Triviale Rechnung zeigt: f∗ = (fn )n∈Z ist Kettenabbildung.
(3.39) Bemerkung und Definition. Sei X topologischer Raum, A ⊆ X, i : A → X Inklusion.
(a) i∗ : C∗ (A) → C∗ (X) ist injektiv.
(b) Definiere q∗ : C∗ (X) → C∗ (X, A) durch qn : Cn (X) → Cn (X, A) := Cn (X)/in (Cn (A)) [C∗ (X, A) ist der
Cokern von i∗ : C∗ (A) → C∗ (X)]. Dann ist C∗ (X, A) ein Kettenkomplex mit Differentialen
cn (X, A) : Cn (X, A) → Cn−1 (X, A), qn (u) 7→ qn−1 (cn (X)(u)), u ∈ Cn (X).
Dies ist wohldefiniert.
... o
Cn−1 (A) o
cn (A)
in−1
... o
cn+1 (A)
Cn−1 (X) o
cn (X)
Cn (X) o
Cn+1 (A) o
...
in+1
in
qn−1
... o
Cn (A) o
cn+1 (X)
qn
Cn+1 (X) o
...
qn+1
cn+1 (X,A)
cn (X,A)
Cn−1 (X, A) o
Cn (X, A) o
Cn+1 (X, A) o
...
i
q∗
∗
C∗ (X) −→ C∗ (X, A) −→ 0.
Erhalten kurze exakte Sequenz von R-Kettenkomplexen 0 −→ C∗ (A) −→
(c) Sei Y topologischer Raum, B ⊆ Y , j : B → Y die Inklusion. Sei f : X → Y stetig mit f (A) ⊆ B.
Dann induziert f eine Kettenabbildung f∗ : C∗ (X, A) → C∗ (Y, B), f∗ := f∗ (X, A) = (fn (X, A))n∈Z mit
fn := fn (X, A) : Cn (X, A) = Cn (X)/in (Cn (A)) → Cn (Y, B) = Cn (Y )/jn (Cn (B)), fn (σ + in (Cn (A)) :=
f ◦ σ + jn (Cn (B)) für σ ∈ Sn (X). Dies ist wohldefiniert.
Beweis.
(a) Für σ ∈ Sn (A) ist i ◦ σ ∈ Sn (X) (und i ◦ σ = i ◦ σ ′ ⇒ σ = σ ′ ). ⇒ in ist injektiv für alle n ∈ Z.
(b) Zu zeigen: Die Differentiale von C∗ (X, A) sind wohldefiniert. qn (u1 ) = qn (u2 ) ⇒ qn−1 (cn (X)(u1 )) =
qn−1 (cn (X)(u2 )). qn (u1 ) = qn (u2 ) ⇒ es gibt ein x ∈ Cn (A) mit in (x) = u1 − u2 . ⇒ cn (X)(u1 − u2 ) =
cn (X)(in (x)) = in−1 (cn (A)(x)). ⇒ qn−1 (cn (X)(u1 − u2 )) = qn−1 (in−1 (cn (A)(x))) = 0. Klar ist nach
Konstruktion: cn (X, A) ◦ cn+1 (X, A) = 0.
(c) Lasse ich weg. (Selbst.)
(3.40) Definition. (Singuläre Homologie)
Sei X topologischer Raum, A ⊆ X, i : A → X Inklusion.
(a) Der Kettenkomplex C∗ (X, A) aus (3.39)(b) heißt singulärer Kettenkomplex von (X, A) mit Werten in R.
H∗ (C∗ (X, A)) = (Hn (C∗ (X, A)))n∈Z =: (Hn (X, A))n∈Z heißt singuläre Homologie von (X, A) mit Werten
in R.
(b) Sei Y topologischer Raum, B ⊆ Y , f : X → Y stetig mit f (A) ⊆ B. Dann seien für alle n ∈ Z
Hn (f ) : Hn (X, A) → Hn (Y, B) die zur Kettenabbildung f∗ aus (3.39)(c) gemäß (3.28) definierten RModulhomomorphismen.
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(c) Aus (3.39)(b) erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen
q∗
i
∗
C∗ (X) −→ C∗ (X, A) −→ 0.
0 −→ C∗ (A) −→
Daraus erhalten wir mit (3.33) einen R-Modulhomomorphismus ∂n (X, A) : Hn (X, A) → Hn−1 (A) für alle
n ∈ Z.
Zur „Natürlichkeit“ in (3.33):
A:
0
/ C∗
0
/ C∗′
i∗
γ∗
A′ :
/ D∗
q∗
/ E∗
ε∗
δ∗
i′∗
/ D∗′
q∗′
/ E∗′
/0
/ Hn+1 (E∗ )∂n+1 (A)/ Hn (C∗ ) Hn (i∗ )/ Hn (D∗ ) Hn (p∗ )/ Hn (E∗ )
...
Hn+1 (ε∗ )
...
Hn (γ∗ )
/ Hn+1 (E∗′ )
G natürliche Transformation.
Hn (E∗ )
∂n (A)
/ Hn−1 (C∗ )
Hn−1 (γ∗ )
Hn (ε∗ )
Hn (E∗′ )
∂n (A′ )
Hn (δ∗ )
/ Hn−1 (C∗′ )
∂n (A)
/ Hn−1 (C∗ )
Hn (ε∗ )
′
′
/ Hn (C∗′ ) Hn (i∗ )/ Hn (D∗′ ) Hn (p∗ )/ Hn (E∗′ )
∂n+1 (A′ )
Fn : A 7→ Hn (E∗ ), Gn : A 7→ Hn−1 (C∗ ).
∂n : F
/0
/ ...
Hn (γ∗ )
∂n (A′ )
/ Hn−1 (C∗′ )
/ ...