Algebraische Topologie - sigma

Algebraische Topologie
Vorlesung 19
07.07.2005
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(3.41) Satz. Die singuläre Homologie definiert einen kovarianten Funktor H∗sing : T2 → R−ModZ und ∂∗sing =
((∂n (X, A))n∈Z )(X,A)∈Obj T2 (definiert wie in (3.40)(c)) ist eine natürliche Transformation
∂∗sing : H∗sing
Sh−1 ◦H∗sing ◦ I
[I : T2 → T2 , (X, A) 7→ (A, ∅)]. (H∗sing , ∂∗sing ) ist eine Homologietheorie mit Werten in R−Mod, welche die
Axiome (H1) bis (H5) erfüllt.
Beweis. (3.40)(a), (b) ⇒ H∗ := H∗sing ist kovarianter Funktor. (3.40)(c), (3.33) ⇒ ∂∗ := ∂∗sing ist natürliche
Transformation und (H2) gilt.
(H4) Dimensionsaxiom: X = {•}. Sei n ≥ 0. | ⇒ Sn (X)| = 1, Cn (X) = R. n < 0 ⇒ Cn (X) = 0. Sei n ≥ 1,
σ ∈ Sn (X) ⇒ σ ◦ ink ∈ Sn−1 (X). Sn−1 (X) einelementig ⇒ σ ◦ ink =: σ ′ unabhängig von k ⇒
(
n+1
X
0, n ungerade,
(−1)k σ ◦ ink =
cn (σ) =
σ ′ , n ungerade.
k=1
cn = 0 für n ≤ 0 oder n ungerade, cn = id für n = 2m > 0. C∗ (X) = C∗ (X, ∅):
... o
0
0o
0
Ro
0
Ro
id
Ro
0
id
Ro
...
−1
0
1
2
3
(
R, n = 0,
⇒ Hn (X) =
0, sonst.
`
(H5) Disjunkte Vereinigung: Sei I Indexmenge, (Xi )i∈I Familie topologischer `Räume, jk : Xk →
i∈I Xi
die Inklusionen,
i
∈
I.
∆
zusammenhängend
für
alle
n
≥
0
⇒
S
(X)
=
S
(X
)
für
alle
n
≥ 0.
n
n
n
i
i∈I
`
L
∼
Daraus
C
(
X
)
C
(X
)
und
aus
(3.38)
erhalten
wir
Isomorphismus
von
R-Kettenkomplexen
=
n
i
n
i
i∈I `
L
Li∈I
i∈I (ji )∗ :
i∈I C∗ (Xi ) → C∗ ( i∈I Xi ). Aus (3.34) folgt nun:
a
M
(3.34) M
Hn (C∗ ( Xi )) ∼
C∗ (Xi )) ∼
Hn (C∗ (Xi )).
= Hn (
=
i∈I
i∈I
i∈I
(H1) Beweis der Homotopieinvarianz: Drei Schritte, das Wesentliche passiert im ersten Schritt.
• 1. Schritt: Sei X topologischer Raum. Für k ∈ {0, 1} sei νk (X) : X → X × [0, 1], x 7→ (x, k). Dann ist
Hn (ν0 (X)) = Hn (ν1 (X)). (Beweis: später.)
• 2. Schritt: Sei X topologischer Raum, A ⊆ X. Für k ∈ {0, 1} sei νk : X → X × [0, 1], x 7→ (x, k) aufgefasst
als Morphismus von Raumpaaren (X, A) −→ (X × [0, 1], A × [0, 1]). Dann ist Hn (ν0 (X)) = Hn (ν1 (X)).
Dies folgt aus dem 1. Schritt und den Definitionen, insbesondere (3.39), (3.38) und (3.28). Details lasse
ich weg.
1
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2
• 3. Schritt: Seien (X, A), (Y, B) ∈ Obj T2 und f0 , f1 : (X, A) → (Y, B) Morphismen, die homotop sind (vgl.
Definition (3.1)). Dann ist Hn (f0 ) = Hn (f1 ) für alle n ∈ Z.
Sei F : X × [0, 1] → Y eine Homotopie zwischen f0 und f1 , d.h. F ist stetig, F0 = f0 , F1 = f1 und
Ft (A) ⊆ B für alle t ∈ [0, 1]. (Ft : X → Y, Ft (x) = F (x, t), x ∈ X). Mit der Notation aus dem 2.
Schritt gilt: fk = F ◦ νk (X, A), k ∈ {0, 1}. ⇒ Hn (f0 ) = Hn (F ◦ ν0 (X, A)) = Hn (F ) ◦ Hn (ν0 (X, A)) =
Hn (F ) ◦ Hn (ν1 (X, A)) = Hn (F ◦ ν1 (X, A)) = Hn (f1 ).
(3.38)
• Beweis des 1. Schrittses: νk (X) : X → X × [0, 1], k ∈ {0, 1} ⇒ νk (X)∗ : C∗ (X) → C∗ (X × [0, 1]), k ∈
{0, 1} [Cn (X) → Cn (X × [0, 1]), σ 7→ νk (X)n (σ) = νk (X) ◦ σ]. Konstruktion einer Kettenhomotopie h∗ (X)
zwischen ν0 (X)∗ und ν1 (X)∗ (vgl. (3.29)). h∗ (X) = (hn (X))n∈Z mit hn (X) : Cn (X) → Cn+1 (X × [0, 1])
mit
(∗)
cn+1 (X × [0, 1]) ◦ hn (X) + hn−1 (X) ◦ cn (X) = ν0 (X)n − ν1 (X)n .
Zur Definition von hn (X) führen wir folgende Notation ein: Für v1 , . . . , vm+1 ∈ Rl (= R1×l ) (m ≥
Pm+1
0, l ≥ 1) sei [v1 , . . . , vm+1 ] : ∆m ⊆ Rm+1 → Rl , (x1 , . . . , xm ) 7→ j=1 xj vj . Sei e1 , . . . , en+1 ∈ Rn+1 die
Standardbasis. Sei σ : ∆n → X ein Element aus Sn (X).
– Sei k ∈ {0, 1}. [(e1 , k), . . . , (en+1 , k)] : ∆n → Rn+2 , x 7→ (x, k) ⇒ (σ ×id[0,1] )◦[(e1 , k), . . . , (en+1 , k)] =
νk (X)(σ) (= νk (X) ◦ σ).
Pn+1
– Definieren hn (X) : Cn (X) → Cn+1 (X×[0, 1]) auf Basis Sn (X) von Cn (X): hn (X)(σ) := i=1 (−1)i (σ×
id[0,1] ) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]. Dabei ist
[(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)] : ∆n+1 → ∆n × [0, 1] ⊆ Rn+2 ,
(x1 , . . . , xn+2 ) 7→ (x1 , . . . , xi + xi+1 , . . . , xn+2 ,
n+2
X
j=i+1
(Komposition ist in Sn+1 (X × [0, 1]).
– Es genügt, (∗) für Elemente σ ∈ Sn (X) nachzuweisen.
xj ).
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– Es gilt:
cn+1 (X × [0, 1])hn (X)(σ)
= cn+1 (X × [0, 1])
n+1
X
(−1)i (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1
=
n+1
X
(−1)
(−1)j+1 (0 × id ◦[..] ◦ in+1
j
j=1
i=1
=
n+2
X
i
n+1
XX
\
(−1)i+j+1 (σ × id)[(e1 , 0), . . . , (e
j , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1 j=1
n+2
X
X n+2
+
(−1)i+j+1 (σ × id)[(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (e\
j−1 , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1 j=i+1
=
i−1
n+1
XX
(−1)i+j+1 (σ × id)[..]
i=2 j=1
j=i
+
n+1
X
(−1)i+i+1 (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei−1 , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1
j=i+1
+
n+1
X
(−1)i+i+2 (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei+1 , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1
+
n n+2
X
X
(−1)i+j+1 (σ × id) ◦ [..]
i=1 j=i+2
=−
i−1
n+1
XX
\
(−1)i+j σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (e
j , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=2 j=1
−
n n+1
X
X
\
(−1)i+j+1 (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (e
j , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1 j=i+1
− (σ × id)[(e1 , 0), . . . , (en+1 , 0)] + (σ × id)[(e1 , 1), . . . , (en+1 , 1)]
=−
i−1
n+1
XX
\
(−1)i+j σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (e
j , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=2 j=1
−
n n+1
X
X
\
(−1)i+j+1 (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (e
j , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=1 j=i+1
− ν0 (X)n (σ) + ν1 (X)n (σ).
– Weiter ist
hn−1 (X)(cn (X)(σ))
=−
i−1
n+1
XX
\
(−1)i+j σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (e
j , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (en+1 , 1)]
i=2 j=1
−
n n+1
X
X
\
(−1)i+j+1 (σ × id) ◦ [(e1 , 0), . . . , (ei , 0), (ei , 1), . . . , (e
j , 1), . . . , (en+1 , 1)].
i=1 j=i+1
(Selbst nachrechnen, evtl. nächste Vorlesung.)
Aus den letzen vier Punkten folgt (∗).
3