Einführung in die Algebra und Zahlentheorie Vorbereitungsblatt

Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2014/15
Einführung in die Algebra und Zahlentheorie
Vorbereitungsblatt
Aufgabe 1.
Finden Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzensystems:
x≡1
mod 3
x≡5
mod 11
Aufgabe 2.
Finden Sie ein g ∈ Q [x], s.d. hgi = hf1 , f2 i für f1 = x3 − 4x2 + 2x − 8, f2 = x3 − 3x2 − 6x + 8.
Aufgabe 3.
Berechnen Sie die Smith-Normalform von

−25
A =  27
24

0 −12
3 12 
0 12
Aufgabe 4.
Sind die Z10 -Moduln
(a) Z5 ,
(b) Z2 und
(c) Z5 × Z2
frei? Bestimmen Sie ggf. eine Basis.
Aufgabe 5.
Bestimmen Sie alle Primitivwurzeln modulo 9.
Aufgabe 6.
Eine Gruppe G der Ordnung 35 operiere auf einer Menge M mit 23 Elementen. Zeigen Sie, dass es dann einen
Fixpunkt geben muss, d.h. es existiert ein Element m ∈ M , s.d. für alle g ∈ G gilt: g · m = m.
Aufgabe 7.
Sei mα = x4 − 3x + 3 das Minimalpolynom von α über Q.
2
1
in der Basis von Q (α).
Schreiben Sie α2 + α − 1 und α+2
Aufgabe 8.
Zeigen Sie: f = x2 y 2 + x3 y + xy 2 + y 3 − x2 − 2xy − y 2 + x + y − 1 ∈ Q [x, y] ist irreduzibel.
Aufgabe 9.
Beweisen Sie: Eine Gruppe der Ordnung 45 ist nicht einfach.
Aufgabe 10.
Erstellen Sie den Untergruppenverband von Z28 .
Aufgabe 11.
Pk−1
2πi
Beweisen Sie: ξ = e k ist Nullstelle von fk (x) = i=0 xi .
Hinweis: ξ ist Nullstelle von p (x) = xk − 1.
Aufgabe 12.
Sei K ein Körper. Beweisen Sie:
Ein Polynom f ∈ K [x] vom Grad 2 oder 3 ist genau dann irreduzibel, wenn f keine Nullstelle in K hat.
Aufgabe 13.
p
Sei R kommutativerpRing mit 1. Wir bezeichnen mit (0) = {r ∈ R|∃n ∈ N : rn ∈ (0)} das Nilradikal von R.
Beweisen Sie, dass (0) ein Ideal in R ist.
Aufgabe 14.
Sei L/K eine Körpererweiterung, char (K) 6= 2. Beweisen Sie:
Erfüllen die Elemente a, b ∈ L die Bedingungen a2 , b2 ∈ K und a + b 6= 0, dann ist K (a, b) = K (a + b).
Wir bieten 2 Tutorien zur Besprechung des Vorbereitungsblattes an, und zwar am 20.02. von 12:00h bis 14:00h und
am 23.02. von 12:00h bis 14:00h, jeweils im SR 9.
Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2014/15
Einführung in die Algebra und Zahlentheorie
Vorbereitungsblatt
Aufgabe 15.
Sei R = Z [i] der Ring der Gausschen Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für q ∈ R gilt: Wenn q prim ist, dann ist auch q̄ prim.
(b) Wenn p ∈ Z Primzahl ist, dann ist p prim in R oder p = a2 + b2 mit a + ib ∈ R.
Hinweis:
(a) Die Einheiten in R sind {±1, ±i}, d.h. Zahlen vom Betrag 1 in R.
(b) Betrachten Sie Zerlegungen von p und p̄ in Primfaktoren.
Aufgabe 16.
Sei L ein Oberkörper vom Körper K. Beweisen Sie die folgende Aussage:
Die Körpererweiterung L/K ist algebraisch. ⇐⇒ Für alle Ringe R mit K ⊂ R ⊂ L gilt: R ist Körper.
Hinweise: Für die “⇐”-Richtung nehme man an, es gäbe ein transzendentes a ∈ L und betrachte R = K[a].
Aufgabe 17.
Sei f ∈ Q [x] ein Polynom vom Grad n und K der Zerfällungskörper von f . Beweisen Sie:
(a) [K : Q] ≤ n!
(b) Wenn [K : Q] = n!, dann ist f irreduzibel.
Aufgabe 18.
Sei G zyklische Gruppe der Ordnung n und ϕ die Eulersche Phi-Funktion. Dann gilt: |Aut (G) | = ϕ (n).
Wir bieten 2 Tutorien zur Besprechung des Vorbereitungsblattes an, und zwar am 20.02. von 12:00h bis 14:00h und
am 23.02. von 12:00h bis 14:00h, jeweils im SR 9.