2 Das elementare Erneuerungstheorem

WS 2009/10
2
Markovprozesse und Warteschlangensysteme
Vorlesung 2
Das elementare Erneuerungstheorem
2.1
Die Erneuerungsfunktion
m(t)
1. Wir f
uhren eine weitere Zufallsvariable ein:
bis zur Epoche t; formal:
M (t) sei die Anzahl der Erneuerungen
M (t) := maxfn 0 j Zn tg:
2. Falls
(1)
X1 > t ist, ist M (t) = 0, denn Z0 = 0.
3. Der Prozess fM (t) j t
vom diskreten Prozess
4.
0g ist kontinuierlich und hat ganzzahlige Werte. Er wird
fXn j n = 1; 2; : : :g erzeugt, der Werte im Kontinuum hat.
Es gilt M (t) j , Zj t, also ist
P (M (t) j ) = P (Zj t) = (A F j )(t):
(2)
(
1)
5. Wir interessieren uns f
ur die Erwartungswerte m(t) := E M (t). m(t) heit Erneuerungsfunktion (renewal function). Um sie zu berechnen, f
uhren wir die Zufallsvariablen
Ij (t) :=
(
ein; es ist
M (t) =
falls Zj
sonst
1
0
X
j<1
1
also ist
m(t) = E
=
=
X
j<1
1
=
X
j<1
X
(4)
(5)
E Ij (t)
(6)
P (Zj t)
(7)
1)
)(t):
1
2.2
Mit
(3)
Ij (t)
(A F (j
j<1
j = 1 ; 2; : : :
Ij (t);
1j<1
X
1
t
Erneurungsepochen
M (t) lassen sich wichtige neue zufallige Groen ausdrucken.
(8)
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Markovprozesse und Warteschlangensysteme
1. Die Zuvallsvariable
X
ZM (t) =
1
jM (t)
Vorlesung 2
Xj
(9)
ist die letzte (j
ungste) Erneuerungsepoche vor t.
2. Die Zufallsvariable
X
ZM (t)+1 =
1
jM (t)+1
Xj
(10)
ist die erste Erneuerungsepoche nach t.
3. Die Zufallsvariable
Y (t) = ZM (t)+1
ist der Exzess (excess). (Wieviele Minuten nach
t
(11)
t kommt der nachste Bus?)
4. Die Zufallsvariable
U (t) = t ZM (t)
ist das Alter (age). (Wieviele Minuten vor
(12)
t kam der letzte Bus?)
5. Die Zufallsvariable
X (t) = Y (t) + U (t)
(13)
ist die Spanne (spread).
2.3
Einige Grenzwerte
Erinnerung:
Satz 1 (Starkes Gesetz der großen Zahlen) Sind Zufallsvariablen
V1 ; V2 ; : : : iden-
tisch verteilt mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz, dann gilt
P (n!1
lim n1
P
X
1
in
Vi = E V1 ) = 1:
(14)
in Vi ! E V1 \fast sicher".)
Wir nehmen nun 0 < E Xj < 1 f
ur alle j an; es ist dann auch 0 < <
Var Xj < 1 f
ur alle j .
(Konvergenz n1
1
1. Ferner sei
1. Es gilt
P ( lim M (t) = 1) = 1:
t!1
Beweis Zu jedem j 2 N kann man t 2 T
ist M (t) j .
w
ahlen, so dass
Zj
(15)
=
X1 + : : : + Xj
t ist; dann
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Vorlesung 2
2. Es gilt
P (n!1
lim Zn =n = 1=) = 1
(16)
P ( lim ZM (t) =M (t) = 1=) = 1:
t!1
(17)
Beweis Nach Satz 1 ist P (limn!1 n1 (Zn X1 + Xn+1 ) = 1=) = 1; die Grenzwerte von
n1 (Zn X1 + Xn+1 ) und n1 Zn sind gleich.
3. Es gilt
Beweis
P (limn!1 Zn =n = 1= ^ limt!1 M (t) = 1) = 1 (es
P (A) + P (B ) P (A ^ B ); im Spezialfall P (A) = P (B ) = 1 ist
Aus (15) und (16) folgt
gilt immer
P (A _ B )
P (A ^ B ) = 1).
=
4. Es gilt
P ( lim M (t)=(M (t) + 1) = 1) = 1:
t!1
(18)
P ( lim ZM (t) =ZM (t)+1 = 1) = 1:
t!1
(19)
P ( lim ZM (t) =t = 1) = 1:
t!1
(20)
Beweis M (t) ! 1 fast sicher ) M (t)=(M (t) + 1) ! 1 fast sicher.
5. Es gilt
Beweis Wegen (17) gilt (ZM (t) =M (t))=(ZM (t)+1 =(M (t) + 1) ! 1 fast sicher; hieraus folgt
mit (18) ZM (t) =ZM (t)+1 ! 1 fast sicher.
6. Es gilt
Beweis Folgt aus ZM (t) =ZM (t)+1 ZM (t) =t 1 und (19).
Satz 2 (Elementarer Erneuerungssatz)
Zufallsvariablen-Version:
P ( lim M (t)=t = ) = 1:
t!1
(21)
Erwartungswert-Version:
lim
t!1
m(t)=t = :
(22)
Beweis Wir zeigen (21) fur den Fall > 0:
M (t)=t = ZM (t) =t M (t)=ZM (t)
#
#
#
1
mit (20)
mit (17)
Der Beweis der Erwartungswert-Version ist technisch schwieriger.
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