Grundwissen Mathematik – 10

Grundwissen Mathematik – 10. Jahrgangsstufe
1
2*2*2
mit 3,15 Mantisse (3 gültige Ziffern) und 15
−3
1. Potenzen: a n mit a Basis und n Exponent 2 3 = 2 * 2 * 2 und 2 =
a. Zehnerpotenzen:
Exponent
Gleitkommazahlen 3,15 * 1015
 23 3 2
c. Potenzen mit rationalen Exponenten: a = m a n für n∈ Z ; m∈ N und a  0  8 = 8 =

+
b. Potenzgesetze (PG für a, b ∈ R und n, m ∈ Q ):
n
m
(
(( 2 )
1.PG: a n * a m = a n + m 2 3 * 2 4 = 2 3 + 4 = 2 7
( )
3. PG: ( a )
n m
= a n*m
3 5
= 2 3*5 = 215
(x
2. Polynomdivision:
3
)
)
2. PG: a n * b n = ( a * b )
)
+ 6 x 2 − 5 : ( x + 1) =
(x
− (x
(3
n
( 8) = 2
3
2
2

= 4 

* 5 2 = ( 3 * 5) = 15 2
2
2
)
)
3
+ 6 x 2 + 0 x − 5 : ( x + 1) = x 2 + 5 x − 5
3
+ x2
)
−−−−−−−−−−−−
3. Exponential- und Logarithmusfunktion:
x
+
5x 2 + 0 x
Exponentialfunktion: x  a mit a ∈ R und x ∈ R
+
− 5 x 2 + 5x
Logarithmusfunktion: x  log a x mit a ∈ R \ { 0}
−−−−−−−−−−−−−
Dabei gilt: y = a x und x = log a y
− 5x − 5
(Exp. und log kehren einander um!)
− ( 5 x − 5)
 x ↔ 2 x Bsp. : 3 ↔ 8 da 2 3 = 8 und log 2 8 = 3 
−−−−−−−−−−−



0
0 ↔ 1 da 2 0 = 1 und log 2 1 = 0 

4. Logarithmusgesetze: (LG für a, x, y ∈ R + und a ≠ 1; z ∈ R
1. LG: log a ( x * y ) = log a x + log a y ( log 2 ( 4 * 8) = log 2 4 + log 2 8 = 2 + 3 = 5 oder log 2 ( 4 * 8) = log 2 32 = 5)
2. LG: log a ( x : y ) = log a x − log a y ( log 2 ( 8 : 4 ) = log 2 8 + log 2 4 = 3 − 2 = 1 oder log 2 ( 8 * 4 ) = log 2 2 = 1)
(
( )
z
3. LG: log a x = z * log a x
)
( log ( 4 ) =
( )
)
3 * log 2 4 = 3 * 2 = 6 oder log 2 4 3 = log 2 64 = 6
5. Berechnungen am Kreis: Umfang U, Flächeninhalt A, Radius r – U = 2r π und A = r 2 π
2
r=3,50cm → U=2*3,50cm* π ≈ 21,991..cm ≈ 22,0cm; A= ( 3,50cm ) * π ≈ 38,484.. cm 2 ≈ 38,5 cm 2
6. Winkel α im Gradmaß α
g
3
2
und Bogenmaß α b : α
b
=
α
g
180
π r bzw. α
0
g
=
180 0
α
π r
b


π
60 0
π
π 180 0
 Einheitskreis r = 1;α g = 60 0 ; α b = : → α b =
π
=
;
α
=
= 45 0 
g
0
4
3
4 π
180


7. Zylinder, Kegel, Kugel: (Volumen V, Mantel M, Oberfläche O bei gegebenem Radius r und Höhe h)
Zylinder: V = r 2π h ; M = 2rπ h ; O = 2rπ ( r + h )
2
Kegel: V = 13 r π h ; M = rπ r 2 + h 2 ; O = r 2π + M mit s = r 2 + h 2 gilt M = rsπ ; O = rπ ( r + s )
3
Kugel: V = 4 3 r π ; O = 4rπ
Gegenkathete
8. Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck: sin α =
;
Hypotenuse
sin α
Ankathete
cos α =
β = 90 0 ; c=4,0cm; b=5,0cm; c=3,0cm
; tan α =
cos α
Hypotenuse
3,0cm
3,0cm
→ sin α =
= 0,60 → α = inv sin 0,6 = 36,86..0 ≈ 37 0 ; tan α =
= 0,75
5,0cm
4,0cm
9. Winkelbeziehungen: sin 2 α + cos 2 α = 1 ; sin α = cos 900 − α ; cos α = sin 90 0 − α
10. Trigonometrische Sätze im allgemeinen Dreieck: Sinus- und Kosinussatz
Kosinussatz: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ ; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β ; a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a sin α a sin α b sin β
=
=
=
Sinussatz:
;
;
b sin β c sin γ
c sin γ
(
)
(
)