Spieltheorie -- Übungsblatt 2

Spieltheorie – Übungsblatt 2
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
29. April 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Musterlösung Übungsblatt 2
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Aufgabe 1
Ermitteln Sie alle Nash Gleichgewichte in gemischten Strategien in den folgenden Spielen:
L
R
T 6, 0 0, 6
B 3, 2 6, 0
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Aufgabe 1
Das Spiel besitzt kein Nash Gleichgewicht (NG) in reinen
Strategien. Seien (p, 1 − p) bzw. (q, 1 − q) die gemischten
Strategien der Spieler 1 bzw. 2. Für Spieler 1 gilt:
6q + 0(1 − q) = 3q + 6(1 − q)
⇒
q = 2/3.
⇒
p = 1/4.
Für Spieler 2 gilt:
0p + 2(1 − p) = 6p + 0(1 − p)
Das Gleichgewicht in gemischten Strategien ist
((1/4, 3/4), (2/3, 1/3)).
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Aufgabe 1
L
R
T 0, 1 0, 2
B 2, 2 0, 1
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Aufgabe 1
Dieses Spiel hat zwei NG in reinen Stragtegien: (B, L) und
(T , R).
Achtung: Für Spieler 1 wird die Strategie T schwach dominiert. Daher ist es rational, die Wahrscheinlichkeit p = 0 auf
die Strategie T zu legen.
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Aufgabe 2
Gina und Louis wollen einen Penny unter sich aufteilen. Ein
Penny besteht aus vier Farthings. Ginas und Louis’ Verhandlung wird durch folgendes Zwei–Stufen Spiel dargestellt:
1
In der ersten Stufe verlangt Gina einen Anteil
zwischen 0 und 4 Farthings.
2
In der zweiten Stufe kann Louis dem zustimmen oder
ablehnen.
Die Auszahlungen sind wie folgt: Akzeptiert Louis, so erhält
jeder den entsprechenden Geldbetrag. Lehnt er ab, so ist
die Auszahlung für beide gleich null.
Beispiel: Gina verlangt einen Anteil von 3 Farthings, Louis
stimmt zu. Dann sind die Auszahlungen 3 für Gina und 1
für Louis.
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Aufgabe 2 (a)
Stellen Sie das Spiel in Extensivform dar.
Lösung Dies ist ein Beispiel für das sogenannte Ultimatum
Spiel. Eine Strategie von G besteht in dem Vorschlag eines Anteils zwischen 0 und 4, den G für sich selbst beansprucht. (Wenn G beispielsweise 3 sagt, bedeutet dies 3
Farthings für G und einen Farthing für L. Eine Aktion von L
besteht darin, entweder ja (J) oder nein (N) zu sagen. Der
Spielbaum sieht wie folgt aus:
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Aufgabe 2 (a)
G
0
J £
£
£
0
4
£
£B
£ B
1
BN
B
B
B
0
0
J £
£
£
1
3
£
£B
£ B
2
BN
B
B
B
0
0
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J £
£
£
2
2
£
£B
£ B
3
BN
B
B
B
0
0
J £
£
£
£B
£ B
£
3
1
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4
BN
B
B
B
0
0
£B
£ B
J £ BN
£
B
£
B
£
B
4
0
0
0
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Aufgabe 2 (b)
Wieviele Teilspiele hat dieses Spiel?
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Aufgabe 2 (b), (c)
Lösung Das Spiel besitzt sechs Teilspiele.
(c) Bestimmen Sie alle teilspiel perfekten Nash Gleichgewichte.
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Aufgabe 2 (c), (d)
Lösung Durch rückwärtige Induktion findet man zwei teilspielperfekte NG:
(4, (J, J, J, J, J)) und (3, (J, J, J, J, N)).
(d) Gibt es auch Gleichgewichte, die nicht teilspielperfekt
sind?
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Aufgabe 2 (d)
Lösung Ein nicht teilspielperfektes NG wäre z. B.
(1, (J, J, N, N, N)). Dabei ist die Drohung von L, am Knoten 2 bzw. 3 N zu spielen, unglaubwürdig.
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Aufgabe 3
Der Output einer Firma ist gegenben durch L(100 − L)
wenn sie L ≤ 50 Einheiten Arbeit einsetzt und 2500,
wenn sie L > 50 Arbeiter einsetzt.
Der Preis des Outputs beträgt 1.
Eine Gewerkschaft, die die Arbeiter repräsentiert,
erhebt eine Lohnforderung (eine nichtnegative Zahl
w), die die Firma ablehnen oder akzeptieren kann.
Wenn die Firma die Forderung akzeptiert, wählt sie
eine Anzahl L von Arbeitern, wobei L als reelle Zahl
gesehen wird. Wenn sie die Forderung ablehnt, findet
keine Produktion statt und L = 0.
Die Firma möchte ihren Gewinn maximieren, also
Erlös minus Lohnkosten. Die Gewerkschaft maximiert
wL.
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Aufgabe 3 (a)
Stellen Sie das Spiel in Extensivform dar.
Lösung Aufgrund der kontinuierlichen Strategiemengen
lässt sich der Spielbaum nicht exakt zeichnen. Er kann wie
folgt skizziert werden:
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Aufgabe 3 (a)
G
¡
¡
¡
¡
¾
¡
¡
¡
¡@
w >0
@
@
@
@
@
-
@
@
F
akzept.
¡
¡
µ
wL
L(100 − w − L)
¶
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¡
¡
¡
¡@
@ abl.
@
@
@
@
µ
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0
0
¶
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Aufgabe 3 (b)
Ermitteln Sie alle teilspiel perfekten Gleichgewichte des
Spiels.
Lösung Für L ≤ 50 ist die Auszahlung der Firma gegeben
durch
πF (w, L) = L(100 − w − L).
Die Bedingung erster Ordnung für ein Maximum lautet
100 − w − 2L = 0.
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Aufgabe 3 (b)
Auflösen nach L ergibt die Arbeitsnachfrage der Firma, also
ihre beste Antwort auf eine gegebene Lohnforderung seitens der Gewerkschaft:
L(w) = max{50 − w/2, 0}.
Der Gewinn ist positiv für w < 100, und gleich null für
w = 100. Demnach akzeptiert die Firma jede Lohnforderung w ≤ 100.
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Aufgabe 3 (b)
Die Auszahlung der Gewerkschaft, die die beste Antwort
der Firma antizipiert, ist
πG (w, L) = wL(w) = w(50 − w/2).
Maximierung ergibt w = 50. Einsetzen in die Arbeitsnachfragefunktion der Firma ergibt L = 25.
Die Strategien im teilspiel perfekten NG sind: Die Gewerkschaft fordert w = 50. Die Firma akzeptiert jede Forderung
w ≤ 100, und wählt L = 50−w/2. Jede Forderung w > 100
lehnt die Firma ab.
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Aufgabe 3 (c)
Gibt es ein Ergebnis, das beide Parteien gegenüber einem
teilspielperfekten Gleichgewicht vorziehen würden?
Lösung Die Auszahlungen im teilspiel perfekten NG sind
πG = 1250 und πF = 625. Beide Spieler könnten sich besser stellen durch beispielsweise w = 30, L = 50 (man findet
diese Zahlen durch Ausprobieren). Dies ist kein NG, aber
die Auszahlungen sind für beide Parteien höher als im NG:
πG = wL = 1500, πF = L(100 − w − L) = 1000.
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Aufgabe 3 (d)
Ermitteln Sie ein Nash Gleichgewicht, das nicht teilspiel
perfekt ist.
Lösung Ein NG, das nicht teilspiel perfekt ist, ist z. B. gegeben durch folgende Strategien: Die Gewerkschaft wählt
w = 0, die Firma lehnt jede Forderung w > 0 ab und wählt
L = 50.
Dies ist ein NG, denn die Strategien sind gegenseitig beste Antworten: Gegeben die Strategie der Gewerkschaft
w = 0, maximiert die Arbeitsnachfrage L = 50 den Gewinn
der Firma. Gegeben die Strategie der Firma, jede positive
Lohnforderung abzulehnen, kann die Gewerkschaft keine
höhere Auszahlung als null erreichen, egal was sie macht.
Daher kann sich die Gewerkschaft nicht durch Abweichen
verbessern.
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Das NG ist jedoch nicht teilspiel perfekt, denn die Drohung der Firma, jede Lohnforderung w > 0 abzulehnen,
ist unglaubwürdig: Fordert die Gewerkschaft beispielsweise w = 50, so ist die beste Antwort der Firma, dies zu akzeptieren und L = 25 zu wählen. Dies gibt der Firma eine
Auszahlung von 625, während Ablehnung der Forderung zu
einer Auszahlung von null führt.
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