Spieltheorie -- Übungsblatt 5

Spieltheorie – Übungsblatt 5
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
16. Juni 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Musterlösung Übungsblatt 5
16. Juni 2008
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Aufgabe 1 (a)
Betrachten Sie das folgende Spiel in Normalform.
A
B
A 2, 2 4, 1 .
B 1, 4 3, 3
Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht des Stufenspiels.
Lösung: Das Nash GG ist (A, A).
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Aufgabe 1 (b)
Angenommen, das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Zeigen Sie,
dass die Strategiekombination (B, B) durch ein Paar von Trigger
Strategien als Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels erreicht
werden kann, wenn der Diskontfaktor hinreichend hoch ist.
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Aufgabe 1 (b)
Lösung: Es ist zu prüfen, ob einer der Spieler sich durch Abweichen in
einer Periode t besser stellen kann, gegeben der andere hält sich an
die Trigger Strategie. Angenommen Spieler 2 hält sich an die Trigger
Strategie. Die Auszahlung des Spielers 1 bei der Trigger Stragegie ist
VT =
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3
.
1−δ
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Aufgabe 1 (b)
Die Auszahlung des Spielers 1 bei Abweichen (zu A) in Periode t ist
VA =
4 − 2δ
.
1−δ
Abweichen lohnt nicht, falls V T ≥ V A , also falls
3 ≥ 4 − 2δ
⇒
δ ≥ 0.5.
Zwei Trigger Strategien bilden demnach ein GG, wenn der
Diskontfaktor mindestens 0.5 beträgt.
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Aufgabe 1 (c)
Das Spiel wird wie folgt modifiziert:
A
B
C
A
2, 2
4, 1
−2, −2
.
B
1, 4
3, 3
−2, −2
C −2, −2 −2, −2 −6, −6
Dieses Spiel wird zweimal hintereinander gespielt. Entwerfen Sie eine
Strategiekombination, die ein Nash Gleichgewicht des Spiels darstellt,
bei der in der ersten Runde (B, B) gespielt wird.
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Aufgabe 1 (c)
Lösung: Die Strategie lautet
Spiele B in der ersten Runde.
In der zweiten Runde
spiele A, falls in der ersten Runde (B, B) gespielt wurde, und
spiele C sonst.
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Aufgabe 1 (c)
Die Auszahlung eines Spielers bei dieser Strategiekombination ist
3 + 2 = 5.
Weicht z.B. Spieler 1 ab und spielt in beiden Runden A, während sich
Spieler 2 an die Strategie hält, dann ist die Auszahlung des Spielers 1
4 − 2 = 2 < 5.
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Aufgabe 1 (c)
Abweichen lohnt sich also nicht. Spielen beide Spieler die angegebene
Strategie, so ist dies ein Nash GG, bei dem in der ersten Runde (B, B)
gespielt wird.
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Aufgabe 2 (a)
Gegeben sei das folgende Spiel in Normalform:
L
R
O 1, 1 5, 0
U 0, 5 4, 4
Wie lautet das Nash Gleichgewicht des Spieles, wenn das Spiel nur
einmal gespielt wird?
Lösung: (O, L).
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Aufgabe 2 (b)
Jetzt nehmen Sie an, das Spiel werde unendlich oft wiederholt, und
die Spieler verwenden die folgende Strategie:
Spiele U bzw. R in der ersten Periode.
In Periode t ≥ 2 spiele U bzw. R, falls die Kombination (U, R) in
der vergangenen Periode (t − 1) gespielt wurde.
Ansonsten spiele O bzw. L.
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Aufgabe 2 (b)
Der gemeinsame Diskontfaktor sei δ ∈ [0, 1]. Wie lautet die notwendige
Bedingung an den Diskontfaktor dafür, dass diese
Strategiekombination ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht des
Superspiels darstellt?
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Aufgabe 2 (b)
Bezeichne a1 bzw. a2 die Aktion des Spielers 1 bzw. 2. Angenommen,
Spieler 1 weicht in Periode t von der vorgegebenen Strategie ab und
spielt O. Der Spielverlauf lässt sich wie folgt skizzieren.
t
a1
a2
1 2 t t + 1 t + 2 ...
U U O
O
O
O
R R R
L
L
L
Dies impliziert einen Spielverlauf analog zur Trigger Strategie: Nach
einmaligem Abweichen wird nie wieder (U, R) gespielt.
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Aufgabe 2 (b)
Die diskontierte Auszahlung der Strategie Trigger (V1T ) ist
V1T =
4
.
1−δ
Die diskontierte Auszahlung, falls Spieler 1 in Periode t abweicht (V1A ),
ist
5 − 4δ
V1A =
.
1−δ
Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG, falls
V1T ≥ V1A :
5 − 4δ
4
≥
⇒ δ ≥ 1/4.
1−δ
1−δ
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Aufgabe 2 (b)
Die Kombination zweier Trigger Strategien ist ein Nash GG für
δ ≥ 1/4. Dieses GG ist auch teilspielperfekt, da in jedem der
Abweichung folgendem Teilspiel ein Nash GG gespielt wird.
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Aufgabe 2 (c)
Wie ändert sich die notwendige Bedingung an den Diskontfaktor, wenn
die Spieler die folgende Strategie im unendlich oft wiederholten Spiel
verwenden:
Spiele U bzw. R in der ersten Periode.
In Periode t ≥ 2 spiele U bzw. R, falls in der Vorperiode (t − 1)
entweder die Kombination (U, R) oder die Kombination (O, L)
gespielt wurde.
Ansonsten spiele O bzw. L für eine Periode.’ Eräutern Sie das
Ergebnis.
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Aufgabe 2 (c)
Dies ist nicht Tit for Tat: Nach Spielen des Nash GGs (O, L) wird
wieder zum Pareto Optimum (U, R) zurückgekehrt. Weicht Spieler 1
nur in Periode t ab, lässt sich der Spielverlauf wie folgt skizzieren.
t
a1
a2
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1 2 t t + 1 t + 2 ...
U U O
O
U
U
R R R
L
R
R
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Aufgabe 2 (c)
Die Auszahlungen der angegebenen Strategie unterscheiden sich von
denen beim Abweichen nur in den Perioden t und t + 1. Die
Auszahlungen bei der angegebenen Strategie sind 4 + 4δ, die beim
Abweichen 5 + δ.
Auflösen nach δ ergibt δ = 1/3.
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Aufgabe 2 (c)
Erläuterung Der Diskontfaktor ist grösser als bei der Trigger Strategie,
d.h. es ist schwieriger, das Pareto Optimum in jeder Periode zu
erreichen, da der Anreiz zum Abweichen gestiegen ist.
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