0. Topologische Grundlagen

U. BREHM:
Algebraische Topologie
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0. Topologische Grundlagen
Topologische Räume und stetige Abbildungen
Def.: Sei X eine Menge, X ⊆ P( X ).
( X , X ) heißt ein toplogischer Raum (Abk. top. R.) und X eine Topologie auf X, falls gilt:
1)
X ∈X
2)
M ⊆ X  M ∈X
3)
M 1 , M 2 ∈ X  M1 ∩ M 2 ∈ X.
 ⊆ X heißt offen, falls  ∈ X .
A ⊆ X heißt abgeschlossen, falls X \ A∈ X.
Also ∅, X sind stets sowohl offen, als auch abgeschlossen.
Sei x ∈ X . U ⊆ X heißt eine Umgebung von x, falls es  ⊆ X gibt mit x ∈ und  ⊆ U .
Def. und Bem.: Sei ( X , X ) ein top. R. und M ⊆ X .
Sei X M := {M ∩  ½  ∈ X}. Dann ist X M eine Topologie auf M.
Sie heißt die Unterraumtopologie auf M und ( M , X M ) ein (top.) Unterraum.
Beispiel: Sei ( X , d ) ein metrischer Raum (Abk. metr. R.).
X := { ⊆ X ½ ∀x ∈  ∃ ε > 0 : Bε ( x) ⊆ }, mit Bε ( x) := { y ∈ X ½ d ( x, y ) < ε} „offene ε -Kugel
um x“. Dann ist X eine Topologie auf X.
Beweis:
A1 (1 Punkt)
Sie heißt die natürliche Topologie auf X (bezgl. d).
Besonders wichtiges Beispiel ( n , d ) mit d ( x, y ) = x − y .
Weitere Beispiele für top. R.:
a)
( X , P( X )). P( X ) heißt die diskrete Topologie auf X.
b)
( X ,{∅, X }). {∅, X } heißt die indiskrete Topologie auf X.
c)
( X ,{∅ ⊆ X ½ X \  ist endlich} ∨ {∅})
ist ein top. R.
Beweis:
Die Topologie heißt die cofinite Topologie auf X.
A2 (1 Punkt)
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0. Topologische Grundlagen
Def.: Sei ( X , X ) ein top. R. Eine Teilmenge B ⊆ X heißt eine Basis von X, wenn jede
Menge in X sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.
Prop. 0.1: Eine Menge B ⊆ X ist genau dann eine Basis von ( X , X) , wenn für alle x ∈ X
und alle  ∈ X ein B ∈ B existiert mit x ∈ B und B ⊆ .
Beweis:
A3 (1 Punkt)
Prop. 0.2 und Def.: Sei B ⊆ P( X ) mit
B = X und ∀ B1 , B2 ∈ B, x ∈ B1 ∩ B2 ∃ B3 ∈ B : x ∈ B3 und B3 ⊆ B1 ∩ B2 .
Dann gilt:
a)
X := { B′ ½ B′ ⊆ B} ist eine Topologie auf X und B eine Basis von X.
b)
X ist die einzige Topologie auf X, die B als Basis hat.
X heißt die von B erzeugte Topologie.
Beweis:
A4 (2 Punkte)
Def. und Prop. 0.3: Sei S ⊆ P( X ).
Dann erfüllt die Menge B aller Durchschnitte von endlich vielen Mengen aus S zusammen
mit X, also B := { E ½ E ⊆ S, E endlich, E ≠ ∅} ∪ { X } offensichtlich die Bedingungen aus
Prop. 0.2.
Die von B erzeugte Topologie X heißt die von S erzeugte Topologie und S eine Subbasis
von X.
Def.: Sei ( X , X ) ein top. R. Sei ( X , X) ein top. R. und x ∈ X .
Dann heißt U ( x) := {U ⊆ X ½ U Umgebung von x} der Umgebungsfilter von x.
Eine Teilmenge B ⊆ U ( x) heißt eine Umgebungsbasis von x, wenn zu jedem U ∈ U ( x) ein
B ∈ B existiert mit B ⊆ U .
Beispiel: In einem metr. R. ( x, d ) ist {B1 ( x) ½ n ∈ } eine Umgebungsbasis von x.
n
( B1 ( x) offene Kugel um x mit Radius 1n )
n
Def.: Ein top. R. erfüllt das 1. Abzählbarkeitsaxiom (Abk. 1. AA), wenn jeder Punkt eine
abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Ein top. R. ( X , X) erfüllt das 2. Abzählbarkeitsaxiom (Abk. 2. AA), wenn X eine abzählbare
Basis besitzt.
U. BREHM: Algebraische Topologie
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Folgerung: Ein metr. R. erfüllt das 1.AA.
Prop. 0.4: Folgende Aussagen sind äquivalent:
i)  ist offen.
ii)  ist Umgebung jedes seiner Punkte.
iii) Zu jedem x ∈  gibt es U ∈ U ( x) mit U ∈ .
Beweis:
A5 (1 Punkt)
Def.: Sei ( X , X ) ein top. R., A ⊆ X .
x ∈ X heißt ein Berührungspunkt von A, wenn für alle U ∈ U ( x) gilt U ∩ A ≠ ∅.
x ∈ A heißt ein innerer Punkt von A, wenn A ∈ U ( x).
Prop. 0.5 und Def.:
a) Die Menge der Berührungspunkte von A ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von
X, die A enthält. Sie heißt der Abschluss von A oder die abgeschlossene Hülle von A und
wird mit A bezeichnet. Also gilt: A ist der Durschnitt aller abgeschlossenen Mengen,
die A enthalten.
b) Die Menge der inneren Punkte von A ist die größte offene Menge von X, die in A


enthalten ist. Sie heißt der offenen Kern von A und wird mit A bezeichnet. Also A ist
die Vereinigung aller offenen Mengen, die in A enthalten sind.

Die Menge bd A := A \ A heißt der (topologische) Rand von A.
Beweis:
A6 (2 Punkte)
Def.: Seien X1 , X 2 Topologien auf X mit X1 ⊆ X 2 . Dann heißt X 2 feiner als X1 und X1
gröber als X 2 .
Def.: Sei ( X , X ) ein top. R., A ⊆ X .
A heißt dicht in X, falls A = X .
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0. Topologische Grundlagen
Def.: Seien ( X , X) und ( X ,  ) top. R. und f : X → Y eine Abbildung.
f heißt stetig, wenn für alle  ∈  gilt: f −1 ( ) ∈ X.
f heißt offen, wenn für alle  ∈ X gilt: f ( ) ∈  .
f heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X gilt:
f ( A) ist abgeschlossen.
f heißt ein Homöomorphismus, wenn f bijektiv ist und f und f −1 stetig sind.
f heißt eine Einbettung, wenn die Einschränkung von f auf das Bild ein Homöomorphismus
ist, d. h. wenn f ½ : X → f ( x) ein Homöomorphismus von ( X , X ) nach ( f ( x),  ) ist,
wobei  die Unterraumtopologie auf f ( X ) ist.
Offensichtlich gilt:
a) Die Komposition von stetigen Abbildungen ist stetig.
b) Wenn f : ( X , X) → (Y ,  ) stetig ist und X1 ⊇ X und 1 ⊆  , dann ist auch
f : ( X , X1) → (Y , 1) stetig.
c) f ist ein Homöomorphismus genau dann, wenn f bijektiv, stetig und offen ist.
Def.: Seien ( X , X) und ( X ,  ) top. R. f : X → Y heißt stetig im Punkt x ∈ X , wenn zu
jedem V ∈ U ( f ( x)) ein U ∈ U ( x) existiert mit f (U ) ⊆ V .
Prop. 0.6: Seien ( X , X) und ( X ,  ) top. R. und f : X → Y eine Abbildung.
Dann gilt: f ist genau dann stetig, wenn f in jedem Punkt von X stetig ist.
B e w e i s : (verwende Prop. 0.4)
A7 (2 Punkte)
Def.: Zwei top. R. ( X , X) und ( X ,  ) heißen homöomorph oder topologisch äquivalent,
wenn es einen Homöomorphismus f : X → Y gibt.
Prop. 0.7: Seien ( X , X ) und ( X ,  ) top. R. und f : X → Y eine Abbildung und S eine
Subbasis von  . Dann ist f genau dann stetig, wenn für alle  ∈ S gilt f −1 ( ) ∈ X.
B e w e i s : klar, da f −1 beliebige Vereinigungen und Durchschnitte bewahrt.