(1) Zeigen Sie mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode, dass a) der Satz

Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 8
Seite 1 von 5
Musterlösung – Übungszettel 8 (Probeklausur 1)
(1) Zeigen Sie mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode, dass
a) der Satz „(p → q) ∧ (q → p) ↔ (p ↔ q)“ eine Tautologie ist (5 Punkte);
p
q
(p → q)
∧
(q → p)
→
(p ↔ q)
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
W
W
F
F
W
W
W
F
W
W
W
W
W
W
F
F
W
b) der Satz „(p → ¬ q)“ logisch aus dem Satz „((¬ p → q) ∧ ¬ q) ↔ (p ∧ q)“ folgt
(9 Punkte).
p
q
(((¬ p
→
q)
∧
¬ q)
↔
W
W
F
F
W
F
W
F
F
F
W
W
W
W
W
F
W
F
W
F
F
W
F
F
F
W
F
W
F
F
W
W
(p ∧ q)) →
W
F
F
F
W
W
W
W
(p
→
¬ q)
W
W
F
F
F
W
W
W
F
W
F
W
Bewertung: Es gibt einen Punkt für jedes richtig ausgewertete Zeichen.
(2) Man kann mit der Wahrheitstafelmethode von einem Satz A in AL zeigen, dass er aus
zwei anderen Sätzen A1 und A2 in AL logisch folgt. Erläutern Sie, wie dabei vorzugehen ist und welche Idee dieser Vorgehensweise zugrunde liegt. (Sie haben in der
Vorlesung zwei Verfahren kennen gelernt; es reicht an dieser Stelle eines der beiden
anzugeben.)
(3 Punkte)
Die beiden möglichen Verfahren, nach denen man mithilfe der Wahrheitstafelmethode
überprüfen kann, ob ein Satz A aus zwei Sätzen A1 und A2 logisch folgt, sind:
1. Es wird mithilfe der Wahrheitstafel gezeigt, dass in allen Zeilen, in denen sowohl A1 als auch A2 wahr ist, der Satz A ebenfalls wahr ist.
2. Es wird eine Subjunktion aufgestellt, deren Vorderglied aus einer Konjunktion
der Sätze A1 und A2 und deren Hinterglied aus dem Satz A besteht. Mit einer
Wahrheitstafel wird dann gezeigt, dass diese Subjunktion logisch (d.h. in allen
möglichen Fällen) wahr ist.
Diesen Verfahren liegt folgende Idee zugrunde:
Nach der Definition des Begriffes der logischen Folgerung folgt ein Satz A von
AL genau dann logisch aus zwei Sätzen A1 und A2, wenn es keine Bewertung
gibt, bzgl. deren die Sätze A1 und A2 wahr sind, der Satz A aber falsch. Ob
diese Bedingung erfüllt ist, lässt sich direkt durch die erste der oben genannten
Methoden überprüfen. Denn die Sätze A1, A2 und A enthalten nur endlich viele Satzbuchstaben, und deshalb zerfällt die Menge aller Bewertungen in eine
Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 8
Seite 2 von 5
ebenfalls endlich Anzahl von Teilmengen – je nachdem, welche Wahrheitswerte die in den Sätzen A1, A2 und A vorkommenden Satzbuchstaben bzgl. dieser
Bewertungen haben. Jede Zeile in einer Wahrheitstafel entspricht einer solchen
Teilmenge. Wenn nun gezeigt ist, dass in allen Zeilen, in denen die Sätze A1
und A2 den Wahrheitswert W haben, auch der Satz A den Wert W hat, heißt
das daher, dass A bzgl. aller Bewertungen wahr ist, bzgl. deren die Sätze A1
und A2 beide wahr sind.
Die zweite Methode zeigt dies indirekt und zwar deshalb, weil eine Subjunktion per Definition genau dann logisch wahr ist, wenn es keinen Fall gibt, in dem
das Vorderglied (hier A1 und A2) wahr und das Hinterglied (hier A) falsch ist.
Bewertung: Es gibt einen Punkt für die richtige Nennung einer Vorgehensweise und
zwei Punkte für die richtige Erläuterung der zugrunde liegenden Idee.
(3) Handelt es sich bei dem Satz „p ∧ q → ¬ ((¬ t ∧ ¬ q) ∨ ¬ (¬ p → s))“ in AL um eine
Tautologie, Kontradiktion oder keines von beidem? Prüfen Sie dies mithilfe der Wahrheitsbaummethode. (8 Punkte)
Bei dem Satz „p ∧ q → ¬ ((¬ t ∧ ¬ q) ∨ ¬ (¬ p → s))“ handelt es sich um eine Tautologie:
1.
√
2.
3.
√
√
¬ (p ∧ q → ¬ ((¬ t ∧ ¬ q) ∨ ¬ (¬ p → s)))
p∧q
¬ ¬ ((¬ t ∧ ¬ q) ∨ ¬ (¬ p → s))
4.
5.
6.
A
√
7. √
¬t∧¬q
9.
10.
¬t
¬q
X
(1)
(1)
p
q
(2)
(2)
(¬ t ∧ ¬ q) ∨ ¬ (¬ p → s)
(3)
8. √
(7)
(7)
11.
12.
¬ (¬ p → s)
¬p
¬s
X
(6)
(8)
(8)
Bewertung: Je 1 Punkt für die richtige Antwort „Tautologie“ und den richtigen Ansatz, bis zu
6 Punkte für die richtige Entwicklung des Baumes.
Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 8
Seite 3 von 5
(4) Übersetzen Sie die folgenden Sätze möglichst adäquat und strukturreich in die Sprache
AL. (Vergessen Sie nicht, die entsprechenden Bewertungen anzugeben.) (7 Punkte)
a) Die Erde kreist um die Sonne, aber der Papst glaubt das nicht.
p: Die Erde kreist um die Sonne.
q: Der Papst glaubt, dass die Erde um die Sonne kreist.
p∧¬q
b) Klaus kommt genau dann zur Party, wenn Anna nicht kommt oder wenn Olaf die
Drinks mixt.
p: Klaus kommt zur Party.
q: Anna kommt zur Party.
r: Olaf mixt die Drinks.
p ↔ ¬q ∨ r
c) Wenn Sofie einen Witz macht, dann lachen Hans und Erna, es sei denn, dass entweder Klaus oder Peter die Stimmung verdirbt.
p: Sofie macht einen Witz.
q: Hans lacht.
r: Erna lacht.
s: Klaus verdirbt die Stimmung.
t: Peter verdirbt die Stimmung.
p → (q ∧ r ↔ ¬ ¬ (s ↔ t))
Bewertung: Bei den Aufgabenteilen a) und b) gibt es jeweils einen Punkt für die
richtige Bewertung der Satzbuchstaben und einen Punkt für die richtige Übersetzung. Bei dem Aufgabenteil c) gibt es einen Punkt für die richtige Bewertung der
Satzbuchstaben und zwei Punkte für die richtige Übersetzung.
(5) Übersetzen Sie folgendes Argument in AL (Bewertung nicht vergessen!), und überprüfen Sie mit Hilfe des Wahrheitsbaumverfahrens, ob die Konklusion aussagenlogisch aus den Prämissen folgt:
Die Schüler sind dann und nur dann glücklich, wenn kein Test geschrieben wird.
Wenn die Schüler glücklich sind, fühlt der Lehrer sich wohl. Aber wenn der Lehrer
sich wohl fühlt, hat er keine Lust, Unterricht zu machen, und wenn er keine Lust hat,
Unterricht zu machen, wird ein Test geschrieben. Also sind die Schüler nicht glücklich.
(10 Punkte)
Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 8
Seite 4 von 5
p:
q:
r:
s:
Die Schüler sind glücklich.
Es wird ein Test geschrieben.
Der Lehrer fühlt sich wohl.
Der Lehrer hat Lust, Unterricht zu machen.
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(K)
p ↔¬q
p→r
r→¬s
¬s→q
¬p
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
10.
√
√
√
√
p ↔¬q
p→r
r→¬s
¬s→q
¬ ¬p
p
¬q
8.
9.
¬p
X
12.
14.
A
A
A
A
A
¬p
¬¬q
X
11.
(1)
(1)
r
(2)
¬r
X
13.
¬s
(3)
¬¬s
X
15.
q
X
(4)
Der Wahrheitsbaum lässt sich in allen Ästen schließen. Also folgt (K) aus (P1)-(P4); also
ist das umgangssprachliche Argument aussagenlogisch gültig.
Bewertung: Je 2 Punkte für die angemessene Bewertung und die richtig erkannte logische
Form des Argumentes. 1 Punkt für den richtigen Ansatz des Baumes, bis zu 5 Punkte für
die richtige Entwicklung.
Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
Übungsblatt 8
Seite 5 von 5
(6) Führen Sie den Junktor „∧“ auf die Junktoren „¬“ und „∨“ zurück. D.h. geben Sie einen Satz in AL an, der nur die Junktoren „¬“ und „∨“ enthält und zeigen Sie, dass dieser denselben Wahrheitswertverlauf wie der Satz „p ∧ q“ hat.
(4 Punkte)
Ein Satz in AL, der den gleichen Wahrheitswertverlauf wie „p ∧ q“ besitzt und nur die
Junktoren „¬“ und „∨“ enthält ist z.B. „¬ ( ¬ p ∨ ¬ q)“.
Das kann mithilfe einer Wahrheitstafel gezeigt werden:
p
q
p∧q
¬
(¬ p
∨
¬ q)
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
F
F
F
F
F
W
W
F
W
W
W
F
W
F
W
Bewertung: Es gibt einen Punkt für die Nennung eines passenden Satzes und drei
Punkte für den Nachweis, dass dieser den gleichen Wahrheitswertverlauf wie „p ∧
q“ besitzt.