Diskrete Strukturen Übungsblatt 6 Gruppe 11 Marek

Marek Kubica, [email protected]
Diskrete Strukturen Übungsblatt 6 Gruppe 11
1
Punkteverteilung:
2
3
4
Σ
Aufgabe (1)
(a) x ≡ n2 , y ≡ gerade natürliche Zahlen
1→2
4→4
9→6
16 → 8
25 → 10
36 → 12
49 → 14
√
Abbildung von x nach y: y = 2 x, Abbildung von y nach x: x = ( y2 )2 .
√
(b) Gesucht ist eine injektive Abbildung von V = {a + b 2|a, b ∈ Q} in N. Da a, b ∈ Q
können sie als a = dc c ∈ Z, d ∈ N und b = fe e ∈ Z, f ∈ N dargestellt werden.
Wichtig ist, dass maximal vereinfachte Brüche verwendet werden. a = 0 wird durch
c
2
e
3
d = 2 dargestellt, b = 0 analog dazu durch f = 3 . Nun müssen alle Zahlen auf
N abgebildet werden, also werden positive Zahlen auf ihr doppeltes Abgebildet und
negative Zahlen auf das doppelte ihres Betrages, so dass eine Bijektion von Z → N
aufgestellt wird. Dadurch sind c, d, e, f ∈ N. Man kann nun die auf 4-Tupel erweiterte
Cantorsche Paarungsfunktion π 4 verwenden um dem Tupel von natürlichen Zahlen
bijektiv eine eine Zahl ∈ N zuzuordnen. Damit kann nun jeder Kombination von a
und b eine Zahl aus N zugeordnet werden (bijektiv), woraus dann auch folgt dass es
injektiv ist.
Es gilt |V | = |Q| da im obrigen bewiesen wurde, dass |V | = |N| (bijektive Zuordnung also gleich mächtig). Durch eine weitere Cantorsche Diagonalisierung kann man
ebenso zeigen, dass |Q| = |N| und somit gilt transitiv auch, dass |V | = |N|.
Aufgabe (2)
(a)
F ` true
F `F
Annahmeregel
`F ⇒F
Implikationseinführung
Ja, es ist gezeigt dass F ⇒ F eine Tautologie ist, weil ` F ⇒ F eine Tautologie ist.
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Marek Kubica, [email protected]
Diskrete Strukturen Übungsblatt 6 Gruppe 11
(b) Es gelten F ` ¬(¬F ) sowie ¬(¬F ) ` F , das bedeutet dass F ⇔ ¬(¬F ) und ¬(¬F ) ⇔
F gelten, man also F durch ¬(¬F ) ersetzen kann und umgekehrt. Da F ≡ F gilt
und die Inferenzen besagen, dass man ersetzen kann, muss also auch F ≡ ¬(¬F )
gelten.
Aufgabe (3)
(a) A1 ` F1 ergäbe sich im ersten Schritt der Herleitung. Wenn F1 ∈ A1 , dann gilt die
Annahmeregel, welches eine Basisregel ist.
(b) Ja, das gilt für alle Herleitungen, da es keine Inferenzregel gibt, die aus der Annahmenmenge Annahmen entfernt, somit ist An für alle i in Ai enthalten.
Aufgabe (4)
F = ∃x∀y∃z(¬(z = x) ∧ ¬(z = y) ∧ P (a, y, z))
(a) Die Formel besitzt drei verschiedene Gültigkeitsbereiche, dies kann man am einfachsten zeigen indem man die Funktion in Teile zerlegt:
F ≡ F0 ≡ ∃xF1
F1 ≡ ∀yF2
F2 ≡ ∃zF3
F3 ≡ (¬(z = x) ∧ ¬(z = y) ∧ P (a, y, z))
Somit ist x überall in F1 gültig, y ist in F2 gültig und z in F3 . Keine dr Variablen
wird überdeckt, somit gelten die Variablen ab ihrer Quatifizierung bis zum Ende der
Formel.
(b) S = (U, I)
US = {0, 1, 2}
I(a) = 1
I(P ) = {(1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 0)}
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