E6: Festkörperphysik Übungsblatt 11 31

E6: Festkörperphysik
Übungsblatt 11
31. Wärmeausdehnungskoeffizient (Nur Beschreibungen)
Festkörpermaterialien zeigen in
aller Regel einen positiven thermischen Ausdehnungskoeffizienten, z.B.
∆L
Längenausdehnung α = L1 ∆T
. Mit zuhnemender Temperatur nimmt die Schwingungsenergie der Atome
im Festkörper zu und der Gleichgewichtsabstand erhöht sich.
(a) Gibt es auch Materialien mit negativem Ausdehnungskoeffizienten?
Wasser −−→ Eis
T = 3,98 ◦C: geringstes Volumen und größte Dichte
T↓:
Übergang in Kristallstruktur, Wasserstoffbrückenbindungen benötigen mehr Volumen
(b) Wenn ja, wie funktionieren diese?
Kristall (kristallin):
Glas (amorph):
negative Ausdehnung
positive Ausdehnung
(c) Kann man Materialien mit verschwindendem Ausdehnungskoeffizienten entwickeln?
31b
⇒ Glaskeramik
32. Wärmeleitfähigkeit von Graphit
Zwischen ungefähr 2 K und 20 K zeigt Graphit in erster Näherung eine quadratische Temperaturabhängigkeit der thermischen Leifähigkeit. Erklären Sie dies mit dem Debye-Modell. Die innere Energie ist gegeben
durch:
Z ωD
~ω 2
E=
dω
e~ω/kB T − 1
0
R ∞ 3 ex
Hinweis: 0 (exx −1)
2 dx = const
Wärmeleitkapazität k:
k=
1
ρ · cV · vSchall ·
3
Λ
|{z}
mittlere freie Weglänge
~ωD
kB
Z ωD
∂E
e~ω/kB T
~ω 3
CV =
=
2
∂T V
T
0
e~ω/kB T − 1
2 Z ΘD /T
x3 ex
~ω
kB T
= kB
mit x =
2 dx
~
kB T
(ex − 1)
0
|
{z
}
ΘD =
const in T für T ΘD
33. Spezifische Wärme
Im Debye-Modell erhält man für die spezifische Wärme pro Mol:
Z
2
∂U
9Na · kB ωD (~ω/kB T ) e~ω/kB T 2
CV =
=
2 ω dω
3
∂T V
ωD
0
e~ω/kB T − 1
(Avogadrokonstante NA , Boltzmannkonstante kB sowie Debyesche Grenzfrequenz ωD ). Für die eingeführte
Debye-Temperatur Θ gilt kB · ΘD = ~ωD . Berechnen Sie das Integral und bestimmen Sie CV (T ),
(a) für T ΘD
Hinweis: Entwickeln Sie die Exponentialfunktionen mit Hilfe von ω < ωD
e~ω/kB T ≈ 1 +
T ΘD
⇒
~ω
kB T
e~ω/kB T ≈ 1
Z
2
∂U
9Na kB ωD (~ω/kB T ) · 1 2
⇒ CV =
=
2 ω dω
3
∂T V
ωD
0
1 + k~ω
−
1
BT
Z ωD
9Na kB
=
ω 2 dω = 3Na kB
3
ωD
0
1
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(b) für T ΘD
Hinweis: Für ω > ωD wird die Besetzungswahrscheinlichkeit für Phononen verschwindend klein und
die Integration kann ohne große Fehler bis +∞ ausgedehnt werden. Verwenden Sie die Substitution
R ∞ ln4 y
4 4
x = k~ω
sowei das tabellierte Integral 0 (y−1)
2 dy = 15 π
BT
~ω
kB T
⇔ω=
x
kB T
~
kB T
⇒ dω =
dx
~
2
Z
kB T
kB T
9Na kB ∞ x2 ex
·
⇒ CV =
x
dx
2
3
x
ωD
~
~
(e − 1)
0
3
Z
kB T
9Na kB ∞ x4 ex
dx
=
2
3
ωD
~
(ex − 1)
0
x=
y := ex ⇔ x = ln y
1
⇒ dx = dy
y
3 Z ∞
4
(ln y) · y 1
9Na kB kB T
⇒ CV =
dx
2
3
ωD
~
(y − 1) y
0
|
{z
}
4
= 15
π4
=
T
12 4
π Na kB
5
ΘD
2
3