Achtung: Ort der ¨Ubungstests ist EI7 Gusshausstr 1. Test am

Achtung: Ort der Übungstests ist EI7
Gusshausstr 1. Test am 30.10 um 14:00
Übungen zu Analysis 1, 4. Übung 3. 11. 09
1. Zeigen Sie:
- mit Lemma 2.2.2 dass C nicht zu einem angeordneten Körper gemacht werden kann.
- dass für z ∈ C \ {0} gilt: z ist genau dann reell (d.h. hat Imaginärteil
0) wenn 1/z reell ist.
P13
3−i
, (−2 + 3i)−2 , (1 + i)2 , j=0 ij in
2. Man stelle die komplexen Zahlen 2+5i
der Form a + ib dar.
3. Sei z = a + ib ∈ C. Man zeige mit den Mitteln der Vorlesung (also ohne
Polarkoordinaten), dass z Quadratwurzeln hat, dass es also ein w ∈ C
gibt, sodass w2 = z. Wieviele Lösungen gibt es? Man berechne damit alle
Quadratwurzeln von i und von 1 − i2.
Hinweis: Man setze w = c + id unbestimmt an und löse die gewünschte
Gleichung.
4. Betrachte die quadratische Ungleichung (p, q ∈ R)
x2 + px + q ≥ 0.
Man beweise, dass die Menge aller x ∈ R, für die diese Ungleichung
stimmt, mit R übereinstimmt, wenn x2 + px + q keine Nullstellen in R
hat, und sonst gleich (−∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞) ist, wobei
q
q
2
2
x1 = − p2 − p4 − q, x2 = − p2 + p4 − q.
Wie schauen die Lösungsmengen für die Ungleichungen x2 + px + q > 0,
x2 + px + q ≤ 0, x2 + px + q < 0 aus?
2
Hinweis: Man beachte x2 + px + q = (x + p2 )2 + q − p4 und verwende die
Tatsache, dass x 7→ x2 die Menge R+ ∪ {0} bijektiv auf R+ ∪ {0} abbildet.
5. Man bestimme die Menge aller x ∈ R, sodass
4|x| + (1 − 2x)2 ≤ 8.
6. Seien M, N zwei nichtleere Mengen und f : M × N → R eine beschränkte
Funktion, d.h. ∃C ∈ R+ : ∀(m, n) ∈ M × N ⇒ |f ((m, n))| ≤ C. Man
zeige, dass
sup{sup{f (m, n) : m ∈ M } : n ∈ N } = sup{f (m, n) : (m, n) ∈ M × N } =
sup{sup{f (m, n) : n ∈ N } : m ∈ M }.
7. Man betrachte die Intervalle In := (− n1 , n1 ) ⊆ R. Man bestimme ∩n∈N In .
Weiters sei Bn = {z ∈ C : Re(z) + Im(z) ∈ In }. Man bestimme B =
∩n∈N Bn und skizziere die Lage von B und Bn in der Zahlenebene.
8. Welche der folgenden Paare sind metrische Räume, und warum oder
warum nicht?
• (Cn , d), wobei
d((zj )nj=1 , (wj )nj=1 ) =
qP
n
j=1
|zj − wj |2 , (zj )nj=1 , (wj )nj=1 ∈ Cn .
• (R+ , d), wobei d(x, y) = xy.
• (R \ {0}, d), wobei d(x, y) = | x1 − y1 |, x, y ∈ R \ {0}.
• (X, d), wobei X eine nichtleere Menge ist, und d : X × X → R mit
d(x, y) = 1, wenn x 6= y und d(x, y) = 0, wenn x = y.
• (X, d), wobei X eine nichtleere Menge ist, und d : X × X → R mit
d(x, y) = 0 für alle x, y ∈ X.
9. Sei x ∈ R, x > 0. Man betrachte Ex = {r ∈ Q : r ≤ x}, wobei Q als
Teilmenge von R zu betrachten ist. Man beweise, dass sup Ex = x.
Weiters zeige man: Für jedes x ∈ R hat Ex die Eigenschaften
i) Ex ist eine nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge von Q
ii) ∀y ∈ Ex ⇒ (−∞, y] ∩ Q ⊆ E
iii) U (O(Ex )) = Ex ,
wobei O(E) die Menge der oberen Schranken von E in Q und U (O(E))
die Menge der unteren Schranken von O(E) in Q ist. Ist nun umgekehrt
E eine Teilmenge von Q mit den Eigenschaften i), ii), iii), so gibt es ein
eindeutiges x ∈ R, sodass E = Ex gilt.
Schließlich zeige man mit Hilfe einer solchen Menge Ex , dass Q nicht
vollständig angeordnet ist.
10. Zeigen Sie, dass für m < n, m, n ∈ N und k = 2, . . . , n, folgende Ungleichungskette gilt:
1 n
1
1
1 m
<
≤
≤ k−1 ,
mk k
nk k
k!
2
wobei m
k := 0, falls m < k.
Weiters beweise man, dass für k ≥ 2, k ∈ N,
2k
1 · 3 . . . (2k − 1)
k
=
2k
2
2 · 4 . . . (2k)
gilt.