Analysis f¨ur Informatiker 2.¨Ubungsblatt

Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Dr. Ralf Kasprowitz
Elena Fink
WS 09/10
Analysis für Informatiker
2. Übungsblatt
Abgabe: Am Donnerstag, den 29.10.09 bis 11 Uhr in grüne Briefkästen vor D1.320.
Briefkasten 109 für die Gruppen 2, 3, 4, 15;
Briefkasten 110 für die Gruppen 6, 8, 11, 12;
Briefkasten 119 für die Gruppen 1, 5, 7, 9, 10, 13, 14.
Bei jeder Aufgabe kann man 12 Punkte erreichen.
Alle aktuellen Informationen und Übungszettel findet Ihr auf http://www2.math.unipaderborn.de/people/torsten-wedhorn/lehre/mathematik-fuer-informatiker-1.html
Aufgabe 1:
(a) Sei X ⊂ R eine nach oben beschränkte Teilmenge. Zeige, dass die folgende Gleichheit gilt:
sup(X) = − inf(−X).
(b) Sei X = {x ∈ R | x < 2}. Bestimme sup(X).
(c) Sei X ⊆ R eine endliche Teilmenge. Zeige, dass ein xmax ∈ X existiert, so dass für alle y ∈ X
gilt: y ≤ xmax .
Bemerkung: xmax heißt Maximum von X, bezeichnet mit max(X).
(d) Zeige, dass für endliche Teilmengen X ⊆ R gilt: sup(X) = max(X).
(e) Seien A, B beschränkte Teilmengen von R. Zeige, dass gilt: sup(A∪B) = max({sup(A), sup(B)}).
(f) Für Teilmengen A, B von R sei die Teilmenge A + B ⊆ R definiert wie folgt:
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Zeige, dass gilt: sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
Aufgabe 2:
(a) Seien x und y reelle Zahlen, und sei n ∈ N. Zeige, dass gilt:
n
n
y − x = (y − x) ·
n−1
X
y i xn−1−i .
i=0
(b) Seien x ≥ 0 und y ≥ 0 reelle Zahlen, und sei n > 0 eine natürliche Zahl.
Zeige die folgende Äquivalenz:
x ≤ y ⇐⇒ xn ≤ y n .
Folgere daraus:
x = y ⇐⇒ xn = y n .
Aufgabe 3:
Zeige die folgende Ungleichung für alle reellen Zahlen x ≥ 0 und alle natürlichen Zahlen n ≥ 2.
(1 + x)n >
n2 2
·x .
4
Aufgabe 4:
Stelle fest, welche der folgenden Implikationen über reelle Zahlen x, a, b allgemeingültig, bzw. im
Allgemeinen falsch sind. Beweise die entsprechende Aussage oder widerlege sie durch ein Gegenbeispiel.
(1) |x − a| < b =⇒ x > a − 2b.
(2) ab > 1 und a < 1 =⇒ b > 1.
(3) x(x − 2a2 ) > 0 ⇐⇒ |x − a2 | > a2 .