¨Ubungen Blatt 12

Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften
SS 2004
Übungen Blatt 12
t-Test für eine Stichprobe (Kapitel 45)
151) 8 Tabletten wurden gewogen. Man erhielt folgende Gewichte in Gramm
1.19, 1.23, 1.18, 1.21, 1.27, 1.17, 1.15, 1.14 .
a) Testen Sie die Hypothese, dass das Durchschnittsgewicht der Tabletten 1.2 g
beträgt (zweiseitiger Test).
b) Es wird vermutet, die Tabletten wögen im Mittel weniger als 1.2 g. Testen Sie
auch diese Hypothese (einseitiger Test, wie sind H0 und H1 zu wählen?).
Arbeiten Sie mit α = 5%.
152) Eine Maschine hat in der Vergangenheit Unterlagescheiben produziert, die im Mittel
0.5 mm dick waren. Jemand hat dann daran manipuliert. Um nachzuprüfen, ob sie
richtig arbeitet, wird eine Stichprobe von 10 Scheiben entnommen, bei denen sich
eine mittlere Dicke von 0.53 mm mit einer Standardabweichung s = 0.03 mm ergibt.
Testen Sie die Hypothese, dass die Maschine noch gleich arbeitet a) mit α = 5%,
b) mit α = 1%.
153) Ein Test der Bruchstärke von 8 Seilen ergab eine mittlere Bruchstärke von 8700 N
(Newton) mit einer Standardabweichung s = 200 N. Der Hersteller behauptet, die
mittlere Bruchstärke betrage (mindestens) 9000 N. Können Sie die Behauptung des
Herstellers aufgrund der vorliegenden Daten akzeptieren (α = 5%)?
154) Acht Personen führten mit folgendem Ergebnis eine Diät durch:
Person Nr.
Gewicht vorher
Gewicht nachher
1
80.8
80.3
2
62.7
60.7
3
68.1
68.3
4
85.1
83.1
5
70.5
70.6
6
69.5
69.5
7
79.0
78.0
8
90.5
89.3
Die Erfinderin der Diät behauptet, dass diese tatsächlich eine Gewichtsabnahme
bewirke. Prüfen Sie diese Behauptung mit einem statistischen Test nach,
a) mit dem Signifikanzniveau 0.05,
b) mit dem Signifikanzniveau 0.01.
Geben Sie dabei die Null- und die Alternativhypothese explizit an.
155) Ein Werkstück sollte eine Länge von 160 mm haben. Eine Überprüfung einer Stichprobe von 25 Stücken ergab eine durchschnittliche Länge von 158 mm mit einer
Standardabweichung von 5.2 mm.
a) Testen Sie die Hypothese, dass die mittlere Länge aller produzierten Werkstücke
160 mm beträgt.
b) Testen Sie die Frage, ob die Stücke im Mittel allenfalls zu kurz seien.
c) Wie würden die Aussagen in a) und b) ausfallen, wenn die obigen Masszahlen
mit einer Stichprobe vom Umfang 100 ermittelt worden wären?
Arbeiten Sie mit α = 5%. Geben Sie jeweils Ihre Null- und Ihre Alternativhypothese
genau an.
156) Eine Maschine stellt Metallkugeln her. Bei einer Stichprobe wurde der Durchmesser
von acht Kugeln gemessen (Angaben in mm): 9.4, 9.6, 9.7, 9.8, 9.8, 9.9, 10.0, 10.2.
a) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall (auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt)
für den Erwartungswert der Zufallsgrösse “Durchmesser einer Kugel”, mit der
Vertrauenswahrscheinlichkeit 90%.
b) Es wird die Behauptung aufgestellt, der mittlere Durchmesser aller produzierten
Kugeln sei kleiner als 10 mm. Prüfen Sie diese Behauptung mit einem passenden
statistischen Test. Geben Sie insbesondere an, ob Sie ein- oder zweiseitig testen
und formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese entsprechend. Arbeiten Sie mit dem Signifikanzniveau 5%.
157) Eine Messung von 100 Nägeln ergab eine durchschnittliche Länge von 100.1 mm mit
einer Standardabweichung s = 0.5 mm.
a) Es wird behauptet, der Erwartungswert der Zufallsgrösse X = “Länge eines
Nagels” betrage genau 100 mm. Prüfen Sie diese Behauptung mit einem statistischen Test nach. a1 ) Welches Testverfahren wählen Sie? Kurze Begründung.
a2 ) Testen Sie ein- oder zweiseitig? Kurze Begründung. a3 ) Formulieren Sie
die Null- und die Alternativhypothese. a4 ) Führen Sie nun den Test mit einem
Signifikanzniveau von 5% durch. a5 ) Führen Sie den Test erneut durch; diesmal
mit einem Signifikanzniveau von 1%.
b) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Zufallsgrösse
X = “Länge eines Nagels” mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 90%.
c) Wir nehmen nun an, die obigen Werte für den Durchschnitt bzw. die Standardabweichung entstammten einer Stichprobe vom Umfang 1000. Ermitteln
Sie, ob das Vertrauensintervall im Vergleich zu b) grösser oder kleiner wird,
und geben Sie eine möglichst anschauliche Begründung für die Vergrösserung
bzw. Verkleinerung.
t-Test für zwei unabhängige Stichproben (Kapitel 46, nicht Prüfungsstoff!)
158) Die Intelligenzquotienten (IQ) von 16 Schülerinnen aus der Ortschaft A haben einen
Mittelwert von 107 mit einer Varianz von 100, während die IQ von 14 Schülerinnen
aus der Ortschaft B einen Mittelwert von 112 und eine Varianz von 90 ergaben.
Besteht ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Gruppen (α = 5%)?
159) Ist der Unterschied der Gewichtszunahme (kg in 4 Monaten gemäss Tabelle) zweier
Gruppen von je 7 Schweinen signifikant? Wählen Sie α = 0.05.
Gruppe 1
Gruppe 2
33
53
66
53
26 43
37 73
46
58
55
61
54
38
160) Zwei Gruppen von weiblichen Ratten erhielten stark bzw. schwach proteinhaltiges
Futter. Die Gewichtszunahmen in Gramm (vom 28. bis 84. Tag) waren
Gruppe 1
Gruppe 2
134
70
146 104 119
118 101 85
124 161 107
107 132 94
83
113
129
97
123
Prüfen Sie die Hypothese H0 , dass die beiden Grundgesamtheiten gleiche Erwartungswerte haben. a) Mit α = 5%, b) mit α = 10%.
161) In einer Klinik wurde bei 270 neugeborenen Knaben ein Durchschnittsgewicht von
3350 g mit einer Standardabweichung von 480 g festgestellt. Bei 256 Mädchen ergaben
sich die Zahlen 3100 g bzw. 470 g. Lässt sich sagen, dass das Geburtsgewicht von
Knaben generell grösser ist (α = 5%)?
162) Aus zwei normal verteilten Grundgesamtheiten mit derselben (wenn auch unbekannten) Varianz wurden die folgenden Stichproben entnommen:
Grundgesamtheit 1: 25, 27, 28, 28, 30, 30.
Grundgesamtheit 2: 23, 24, 24, 25, 25, 25, 26, 28.
Prüfen Sie mit statistischen Tests die beiden folgenden Behauptungen nach:
i) Die Erwartungswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich.
ii) Der Erwartungswert der 1. Grundgesamtheit ist gleich 27.
Formulieren Sie jeweils die Nullhypothese und arbeiten Sie mit einem Signifikanzniveau
von 5%.
Lösungen siehe Rückseite!
Lösungen
151) t-Test für eine Stichprobe a) zweiseitig, b) einseitig
a) H0 : µ = 1.2 (also µ0 = 1.2)
H1 : µ 6= 1.2
n = 8, x = 1.1925, s = 0.043, sx = 0.0152, t = (x − µ0 )/sx = −0.4932
ν = 7, α = 5%, tα = t0.05 = 2.365
H0 kann nicht verworfen werden.
b) H0 : µ ≥ 1.2 (Aussage, die man gerne verwerfen möchte)
H1 : µ < 1.2
t = −0.4932 (wie in a))
ν = 7, α = 5%, t2α = t0.10 = 1.895
H0 kann nicht verworfen werden.
152) t-Test für eine Stichprobe, zweiseitig
H0 : µ = 0.5
(µ0 = 0.5)
H1 : µ 6= 0.5
n = 10,
x = 0.53,
s = 0.03,
sx = 0.0095,
t = (x − µ0 )/sx = 3.162
ν=9
α = 5%
tα = 2.262,
H0 wird verworfen
α = 1%
tα = 3.250,
H0 kann nicht verworfen werden
153) t-Test für eine Stichprobe, einseitig
H0 : µ ≥ 9000
(µ0 = 9000)
H1 : µ < 9000
n = 8,
x = 8700,
s = 200,
sx = 70.71
t = (x − µ0 )/sx = −4.242
ν = 7,
α = 5%,
t2α = 1.895
t < −t2α : H0 wird verworfen
154) t-Test für zwei gepaarte Stichproben, einseitig. Die Differenzen (Gewicht vorher –
Gewicht nachher) sind (positive Werte: Abnahme):
0.5, 2.0, −0.2, 2.0, −0.1, 0, 1.0, 1.2.
H0 : µ ≤ 0 (dies möchten wir verwerfen)
H1 : µ > 0 (wir möchten Abnahme [µ > 0] nachweisen)
n = 8, x = 0.8, s = 0.896, sx = 0.3168, t = 2.525, ν = 7.
a) α = 0.05, t2α = 1.895 < t: H0 kann verworfen werden, H1 wird akzeptiert.
b) α = 0.01, t2α = 2.998 > t: H0 kann nicht verworfen werden.
155) t-Test für eine Stichprobe, a) zweiseitig, b) einseitig.
n = 25, x = 158, s = 5.2, sx = 1.04, t = −1.923, ν = 24.
a) H0 : µ = 160
H1 : µ 6= 160
tα = t0.05 = 2.064, |t| < tα : H0 kann nicht abgelehnt werden.
b) H0 : µ ≥ 160 (dies möchten wir verwerfen)
H1 : µ < 160
t2α = t0.1 = 1.711, t < −t2α : H0 wird verworfen.
c) Bei Stichprobenumfang 100 ist sx = 0.52, t = −3.846, t0.05 = 1.984,
t0.1 = 1.66. H0 kann in beiden Fällen verworfen werden. (Die t-Werte wurden für ν = 100 statt ν = 99 genommen).
156) n = 8, x = 9.8, s = 0.2449, sx = 0.0866, ν = 7.
a) Konfidenzintervall: [9.636, 9.964].
b) t-Test für eine Stichprobe, einseitig.
H0 : µ ≥ 10 (dies möchten wir ablehnen)
H1 : µ < 10
t = −2.3094, t2α = t0.1 = 1.895, H0 wird abgelehnt.
157)
158)
159)
160)
161)
162)
a1 ) t-Test (es handelt sich um Messwerte, Verteilung im Prinzip stetig). a2 ) Zweiseitig, wegen Fragestellung. a3 ) H0 : µ = 100, H1 : µ 6= 100. a4 ) x = 100.1,
s = 0.5, sx = 0.05, ν = 99 (arbeite mit ν = 100), t = (100.1 − 100)/0.05 = 2 >
t0.05 = 1.984, lehne H0 ab. a5 ) t = 2 < t0.01 = 2.626, H0 kann nicht abgelehnt
werden.
b) tα,99 ≈ tα,100 = 1.660, sx = 0.05, [100.02, 100.18]
c) tα,999 ≈ tα,1000 = 1.645, sx = 0.0158, [100.07, 100.13], kleineres Intervall.
Mehr Messungen ergeben eine grössere “Sicherheit” bei der Bestimmung des
Mittelwertes.
t-Test für zwei unabhängige Stichproben, zweiseitig
H0 : µA = µB
H1 : µA 6= µB
A : m = 16, x = 107, Sxx = 15 · 100 = 1500
B : n = 14, y = 112, Syy = 13 · 90 = 1170
t = −1.399 ν = 28, α = 0.05, tα = 2.048.
H0 kann nicht abgelehnt werden.
t-Test für zwei unabhängige Stichproben, zweiseitig
H0 : µx = µy
H1 : µx 6= µy
(x bzw. y Gewichtszunahme der Schweine aus 1 bzw. 2)
m = 7,
x = 46.143,
Sxx = 1122.861
n = 7,
y = 53.286,
Syy = 969.429
t = −1.012, z.B. α = 0.05,
ν = 12 =⇒ tα = 2.179
H0 kann nicht verworfen werden.
t-Test für zwei unabhängige Stichproben, zweiseitig
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
m = 12, x = 120, Sxx = 5032
n = 7, y = 101, Syy = 2552
t = 1.891,
ν = 17
a) α = 0.05,
tα = 2.110 : H0 kann nicht verworfen werden.
b) α = 0.1,
tα = 1.740 : H0 kann verworfen werden.
t-Test für zwei unabhängige Stichproben, einseitig
H0 : µx ≤ µy
H1 : µx > µy
m = 270, x = 3350, s = 480, Sxx = 269 · s2 = 61977600
n = 256, y = 3100, s = 470, Syy = 255 · s2 = 56329500
t = 6.031
ν = 524, α = 0.05, t2α = 1.653 (interpoliert)
t > t2α : H0 kann verworfen werden. Akzeptiere H1 .
i) t-Test für zwei unabhängige Stichproben, zweiseitig.
Grundgesamtheit 1: m = 6, x = 28, Sxx = 18.
Grundgesamtheit 2: n = 8, y = 25, Syy = 16.
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
ν = 12, t = 3.3, t12,0.05 = 2.179, H0 ablehnen.
ii) t-Test für eine Stichprobe (die erste), zweiseitig.
n = 6, x = 28, sx = 0.7746, ν = 5
H0 : µ1 = 27
H1 : µ1 6= 27
t = 1.291, t0.05 = 2.571, H0 kann nicht abgelehnt werden.