Seminare zu den physikalischen Grundlagen

Studium der Medizin
Seminare zu den physikalischen
Grundlagen
Lösungen
Universität Bern
Philosophisch-naturwissenschaftliche und Medizinische Fakultät
Seminar 1
Physikalische Grundlagen, mathematische Funktionen und ihre graphische Darstellung
A1 Bewegungsdiagramme
Folgende Relationen sind grundlegend für das Verständnis der Aufgabe:
dv
Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit.
a(t) = v̇(t) =
dt
Z t
a(τ )dτ Demzufolge ist die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung.
v(t) =
0
dx
v(t) = ẋ(t) =
Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortes.
dt
Z t
x(t) =
v(τ )dτ Demzufolge ist der Ort das Integral der Geschwindigkeit.
0
Diese drei Diagramme gehen durch Differenzieren, bzw durch Integrieren auseinander hervor.
Die allgemeine Bewegungsgleichung für die Strecke x(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t) = a = const lautet:
1
x(t) = x0 + v0 t + at2
2
Durch Ableitung erhält man folgende Ausdrücke für die Geschwindigkeit und Beschleunigung:
dx
d
1 2
dv
d
v(t) =
=
x0 + v0 t + at = v0 + at
a(t) =
=
(v0 + at) = a
dt
dt
2
dt
dt
Intervall i = 1 [0s,4s]
Die Geschwindigkeit v(t) = v0 + at ist eine Gerade beschrieben durch: y(x) = y0 + bx. Aus
4m
∆y
dem Diagramm erhält man für die Steigung b = ∆x
= 4 ss = 1 sm2 und diese entspricht der
Beschleunigung a = 1 sm2 . Der y-Achsenabschnitt ist h = 0 ms und demzufolge ist v0 = 0 ms .
Setzen wir alles in v(t) ein, erhalten wir im ersten Intervall i = 1:
v1 (t) = 0
m
m
+ 1 2t
s
s
a1 (t) = 1
m
s2
Die Aufgabenstellung gibt x0 = 0 m und deshalb erhalten wir für x1 (t):
x1 (t) = 0 m + 0
1
m
1
m
t + · 1 2 t2 = t2
s
2
s
2
Für die weiteren Intervalle wird analog vorgegangen. Es gilt zu beachten, dass die jeweiligen
xi,0 , vi,0 und ai aus den vorangehenden Intervallen i − 1 übernommen werden, wobei der
Index i die Intervallnummer i = 1, 2, 3, 4 angibt.
Intervall i = 2 [4s,6s]
Für x2,0 fragen wir uns: ”Wie viel Strecke wurde nach 4 s zurückgelegt?” x2,0 berechnet sich aus der Gleichung x1 (t) im vorherigen Intervall i = 1 mit t = 4 s. Dies ergibt:
x2,0 = x1 (4 s) = 8 m.
Für v2,0 fragen wir uns: ”Welche Geschwindigkeit erhalten wir nach 4 s?” v2,0 = v1 (4 s) = 4 ms .
Die Geschwindigkeit zwischen 4 s und 6 s ist eine Horizontale. Die Steigung ist 0, daraus
folgt: a2 = 0 sm2 und entsprechend folgt für v2 (t0 ) und x2 (t0 ):
m
m
m
+ 0 2 t0 = 4
s
s
s
1
m
1 m
m
x2 (t0 ) = x2,0 + v2,0 t0 + a t02 = 8 m + 4 t0 + 0 2 t02 = 8 m + 4 t0
2
s
2 s
s
v2 (t0 ) = v2,0 + a2 t0 = 4
Die Geschwindigkeit ist konstant und die örtliche Änderung ist linear in der Zeit t0 .
Wir haben hier die Zeit mit t0 bezeichnet. Dies hat einen tieferen Grund:
2
Die obigen Formeln stimmen, wenn die Zeit t0 in diesem Intervall i = 2 bei t0 = 0 s startet,
obwohl eigentlich schon 4 s verstrichen sind.
Tatsächlich läuft t0 von 0 s bis 2 s, entsprechend der zeitlichen Länge des Intervalls i = 2.
Die effektive Zeit t, die mit t = 0 s im ersten Intervall i = 1 beginnt, erhält man, wenn für
t0 = t − 4 s eingesetzt wird.
Damit können nun auch Ort x2 (t) und Geschwindigkeit v2 (t) angegeben werden:
m
m
(t
−
4
s)
=
4
s2
s
m
m
m
x2 (t) = 8 m + 4 (t − 4 s) = 8 m − 16 m + 4 t = −8 m + 4 t
s
s
s
v2 (t) = 4 m + 0
Tatächlich gilt für x2 (4 s) = −8 m + 4 ms · 4 s = 8 m.
Intervall i = 3 [6s,8s]
Für x3,0 und v3,0 nehmen wir nun die Gleichungen aus dem Intervall i = 2 [4 s,6 s] und erhalten für t = 6 s: x3,0 = x2 (6 s) = 16 m und v3,0 = v2 (6 s) = 4 ms .
Die Geschwindigkeit ist hier eine Gerade
mit negativer Steigung y = y0 + bx. Aus dem Dia−4 m
∆y
s
gramm erhalten wir: b = ∆x = 2 s = −2 sm2 und somit für die Beschleunigung a3 = −2 sm2 .
Daraus folgt:
m
m
− 2 2 t0
s
s
1
m
m
m
x3 (t0 ) = 16 + 4t0 − 2 2 t02 = 16 m + 4 t0 − 1 2 t02
2 s
s
s
v3 (t0 ) = v3,0 + a3 t0 = 4
Wir setzen nun, ganz analog zum vorigen Interval, t0 = t − 6 s und erhalten:
m
m
m
m
− 2 2 (t − 6 s) = 16 − 2 2 t
s
s
s
s
m
m
x3 (t) = 16 m + 4 (t − 6 s) − 1 2 (t − 6 s)2
s
s
m
m
m
= 16 m − 24 m + 4 t − 1 2 t2 + 12 t − 36 m
s
s
s
m
m 2
= −44 m + 16 t − 1 2 t
s
s
v3 (t) = 4
Tatsächlich erhält man die richtigen Werte:
m
m
m
m
m
− 2 2 6 s = 16 − 12 = 4
s
s
s
s
s
m
m
x3 (6 s) = −44 m + 16 6 s − 1 2 (6 s)2 = −44 m + 96 m − 36 m = 16 m
s
s
v3 (6 s) = 16
m
m
m
m
m
− 2 2 8 s = 16 − 16 = 0
s
s
s
s
s
m
m
2
x3 (8 s) = −44 m + 16 8 s − 1 2 (8 s) = −44 m + 128 m − 64 m = 20 m
s
s
v3 (8 s) = 16
3
Intervall i = 4 [8s,10s]
x4,0 erhalten wir aus der Gleichung x3 (8 s) = 20 m und v4,0 = v3 (8 s) = 0 ms .
Es handelt sich wieder um eine Horizontale mit Steigung 0, entsprechend gilt a4 = 0 sm2 .
m
m
m
+ 0 2 · t0 = 0
s
s
s
m
1 m
1 02
0
0
x4 (t ) = x4,0 + v4,0 t + a4 t = 20 m + 0 t + 0 2 t02 = 20 m
2
s
2 s
v4 (t0 ) = v4,0 + a4 t0 = 0
x4 (t0 ) und v4 (t0 ) sind beide konstant in t’. Es findet keine Bewegung statt im Intervall
[8s,10s]. Entsprechend gilt dies auch für die Zeit t:
m
s
x4 (t) = 20 m
v4 (t) = 0
A2 Exponentialfunktion
Druckverlauf in der Atmosphäre
Einsetzen der Grössen in die Gleichung:
z
p = p0 e− ze
10000
= 105 e− 8300
= 29975 Pa = 0.29975 bar
Radioaktiver Zerfall
a)
Die Halbwertszeit T1/2 ist die Zeitspanne, in der die Hälfte der Kerne zerfällt. Die Lebensdauer τ ist die Zeitspanne nach der noch 1/e der Kerne vorhanden sind. Lebensdauer und
Halbwertszeit hängen eng miteinander zusammen.
Beginnen wir mit dem Zerfallsgesetz:
t
N (t) = N0 e− τ
Insbesondere gilt N (τ ) = N0 e−1
→
N (τ )
N0
= 1/e = 1/2.718... = 0.368...
4
Für die Halbwertszeit gilt entsprechend:
N (T1/2 ) = N0 e−
T1/2
τ
1
= N0
2
T1/2
1
= e− τ
2
T1/2
1
ln( ) = −
2
τ
T1/2
ln(2) =
τ
T1/2 = τ ln(2)
Wenn in einer Zeitspanne von 24h 90% der Kerne zerfallen, dann ist das Verhältnis von N
zu N0 0.1.
N
= 0.1
N0
ln(2)t
ln(0.1) = −
T1/2
−
ln(2)t
T1/2
⇐⇒
0.1 = e
t = 24h = 86400 s
=⇒ T1/2 = −
ln(2) · 86400 s
≈ 26009 s
ln(0.1)
b)
Das Verhältnis von N zu N0 ist hier gesucht.
−
N = N0 e
ln(2)t
T1/2
=⇒
ln(2)·172800s
N
= e− 26009s ≈ 0.01
N0
Nur gerade noch 1% von den ursprünglichen Kernen ist vorhanden.
c)
Kondensatoren C entladen sich über einem angeschlossenen Widerstand R exponentiell,
wobei für die Zeitkonstante τ = RC gilt. Gesucht ist die Kapazität C des Kondensators.
t
U = U0 e− RC
t
1
=−
ln
4
RC
=⇒
=⇒
U0
t
U
= 4 = e− RC
U0
U0
t
C=−
= 1.4 · 10−2 F
R · ln(0.25)
Die Einheit der Kapazität ist F für Farad.
d)
Diese Aufgabe gleicht der Teilaufgabe b): Gesucht ist das Verhältnis von I zu I0 :
I
= e−µx = e−20·0.2 = 0.018
I0
Nach der Wasserschicht von 20 cm sind nur noch 1.8% vorhanden. D.h. 100% - 1.8 % =
98.2% wurden absorbiert.
5
A3 Halblogarithmische Darstellung
Die y-Achse ist logarithmisch dargestellt.
a)
Die Aktivität bei 0 cm beträgt ca. 3.5·107 Bq, bei der Hälfte dieser Aktivität 1.75·107 Bq soll
die Dicke x abgelesen werden. x1/2 = 0.87 cm.
b)
Die Aktivität soll 1000 mal kleiner als die ursprüngliche Aktivität sein. Aus der Grafik erhält
man x1/1000 = 8.7 cm.
c)
Die Beziehung zwischen der Dicke x und der Aktivität A ist eine Exponentielle. Wenn wir die
Gleichung logarithmieren, erhalten wir eine Gerade, dies ist in der Grafik mit logarithmischer
Darstellung zu sehen. Die Steigung dieser Geraden ist −λ.
A
−λx
= −λx
A = A0 e
=⇒ ln
A0
d)
∆y
Graphisch kann man λ mit der Formel für die Steigung bestimmen ∆x
. Oder mit der Gleichung aus der Teilaufgabe c):
A
1
λ = − ln
·
A0
x
Das A kann beliebig günstig gewählt werden zB A = 104 Bq. Dann ist x = 10.2 cm. Für λ
erhält man nach einsetzen: λ = 0.8 cm−1 .
e)
A
1
A0
=⇒ ln
= −0.8x =⇒ ln
= −0.8x =⇒ x = 1.25 cm
A=
e
A0
e
A4 Trigonometrische Funktionen
a)
Die Schwingungsgleichung für das ideale Federpendel lautet im Allgemeinen:
y(t) = ŷ sin(2πf t) = 0.5 · sin(6πt)
Graphische Darstellung:
6
b)
y(1 s) = 0.5 · sin(6π · 1 s) = 0
y(1.5 s) = 0
y(0.4 s) = 4.75 cm
c)
Die Geschwindigkeit ist wie in Aufgabe 1) beschrieben die Ableitung der Orstfunktion.
y(t) beschreibt die Auslenkung der Masse an der Feder zur Zeit t und ist gerade die Ortsfunktion, die es abzuleiten gilt:
v(t) =
dy(t)
= ŷ2πf · cos(2πf t)
dt
7
Seminar 2
Mechanik
B1 Inhalt von Formeln
a) Die Impulsänderung ∆~p eines Systes entspricht der äusseren Kraft F~ welche während
einer Zeit ∆t auf das Sytem wirkt. Dies definiert gerade den Kraftstoss: F~ · ∆t = ∆~p.
b) ”Actio = Reactio”. Wenn zwei Körper eine Kraft aufeinander ausüben, dann üben
beide dieselbe Kraft in entgegengesetzer Richtung aufeinander aus.
c) Das Federgesetz besagt, dass die rücktreibende Kraft linear mit der Längenausdehnung x
anwächst. Die Federkonstante D ist der Proportionalitätsfaktor und das Minuszeichen gibt
an, dass die Kraft rücktreibend ist.
d) Das Gravitationsgesetz beschreibt die Anziehungskraft die zwei Massen m1 und m2 , die
den Abstand r voneinander haben, aufeinander ausüben. Wichtig ist die Proportionalität
der beiden Massen sowie die Abnahme der Kraft mit r2 . Die Gravitationskonstante G ist
der Proportionalitätsfaktor.
e) Die Zentripetalkraft wirkt bei einer Kreisbewegung. Sie nimmt quadratisch mit der
Geschwindigkeit zu. Je kleiner der Radius, je grösser wird die Zentripetalkraft.
f ) Die Leistung P ist Arbeit (Kraft × Weg) pro Zeit:
~ ·~s
F
.
t
B2 Galilei-Thermometer
a) Die Kugeln mit der höchsten Temperaturanzeige sind zu oberst und schwimmen.
b) Die Dichte der umgebenden Flüssigkeit hängt von der Temperatur ab. Ist die umgebende
Flüssigkeit wärmer, so dehnt sie sich aus und die Dichte nimmt ab. Das heisst, dass der
Auftrieb auf die Glaskörper abnimmt und diese absinken.
c) F~G = −F~A Die Gewichtskraft des Glaskörpers mit Bleigewicht muss durch Auftriebskraft ausgeglichen werden.
d) Schweben: Mittlere Dichte des Körpers ist gleich derjenigen der Flüssigkeit. Schwimmen: Mittlere Dichte des Körpers ist kleiner als diejenige der Flüssigkeit. Sinken: Mittlere
Dichte des Körpers ist grösser als diejenige der Flüssigkeit.
e) Archimedisches Gesetz:
FA = FG
⇐⇒
ρFl g(VKugel + VBlei ) = (mKugel + mBlei )g benutze: VBlei =
8
mBlei
ρBlei
ρFl (VKugel +
mBlei
mBlei
) = mKugel + mBlei
ρBlei
ρFl
− 1 = mKugel −ρFl VKugel ,
ρBlei
mBlei =
⇐⇒
mBlei =
ρFl
mBlei
− mBlei = mKugel − ρFl VKugel
ρBlei
mKugel − ρFl VKugel
,
ρFl
−
1
ρBlei
benutze: mKugel = ρKugel VKugel
VKugel (ρKugel − ρFl )
= 3.5 g
ρFl
−1
ρBlei
B3 Vektoraddition
Die Vektoraddition erfolgt wie in der Grafik dargestellt. Mit Hilfe der trigonometrischen
Funktionen, kann α ermittelt werden:
tan(α) =
vW
1
=
vF
6
⇒ α = 9.4◦
Mit Pythagoras lässt sich der Betrag der Geschwindigkeit über dem Boden leicht berechnen:
q
2
vR = vF2 + vW
= 608.3 km/h
B4 Schiefe Ebene
Es wirkt die Schwerkraft FG auf die Masse m. FG kann in eine parallele und senkrechte
Komponente zur schiefen Ebene aufgeteilt werden. Die parallele Komponente zeigt in die
”Gleitrichtung” der Masse und enthält die Information über die Beschleunigung entlang der
schiefen Ebene.
Fk = ma = FG · sin(α) = mg sin(30◦ ) = mg · 0.5
9
=⇒
a = 0.5g = 0.5 · 9.81
m
m
≈
4.9
s2
s2
Aus den Gleichungen v = at und s = 12 at2 erhält man:
r
t=
r
r
2s
s
s √
m
=2
= 4.039 s und v = 0.5 · g · 2
= sg = 19.809
0.5g
g
g
s
B5 Schiefer Wurf: Wasserstrahl
Diese Aufgabe kann analog zum schiefen Wurf gelöst werden. Die Durchflussmenge Q ist in
`
der Aufgabenstellung gegeben: Q = 12 min
= 0.2 `s .
Durchflussmenge
Die Durchflussmenge Q berechnet sich aus dem Produkt der Geschwindigkeit vx in x-Richtung
mit der Querschnittsfläche A, durch die die Flüssigkeit hindurchfliesst:
vx · A = Q
2 · 10−4 m3 /s
=⇒ vx =
= 2 m/s = const
10−4 m2
s
1 2
2h
gt = h =⇒ t =
2
g
s
Q 2h
sx = vx t =
= 0.64 m
A g
10
B6 Wasserpumpen
Um diese Aufgabe zu lösen, sollte man sich die Definition der Leistung ins Gedächtnis rufen:
Leistung ist Arbeit pro Zeit: Pein = Wt . Die Leistung, welche die 12 obersten Stockwerke
erhalten ist PStockwerk = Pein η1 . Arbeit ist die Kraft multipliziert mit dem zurückgelegten
Weg (s entsprict hier der Höhe) W = F · s. Die Kraft die aufgewendet werden muss um
das Wasser in die Höhe zu transportieren, entspricht der Gewichtskraft der entsprechenden
Wassermenge: F = mg. Daraus folgt:
PStockwerk = Pein
1
W 1
F ·s 1
m·g·s1
=
· =
· =
= 1.03 · 106 Watt ≈ 1 MW !
η
t η
t
η
t
η
B7 Sicherheitsgurten
Es ist dienlich die Kraft zu berechnen, die auf das Kind beim Aufprall wirkt. Diese können
wir mit dem Energiesatz ermitteln:
2
50 km/h·103 m/km
16
kg
·
2
3600 s/h
1
mv
F · s = mv 2 =⇒ F =
=
= 3086 kg m s−2 = 3086 N
2
2s
2 · 0.5 m
Die Kraft auf das Kind ist etwa 20 Mal grösser als dessen Gewicht. Der oder die Erwachsene
wird das Kind nicht halten können. Ist die Knautschzone kleiner oder nicht vorhanden, dann
wäre die Verzögerungsstrecke kleiner und die Kraft auf das Kind sogar noch grösser.
B8 Kräfte
Die Aufhängung teilt die Gewichtskraft der Masse in eine horizontale Komponente F2 und
eine um 30◦ nach unten geneigte Komponente auf. Die Komponenten lassen sich mit Hilfe
der Trigonometrie und dem angegebenen Winkel berechnen.
11
B9 Impulssatz
Bei einem vollkommen elastischen Stoss gilt Impulserhaltung: Der Impuls am Anfang ist
derselbe wie am Schluss: | p~0 |=| p~ | . Wenn die Kugel die Wand berührt (Bild 3) gilt Actio
= Reactio:
˙
| F~ 0 |=| F~ | ⇐⇒ | p~02 |=| p~˙2 |
12
Seminar 3
Elektrizitätslehre, Stromkreise
C1 Kurzfragen
a) Spannung U ist die Arbeit W , die pro Ladung q verrichtet wird um diese Ladung von A
~ zu verschieben.
nach B in einem elektrischen Feld E
U=
dW
dq
Das Potential im Punkt P ist die Spannung U zwischen P und einem Fixpunkt P0 .
b) Ohmsches Gesetz U = RI Spannung und Stromstärke sind in linearem Zusammenhang.
Die Steigung der Gerade in einem Spannungs-Strom Diagramm ist der Widerstand R (dies
ist auch gerade der Proportionalitätsfaktor, der den Zusammenhang zwischen Spannung U
und Strom I definiert).
c)
Q1 · Q2
r2
Die Coulombkraft (Anziehungskraft zwischen zwei Ladungen) ist proportional zu den beiden
Ladungen und nimmt mit dem Quadrat des Abstandes ab.
F ∼
P = U I Die elektrische Leistung in einem Stromkreis ist das Produkt von Spannung und
Stromstärke.
= C11 + C12 Sind Kapazitäten in Serie geschaltet, dann berechet sich der Kehrwert
der totalen Kapazität in dem man die Kehrwerte der einzelnen Kapazitäten summiert.
1
Ctotal
X
i
Ui =
X
Rn · In
n
In einem Stromkreis ist die Summe aller angelegten Spannungen Ui gleich der Summe aller
Spannungsabfälle über den einzelnen Widerständen Rn · In . Dies ist die Maschenregel.
C = 0 Ad Die Kapazität eines Kondensators ist eine Materialkonstante. Sie ist Abhängig
von der Geometrie des Kondensators: proportional zur Fläche und invers Proportional zum
Abstand der Kondensatorplatten. Die Dielektrizitätskonstante ist eine Materialeigenschaft.
~ = F~ Die elektrische Feldstärke ist definiert als Kraft pro Ladung. Ein elektrisches Feld
E
q
im Raum kann ermittelt werden, in dem man an vielen verschiedenen Orten die Kraft auf
eine Testladung studiert. Mathematisch ist ein elektrisches Feld ein Vektorfeld.
1 eV ist 1 Elektronenvolt. Die Einheit eV steht für eine Energie, nämlich ist 1 eV die
13
kinetische Energie, die eine Elementarladung e erfährt, wenn sie mit der Spannung 1 Volt
beschleungt wird. 1 eV = 1 e · 1 V = 1.602 · 10−19 C · 1 CJ = 1.602 · 10−19 J.
C2 Ersatzwiderstände, Spannungsabfälle
Der Ersatzwiderstand berechnet sich in dem man zuerst die Ersatzwiderstände für die 3 und
2 seriell hintereinander geschalteten Widerstände berechnet. Daraus ergeben sich 3 parallel
geschaltete Widerstände, deren Ersatzwiderstand auch berechnet werden kann.
RErsatz1 = R + R + R = 30 Ω
RErsatz2 = R + R = 20 Ω
1
1
1
1
1
= +
+
= 0.183
Rtotal = 5.45 Ω
Rtotal
R RErsatz2 RErsatz1
Ω
U
= 1.65 A.
Messinstrument 1 ist in den Stromkreis geschaltet und misst den Strom I = Rtotal
Messinstrument 2 ist über einen Widerstand geschaltet und misst die Spannung über diesem
Widerstand U = 3 V. Da es eine Parallelschaltung ist liegt über allen 3 Bahnen dieselbe
Spannung 9 V, in der hintersten Bahn wird diese Spannung über 3 gleiche Widerstände
geschaltet. Der Spannungsabfall ist über allen 3 Widerständen derselbe.
C3 Elektrische Leistung
Um das Wasser aufzuwärmen muss dem Wasser Energie hinzugefügt werden. Der Tauchsieder erbringt die Leistung P = U · I, Leistung ist Energie pro Zeit.
1 ` → m = 1 kg ∆T = 100◦ − 10◦ = 90◦
⇒
P = UI
⇒I=
I=
P
,
U
P =
mcw ∆T
= 6.27 A,
U ·t
t = 5 min = 300 s U = 200 V
E
t
⇒
R=
U
= 31.9 Ω
I
I=
E
U ·t
C4 Kondensator
Folgende Gleichungen beschreiben die mit einem Kondensator verbundenen Grössen:
U =E·d
C=
Q
U
C = 0
A
d
E=
U
Q
Q
=
=
d
C ·d
0 · A
Der Abstand wird verdoppelt:
a) Die Ladung Q wird konstant gehalten: Die Kapazität C wird halbiert. Das elektrische
~ bleibt gleich. Die Spannung U verdoppelt sich.
Feld E
~ wird halb so gross.
b) Die Spannung U wird konstant gehalten: Das elektrische Feld E
Die Kapazität C wird halb so gross. Die Ladung Q wird halb so gross.
~ In d verschwindet die Feldstärke, E
~ = ~0,
c) In a,b und c herrscht dieselbe Feldstärke E.
und in e gibt es eine Streufeld. Siehe Bild.
14
C5 Beschleunigung im elektrischen Feld
a) Die Stahlkugeln und das Neutron tragen keine Ladung, deshalb wirkt auf diese nur die
Gravitationskraft.
Das Proton und das Elektron werden durch das elektrische Feld beschleunigt. Das
Gravitationsfeld wirkt auch auf diese beiden Massen, jedoch ist die Gravitationskraft
vernachlässigbar klein. Sobald auch nur ein winziges elektrisches Feld vorhanden ist,
überwiegt die elektrische Kraft um viele Grössenordnungen.
b) Die Gravitationsbeschleunigung für die Stahlkugeln und das Neutron beträgt a =
9.81 m/s2 .
Das Proton wird in die Richtung, in die das elektrische Feld hinzeigt, beschleunigt,
d.h. nach unten. Das Elektron trägt negative Ladung und wird deshalb in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt, d.h. nach oben.
F~ = F~E~
⇒
~
m · a = q · |E|
aElektron = −1.76 · 1013 m/s2
15
⇒
a=
~
q · |E|
m
aProton = 9.58 · 109 m/s2
C6 Coulomb-Kräfte, Vektoraddition
C7 Stromleitung in einem Cu-Draht
a) Um Die Anzahl freie Elektronen in einem cm3 Kupfer zu berechnen muss man die Anzahl Atome in diesem Volumen berechnen: Dichte von Kupfer ρCu = 9 g/cm3 , Atomare
Masse m = 63.5 u = 1.05 · 10−25 kg = 1.05 · 10−22 g.
n=
ρCu
= 8.54 · 1022 cm−3
m
b) 1 Ampère entspricht einem Coulomb Ladung pro Sekunde. Ein Elektron trägt die
Elementarladung e = 1.602 · 10−19 C
I = 1A = 1
C
s
I
Elektronen
= 6.24 · 1018
e
s
⇒
c) Den Strom kann man auch berechnen, in dem man sich überlegt wie viele Elektronen
mit Ladung e, mittlerer Geschwindigkeit v̄, und Anzahldichte n, durch eine Fläche A
strömen. Daraus ergibt sich für den Strom, der fliesst:
I = A · v̄ · n · e
⇒ v̄ =
I
cm
= 7.3 · 10−3
A·n·e
s
(Falls diese nicht klar ist, prüfen Sie die Einheiten dieser Beziehung, und machen Sie
so einen Konsistenztest.)
16
C8 Elektrische Leitungsverluste
a) Aus P = U I und U = RI ergibt sich:
P =
U2
RL
⇒
RL =
U2
= 5.76 Ω
P
b) Der Widerstand eines Drahtes ist definiert als RK = ρ Al = 3.4 Ω
c) Die effektive Leistung die an der Lampe freigesetzt wird ist das Produkt von der
Spannung über der Lampe und dem Strom I. Der Strom I ist derselbe im ganzen
Stromkreis.
PL = UL · I = RL · I 2
Den Strom I kann man folgendermassen berechnen:
UTot = RTot · I
⇔
24 V = (RL + RK ) · I
⇔
I=
24 V
RL + RK
Nun kann der Strom I in die erste Gleichung dieser Teilaufgabe eingesetzt werden:
2
24 V
PL = RL ·
= 39.5 Watt
RL + RK
C9 Coulomb-Kraft
Die Coulombkraft berechnet sich mit
FC =
1 Q1 · Q2
4π0 r2
Der Abstand zwischen zwei Protonen in einem Kern ist r = 10−15 m und die Ladungen
entsprechen beide der Elementarladung +e = 1.602 · 10−19 C. Die Coulombkraft beträgt
ungefähr FC ≈ 240 N.
Atomkerne sind stabil, weil Kernkräfte stärker sind als diese Coulombkräfte.
C10 Induktion, Netzspannung
a) Eine Spannung wird induziert, wenn sich ein leitender Draht durch ein Magnetfeld bewegt, d.h. dass sich der magnetische Fluss durch den Draht mit der Zeit ändert. Man
kann auch einen Magneten durch eine Spule führen und es entsteht eine Induktionsspannung, die Bewegung des Magneten ist verantwortlich für die induzierte Spannung.
17
b) Die Netzspannung ist Wechselspannung und die Formel lautet wie folgt:
50
U = U0 sin(ωt) = U0 sin(2πf t) = 325 sin 2π t V
s
Ueff = 230 V folgt aus dem zeitlichen Mittelwert der über einem Ohm’schen Widerstand
R abgegebenen Leistung P̄ :
P̄ =Ieff · Ueff =
1 2
U
R eff
Z
Z
Z
1 T
1 T U (t)
1 1 T 2
P̄ =
I(t) · U (t) dt =
U (t) dt =
U (t) dt =
T 0
T 0 R
RT 0
Z
1 1
1 21 T
sin2 (ωt) dt = U02
= U0
R T 0
R 2
2
Und somit folgt: Ueff
= 21 U02
Tasächlich gilt: 230 V ≈
√1
2
→
Ueff =
√1 U0 .
2
· 325 V.
c) Wir benutzen Wechselspannung, weil diese einfach erzeugt und transformiert werden
kann. Der Transport von hoher Spannung ist einfacher und trotzdem ist es wichtig,
dass sie nachher in eine kleinere Spannung transformiert werden kann, da die meisten
Verbraucher keine hohe Spannung benötigen.
18
Seminar 4
Wärmelehre, Energieerhaltung
D1 Energie
Folgende Aussagen sind richtig: a), c), e), f), h).
b) U · I ergibt eine Leistung.
d) 1 kcal = 4180 J
g) Die mittlere kinetische Energie steigt linear mit der absoluten Temperatur: Ē = 32 kB T .
Die Geschwindigkeit steig nicht linear mit der Temperatur.
D2 Mischtemperatur
J
.
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser ist cw = 4182 kg·K
a) Die aufgenommene Energie vom Wasser ist:
QH2 O = cw · mH2 O · ∆T = cw · mH2 O · (TMisch − TH2 O ) = 56792 Joule
b) Es gilt die Energieerhaltung:
Qauf = Qab
⇔
⇔
TFe =
cw (TMisch − TH2 O ) = cFe mFe (TFe − TMisch )
cw mH2 O (TMisch − TH2 O )
+ TMisch = 880 ◦ C
cFe mFe
D3 Eis schmelzen
Der Schmelzvorgang kann in drei Teile aufgeteilt werden: 1) Das Eis wird auf die Temperatur
0◦ C erwärmt. 2) Der Schmelzprozess von Eis zu Wasser bei 0◦ . 3) Das Wasser wird von
0◦ C auf 100◦ C erwärmt. Die benötigte Energie für die 3 Prozesse kann je einzeln berechnet
werden und die Zeit ergibt sich aus P = Et . Die Wärmeenergie wird als E = ∆Q geschrieben.
19
1. Eis erwärmen
∆T = 10◦ C ∆Q1 = t1 P = cEis m∆T
→
t1 = 341.67 s
2. Schmelzvorgang Eis zu Wasser
∆Q2 = t2 P = mLEis→Wasser
→
t2 = 5561.67 s
3. Wasser erwärmen
∆T = 100◦ C ∆Q3 = cWasser m∆T
→ t3 = 6976.67 s
D4 Leichtathletik
Der Sprinter erreicht eine Geschwindigkeit v =
angenommen werden.
s
t
= 10 m/s. Diese darf als Endgeschwindigkeit
a) Der Sprinter kann die kinetische Energie seines Körpers beim Sprung nahezu ohne
Verluste in potentielle Energie umwandeln:
Ekin
1
= mv 2
2
Epot = mgh
⇒
Ekin = Epot
⇒
1 v2
h=
= 5m
2 g
Der Körperschwerpunkt wird von ca. 1 m über dem Boden auf 6 m über dem Boden
angehoben.
20
b) Weitsprung:
Der Sprinter springe zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Elevationswinkel α ab.
Die Geschwindigkeit kann nun in zwei Komponenten in z und x Richtung aufgeteilt
werden:
vz (t) = v sin(α) − gt vx = v cos(α)
Wenn der Sprinter zur Zeit tLandung landet gilt, dass die z-Komponente der Geschwindigkeit
dem negativen der Anfangsgeschwindigkeit in der z Komponente entspricht und so der
Ausdruck für tLandung kann gefunden werden:
vz (tLandung ) = −vz (t = 0)
⇔
v sin(α) − gtLandung = −v sin(α)
⇒ tLandung =
2v sin(α)
g
Die Sprungweite kann nun folgendermassen berechnet werden:
⇔
s = vx tLandung
s = v cos(α)
2v sin(α)
2v 2
=
cos(α) sin(α)
g
g
Wie man in der Gleichung für die Sprungweite s sehen kann, hängt diese von dem
Winkel α ab. Der Winkel für die maximale Sprungweite genügt der Beziehung:
ds
=0
dα
Da cos(45◦ ) sin(45◦ ) =
⇔
1
2
2v 2
cos2 (α) − sin2 (α) = 0
g
⇒
α = 45◦
folgt für die maximale Sprungweite:
smax =
v2
= 10 m
g
Der Sprinter kann die maximale Sprungweite nur dann näherungsweise erreichen, wenn
sein Absprung elastisch ist und wenn der Luftwiderstand verschwindet. Hinweis: Bei
dieser Lösung wird nicht berücksichtigt, dass der Schwerpunkt bei der Landung etwas
tiefer liegt, als beim Absprung.
21
D5 Treppensteigen
Der Höhenunterschied der Treppen sei ∆h = 0.2 m.
a) Die Frau gewinnt beim Treppensteigen die potentielle Energie Epot = mg100∆h =
12 kJ.
b) Die mechanische Arbeit, die sie dabei verrichtet, ist mindestens so gross wie die potentielle Energie Epot , die sie dabei gewinnt. Sie ist im Allgemeinen grösser wegen
Reibung im Körperinnern, Luftwiderstand, Armbewegung und dergleichen.
c) Der Organismums benötigt mindestens die Energie:
E=
Epot
ηMuskeln
d) 6300 kJ/Tag = 73 J/s = P0 ist die Leistung des Organismus bei Körperruhe und Muskelentspannung. Die Leistung beim Treppensteigen soll PTreppe = 10 P0 betragen. Folgende Gleichung gilt:
PTreppe = E · f =
⇒
f=
mg∆h
f = 10 P0
ηMuskeln
10 P0 ηMuskeln
1
= 1.2
mg∆h
s
D6 Radfahren
a) Die benötigte Energie setzt sich aus der Summe der aufgewendeten Energie gegen die
Gravitation und diejenige Energie die gegen den Luftwiderstand aufgewendet werden
muss. Der Wirkungsgrad der Muskeln muss auch berücksichtigt werden.
E=
2
(m + mVelo )g∆h + cw A ρ2 vVelo
d
WGravitation + WLuft
FGravitation ∆h + FLuft d
=
=
ηMuskeln
ηMuskeln
ηMuskeln
2
(m + mVelo )g∆h + cw A ρ2 dt d
=
= 3384 kJ
ηMuskeln
b) Der Wasserverlust durch Schwitzen berechnet sich folgendermassen:
mW =
(1 − ηMuskeln )E
= 1.1 kg
Lv
22
c) Bei maximaler Geschwindigkeit halten sich die Luftwiderstandskraft und die Komponente der Gravitationskraft entlang der Strassenoberfläche FGravitation sin(α) das Gleichgewicht:
FGravitation = FLuft
⇒
Es gilt sin(α) =
∆h
d
vmax
ρ 2
(m + mVelo )g sin(α) = cw A vmax
2
s
2(m + mVelo )g sin(α)
=
cw Aρ
⇔
und somit:
s
vmax =
2(m + mVelo )g ∆h
d
= 14.9 m/s = 53.5 km/h
cw Aρ
23
Seminar 5
E1 Wandspiegel
Es gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Die Aufgabe kann mit einer Skizze und kongruenten
Dreiecken gelöst werden:
E2 Linsen
a) Für scharfe Abbildungen gilt die Linsengleichung:
1 1
1
= +
f
g b
⇒
g=
1 1
−
f
b
b) Die Abbildungsmasstab ist A = gb = 33 =
B = 33 · G = 79.2 cm × 118.8 cm.
B
G
−1
⇒
g = 10.3 cm
daraus folgt, dass
c) Nochmals kann dies mit der Linsengleichung gelöst werden. Es gilt:
1 1
1
= +
f
g b
⇒
b=
1
1
−
f
g + 2 mm
−1
= 2.1 m
E3 Linsensystem
Folgende Grössen sind bekannt: f1 = 15 mm, f2 = 30 mm und g1 = 25 mm. Für beide Linsen
gilt die Linsengleichung.
24
a)
b) Gesucht ist b2 . Für die zweite Linse gilt:
1
1
1
=
+
f2
g 2 b2
Das ist eine Gleichung mit zwei unbekannten b2 und g2 . Über g2 wissen wir folgendes:
g2 = d − b1 und b1 erhalten wir mit der Linsengleichung für die erste Linse:
1
1
1
=
+
f1
g 1 b1
Daraus ergibt sich für b1 = 37.5 mm, g2 = 52.5 mm und schliesslich b2 = 70 mm.
c) Um den totalen Abbildungsmasstab zu erhalten, muss man folgende Relationen benutzen:
B1
B2
B2
b2
b1
=
und
=
⇒
=2
g1
G
g2
G2 = B1
G
E4 Prisma
Es gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz:
sin(α1 )
n2
=
sin(α2 )
n1
und für die Totalreflexion:
n2
n1
Der Strahl trift senkrecht auf die Prisma Oberfläche auf und wird erst an der Hypotenuse
gebrochen. Der Grenzwinkel für Luft → Glas ist αg = 45.6◦ . Der Eintrittswinkel zum Lot
sin(αg ) =
25
vom Strahl ist α1 = 60◦ > αg , das heisst es gibt Totalreflexion bei A.
α2 = α1 = 60◦ . Es gilt weiter α3 = α1 + α2 − 90◦ = 30◦ = β1 . Nach Snellius gilt:
nGlas
sin(β2 ) =
sin(β1 ) ⇒ β2 = 44.4◦
nLuft
E5 Brechung
Der Einfallswinkel ist α = 30◦ . Für den Schatten gilt: x = y + z. Um y zu ermitteln kann
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck verwendet werden:
0.5 m
tan(β) =
⇒ y = 0.29 m
y
Für z kann man nochmals die Trigonometrie verwenden:
z
tan(γ) =
⇒ z = tan(γ) · 2 m
2m
Den Winkel γ erhält man aus dem Brechungsgesetz:
nWasser
sin(α)
=
sin(γ)
nLuft
⇒
γ = 22.6◦
und für die Länge des Schattens: x = y + z = 1.12 m.
26
⇒
z = 0.83 m
E6 Totalreflexion
Beim Snellius’schen Brechungsgesetz :
Daraus folgt für den Grenzwinkel:
sin(αg ) =
sin(α)
sin(β)
1
1.33
=
⇒
nLuft
nWasser
gilt für Totalreflexion sin(β) = 1.
αg = 48.75◦
Der Taucher sieht den Himmel als kreisförmige Scheibe unter dem Winkel 2 × αg = 97.5◦ .
E7 Lichtgeschwindigkeit
Es gilt das Brechungsgesetz:
sin(α)
c1
n2
=
=
sin(β)
n1
c2
daraus folgt:
cLuf t
nW asser
=
nLuf t
cW asser
⇒
27
cW asser = 2.25 · 108
m
s