Darstellungsformen einer Funktion von mehreren Variablen

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Darstellungsformen einer Funktion von mehreren Variablen
1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Formen der analytischen Darstellung: Implizite Darstellung
Implizite Darstellung:
Die Argumente und die Funktion sind durch eine Gleichung
miteinander verknüpft. Die Funktion ist nicht nach einer Variablen aufgelöst:
Eine Funktion von zwei Variablen:
F x , y , z= 0
Eine Funktion von n Variablen:
F  x 1 , x 2 , . . . , x n , u = 0
Beispiel 1:
Ebene im 3D-Raum
F  x , y , z  = ax  by  cz  d = 0
2-1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Implizite Darstellung: Beispiel 1
Abb. 1: Ellipsoid
x2
y2
z2
 2  2 =1
2
a
b
c
2-2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Implizite Darstellung: Beispiel 2
Abb. 2: Einschaliges Hyperboloid
x2
y2
z2
 2 − 2 =1
2
a
b
c
2-3
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Formen der analytischen Darstellung: Explizite Darstellung
Explizite Darstellung:
Die Funktion wird durch ihre unabhängige Variablen
ausgedrückt
Eine Funktion von zwei Variablen:
z = f  x , y
Eine Funktion von n Variablen:
u = f  x1 , x2 , . . . , xn
Ebene im 3D-Raum
z=
Beispiel 2:
Rotationparaboloid
z = x2  y2
Hyperbolisches Paraboloid
x2
y2
z= 2− 2
a
b
Beispiel 3:
3
1
 ax  by  d 
c
Beispiel 1:
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Formen der analytischen Darstellung: Parameterdarstellung
Parameterdarstellung:
Die Argumente und die Funktion sind durch neue Variablen,
die Parameter, explizit ausgedrückt.
Funktionen von zwei Variablen:
x =  r , s ,
y =   r , s , z =  r , s 
Funktionen von drei Variablen:
x =  r , s , t  ,
4
y =  r , s , t  , z =  r , s , t  , u =  r , s , t 
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Parameterdarstellung: Beispiel 1
Abb. 3
x=u,
5-1
y=
sin v 3
cos v 3
u  2 u 2 − 2 u  2 ,
z =
u  2 u 2 − 2 u  2
5
5
−2.3  u  1.3,
0  u  2
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Parameterdarstellung: Beispiel 2
Abb. 4a
x = t ⋅ u 2 − t 2  ,
−1  t  1,
5-2a
y =u,
z = u2 − t 2
−1  u  1
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Parameterdarstellung: Beispiel 2
Abb. 4b
5-2b
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Parameterdarstellung: Beispiel 3
Abb. 5
x = cos u ,
y = sin u  cos u ,
0  u  2,
5-3
z = sin v
0  v  2
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Parameterdarstellung: Beispiel 4
Abb. 6
x = cos u ,
y = sin u  cos v ,
0  u  2,
5-4
z = sin v
−  v  
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Parameterdarstellung: Beispiel 5
Abb. 7
x =  R  r cos v cos u ,
y =  R  r cos v sin u ,
0  u  2,
5-5
z = r sin v
0  v  2
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Parameterdarstellung: Beispiel 6
Abb. 8: Catenoid
x = c cosh  v /c  cos u ,
y = c cosh  v / c sin u ,
−  u   ,
5-6
z =v
−2  v  2
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Parameterdarstellung: Beispiel 7
Abb. 8
x = 6 cos u 1  sin u  4
5-7
y = 16 sin u
1
z = 4 1 − cos u
2



1−
1
cos u
2

cos  v  
sin  v 
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
Parameterdarstellung: Beispiel 8
Abb. 8: Pseudosphäre
x = cos u sin v ,
y = sin u sin v ,
−  u   ,
5-8
z = cos v log  tan  v / 2
0.1  v  3.05
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya