Schriftliche Pr¨ufung im Fach Stochastische Prozesse

Lehrstuhl für Multimediakommunikation und Signalverarbeitung
Universität Erlangen–Nürnberg
Prof. Dr.-Ing. W. Kellermann
Schriftliche Prüfung
im Fach
Stochastische Prozesse
20. Februar 2008
5 Aufgaben – 120 Punkte
120 Minuten
Aufgabe 1
20 Punkte
Gegeben sind die beiden reellen, statistisch unabhängigen ZVn X und Y mit den Dichten fX (x)
und fY (y) gemäß folgenden Abbildungen:
fY (y)
fX (x)
1
4
a
y
x
−2
−1
1
2
−1
1
Die ZVn U und V sind gegeben als:
U = X + b Y,
V = 2 Y,
wobei b eine reelle Konstante ist.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der WDF fX (x) die Wahrscheinlichkeiten P (X = −1),
P (0 ≤ X ≤ 1) und P (X > 2).
(3 Punkte)
b) Bestimmen Sie den Parameter a der WDF fY (y).
(2 Punkte)
2
c) Bestimmen Sie die Erwartungswerte mX , mY , σX
, σY2 .
(6 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Kovarianz CXY . Sind die beiden ZVn X und Y unkorreliert, sind sie
orthogonal? Begründen Sie Ihre Antwort jeweils stichpunktartig.
(3 Punkte)
e) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten cU V der ZVn U und V ?
(6 Punkte)
Aufgabe 2
32 Punkte
Beantworten Sie die folgenden Fragen 1.) bis 8.) auf dem beiliegenden karierten Papier (nicht
auf dem Angabenblatt), indem Sie jeweils für jede der Aussagen A) bis D) entscheiden, ob sie
korrekt ist oder nicht. Schreiben Sie z. B.
1.) A, B̄, C, D̄
wenn Sie der Meinung sind, dass bei Frage 1.) die Aussagen A), C) zutreffen und die Aussagen
B) und D) nicht zutreffen. Eine Begründung ist nicht notwendig. Bei jeder Frage können 0 bis
4 der gegebenen Aussagen richtig sein.
1.)
Der ZP X(t) ist gegeben durch
∞
X
t − mT
X(t) =
A(m) rect
T /2
m=−∞
mit
rect(t) =
1 für |t| ≤
0 sonst .
1
2
,
A(m) ist ein unabhängig identisch verteilter
(IID), zeitdiskreter ZP mit der WDF
1
a−1
fA (a, m) = fA (a) = 2 rect 2 . Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
A)
X(t) ist schwach stationär.
B)
X(t) ist schwach zyklostationär mit Periode T .
C)
X(t) ist ein weißer ZP.
D)
X(t − ∆), wobei ∆ eine im Intervall (0, T ) gleichverteilte ZV ist, ist schwach
stationär.
2.)
Gegeben sind die beiden mittelwertfreien ZPe X(t) und Y (t) mit den AKFen
RXX (τ ) = 4 δ(τ ) und RY Y (τ ) = 2 δ(τ ) und der KKF RY X (τ ) = 2 δ(τ − 3). Welche
der folgenden Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
A)
Die ZPe X(t) und Y (t) sind gegenseitig unkorreliert.
B)
Die ZPe X(t) und Y (t) sind jeweils weiße ZPe.
C)
Die ZPe X(t) und Y (t) sind gemeinsam schwach stationär.
D)
Y (t) enthält eine skalierte und verzögerte Version von X(t).
3.)
Der ZP X(t) ist durch ein Ensemble gegeben, das genau aus den drei gleichwahrscheinlichen, graphisch dargestellten, zeitbegrenzten Musterfunktionen x1 (t), x2 (t) und
x3 (t) besteht. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
x1 (t)
t
1
x2 (t)
t
1
x3 (t)
t
1
t0
(4 Punkte)
A)
2
X(t) ist ergodisch bezüglich mX (t) und σX
(t).
B)
Die WDF fX (x, t0 ) von X(t) zum Zeitpunkt t0 ist eine Summe dreier gewichteter
Dirac-Impulse.
C)
X(t) ist ein weißer ZP.
D)
Die ZV X0 = X(t0 ) ist eine wertdiskrete ZV.
4.)
Der ZP X(t) ist ergodisch bezüglich des linearen Mittelwerts und bezüglich der
Varianz. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
A)
X(t) ist zumindest schwach stationär.
B)
Der lineare Mittelwert mX (t) kann durch Berechnung des zeitlichen Mittelwerts
einer beliebigen Musterfunktion berechnet werden.
C)
Aus der Ergodizität folgt, dass alle Musterfunktionen von X(t) zeitlich konstant
sind.
D)
Aus der Ergodizität folgt, dass alle Musterfunktionen von X(t) periodisch sind.
5.)
Die ZV Y entsteht durch die folgende Abbildung
Y = g(X) = a X + b
aus der Laplace-verteilten ZV X mit der WDF fX (x) = 12 e−|x−mX | mit mX = 0. Welche
der folgenden Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
A)
Y ist ebenfalls Laplace-verteilt.
B)
mY = a mX + b.
C)
2
σY2 = a2 σX
+ b2 .
D)
X und Y sind unkorreliert.
x
Gegeben sind die Likelihood-Funktion fX|A (x|a) = a1 · e− a · ε(x), wobei ε(x) die
Sprungfunktion bezeichnet, und der zugehörige Maximum-Likelihood-Schätzer
6.)
ÂM L
N
1 X
Xn ,
=
N n=1
der zur Schätzung des Parameters a anhand der statistisch unabhängigen Beobachtungen X1 , . . . , XN verwendet wird. Für die linearen Mittelwerte der Beobachtungen gilt:
σ2
= NX . Welche der folgenden
mXi = mX = a. Die Varianz des Schätzers beträgt σÂ2
ML
Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
A)
Der Schätzer ÂM L ist erwartungstreu.
B)
Der Schätzer ÂM L ist konsistent.
C)
ÂM L ist identisch mit dem zugehörigen MAP-Schätzer, der sich ergibt, wenn der
Parameter a als im Intervall (0, ∞) gleichverteilte Zufallsvariable A modelliert
wird.
√
Für N → ∞ nähert sich die Verteilung von N · ÂM L aufgrund des zentralen
Grenzwertsatzes einer Normalverteilung an.
D)
7.)
Gegeben ist das folgende lineare zeitinvariante System mit der Impulsantwort h(t)
und der Übertragungsfunktion H(jω). Mit Hilfe der Leistungsdichtespektren bzw. Korrelationsfunktionen des stationären Eingangsprozesses X(t) und des stationären Ausgangsprozesses Y (t) soll das System identifiziert werden. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(4 Punkte)
X(t)
A)
h(t)
H(jω)
Y (t)
Die komplexe Übertragungsfunktion
H(jω) kann folgendermaßen berechnet werq
den: H(jω) =
SY Y (jω)
SXX (jω)
B)
Die komplexe Übertragungsfunktion H(jω) kann folgendermaßen berechnet werY X (jω)
den: H(jω) = SSXX
(jω)
C)
Für Frequenzen, für die SXX (jω) = 0 gilt, kann H(jω) nicht bestimmt werden.
D)
Die Impulsantwort h(τ ) ergibt sich unabhängig vom Eingangsprozess gemäß
h(τ ) = RY X (τ ).
8.)
Die reelle Funktion g(x) ist durch die folgende graphische Darstellung gegeben.
g(x)
x
Was kann die Funktion g(x) sein?
(4 Punkte)
A)
Das LDS SXX (jω) (für x = ω) eines stationären, reellen, zeitkontinuierlichen ZPes
X(t).
B)
Die AKF RXX (τ ) (für x = τ ) eines stationären, reellen, zeitkontinuierlichen ZPes
X(t).
C)
Die WDF fX (x) eines stationären, reellen, zeitkontinuierlichen ZPes X(t).
D)
2
Die Varianz σX
(t) (für x = t) eines instationären, reellen, zeitkontinuierlichen ZPes
X(t).
Aufgabe 3
30 Punkte
Gegeben ist der reellwertige, unabhängig identisch verteilte (IID) Gaußprozess X(t) mit der
WDF fX (x, t) = fX (x) =
√1
8π
x2
e− 8 .
2
a) Bestimmen Sie die Erwartungswerte mX (t) und σX
(t).
(2 Punkte)
b) Bestimmen Sie die AKF RXX (t1 , t2 ). Ist der ZP X(t) schwach stationär, ist er streng
stationär? Handelt es sich um einen weißen ZP? Begründen Sie Ihre Antwort jeweils
stichpunktartig.
(5 Punkte)
Wir betrachten nun den ZP X(t) zu den drei Zeiten t = 1, t = 2 und t = 3 und erhalten so die
drei ZVn X1 = X(1), X2 = X(2) und X3 = X(3). Die drei ZVn werden zum Zufallsvektor
V = [X1 , X2 , X3 ] zusammengefasst.
c) Begründen Sie stichpunktartig, warum die drei ZVn X1 , X2 und X3 gemeinsam normalverteilt sind. Bestimmen
Sie dann den Mittelwertvektor
mV = E{V } und die Kovarianz
T
matrix CV V = E (V − mV ) (V − mV ) des Zufallsvektors V .
(4 Punkte)
Die Zufallsvariable U ist gegeben durch
U = 2 X 1 + 3 X 2 + 4 X3 .
d) Bestimmen Sie den Mittelwert mU und die Varianz σU2 . Bestimmen Sie dann die Dichte fU (u) und geben Sie eine stichpunktartige Begründung für die Wahl der Dichte.
(4 Punkte)
Der Zufallsprozess Y (t) ist gegeben durch
− τt
Y (t) = e
· X(t) · ε(t) ,
wobei
ε(t) =
1 für t ≥ 0,
0 sonst .
die Sprungfunktion bezeichnet und τ eine positive reelle Konstante ist.
e) Skizzieren Sie zwei unterschiedliche Musterfunktionen des ZPes Y (t) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Achten Sie auf eine korrekte Achsenbeschriftung. Hinweis: Es
ist nicht nötig, für die Skizze Werte auszurechnen.
(2 Punkte)
f) Bestimmen Sie den Mittelwert mY (t) und die Autokorrelationsfunktion RY Y (t1 , t2 ) und
berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus Teilaufgabe b). Ist der ZP Y (t) schwach stationär? Begründen Sie Ihre Antwort stichpunktartig.
(6 Punkte)
Der Zufallsprozess Z(t) ist gegeben durch
Z(t) = W 2 (t) mit W (t) =
X(t)
.
σX (t)
g) Bestimmen Sie zunächst die WDF fW (w) des ZPes W (t). Durch welche Verteilung läßt
sich der ZP Z(t) beschreiben (Bezeichnung der Verteilung genügt)? Begründen Sie Ihre
Antwort stichpunktartig. Bestimmen Sie nun den Mittelwert mZ (t) und die Varianz σZ2 (t)
des ZPes Z(t)
(7 Punkte)
Aufgabe 4
16 Punkte
N (t)
X(t)
g(t)
G(jω)
Y (t)
Z(t)
h(t)
H(jω)
E(t)
U (t)
In der obigen Anordnung zeitkontinuierlicher, linearer zeitinvarianter Systeme sind die
Übertragungsfunktion G(jω) sowie die Autoleistungsdichtespektren der reellen, mittelwertfreien, schwach stationären ZPe X(t) und N (t) gegeben. Der ZP N (t), der ein unerwünschtes
Rauschsignal repräsentiert, ist unkorreliert zum ZP X(t).
ω SN N (jω) = rect
,
8
ω 1 für |ω| ≤
, wobei rect(ω) =
G(jω) = G0 · rect
0 sonst .
4
SXX (jω) = 2 ,
1
2
,
Die Übertragungsfunktion H(jω) soll im Folgenden bestimmt werden.
a) Bestimmen Sie SY Y (jω) und SZZ (jω) und zeichnen Sie SN N (jω), SY Y (jω) und
SZZ (jω) für G0 = 1 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Achten Sie auf eine korrekte Achsenbeschriftung.
(7 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Autokorrelationsfunktionen RY Y (τ ) und RN N (τ ).
(3 Punkte)
(2)
mY
c) Bestimmen Sie den Signal-Rauschabstand SN R = 10 log10
am Eingang des
(2)
mN
Filters H in Abhängigkeit von G0 .
(3 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(jω) eines allgemeinen nichtkausalen
Wiener-Filters in Abhängigkeit von SXX (jω), SN N (jω) und G(jω), so dass E{E 2 (t)}
minimal wird.
(3 Punkte)
Aufgabe 5
22 Punkte
V
W
x
a
û
Y
b
Z
Die ZV Y ist gegeben durch
Y = ax + W .
Dabei sind a und x bekannte reelle Konstanten, und das Prozessrauschen W ist eine normalverteilte ZV mit der WDF
2
− w2
1
2σ
fW (w) = N (0, σW ) = √
e W .
2 πσW
Um die ZV Y zu schätzen, wird die Beobachtung Z, gegeben durch
Z = bY + V ,
verwendet (siehe obiges Blockschaltbild). Hier ist b eine bekannte reelle Konstante, und das
Messrauschen V ist eine normalverteilte ZV mit der WDF fV (v) = N (0, σV ). Die ZVn V und
W sind statistisch unabhängig.
Die Schätzung erfolgt in zwei Schritten: Zunächst wird Y durch û = a x nur aufgrund der
bekannten Konstanten geschätzt (a priori Schätzung). Dann wird die Schätzung durch die Beobachtung Z folgendermaßen verbessert (a posteriori Schätzung):
Ŷ = û + k · (Z − b û) .
Die zugehörigen Schätzfehler sind Eû = Y − û und EŶ = Y − Ŷ .
a) Bestimmen Sie den Mittelwert mY , die Varianz σY2 sowie die WDF fY (y) der ZV Y .
(3 Punkte)
b) Bestimmen Sie den Mittelwert mZ , die Varianz σZ2 sowie die WDF fZ (z) der ZV Z.
(4 Punkte)
c) Bestimmen Sie den Mittelwert mEû und die Varianz σE2 û des Schätzfehlers Eû . Ist der
Schätzer û erwartungstreu? Begründen Sie Ihre Antwort stichpunktartig.
(4 Punkte)
n o
d) Leiten Sie jeweils einen Ausdruck für den Mittelwert mEŶ , den Erwartungswert E EŶ2
2
und die Varianz σE2 Ŷ des Schätzfehlers EŶ in Abhängigkeit von k, a, b, x, σW
, σV2 her.
(6 Punkte)
n o
e) Bestimmen Sie k so, dass E EŶ2
minimal wird. Benutzen Sie hierzu
n o
2
2
E EŶ2 = (1 − kb)2 σW
+ k 2 σV2 . Welche Bedingung muss die Varianz σW
des
Prozessrauschens erfüllen, damit der a posteriori Schätzer Ŷ und der a priori Schätzer û
identisch werden?
(5 Punkte)