∂F ∂a σa ∂F ∂b σb

Formelsammlung zur Klausur Experimentelle Physik I, Wintersemester 2006/07
Naturkonstanten:
Fehlerrechnung:
Vakuumlichtgeschwindigkeit c ≈ 2,998 ⋅10 8
€ G ≈ 6,67 ⋅10−11
Gravitationskonstante
23
Avogadro-Zahl
€ N A ≈ 6,02 ⋅10
Gaskonstante€ R ≈ 8,314
J
molK
Erdbeschleunigung
g ≈ 9,81
€
m
s2
Erdmasse M E ≈ 5,97 ⋅10 24 kg
€
mittlerer Erdradius rE ≈ 6,37 ⋅10 6 m
€
€
Mittelwert, Standardabweichung:
Nm2
kg 2
(Messwerte xi; Anzahl von Messwerten n; Mittelwert <x>; Standardabweichung eines
Einzelmesswerts σ; Standardabweichung des Mittelwerts σ<x>)
1
mol
Boltzmann-Konstante
kB ≈ 1,38 ⋅10−23
€
m
s
J
K
 ∂F  2
 ∂F  2
Fehlerfortpflanzung: σ F2 =   σ a2 +   σ b2
 ∂a 
 ∂b 
(Messwerte a, b; Ergebnis F(a,b) ; Messunsicherheiten σa, σb)
€
€
Mechanik (geradlinige Bewegungen):
Mechanik (Schwingungen):
p
v2
1− 2
v
c
(Impuls p; Geschwindigkeit v; Vakuumlichtgeschwindigkeit c)
o
o
Gedämpfte Schwingung: x(t) = e−γ ⋅ t (c1 ⋅ e
+ c2 ⋅ e
)
(Dämpfungskonstante γ; Kreisfrequenz des ungedämpften Systems ω0; Amplituden c1, c2, zum
Anpassen an Anfangsbedingungen)
Im Schwingfall€
(γ < ωo) gilt: x(t) = A ⋅ e−γ ⋅ t ⋅ cos(ω ' t + ϕ ) mit ω '= ω o2 − γ 2
(Amplitude A, Phase ϕ zum Anpassen an Anfangsbedingungen)
γ 2 −ω 2 ⋅ t
Dynamische Definition Masse: m =
€
F ≈ −Dx
Hookesches Gesetz (Feder):
(Kraft F; Federkonstante D; Auslenkung aus Ruhelage x)
€
€
Erzwungene, gedämpfte Schwingung: x(t) = A1 ⋅ e−γ⋅ t ⋅ cos(ω ' t + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ )
€
Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit ω = 2πν =
2π
T
(Frequenz ν; Umdrehungs- bzw. Schwingungsdauer T)
€
€
Gm1m2
Gm1m2
Gravitationsgesetz; Gravitationskraft: F =
; Gravitationspotential: V = −
r2
r
(Gravitationskonstante G; Massen m1, m2; Abstand der Schwerpunkte r)
€
Reibungskraft (Gleit-, Haftreibung):
FR ≈ µG FN bzw. FR ≈ µ H FN €
(Gleitreibungs- bzw. Haftreibungskoeffizient µG bzw. µH; Auflagekraft FN)
€
€
Impuls nach eindimensionalem elastischem Stoß zweier Teilchen:
m − m2
2m2
p1′ = p1 1
bzw. p′2 = p1
m1 + m2
m1 + m2
(vor Stoß Teilchen 1 mit m1, p1; Teilchen 2 mit m2, p2 = 0 )
mit ω '= ω o2 − γ 2
(Kreisfrequenz der Anregung ω; anregende Kraft Fo ⋅ cos(ωt) ; Dämpfungskonstante γ;
Eigenkreisfrequenz des ungedämpften
Systems ω0; Amplitude A2; Phasenunterschied
€
zwischen Schwingung und Anregung ϕ; Amplitude A1, Phase ϕ1 zum Anpassen an
Anfangsbedingungen)
€
Fo
m
Für große Zeiten (außerhalb des Einschwingvorgangs) gilt: A2 (ω ) =
(ω o2 − ω 2 ) 2 + (2γω ) 2
2γω
und tan ϕ = − 2
ωo − ω 2
€
€
Stokessches Gesetz (Reibungskraft von Kugeln bei laminarer Strömung): FR ≈ −6πηrv
(Viskosität η; Radius der Kugel r; Geschwindigkeit v)
€
− γ 2 −ω 2 ⋅ t
€
€
Gekoppelte Schwingungen (Spezialfall zweier gekoppelter identischer Oszillatoren):
ω − ω2
ω + ω2
ϕ − ϕ2 
ϕ + ϕ2 
x1 (t) = 2A ⋅ cos 1
t+ 1
t+ 1
 ⋅ cos 1
 und
 2


2
2
2 
ω − ω2
ω + ω2
ϕ − ϕ2 
ϕ + ϕ2 
x 2 (t) = −2A ⋅ sin 1
t+ 1
t+ 1
 ⋅ sin 1

 2
 2
2 
2 
(Kreisfrequenzen der Normalschwingungen ω1, ω2; Amplitude A, Phasen ϕ1, ϕ2, zum
Anpassen an Anfangsbedingungen)
Wenn Kraftkonstante der Kopplung Dk gleich der der einzelnen Oszillatoren D ist, gilt:
D
3D
und ω 2 =
ω1 =
m
m
(Masse m der einzelnen Oszillatoren)
€
€
€
€
Mechanik (Drehbewegungen):
r r r
Definition Winkelgeschwindigkeit: v = ω × r
(Winkelgeschwindigkeit ω; Bahngeschwindigkeit v; Abstand zum Koordinatenursprung r)
Spezialfälle:
1
Hohlzylinder, Drehung um Zylinderlängsachse durch Schwerpunkt: θ = m(R12 + R22 )
2
(Masse m; innerer Radius R1; äußerer Radius R2)
€
r r r
Definition Kraftmoment (Drehmoment): M = r × F
(Abstand zum Koordinatenursprung r; Kraft F)
2
Kugel, Drehung um Achse durch Schwerpunkt: θ = mr 2 €
5
(Masse m; Radius r)
€
r r r
r
r
Definition Impulsmoment (Drehimpuls): l = r × p und L = ∑ l i
Quader mit Seitenlängen a, b, c, Drehung um Achse parallel zur Kante c durch Schwerpunkt:
€
1
θ = m(a 2 + b 2 )
12
(Masse m)
i
(Abstand zum Koordinatenursprung r, Impuls p von i-tem Teilchen)
€
r
r r
v2
bzw. Frad = ω × p
R
(Masse m; Bahngeschwindigkeit v; Winkelgeschwindigkeit ω; Abstand zur Drehachse R;
Impuls p)
Radialkraft: Frad = mω 2 R = m
€
T2
= const.
R3
(Umlaufzeit T; große Halbachse der Ellipsenbahn R)
Drittes Keplersches Gesetz:
allgemein:
 θ xx −θ xy −θ xz 


ˆ
Trägheitstensor θ = −θ yx θ yy −θ yz  mit
 −θ

 zx −θ zy θ zz 
θ xx = ∑ mi (y i2 + zi2 ), θ yy = ∑ mi (x i2 + zi2 ), θ zz = ∑ mi (x i2 + y i2 ) ,
€
€
i
i
θ xy = θ yx = ∑ mi x i y i , θ xz = θ zx = ∑ mi x i zi , θ yz = θ zy = ∑ mi y i zi
€
i
i
i
 xi 
r  
(mi Masse; ri =  y i  Abstand des i-ten Teilchens zum Koordinatenursprung (Schwerpunkt))
 
 zi 
€
länglicher homogener Körper (Dicke << Länge), Drehung um Achse senkrecht zur
1
Längsachse durch Schwerpunkt: θ ≈ ml 2
12
(Masse m; Länge l )
€
2
Steinerscher
€ Satz: θ = θ S + ma
(Trägheitsmoment θ bei Drehung um Achse, die um a gegenüber der Achse durch den
Schwerpunkt parallel verschoben ist, für die das Trägheitsmoment θ S ist; Masse m)
€
€
Trägheitsmomente:
i
€
r r
r
Präzession: M = ω p × L
€
(Präzessionswinkelgeschwindigkeit ωp; Impulsmoment L; das die Präzession hervorrufende
Kraftmoment M)
€
Scheinkräfte:
r
r
r r
Zentrifugalkraft: FZ = −mω × (ω × r )
(Masse m; Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Bezugssystems ω; Abstand zum
Koordinatenursprung r)
€
r
r r
Corioliskraft: FC = 2mv × ω
(Masse m; Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Bezugssystems ω; Geschwindigkeit v)
€
Wärmelehre:
−
mv 2
dT
dx
(Temperatur T; Wärmeleitfähigkeit λ; Wärmestromdichte in x-Richtung jx;
ΔQ
Wärmestromdichte j =
mit Wärmemenge ΔQ, Zeit Δt, Querschnittsfläche A)
AΔt
€
Maxwell-Boltzmann-Verteilung: N(v) ∝ v 2e 2kB T
(Anzahl N der Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v im idealen Gas der Temperatur
T; Boltzmann-Konstante kB)
Wärmeleitung: j x = − λ
€
−
M *g
(h−h 0 )
barometrische Höhenformel (für T = const.): P(h) = P(h0 ) ⋅ e RT
(Druck P; Molmasse M*; Erdbeschleunigung g; Gaskonstante R; Temperatur T; Höhe h)
Wärmestrahlung: P ∝ T 4 S
€
(Leistung P; Temperatur T; Schwärze der Oberfläche S)
€
3
mittlere kinetische Energie der Teilchen im idealen Gas: εkin = k B T
2
(Boltzmann-Konstante kB, Temperatur T)
€
3
Innere Energie des idealen Gases: U − U 0 = nR(T − T0 )
2
(Gaskonstante R; Stoffmenge n; Temperatur T)
€
Volumenausdehnung von festen Körpern und Flüssigkeiten:
V (T,P) ≈ V0 [1+ β (T − T0 ) − κ (P − P0 )]
(Volumenausdehnungskoeffizient β; Kompressibilität κ; Temperatur T; Druck P; Volumen V)
€
€
3 T
V
5 T
P
Entropie des idealen Gases: S − S0 = nR( ln + ln ) oder S − S0 = nR( ln − ln )
2 T0
V0
2 T0
P0
(Gaskonstante R; Stoffmenge n; Temperatur T; Volumen V; Druck P)

 n 2 
Van-der-Waals-Gleichung:  P +   a(V − nb) = nRT
V  

(Druck P; Volumen V; Temperatur T; Stoffmenge n; Gaskonstante R; van-der-WaalsParameter a, b)
€
Reversible adiabatische Zustandsänderung des idealen Gases:
κ −1
TV = const. oder PV κ = const. oder P1-κ T κ = const.
C
(Adiabatenexponent κ = P ; Temperatur T; Volumen V; Druck P)
CV
€
 n 2
pV
n
= 1+ B(T) + C(T)  + K
V 
nRT
V
(Druck P; Volumen V; Temperatur T; Stoffmenge n; Gaskonstante R; Entwicklungsparameter
B(T), C(T), ...)
€
Virialentwicklung:
€
3
Wärmekapazität einatomiges ideales Gas: CV = nR, CP = CV + nR
2
(Gaskonstante R; Stoffmenge n; Wärmekapazität für Temperaturänderung unter konstantem
Volumen CV, unter konstantem Druck CP)
€
€