Statistik für Biologen

1. Generelle Additionsregel: Für beliebige Ereignisse A und B gilt
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Beweis: (muss nur für nicht-disjunkte A und B geführt
werden; für disjunkte A und B ist Axiom III der „Beweis“)
Linke Seite: A U B aufteilen (grafisch!) in disjunkte Ereignisse:
A U B = (A ∩ nicht-B) U (A ∩ B ) U (B ∩ nicht-A) , also gem. Axiom III:
P(A U B) =P(A ∩ nicht-B) + P(A ∩ B ) + P(B ∩ nicht-A)
Rechte Seite: A =(A ∩ B ) U (A ∩ nicht-B) und B= (A ∩ B ) U (B ∩ nicht-A),
also ist nach Axiom III:
P(A)=P(A ∩ B ) + P(A ∩ nicht-B) und P(B)=P(A ∩ B ) + P(B ∩ nicht-A)
also ist P(A)+P(B)=P(A ∩ B ) + P(A ∩ nicht-B) + P(A ∩ B ) + P(B ∩ nicht-A)
demnach ist (denn ich muß einmal P(A ∩ B ) abziehen)
P(A)+P(B)-P(A ∩ B) = P(A ∩ B ) + P(A ∩ nicht-B) + P(B ∩ nicht-A),
was genau gleich der linken Seite ist. q.e.d.
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2. Spezielle Additionsregel – Für sich ausschließende (disjunkte) Ereignisse A
und B gilt: P(A U B) = P(A) + P(B)
3. Komplementregel. Für die Alternativereignisse A und Ā gilt P(A) = 1 – P(Ā), was
man natürlich auch als P(A) + P(Ā) = 1 schreiben kann
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d. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Oft gibt es Situationen, bei denen die WS eines Ereignisses A davon abhängt,
ob ein anderes Ereignis B auch vorliegt. Beispiel:
Wir wollen feststellen, mit welcher WS ein Patient, der tatsächlich krank ist (K),
von einem Test auch als krank diagnostiziert wird (T+, positives Testergebnis).
P(K ∩ T+) des Ereignisses "krank und im Test positiv" muß etwas mit der WS
P(K) zu tun haben, daß der Patient "krank" ist – sie hängt davon ab bzw wird
davon beeinflußt.
Wir bezeichnen das Ereignis "positives Testergebnis unter der
Bedingung, daß der Patient krank ist" als
T+ | K
(Aussprache: T+ gegeben K, oder: T+ unter der Bedingung /
Voraussetzung K). Dann suchen wir P(T+|K), die bedingte WS von T+|K.
Ihr Wert ist gegeben durch
P(T+|K) = P(T+ ∩ K) / P(K) .
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-Definition
-Quotient aus zwei WS
-0 ≤ P ≤ 1
Seien A und B zwei Ereignisse (und P(B)>0), dann definiert man die
bedingte Wahrscheinlichkeit von "A unter der Bedingung B" durch
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Nach Multiplikation mit P(B) erhält man daraus die WS des
gemeinsamen Auftretens von A und B , P(A ∩ B) als
P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) („generelle Multiplikationsregel“)
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Falls Wahrscheinlichkeit von A nicht von B beeinflusst: unabhängig
die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann eine unbedingte
Dann ist P(A|B) = P(A)
Beispiel: B = Ω : P(A| Ω) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A)/1 = P(A)
Definition: Zwei Ereignisse A und B werden unabhängig genannt,
wenn
P(A|B) = P(A)
(und P(B|A) = P(B) )
In diesem Falle (unabhängige Ereignisse) wird die generelle
Multiplikationsregel zu
P(A ∩ B) = P(A) P(B) "spezielle Multiplikationsregel"
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d.2 Totale Wahrscheinlichkeit
Wenn wir den Ereignisraum B = Ω in zueinander disjunkte
Ereignisse B1, B2, B3 ... aufteilen, können wir A schreiben als
A = (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U (A ∩ B3) U ...
Formel für die totale Wahrscheinlichkeit
bei disjunkten Ereignissen B1,B2,B3,...Bn , mit
U Bj=Ω
gilt
(das U bedeutet Vereinigungsmenge):
P(A) = ∑P(A|Bj) P(Bj) (die Summe geht von j=1..n)
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e. Bayes‘sche Formel (Thomas Bayes, 1702-1761)
P(B | A) P(A)
P(A|B) = P(B | A) P(A) + P(B | A) P(A )
Häufig ist es so, daß es nicht nur zwei
Möglichkeiten A und Ā gibt, sondern eine ganze
Reihe von disjunkten Möglichkeiten A1,A2,A3,...An für
A, so daß
U Aj= Ω
und
 P( A )  1 .
j 1, n
j
Dann gilt die Bayes-Formel in ihrer allgemeinen
Form
P(Ai|B) =
P(B | A i ) P(A i )
 P(B | A j ) P(A j )
j 1, n
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