¨Ubungsaufgaben Mathematik II für Studierende der Physik: Blatt 10

Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Jörg Teschner,
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik II für Studierende der Physik:
Blatt 10 zur Abgabe am 28.6.2017 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben. Sie können für dieses Blatt zu zweit zusammenarbeiten und Lösungen abgeben. Dabei müssen allerdings beide, die zusammen abgeben, derselben Übungsgruppe
angehören, und jeder Abgabepartner sollte erkenntlich pro Blatt mindestens eine Aufgabenlösung aufgeschrieben haben.
Aufgabe 1: (1+1 Punkte)
Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rn eine stetig differenzierbare Abbildung so, dass das
Differential dfx invertierbar ist für alle x ∈ U . Zeigen Sie, dass dann gilt:
(a) Das Bild f (U ) ⊂ Rn ist offen.
(b) Ist f injektiv, so ist f : U → f (U ) ein Diffeomorphismus.
Aufgabe 2: (2 Punkte)
Berechnen Sie für die beiden unten angebebenen Funktionen g : R2 → R2 jeweils das
Differential dg. Bestimmen Sie jeweils alle Punkte (x, y) im Urbildraum R2 , an denen g
lokal ein Diffeomorphismus ist. Geben Sie (dg −1 )g(x,y) für all diese Punkte (x, y) an.
(a) g(x, y) = (y 3 − x3 , x3 + y 3 ).
(b) g(x, y) = (x − y 2 , x2 + y).
Aufgabe 3: (1+1+2 Punkte)
Gegeben seien die Abbildung f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x(1−y), xy) und die offene Teilmenge
U := {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0} von R2 .
(a) Berechnen Sie df , und begründen Sie, dass die eingeschränkte Abbildung f |U : U → R2
eine Immersion und eine Submersion ist.
(b) Ist die Abbildung f injektiv? Ist die eingeschränkte Abbildung f |U injektiv?
(c) Zeigen Sie, dass f den Streifen (0, ∞)×(0, 1) diffeomorph auf (0, ∞)×(0, ∞) abbildet.
Aufgabe 4: (1+1 Punkte)
Gegeben sei die Funktion F : R3 → R, F (x, y, z) = z 3 + 2xy − 4xz + 2y − 1.
(a) Zeigen Sie: Es gibt offene Umgebungen V von (x, y) = (0, 1) in R2 und W von
z = −1 in R sowie eine durch F (x, y, ϕ(x, y)) = 0 implizit definierte Funktion
ϕ : V → W mit ϕ(0, 1) = −1.
(b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂1 ϕ(0, 1) und ∂2 ϕ(0, 1).
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Aufgabe 5: (1+1+2 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Gleichung z 3 + z + xy = 1 für jedes (x, y) ∈ R2 genau eine reelle
Lösung z = ϕ(x, y) besitzt.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion ϕ : R2 → R differenzierbar ist.
Hinweis: Wenden Sie den Satz über implizite Funktionen an auf die Funktion
F : R3 → R, F (x, y, z) = z 3 + z + xy − 1.
(c) Berechnen Sie dϕ(1,1) und untersuchen Sie die Funktion ϕ auf Extrema.
Aufgabe 6: (1+1 Punkte)
Gegeben seien die Funktion f : R3 → R, f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 und a ∈ R\{0}.
(a) Zeigen Sie, dass f −1 (a) eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit des R3 der Dimension 2 ist.
(b) Finden Sie eine Parametrisierung einer Umgebung des Punktes (0, 0, −1) in f −1 (−1).
Hinweis: Ist U ⊂ Rn offen, dann ist der Graph einer stetig differenzierbaren Funktion
g : U → R diffeomorph zu U . Eine Parametrisierung des Graphen ist gegeben durch
die zugehörige Graphenfunktion G : U → Rn+1 , G(x) = (x, g(x)).
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