A 72 Betrachtet wird die Funktion f(x, y)=4x 3 − 3y2 (x > 0,y > 0) (a

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Vorlesung/Übung Mathematik 2: Thema 11 - Aufgaben
A 72
Betrachtet wird die Funktion
f (x, y) = 4x3 − 3y 2
(x > 0, y > 0)
(a) Geben Sie eine Abschätzung für die relative Veränderung der Funktion f
an der Basisstelle (2,3), wenn sich dort die x-Variable um +1% verändert
und die y-Variable um −2% verändert.
(b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten
(noch unbestimmten) Niveau z gegeben durch eine implizite Darstellung
mittels der obigen Funktion, d.h.
z = f (x, y) = 4x3 − 3y 2 (x > 0, y > 0).
Berechnen Sie (auf dem Niveau z) die Grenzrate der Substitution der
dy
Variablen x durch die Variable y: dx
(x0 , y0 ) = ?
Geben Sie einen Punkt (x0 , y0 ) an, der die Niveaubedingung z = 20
dy
(x0 , y0 ).
erfüllt, und für diesen den Wert dx
Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 20 der Wert
von x gegenüber x0 , wenn sich y gegenüber y0 um −2% ändert?
A 73
Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = (1 + y) e1−x
(x > 0, y > 0)
(a) die partiellen Ableitungen fx0 , fy0
(b) die beiden partiellen Wachstumsraten an der Basisstelle (x0 , y0 ) = (1, 1)
(c) die ungefähre relative Änderung von f beim Übergang vom Basiswert
f (1, 1) zu f (0.97, 1.1).
A 74
Ergänzung
Eine Produktionsfunktion ist für positive x, y, z (die Produktionsfaktoren)
definiert und hat die Form f (x, y, z) = xα · y β · z γ mit α, β, γ > 0 fix.
(a) Berechnen Sie die partiellen Elastizitäten (auch Produktionselastizität
von x bzw. y bzw. z genannt).
(b) Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich die Produktion, wenn jede der
Variablen x, y, z um den gleichen (kleinen) Prozentsatz i = p% verändert
wird?
(Das Ergebnis für i = 1% heißt auch Skalenelastizität von f )
A 75
Wie A 72 mit f (x, y) = y + x1/2 · y 1/2 , der Basisstelle (4, 9) und z = 10
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Tutorien
Mathematik 2: Thema 11 - Aufgaben
T 79
Gegeben ist die Funktion f (x, y) = x5 + xy + 2y 5 (x > 0, y > 0)
(a) Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f .
(b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten
Niveau z = 4 gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen
Funktion, d.h.
4 = f (x, y) = x5 + xy + 2y 5 (x > 0, y > 0).
Berechnen Sie (auf dem Niveau z = 4) die Grenzrate der Substitution
dy
(x0 , y0 ) = ?
der Variablen x durch die Variable y: dx
Geben Sie einen Punkt (x0 , y0 ) an, der die Niveaubedingung erfüllt, und
dy
(x0 , y0 ).
für diesen den Wert dx
Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 4 der Wert von
y gegenüber y0 , wenn sich x gegenüber x0 um +2% ändert?
T 80
(x > 0, y > 0)
Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = ln(x2/5 · y 3/5 )
00
(a) die partiellen Ableitungen fx0 , fy0 und fyx
(b) die partielle Elastizität bzgl. der Variable x im Punkt (x0 , y0 ) = (1, e)
(c) die Tangentialebene zu f im Ausgangspunkt (x0 , y0 ) = (1, 1) und damit
eine Näherung für den Funktionswert f (1.1, 0.9).
T 81
Führen Sie alle Berechnungen des Beispiels 2 der Vorlesung für die allgemeinere Funktion f (x, y) = xα · y 1−α durch, wobei 0 < α < 1 fix.
Stellen Sie danach eine α-Regel“ bei diesem Funktionstyp (= linear homo”
”
gene Cobb-Douglas-Funktion“) auf für
(a) die partiellen Elastizitäten,
(b) die Grenzraten der Substitution,
(c) die Proportionalitätsfaktoren zwischen relativen Änderungen der Variablen x und y, die das Niveau z des Funktionswertes konstant belassen.
vorsicht Falls eine (Teil-)Aufgabe dieses Typs in der Klausur vorkommt,
reicht es nicht, als Lösung“ nur eine α-Regel aufzuschreiben. Sie können
”
aber z.B. die Aufgabe allgemein mit α lösen und danach das konkrete α einsetzen.
!
t
T 82 Lernziel: Wo führt die Verschiebung um 1 zu Unterschieden zu T 81 ?
Wie T 79 mit f (x, y) = 1 + x2/3 · y 1/3 und z = 5
T 83
Wie T 79 mit f (x, y) = x + x2 · y 1/2 und z = 6
T 84
etwas schwieriger, aber gut zur Übung
2
Wie T 80 mit f (x, y) = x · e1−y + ln(x · y)
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