Maxwellgleichungen in Materie

Maxwellgleichungen in Materie
Modifikation
D = dielektrische Verschiebung ←→ externe Quellen
E = elektrisches Feld =⇒ Kraftwirkung F = qE
abgeschirmt durch Polarisation
unverändert
=⇒
=⇒
D = ǫE
∇·D = 4πρ
ǫ≥1 ,
ǫvac = 1
1
∇×E = − ∂t B
c
4π
1∂
D=
j
c ∂t
c
B = magnetische Induktion ←→ Kraftwirkung F = qc×B
H = Magnetfeld ←→ externe Quellen
=⇒
abgeschirmt durch magn. Polarisation
unverändert
integrale
Form
I
∂V
I
=⇒
R
d r4πρ
d2 F·B = 0
∂V
Z
∂
1
2
d F· B
dl·E = −
c F
∂t
Z
I
1 ∂
4π
2
d F· j +
D
dl·H =
c F
4π ∂t
∂F
d F·D =
V
Grenzflächen
B = µH
1
∇×E = − ∂t B & ∇·B = 0
c
unverändert:
=⇒
µvac = 1
I
3
D = ǫE
Potentiale
B = µH
∇·B = 0
2
∂F
∇×H −
unverändert:
1
E = −∇Φ − ∂t A ,
c
B = ∇×A
seien ρ & j nicht singulär auf Grenzfläche
eF = Normalenvektor der Grenzfläche, ek ⊥ eF = 2 Vektoren parallel Grenzfl.
infinitesimaler
I ↔ II
I Kubus um Grenzfläche
Z
I
2
3
betrachte
d F·D =
d r4πρ −→ 0 bzw.
d2 F·B = 0
∂V
=⇒
I
eF ·D = eF ·D
V
II
∂V
I
eF ·B = eF ·B
,
II
Normalenkomp. D & B stetig
F = infintesimales
Rechteck
Z ⊥ Grenzfläche
I
1 ∂
4π
2
d F· j +
D −→ 0 ,
betrachte
dl·H =
c F
4π ∂t
∂F
=⇒
eF ×E1 = eF ×E2
(beachte: ek ·V = 0
,
eF ×H1 = eF ×H2
äquivalent zu
eF ×V = 0)
I
dl·E −→ 0
∂F
Tangentialk. E & H stetig
Beispiel
Punktladung in dielektrischer Kugel: ρ = qδ 3 (r) & ǫ > 1 in r ≤ R
Bereich I = r ≤ R , Bereich II = r > R , eF = er
radialsymmetrisch =⇒ E = er f (r) , D = er g(r) =⇒ er ×E = 0
er ×E1 = er ×E2
automatisch erfüllt
 r

 q r 3 für r > R
r
∇·D = 4πρ =⇒ D = q 3 & D = ǫE =⇒ E =

r
 q r für r < R
ǫ r3
1−ǫ
1
1
3
3
+
ρeff =
∇·E =
qδ (r)
q δ (r) −
δ(R − r)
| {z }
4π
ǫ
4πR2
{z
}
urspr.Ladung |
Polarisationsladung