Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017
Abgabe: Dienstag, 16. Mai 1200
Serie 10
Quellenfrei = source-free
Wirbel = curl, eddy, vortex
Durchflutungsgesetz = Ampere’s law
Eisenkern = iron/magnet core
Selbstinduktion = self-induction
Gleichstrom = direct current (DC)
Schaltkontakt = switching contact
Windung = turn (of a wire)
quellenfreies Feld = solenoidal field
Wirbelstrom = eddy current
Luftspalt = air/magnet gap
Ringspule = toroidal coil
Induktivität = inductance
Wechselstrom = alternating current (AC)
Verschiebungsstrom = displacement current
Allgemeine Fragen
1. Vergleiche die Energie und die Energiedichte des elektrischen Feldes und des Magnetfeldes in einem Kondensator, resp. in einer Spule.
Antwort:
Elektrisches Feld
(Kondensator)
Magnetisches Feld
(Spule)
Wel = 12 CV 2
Wmag = 12 LI 2
Energie
Wel = 12 ε0 εr AdE 2
wel = 12 ε0 εr E 2
Wmag =
1 1
2
2 µ0 µr AlB
wmag =
1 1
2
2 µ0 µr B
Energiedichte
~ ·E
~
wel = 12 D
~ ·B
~
wmag = 12 H
Für lineare und homogene Materialien gelten die folgenden Zusammenhänge zwischen elektrischer Flussdi~ elektrischer Feldstärke E,
~ magnetischer Flussdichte B
~ und magnetischer Feldstärke H:
~
che D,
~ = ε0 εr E
~
D
~ = µ0 µr H
~
B
(0.1)
(0.2)
Zusätzlich gilt für den Zusammenhang zwischen elektrischer und magnetischer Feldkonstante (c = Lichtgeschwindigkeit):
ε0 µ0 =
1
.
c2
2. Diskutiere die verschiedenen Maxwell-Gleichungen und ihre verschiedenen Schreibweisen.
Antwort:
1
(0.3)
Die Maxwellgleichungen (0.4 - 0.11) bilden zusammen mit den Materialgleichungen (0.12 und 0.13) die
Grundlage der klassischen Elektrodynamik. Sie können sowohl in differentieller Form,
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×H
~ = ~j + ∂ D
∇
∂t
(0.4)
(0.5)
(0.6)
(0.7)
als auch in integraler Form dargestellt werden (für eine zeitlich konstante Fläche A).
I
~ · dA
~=
D
Z
∂V
I
ρ · dV = Qinnen
(0.8)
V
~ · dA
~=0
B
(0.9)
∂V
~
∂B
~
· dA
∂A
A ∂t
Z
Z
I
~
∂D
~
~
~ = I + Iv
~
H · d~s =
j · dA +
· dA
A
A ∂t
∂A
I
~ · d~s = −
E
Z
(0.10)
(0.11)
Die erste Maxwellgleichung (0.4 und 0.8) entspricht dem Gauß’schen Gesetz für das elektrische Feld und
besagt, dass die Ladungsdichte ρ die Quelle der elektrischen Flussdichte ist, resp. der elektrische Fluss
durch die geschlossene Oberfläche A eines Volumens V gegeben ist durch die eingeschlossene Ladung
Qinnen .
Die zweite Gleichung (0.5 und 0.9) entspricht dem Gauß’schen Gesetz für magnetische Felder: Die ma~ ist Quellenfrei, d.h. es gibt keine magnetischen Monopole, bzw. der magnetische
gnetische Flussdichte B
Fluss durch eine geschlossene Oberfläche A von V ist gleich Null.
Die dritte Gleichung (0.6 und 0.10) entspricht dem Faraday’schen Induktionsgesetz. Die zeitliche Ände~ erzeugt Wirbel des elektrischen Feldes E,
~ resp. das Integral von
rung der magnetischen Flussdichte B
~
E über den geschlossenen Rand ∂A einer Fläche A (d.h. die induzierte Spannung Uind ) ist gleich der
negativen Änderung des magnetischen Flusses durch A.
Die vierte Gleichung (0.7 und 0.11) entspricht dem Ampère’schen Gesetz erweitert mit dem (Maxwell’schen) Verschiebungsstrom und wird auch Durchflutungsgesetz genannt. Die Wirbel der magneti~ werden durch die elektrische Stromdichte ~j und die zeitliche Änderung der elektrischen
schen Feldstärke H
~
~ über den geschlossenen Rand ∂A einer Fläche A ist
Flussdichte D erzeugt, resp. das Umlaufintegral von H
gegeben durch die Summe des elektrischen Stromes und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses
durch A. Die Änderung des elektrischen Flusses durch eine Fläche wird auch als Verschiebungsstrom Iv
bezeichnet.
Die Materialgleichungen (0.12 und 0.13) beschreiben die Zusammenhänge zwischen elektrischer Flussdich~ elektrischer Feldstärke E
~ und elektrischer Polarisation P~ , resp. magnetischer Flussdichte B,
~ magnete D,
~
~
tischer Feldstärke H und Magnetisierung M . Die Ausdrücke hinter den letzten Gleichheitszeichen gelten
nur für lineare, zeitlich und räumlich homogene Materialien.
~ = ε0 E
~ + P~ = ε0 εr E
~
D
~ = µ0 · (H
~ +M
~ ) = µ0 µr H
~
B
2
(0.12)
(0.13)
Abbildung 1 illustriert die Maxwell-Gleichungen im Vakuum.
~ und B-Felder
~
~ = ε0 E
~ und H
~ =
Abbildung 1: Die Grafik illustriert die Entstehung der Eim Vakuum, also für D
~ 0 . Oben links: Eine Ladung q (Punkt in der Mitte) ist die Quelle (oder auch Senke) des elektrischen Feldes
B/µ
~ Oben rechts: Bewegte Ladung (elektrischer Strom) erzeugt ein B-Feld.
~
E.
Unten links: Eine zeitliche Änderung
~
~
~
des B-Feldes erzeugt Wirbel im elektrischen Feld E. Unten rechts: Eine zeitliche Änderung des E-Feldes
erzeugt
~
Wirbel im magnetischen Feld B. Die Grafik wurde entnommen aus: Demtröder, Experimentalphysik 2, 2013.
3. Betrachte einen Elektromagneten bestehend aus einer Ringspule in den drei Konfigurationen ohne und
mit Eisenkern, und mit einem Eisenkern mit Spalt d. Vergleiche die magnetische Induktion B der drei
Konfigurationen. Wie verändert sich B ohne Eisenkern und mit Eisenkern mit Spalt?
Antwort:
Ohne Eisenkern kann die magnetische Feldstärke über das Integral durch einen geschlossenen Weg in der
3
Mitte der Ringspule berechnet werden.
I
~ · d~s = 2πr · H0 = N · I,
H
(0.14)
wobei r der mittlere Radius der Ringspule ist, N die Anzahl Windungen und I der Strom. Es gilt also
N ·I
und
2πr
µ0 · N · I
B0 =
.
2πr
H0 =
(0.15)
(0.16)
Mit Eisenkern ohne Spalt gilt:
I
~ · d~s = 2πr · HF e = N · I,
H
(0.17)
und somit:
N ·I
und
2πr
µr µ0 · N · I
=
.
2πr
HF e =
BF e
(0.18)
(0.19)
Mit Spalt ist das Linienintegral gegeben durch
I
~ · d~s = (2πr − d) · HF e + d · HSpalt = N · I.
H
(0.20)
~ beim Grenzübergang stetig sein, d.h. BSpalt = BF e und somit
Zudem muss die Normalkomponente von B
HSpalt = µr · HF e . Es gilt also im Spalt
µr · N · I
und
2πr + d(µr − 1)
µ0 µr · N · I
.
= BF e =
2πr + d(µr − 1)
HSpalt = µr · HF e =
BSpalt
(0.21)
(0.22)
Ist µr genügend gross, so dass d · (µr − 1) 2πr so gilt näherungsweise:
BSpalt ≈
Das Feld ist somit um den Faktor
2πr
d
µ0 · N
· I.
d
(0.23)
verstärkt im Vergleich zum Feld B0 =
µ0 ·N
2πr
· I ganz ohne Eisenkern.
4. Wie berechnet sich die Selbstinduktion (Induktivität) einer langen Spule mit N -Windungen?
Antwort:
Das B-Feld im Innern der Spule mit Länge l und Strom I ist
B = µr µ0 ·
N
I.
l
(0.24)
Der magnetische Fluss Φmag ist dann
2
Z
Φmag = N ·
~ · dA
~ = N · B · A = µr µ0 N IA
B
l
A
(0.25)
und die Selbstinduktivität L der Spule
L=
Φmag
N2
= µr µ0
A.
I
l
4
(0.26)
5. Wie funktionieren Wirbelstrombremsen und wo werden solche eingesetzt?
Antwort:
Werden ausgedehnte leitende Körper in einem Magnetfeld bewegt, so dass sich der magnetische Fluss
durch den Körper ändert oder sind sie ruhend wechselnden Magnetfeldern ausgesetzt, so werden in dem
Körper durch induzierte Spannungen Ströme induziert. Diese Kreisströme werden, wegen ihrer Induktionsstromlinien die wie Wirbel in sich geschlossen sind, auch Wirbelströme genannt. Nach der Lenz’schen
Regel führen die Wirbelströme ihrerseits zu einem Magnetfeld, welches dem äusseren Feld entgegenwirkt.
Die kinetische Energie des Körpers wird dabei wegen dem Leiterwiderstand nach dem Joule’schen Gesetz
in thermische Energie umgewandelt und der Körper wird wegen der Energieerhaltung abgebremst (falls
er in Bewegung war).
Die Bremswirkung ist proportional zur Geschwindigkeit (wie die Reibung fester Körper in Flüssigkeiten).
Wirbelstrombremsen eignen sich also nicht, um einen Körper zum absoluten Stillstand zu bringen. Die
Bremswirkung hängt auch stark von der räumlichen Verteilung des leitenden Materials ab. So können sich
zum Beispiel in einer Metallplatte mit vielen Schlitzen (oder Rissen) im Vergleich zu einer Vollplatte nur
schwache Wirbelströme ausbilden, womit die Bremswirkung stark vermindert wird.
Wirbelstrombremsen werden zum Beispiel in Zügen eingesetzt. Hierbei befindet sich der Magnet im Zug
und die Wirbelströme werden in den Schienen induziert. Auch in Fitnessgeräten, Messgeräten (Dämpfung
des Zeigers), Achterbahnen und vielen weiteren Bereichen werden Wirbelstrombremsen eingesetzt.
6. Eine Spule sei über einen mechanischen Schalter an eine Batterie (Gleichstrom = DC-Strom) angeschlossen. Wohin fliesst die gespeicherte Energie der Spule wenn der Schalter geöffnet wird? Was kann man
dagegen tun? Weshalb gibt es dieses Problem nicht bei einem geladenen Kondensator?
Antwort:
Beim Öffnen des Schalters gibt es eine abrupte Stromänderung, wobei durch die Selbstinduktion eine grosse Spannung über der Spule induziert wird. Die induzierte Spannung ist proportional zur Stromänderung
Vind (t) = −L · dI
dt . Dies führt in der Realität meist zu einem elektrischen Durchschlag über den Schalter.
Der Lichtbogen wird dabei solange aufrechterhalten, bis die gesamte, im Magnetfeld der Spule gespeicherte
Energie in Wärme umgewandelt wurde. Dabei wird der Schalter meist zerstört oder die Schaltkontakte
nehmen Schaden.
Abbildung 2: Skizze der Spule, welche über einen Schalter an einer Gleichstromquelle angeschlossen ist und der
Diode als Schutzschaltung.
Dies kann verhindert werden, indem als Schutzschaltung parallel zur Spule eine Diode geschaltet wird.
Solange der Schalter geschlossen ist, fliesst ein konstanter Strom I durch die Spule. Wird der Schalter
geöffnet, hält die Selbstinduktion im ersten Moment den Strom I, der jetzt durch die Diode fliessen kann,
aufrecht. Die Energie wird durch den Spulen- und Diodenwiderstand in Wärme umgewandelt, womit der
5
Strom abnimmt. Da die Diode während dem normalen Betrieb (Schalter zu) in Sperrrichtung eingebaut
ist, wird keine zusätzliche Leistung verbraucht.
Bei dem geladenen Kondensator gibt es dieses Problem nicht, da nach dem Öffnen des Schalters kein
Strom mehr fliesst, dafür bleibt die Potentialdifferenz über dem Kondensator erhalten. Die Energie ist
weiterhin im elektrischen Feld gespeichert.
Aufgaben
1 Induktionsgesetz [3P]
Eine leitende kreisförmige Schleife, die aus einem Draht mit Durchmesser d, elektrischer Leitfähigkeit σ, und
Massendichte ρ hergestellt ist, fällt aus grosser Höhe h (in z-Richtung) mit v(t = 0) = 0 in einem Magnetfeld mit
z-Komponente Bz = B0 ·(1+κz), wobei κ eine Konstante ist. Die Schleife mit Gesamtdurchmesser D soll während
des Falls parallel zur x − y Ebene ausgerichtet sein. Finden Sie unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes
die Endgeschwindigkeit der Schleife.
Lösung
Es seien: Spulenlänge l = Dπ, Spulenfläche AS =
Spule m = ρlAQS = 41 Dd2 ρπ 2 .
D2 π
4 ,
Spulenquerschnittsfläche AQS =
2
Vind
R
und Masse der
= d4D
2 σ des Drahtes
2
R
R Vind
erzeugt. Im Widerstand wird also die Energie Eel = P dt =
R dt in
In der Spule wird eine Spannung Vind induziert, die dann über dem Widerstand R =
abfällt und dort die Leistung P =
Wärme umgewandelt.
d2 π
4
1 l
σ AQS
Die induzierte Spannung Vind ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses Φ durch die
Spule. Dies führt zu der geleisteten elektrischen Energie:
Z
Φ=
~ · dA
~
B
(1.1)
A
→ Φz = Bz AS = B0 AS + B0 AS κz
d
Vind = − Φz = B0 AS κ ż = k ż
| {z }
dt
k
Z
2
Vind
Eel =
dt
R
Z
Z 2
k 2
k2
Eel =
ż dt =
ż 2 dt.
R
R
(1.2)
Ekin + Epot + Eel = konst.
(1.6)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Es gilt Energieerhaltung:
Somit folgt aus der zeitlichen Änderung der Grössen die folgende Differentialgleichung:
6
d
Etotal = 0
dt
d
d
d
Ekin + Epot + Eel = 0
dt
dt
dt 2 Z
d 1
d
d
k
ż 2 dt = 0
( mż 2 ) + (mgz) +
dt 2
dt
dt R
k2
mż z̈ + mg ż + ż 2 = 0
R
k2
⇒ z̈ +
ż = −g.
Rm
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Wir nehmen an, dass die Spule aus der Ruhe fällt, also ż(0) = v(0) = 0 ist. Die Lösung der DGL hat die folgende
Form, wobei nur die stationäre Geschwindigkeit vend gefragt ist:
k2
k2
−mgR 1 − e− mR t + C0 e− mR t
v(t) =
(1.12)
2
| {z }
k
=0 da v(0)=0
vend =
−16ρg
−mgR
=
.
k2
σD2 B02 κ2
(1.13)
2 Verschiebungsstrom [3P]
(a) [2P] Zeigen Sie, dass das vom Verschiebungsstrom in einem (Platten-)Kondensator hervorgerufene Magnetfeld im Aussenraum des Kondensators das gleiche ist, wie das um die Zuleitung herum durch den
Ladestrom I erzeugte Magnetfeld.
(b) [1P] Zeigen Sie für den Fall von kreisrunden Kondensatorplatten, dass das Magnetfeld zwischen den
Platten linear mit dem Abstand vom Zentrum zunimmt, also B ∝ r.
Lösung
Wir benutzen das Durchflutungsgesetz zur Lösung der Aufgabe:
I
∂A
~ · d~s =
H
Z
~+
~j · dA
A
Z
A
~
∂D
~ = I + Iv .
· dA
∂t
(2.1)
(a) Zuerst betrachten wir das Magnetfeld um die Zuleitung. Für das Linienintegral auf der linken Seite der
Gleichung (2.1) wählen wir einen Kreis im Abstand r um die Zuleitung. Auf der rechten Seite erhalten
wir für das Integral über die elektrische Stromdichte ~j den Zuleitungsstrom I. Der zweite Term fällt weg,
~
da die Änderung der elektrischen Flussdichte ∂∂tD Null ist.
2πr
= I und somit
µ0
µ0 I
Bzu (r) =
.
2πr
Bzu (r) ·
(2.2)
(2.3)
Um das Magnetfeld im Aussenraum des Plattenkondensators zu berechnen, betrachten wir die elektrische
Flussdichte innerhalb des Kondensators.
D = ε0 E = ε0
V
Q
Q
= ε0
=
.
d
d·C
A0
7
(2.4)
Dabei ist Q die Ladung des Kondensators und A0 dessen Plattenfläche. Die Änderung der Ladung über
dem Kondensator ist genau durch den Zuleitungsstrom gegeben.
I = Q̇ = A0 · Ḋ.
(2.5)
Wir q
benutzen nun wieder das Durchflutungsgesetz und betrachten das Integral über einen Kreis mit Radius
r>
A0
π ,
also im Aussenraum des Kondensators. Für den ersten Term der rechten Seite von Gleichung
2.1 erhalten wir Null, da kein Leitungsstrom vorhanden ist. Für den zweiten Term benutzen wir Ḋ =
und machen die Annahme, dass Ḋ = konst. innerhalb des Kondensators und Ḋ = 0 ausserhalb.
Bc (r) ·
2πr
=
µ0
I
A0
Z
ḊdA = Ḋ · A0 = I, also
(2.6)
µ0 I
= Bzu (r).
2πr
(2.7)
A
Bc (r) =
Das Magnetfeld welches durch den Verschiebungsstrom im Aussenraum des Kondensators hervorgerufen
wird, ist also gleich wie das Magnetfeld des Zuleitungsstromes.
(b) Wir berechnen das Integral über einen Kreis mit Radius r <
Bi (r) ·
2πr
=
µ0
Z
0
2π
Z
q
A0
π
innerhalb des Kondensators.
r
Ḋ · rdφdr = Ḋ · πr2 = I ·
0
πr2
.
A0
(2.8)
Also ist das Magnetfeld innerhalb des Kondensators gegeben durch
Bi (r) =
µ0 Ir
∝ r.
2A0
(2.9)
3 Elektromagnet [3P]
Ein Elektromagnet (L + RM ) wird gemäss der angegebenen Schaltung an eine
Gleichstromversorgung von V0 = 100 V angeschlossen. Die Widerstandswerte
betragen R1 = 100 Ω, R2 = 4 Ω und RM = 2 Ω. Die Magnetspule hat eine
Selbstinduktivität von L = 6 H.
R2
RM
R1
(a) [1P] Einige Zeit nach dem Einschalten fliesst ein konstanter Strom I2
durch den Magneten. Wie gross ist I2 ?
(b) [2P] Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes durch die Magnetspule und die Spannung am Schaltkontakt kurz nach dem Ausschalten und stellen Sie den Strom als Funktion der Zeit dar. Wie gross ist die
Zeitkonstante der Funktion?
V0
L
Lösung
Nach der Knotenregel teilt sich der Strom an den Knotenpunkten auf. I1 sei der Strom, der durch den Widerstand
R1 fliesst, I2 fliesse durch R2 , RM und L. Gemäss der Kirchhoff’schen Maschenregel können folgende Gleichungen
aufgestellt werden, wobei alle beteiligten Spannungsquellen ein positives und alle Spannungsabfälle ein negatives
8
Vorzeichen bekommen:
l
X
Vj = V0 − V2 − VM + Vind = V0 − I2 R2 − I2 RM − L ·
j=1
I1 R1 − I2 R2 − I2 RM
d
I2 = 0
dt
(3.1)
V0 − I1 R1 = 0
dd
I2 = 0
−L·
dt
Die Spule zählt als Spannungsquelle. Sie induziert eine Spannung Vind = −L ·
(3.2)
(3.3)
d
dt I.
(a) Einige Zeit nach dem Einschaltvorgang hat sich der Strom durch die Schaltung stabilisiert, wodurch sich
d
die obigen Gleichungen vereinfachen, da dt
I2 = 0 gilt. Wir können also den Strom durch den Magneten
bestimmen mit
V0
I2 =
≈ 16, 7A.
(3.4)
R2 + RM
(b) Ausschalten bedeutet, dass der Schaltungszweig, in dem sich die Gleichspannungsquelle befindet, komplett
abgetrennt wird. Die übrigbleibende geschlossene Schleife wird, bis auf das Vorzeichen von I1 R1 welches
negativ wird, durch Gleichung (3.3) beschrieben. Allerdings gilt nun I2 (t) = I1 (t) = ISpule (t), da in dieser
Schleife überall der gleiche Strom fliessen muss (es gibt keine Knoten mehr). Beim Ausschalten wird an der
Spule, aufgrund der zunächst starken Stromabnahme, eine Spannung induziert und zwar so, dass sie dem
abnehmenden Strom entgegenwirkt und diesen für eine gewisse Zeit aufrecht erhält (Lenz’sche Regel). Die
sich aus Gleichung (3.3) ergebende Differentialgleichung 1. Ordnung für das Verhalten des Stromes lautet:
L·
d
ISpule = −ISpule (R1 + R2 + RM ) = 0
dt
(3.5)
˜ − τt löst diese Gleichung und liefert mit der Anfangsbedingung zum Zeitpunkt
Der Ansatz ISpule (t) = Ie
des Ausschaltens ISpule (0) = I2 :
ISpule (t) = I2 · e−
R1 +R2 +RM
L
·t
Abbildung 3 zeigt dieses Verhalten. Der Strom fällt hier mit einer Zeitkonstanten τ =
ab.
(3.6)
L
R1 +R2 +RM
Abbildung 3: Der Spulenstrom ISpule (t) aufgetragen als Funktion der Zeit t.
9
= 0.057 s
Unmittelbar nach dem Ausschalten wird die gesamte rechte Schleife, inklusive des Widerstandes R1 , durch
den Strom ISpule durchflossen. Die Spannungsquelle erzeugt weiterhin eine Spannung von 100 V. Über
R1 liegt nun die Spannung ISpule (0) · R1 ≈ 1, 67 kV an, jedoch in umgekehrter Richtung zur Spannungsquelle. Dies führt zu einem Potentialunterschied von ≈ 1, 77 kV über dem offenen Schaltkontakt. Das
Öffnen des Schaltkontakts (z.B. das Ziehen des Netzsteckers) eines Stromkreises mit Spule kann deshalb
zu Funkenüberschlag führen.
4 Energiebilanz [3P]
R
C1
Gegeben sei ein Schaltkreis bestehend aus zwei Kondensatoren mit gleicher Kapazität C1 = C2 = C und einem
ohmschen Widerstand R.
S
C2
Zur Zeit t = 0 hat C1 die Ladung Q1 (t = 0) = Q0
und C2 die Ladung Q2 (t = 0) = 0.
Der Schalter S wird geschlossen.
(a) [1P] Berechnen Sie die gesamte elektrostatische Energie zur Zeit t = 0 und t = ∞.
(b) [1P] Berechnen Sie den Strom I als Funktion der Zeit t und stellen Sie das Resultat qualitativ grafisch
dar.
R∞
(c) [1P] Berechnen Sie die gesamte im Widerstand produzierte Wärme W = R 0 I 2 dt. Stimmt die Energiebilanz (vergleiche mit Punkt a)?
Lösung
(a) Zur Zeit t = 0 ist nur im ersten Kondensator elektrostatische Energie gespeichert und zwar ist
Eel (0) =
1 Q20
1
C1 · V12 =
.
2
2 C
(4.1)
Zur Zeit t = ∞ ist in beiden Kondensatoren je die Ladung Q20 gespeichert (Ladungserhaltung!) und die
Q0
. Die gesamte elektrostatische Energie ist somit
Spannungen über den Kondensatoren sind V1 = V2 = 2C
noch
Eel (∞) =
1
1
1 Q20
1 Q20
1 Q20
C1 · V12 + C2 · V22 =
+
=
.
2
2
2 4C
2 4C
4 C
(4.2)
Die elektrostatische Energie ist also am Ende nur noch halb so gross wie zu Beginn, d.h. irgendwo muss
Energie verloren bzw. umgewandelt worden sein.
(b) Der Strom ist gleich der Ladungsänderung beim ersten Kondensator Q̇1 (t) und ist gegeben durch die
Spannungsdifferenz V2 (t) − V1 (t) über dem Widerstand R zwischen den zwei Kondensatoren:
I=
V2 (t) − V1 (t)
Q2 (t) − Q1 (t)
=
= Q̇1 (t).
R
C ·R
(4.3)
Zudem gilt für die Ladung beim zweiten Kondensator
Q2 (t) = Q0 − Q1 (t).
10
(4.4)
Wir erhalten somit eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung für Q1 (t)
Q̇1 (t) =
Q0 − 2 · Q1 (t)
Q0
2
=
−
· Q1 (t).
C ·R
C ·R C ·R
(4.5)
t
Diese können wir mit dem Ansatz Q1 (t) = K1 · e− τ + K2 und der Anfangs- und Endbedingung für Q1 ,
wobei die Zeitkonstante in der Exponentialfunktion aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung
folgt, lösen.
Q0
Q0
⇒ K2 =
, und damit
2
2
Q0
!
Q1 (0) = Q0 ⇒ K1 =
.
2
!
Q1 (∞) =
(4.6)
(4.7)
Wir erhalten also für die Ladung Q1 (t)
Q1 (t) =
Q0 − 2 ·t Q0
· e CR +
2
2
(4.8)
und für den Strom I(t)
I(t) = Q̇1 (t) = −
2
Q0
· e− CR ·t .
CR
(4.9)
Abbildung 4 zeigt den qualitativen Verlauf des Stroms.
Abbildung 4: Qualitativer Verlauf des Stromes. Die x-Achse beschreibt die Zeit t, die y-Achse den Strom I(t).
(c) Im Widerstand wird die folgende Wärme produziert
Z ∞
Z ∞
4
Q2 −CR − 4 ·t ∞
Q2
Q20
2
W =R
I dt = 2
e− CR ·t dt = 20
e CR = 0 .
C R 0
C R 4
4C
0
0
(4.10)
Die Energiebilanz geht also auf:
Eel (0) = Eel (∞) + W.
(4.11)
23. Mai 2017
11