Titel für

Praktikum
Materialwissenschaft II
V2: Wärmeleitfähigkeit
Lukas S
Marius S
Andreas E
Lukas R
Gruppe 2 |Versuch vom 16.04.2009 | Protokollabgabe Nr. 3
Betreut durch: Daniel Franzbach, Fachgebiet NAW
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis..................................................................................................................................i
1. Einleitung..........................................................................................................................................1
2. Grundlagen.......................................................................................................................................1
2.1. Die Mechanismen der Wärmeübertragung......................................................................................1
2.2. Wärmeleitfähigkeit.........................................................................................................................1
2.3. Wärmeleitung in Festkörpern.........................................................................................................2
2.4. Das Wiedemann -Franz-Gesetz ....................................................................................................2
2.5. Einflussfaktoren auf die Wärmeleitfähigkeit von Werkstoffen........................................................3
2.6. Messung der Wärmeleitfähigkeit....................................................................................................4
2.6.1. Stationäre Methode.....................................................................................................................4
2.6.2. Instationäre Methode..................................................................................................................4
3. Durchführung....................................................................................................................................4
3.1. Stationäre Messungen....................................................................................................................4
3.2. Wärmeleitung im Holz...................................................................................................................5
3.3. Wärmeleitung in Glas.....................................................................................................................6
3.4. Vorversuch.....................................................................................................................................6
4. Auswertung.......................................................................................................................................6
4.1. Herleitung der zu berechnenden Größen........................................................................................6
4.1.1. Berechnung der Wärmeleitfähigkeit...........................................................................................6
4.1.2. Bilden von Ableitungen zur Fehlerbetrachtung............................................................................6
4.1.3. Fehlerfortpflanzung nach Gauß..................................................................................................7
4.2. Auswertung des Vorversuchs..........................................................................................................7
4.3. Wärmeleitung in Holz...................................................................................................................8
5. Diskussion.........................................................................................................................................8
6. Anhang............................................................................................................................................10
1. Einleitung
Im Verlauf des Praktikums wurde die Wärmeleitfähigkeit verschiedener Werkstoffe untersucht. Mit
den Messergebnissen der stationären Messung wurde durch Berechnung die Wärmeleitfähigkeit der
Proben bestimmt. Zielsetzung ist das Verständnis des Einflusses von Materialeigenschaften (z.B.
Gefüge, Porosität, Geometrie) auf die Wärmeleitfähigkeit.
2. Grundlagen
2.1. Die Mechanismen der Wärmeübertragung
Wärme wird über Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung übertragen. Entscheidend für diesen
Versuch ist die Wärmeleitung. Die Konvektion ist die Wärmeübertragung durch ein fluides
Trägermedium (Gase, Flüssigkeiten). Sie beschreibt den Transport von Wärmeenergie, die an die
Strömung eines Mediums gebunden ist. Der Mechanismus der Strahlung hat nur bei höheren
Temperaturen und bei Werkstoffen, die durchlässig für Infrarotstrahlung sind, einen messbaren
Einfluss. Die Wärmestrahlung ist an keinen (materiellen) Träger gebunden. Hierbei emittiert oder
absorbiert der Körper Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung.
2.2. Wärmeleitfähigkeit
Die Wärmeleitfähigkeit (Wärmeleitzahl) λ beschreibt die Wärmeleitung von Materialien.
Sie beschreibt das Vermögen eines Körpers thermische Energie mittels Wärmeleitung in Form von
Wärme zu transportieren. Die (spezifische) Wärmeleitfähigkeit eines Körpers in
temperaturabhängige Materialkonstante. Sie ist definiert gemäß Gleichung 1:
dQ
dt
=
dT
A⋅
dx
Gleichung 1: Wärmeleitfähigkeit
dQ
dT
= Wärmestrom;
= Temperaturgradient; A = Fläche
dt
dx
Die folgende Tabelle enthält die Wärmeleitfähigkeit einiger Werkstoffe.
W
ist eine
 K⋅m
Tabelle 1: Wärmeleitfähigkeiten
λ [W/mK]
Material
Cu
398
Al2O3
20 - 38
Al
230
Ti
21,3
Ti-Leg
6,4
Glas
0.92
Holz
0.2
Luft bei 0°C
0.023
Wärmeleitpaste 4 - 10
2.3. Wärmeleitung in Festkörpern
In Metallen können sich die Valenzelektronen zwischen den Atomrümpfen des Metalls frei bewegen.
Es liegt eine „Elektronenwolke“, um die positiv geladenen Atomkerne. Dieses Vorstellung entspricht
dem vereinfachten Elektronengasmodell von Drude.
Durch die freie Bewegung der Valenzelektronen zwischen den Atomrümpfen, kommt es zu Kollisionen,
welche die Wärmeleitfähigkeit verschlechtern. In Metallen wird die Wärmeleitung hauptsächlich durch
die Leitungselektronen geleistet.
Im
Allgemeinen
wird
die
Wärmeleitfähigkeit
eines
Materials
von
seiner
chemischen
Zusammensetzung, der Bindungsart und dem Gefüge beeinflusst.
Für Proben mit einer Spiegelebene senkrecht zur Wärmestromrichtung gilt die Beziehung:
dT TU − TO
=
dx
2l
Gleichung 2: Temperaturgradient
TU = Temperatur Unterseite; TO= Temperatur Oberseite; 2l = Probenlänge
2.4. Das Wiedemann -Franz-Gesetz
In einem reinen Elektronenleiter gilt das Wiedemann-Franz-Gesetz, welches besagt, dass das Verhältnis
von Wärme- und elektrischer Leitfähigkeit proportional zur Temperatur ist.
λ 3 ⋅ kB 2
=
⋅T
σ
e2
Gleichung 3: Wiedemann-Franz-Gesetz
Es gilt, das:
3 ⋅ kB 2
= const. = 2, 23 ⋅ 10− 8 ≡ Lorenzzahl .
2
e
Somit ist ersichtlich, dass das Verhältnis von Wärme- und elektrischer Leitfähigkeit nur von der
Temperatur abhängig ist.
Es gibt jedoch auch Festkörper, die keine frei beweglichen Valenzelektronen besitzen, aber dennoch
eine gute Wärmeleitfähigkeit aufweisen. Bei diesen Materialien tritt eine andere Art der Wärmeleitung
auf, sie ist auf die Gitterschwingungen (Phononen) zurückzuführen. Diese tritt auch bei
Elektronenleitern auf, besitzt jedoch dabei eine untergeordnete Rolle.
2.5. Einflussfaktoren auf die Wärmeleitfähigkeit von Werkstoffen
Wärme beschreibt die Energie, die in den Schwingungen von Atomen gespeichert ist.
Mit steigender Temperatur nehmen die Gitterschwingungen im Festkörper (z.B. Metalle) zu.
Bei
Temperaturen knapp über dem absoluten Nullpunkt trägt die zunehmende Gitterschwingung noch
positiv zur Wärmeleitfähigkeit bei. Ab einer bestimmten Temperatur jedoch wird sie so stark, dass
immer mehr Elektronen daran streuen, was zu einer verminderten Wärmeleitfähigkeit führt. Diese
Temperatur liegt meist unter 0 °C und ist vom Material abhängig. Gitterschwingungen behindern also
die Wärmeübertragung über die Elektronen, da die mittlere freie Weglänge der Elektronen abnimmt.
Auch
Defekte
in
der
Festkörperstruktur,
wie
zum
Beispiel
Leerstellen,
Fremdatome,
Fremdatomgruppierungen und Versetzungen führen dazu, dass die Phononen und Elektronen gestreut
werden und daher ihre mittlere freie Weglänge abnimmt wodurch die Wärmeleitfähigkeit vermindert
wird. Durch diese Defekte wird auch die Periodizität im Aufbau der Probe aufgehoben.
Bei Legierungen bzw. Mischkristallen beeinflusst hauptsächlich die unterschiedliche Größe und Masse
der Atome die Wärmeleitung. Größere und schwerere Atome zum Beispiel sorgen für eine höhere
Wahrscheinlichkeit einer Streuung und somit zu einer schlechteren Wärmeleitung.
Das Gefüge des Werkstoffes hat ebenfalls einen großen Einfluss auf die Wärmeleitfähigkeit. In porösen
Werkstoffen gibt es Hohlräume (Poren), die nicht von Elektronen und Phononen überbrückt werden
können. Dadurch nimmt deren Beweglichkeit und damit auch die Wärmeleitfähigkeit des Werkstoffes
ab. Ein ähnliches Verhalten der Elektronen und Phononen tritt auch bei Rissen auf.
Korngrenzen im Gefüge sorgen für eine Störung des Wärmeflusses, da Phononen an diesen Stellen
gestreut werden. Feinkörnige Gefüge streuen Phononen und Elektronen somit stärker als grobkörnige
und sorgen somit für eine schlechtere Wärmeleitfähigkeit.
Bei einem lamellenartigen Gefüge breitet sich die Wärme parallel zu den Fasern aus. Die Lamellen
heben die Periodizität des Gefüges auf. Der Aufbau des Festkörpers ist nicht mehr in alle
Raumrichtungen identisch, wodurch sich die Wärme anisotrop ausbreitet. Beim Wärmeübergang an
Grenzflächen bilden sich einzelne Wärmebrücken, was dazu führt, dass die Wärme schlechter
übertragen werden kann. Dies ist auf Luftpolster, Flüssigkeiten oder Hohlräume (je nachdem in
welchem Medium unser Werkstoff sich befindet) innerhalb des Werkstoffs zurückzuführen.
2.6. Messung der Wärmeleitfähigkeit
Es werden stationäre und instationäre Methoden unterschieden.
2.6.1. Stationäre Methode
Bei der stationären Meßmethode wird die Probe an einer Stelle kontinuierlich erhitzt und an einer
anderen gekühlt. Dadurch entsteht ein kontinuierlicher Wärmefluss, der dafür sorgt, dass die Probe an
verschiedenen Stellen, unterschiedlich warm wird. Dadurch ist ein Zusammenhang zwischen der
Temperaturdifferenz
und
dem
Abstand
zu
einer
der
beiden
Seiten
festgestellt
werden.
2.6.2. Instationäre Methode
Bei der instationären Meßmethode hingegen wird eine Stelle der Probe kurzzeitig erhitzt und
anschließend die Ausbreitung der Wärme und somit die Temperaturdifferenz in Abhängigkeit von der
Zeit gemessen bzw. beobachtet. Eine Messung bei diesem Verfahren ist problematisch, da der
Wärmestrom im Gegensatz zur stationären Messung nicht kontinuierlich fließt.
3. Durchführung
3.1. Stationäre Messungen
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Zu Beginn des Versuchs wurde jede einzelne Probe mit einer Schieblehre vermessen. Der Durchmesser,
wie auch die Höhe wurden im Messprotokoll festgehalten.
In die Messapparatur (Abbildung 1.) wurden die Proben zum messen der Wärmeleitfähigkeit in einem
isolierenden Zylinder aus Kork eingebracht, der je nach Probenlänge variiert. Bei allen Proben, bis auf
der „langen“ Kupferprobe und dem porösen Aluminiumoxid wurde der Korkzylinder verwendet. Dabei
war darauf zu achten, dass die Probenoberseite und die Probenunterseite dünn mit einer
Wärmeleitpaste benetzt wurden, die poröse Aluminiumoxidprobe durfte nicht benetzt werden. Nach
dem Aufbringen der Wärmeleitpaste wurde die Probe in die Messapparatur eingesetzt und
verschraubt. Die eingebaute Feder sorgte dafür, dass die Probe und die beiden Kontaktstellen der
Messapparatur den richtigen Andruck haben.
Die Kontaktstellen bestehen aus zwei Kupferplatten. An der Oberseite wurde die Platte mit fließendem
Wasser ( Temperatur ca. 19,5 °C ) gekühlt, die Unterseite wurde über einen Widerstand (120 Ω)
erhitzt. Die Messapparatur stellt so eine stationäre Messmethode der Wärmeleitfähigkeit dar.
Zur Bestimmung der Temperatur der Probe an der Ober- und Unterseite wurde ein Thermoelement mit
zwei Thermofühlern verwendet. Auf der Probenunterseite befand sich ein Widerstand an dem eine
Spannung abfiel. Da die Spannung in Zusammenhang mit der Probentemperatur steht, konnte durch
ein Thermoelement die Temperatur der Probe gemessen werden. Das Spannungsmessgerät ist parallel
zur Spannungsquelle geschaltet, um die anliegende Spannung am Widerstand zu messen.
Jede einzelne Probe wurde so in die Messapparatur eingebaut um ihre Wärmeleitfähigkeit zu
bestimmen.
Bei den Kupfer-, Titan- und Titan-Legierungs-Proben wurde eine konstante Temperaturdifferenz von 5
K eingestellt. Die Spannung am Widerstand musste dementsprechend geregelt werden. Lediglich bei
der Aluminiumoxidprobe und der porösen Aluminiumoxidprobe wurde eine Temperaturdifferenz von
15 K eingestellt.
Sobald die Proben eine konstante Temperatur an ihrer Ober- und ihrer Unterseite angenommen
hatten, wurden diese am Thermoelement abgelesen und protokolliert.
Außerdem wurde die am Widerstand anliegende Spannung gemessen und abgelesen.
3.2. Wärmeleitung im Holz
Abbildung 2: Wärmeleitung in Holz
Im Nebenversuch wurde eine thermochrome Folie auf ein Stück Holz aufgebracht. Ein aufgeheizter
Metallzylinder ( ca. 80°C ) wurde auf die Folie gestellt. Es ist eine ovale blaue Verfärbung, also
Temperaturerhöhung zu erkennen.
3.3. Wärmeleitung in Glas
Dieser Nebenversuch wir analog zu dem Versuch mit Holz durchgeführt. Hierbei wurde eine Glasprobe
untersucht, die sich ebenfalls auf einer thermochromen Folie befindet. Es war festzustellen, dass die
Folie sich anders verfärbte als es beim Holz der Fall war. Bei der Glasprobe war eine runde (und nicht
ovale, wie beim Holz), blaue Verfärbung erkennbar.
3.4. Vorversuch
Im Vorversuch wurden Proben nach ihrer Wärmeleitfähigkeit geordnet. Gegeben waren Proben aus
Aluminium, Aluminiumnitrid, Edelstahl, Glas und Aluminiumoxid. Anhand der Materialeigenschaften,
die Einfluss auf die Wärmeleitfähigkeit haben, konnte entschieden werden, welche der Materialien gut
bzw. schlecht Wärme leiten.
4. Auswertung
Die Messwerte sind in Tabelle 1 im Anhang zu finden. Die zugehörigen Rechenergebnisse finden sich
in Tabelle 2, ebenfalls im Anhang.
4.1. Herleitung der zu berechnenden Größen
4.1.1. Berechnung der Wärmeleitfähigkeit
dQ
U2
dQ
dT
dt
P
U⋅I
R
=⋅A⋅ ⇔=
=
=
=
2
2
2
dt
dx
dT
d T u−T o 
d T u−T o 
d T u−T o
A⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
dx
2
l
2
l
2
l



4.1.2. Bilden von Ableitungen zur Fehlerbetrachtung
d
8⋅l⋅U
=
dU ⋅d 2⋅R⋅T u−T o 
d
4⋅l⋅U 2
=
dr ⋅d 2⋅R 2⋅T o −T u 
d
8⋅l⋅U 2
=
dd ⋅d 3⋅R⋅T o−T u 
d
4⋅l⋅U 2
=−
dT u
⋅d 2⋅R⋅T o−T u2
d
4⋅l⋅U 2
=
dT o ⋅d 2⋅R⋅T o−T u 2
d
4⋅U 2
=
dl ⋅d 2⋅R⋅T u−T o
4.1.3. Fehlerfortpflanzung nach Gauß
Einsetzten der jeweiligen Ableitungen ergibt:
 =

2


2

2

2

2

8⋅l⋅U
4⋅l⋅U 2
8⋅l⋅U 2
4⋅l⋅U 2
4⋅l⋅U 2
4⋅U 2
⋅ U   
 R  
 d   −
 T u   
 T o  
 l 
⋅d ⋅R⋅T u −T o 
⋅d 2⋅R2⋅T o −T u 
⋅d 3⋅R⋅T o−T u 
⋅d 2⋅R⋅T o−T u  2
⋅d 2⋅R⋅T o−T u  2
⋅d 2⋅R⋅T u −T o 
2
es gilt für den jeweiligen Fehler:
2

 U =0,01 V
 R=0,25
 d =0,05 mm
 T u=0,05 K
 T o=0,05 K
 l=0,05 mm
Unser Durchschnittlicher Fehler liegt unterhalb von 4%. Mögliche Fehlerquellen liegen, neben den
Unsicherheiten der Messgeräte auch in Temperaturschwankungen der Kühlwassers und eventuell
schlechter Verbindung zwischen Werkstück und Kontaktstellen.
4.2. Auswertung des Vorversuchs
Glas weist schlechte Wärmeleitfähigkeiten auf, da es amorph und nicht kristallin ist. Amorphe Körper
weisen aufgrund des Fehlens einer Nah- oder Fernordnung schlechte Wärmeleitfähigkeiten auf.
Aluminiumoxid ist eine Keramik, die aufgrund ihres polykristallinen Aufbaus über keine guten
Wärmeleitfähigkeiten verfügt. Edelstahl ist eine Legierung, was bedeutet, dass Fremdatome im Gefüge
eingelagert sind. Auch dies verschlechtert die Wärmeleitfähigkeit. Aluminium ist ein reines Metall,
weshalb es über gute Leitfähigkeiten verfügt. Aluminiumnitrid ist eine Keramik mit einer extrem guten
Wärmeleitfähigkeit (anders als das Aluminiumoxid). Dies ist darauf zurückzuführen, dass
Aluminiumnitrid in der kubisch dichtesten Packung kristallisiert. Durch die geringen Abstände
zwischen den Atomen in dieser Struktur, kann das Material Wärme gut leiten.
Somit war die endgültige Anordnung nach steigender Wärmeleitfähigkeit: Glas, Aluminiumoxid,
Edelstahl, Aluminium, Aluminiumnitrid.
4.3. Wärmeleitung in Holz
Auf dem Holz lässt sich die anisotropie der Wärmeleitfähigkeit gut erkennen. Das auf der
thermochromen Folie platzierte Holzstück bewirkt eine elliptische und keine kreisförmige Veränderung
der Farbe der Folie um die Holzprobe herum.
Im Gegensatz zu den amorphen Körpern breitet sich beim Holz die Wärme nicht gleichmäßig in alle
Raumrichtungen aus.
Das Gefüge hat hierbei einen großen Einfluss. Es hat eine lamellenartige Struktur im Gefüge
vorhanden zu sein, die die Ursache dafür ist, dass sich die Wärme in einer Richtung schneller
ausbreitet als in die andere Richtung.
Die Wärmeleitung ist bei allen Werkstoffen mit ausgerichteten eingelagerten Fasern anisotrop. Die
Wärmeleitfähigkeit ist hierbei entlang den Lamellen deutlich höher.
Die Wärmeleitung ist bei allen Werkstoffen mit ausgerichteten eingelagerten Fasern anisotrop. Die
Wärmeleitfähigkeit ist hierbei entlang den Lamellen deutlich höher.
5. Diskussion
Der errechnete Wert für die Probe B erscheint sinnvoller. Zum einen liegt er näher an dem
Literaturwert (398 W/m•K), andererseits sind Metalle meist die besseren elektrischen Leiter und somit
auch gleichzeitig die besseren Wärmeleiter. Kupfer ist ein deutlich besserer elektrischer Leiter als
Aluminium, sodass die höhere gemessene Wärmeleitfähigkeit plausibel ist.
Zur Durchführung bleibt zu sagen, dass das weglassen der Isolation kaum Einfluss auf die
Messergebnisse hat. Das Weglassen der Isolation führt dazu, dass es zu Wärmeaustausch durch
Konvektion kommen kann. Jedoch war der Unterschied zwischen Probentemperatur und
Raumtemperatur minimal, sodass die Wärmeleitung über die Luft keinen messbaren Einfluss auf das
Messergebnis hatte.
Wärmeleitpaste wurde benutzt um die Kontaktfläche zu erhöhen. Sie besitzt selbst keine hohe
Wärmeleitfähigkeit. Deshalb wird sie immer sehr sparsam aufgetragen, um die Kontaktfläche zu
optimieren ohne, dass das Messergebnis durch die Wärmeleitpaste verfälscht wird.
Aus der Messung geht hervor, dass die Wärmeleitfähigkeit von Titan deutlich höher ist als die einer
Titanlegierung. Dies ist darauf zurückzuführen, dass eine Legierung Fremdatome enthält, die die
Fähigkeit Wärme zu leiten drastisch absenken.
Bei der Probe F wurde im Gegensatz zu den Proben A-E auf die Wärmeleitpaste verzichtet. Der Grund
dafür ist, dass die Paste in die Poren eindringen würde und somit die Messwerte vollkommen
verfälscht worden wären.
Bei der Betrachtung der Tabelle 1 aus dem Skript fällt auf, dass das Wiedemann-Franz-Gesetz nicht
zwangsläufig zutreffen muss. Nach dem Gesetz ist das Verhältnis von Wärmeleitfähigkeit und
elektrischer Leitfähigkeit eines Festkörper proportional zur Temperatur. Jedoch gilt dieses Gesetz nur
für Metalle. Für das Aluminiumoxid ist es somit nicht erfüllt. Aluminiumoxid ist ein elektrischer
Isolator, leitet jedoch Wärme besser als z.B. Titan.
Bei Metallen erfolgt die Wärmeleitung über die Leitungselektronen. Die Phononen spielen hierbei eine
untergeordnete Rolle. Dies ist bei Halbleitern und Nichtleitern anders. Hier erfolgt die Wärmeleitung
hauptsächlich über Phononen, was dazu führt, dass das Wiedemann-Franz-Gesetz nicht gilt.
Aus den in den Grundlagen genannten Materialeigenschaften lässt sich leicht schließen, welche
Eigenschaften ein Isolatorwerkstoff aufweisen sollte.
Das Material sollte Verunreinigungen enthalten (z.B. Legierungen, oder dotierte Halbleiter).
Unterscheiden sich die Atommassen der unterschiedlichen Elemente stark wird die Wärmeleitfähigkeit
stark abgesenkt. Aufgrund der unterschiedlichen Atomradien kommt es vermehrt zur Streuung von
Phononen bzw. Elektronen. Ein feinkörniges Gefüge verbessert die isolierenden Fähigkeiten weiter.
Wie auch aus den Messwerten des Versuchs zu erkennen ist, spielt auch Porosität eine wichtige Rolle.
In den Poren befindet sich Luft, die die Wärmeleitfähigkeit des Materials drastisch verschlechtert. Eine
Stoffklasse die alle Kriterien erfüllt ist schwer zu finden. Jedoch bietet sich als Isolatoren ein Großteil
der Keramiken (z.B. Al2O3), Gläser (Glas ist amorph, weshalb es ein schlechter Wärmeleiter ist) oder
Legierungen mit einem hohen Anteil an Fremdatomen.
6. Anhang
Nummer
Werkstoff
Termperatur in °C
Spannung
Widerstand
Oben
Unten
in Volt
in Ohm
(Wärmestrom)
Leistung in W Durchmesser
in m
Länge
in m
A
Kupfer-Lang
19,72
24,22
7,2
120
0,43
0,0041
0,0199
B
Kupfer-Breit
19,34
24,31
4,66
120
0,18
0,0025
0,0420
C
Titan
19,29
24,26
4,1
120
0,14
0,0041
0,0200
D
Titan Legierung
19,2
24,25
3,05
120
0,08
0,0061
0,0122
E
Aluminiumoxid
19,46
34,39
6,3
120
0,33
0,0040
0,0200
F
Aluminiumoxid porös
nicht gemessen
Gerät defekt !!!
-
Nummer
Fläche
Wärmeleitfähigkeit
in m²
In W/m▪K
absoluter Fehler
relativer Fehler
A
0,000013
144,7
14,2
9,8%
Abweichung
Vom Literaturwert
63,64%
B
0,000005
311,5
13,3
4,3%
21,72%
C
0,000013
42,7
1,2
2,8%
100,46%
D
0,000029
6,4
0,2
3,1%
0,13%
E
0,000013
35,3
0,9
2,6%
-
F
-
-
-
-
-