Wärmeleitung

Wärmeleitfähigkeit
Die Wärmeleitfähigkeit, auch (der) Wärmeleitkoeffizient genannt, ist eine Stoffeigenschaft, mit der
unter anderem der Wärmestrom durch das Material aufgrund der Wärmeleitung berechnet werden
kann. Die Wärmeleitfähigkeit ist also eine Kennzahl, wie gut sich ein Material zur Wärmeleitung
eignet bzw. wie gut es wärmedämmt.
Die Wärmestromdichte ist direkt proportional zum Temperaturgradienten und der
Proportionalitätsfaktor ist die Wärmeleitfähigkeit (Formelzeichen meist λ).
Die Wärmeleitfähigkeit ist temperaturabhängig und hat die SI-Einheit Watt mal Meter pro
Quadratmeter und Kelvin oder nach dem Kürzen der Einheiten Watt pro Meter und Kelvin. Ihr
Kehrwert ist der spezifische Wärmewiderstand.
Praktisch gesehen ist die Wärmeleitfähigkeit die Wärmemenge (Wärmeenergie; in Wattsekunden,
Ws), die in 1 s durch eine 1 m dicke Stoffschicht der Fläche 1 m² fliesst, wenn der
Temperaturunterschied 1 K ist.
Formel
In der eindimensionalen Differenzenschreibweise gilt:
P=λ⋅A
ΔT
l
mit:
P:
A:
l:
λ:
ΔT:
Wärmestrom
vom Wärmestrom durchflossene Querschnittsfläche
Dicke der Schicht
spezifische Wärmeleitfähigkeit
Temperaturdifferenz zwischen den Randflächen der Schicht mit der Dicke l
Rechenbeispiel:
Quader mit Querschnitt A und Länge l
Über die Länge l eines Quaders mit der Querschnittsfläche A bestehe eine Temperaturdifferenz ΔT.
Durch die Seitenflächen fliesse keine Wärme (sie seien isoliert), das Material sei isotrop (z.B.
ΔT
Kupfer) und der Zustand stationär. Der Temperaturgradient beträgt dann überall
und die
l
ΔT
Dichte des von heiss nach kalt gerichteten Wärmestromes λ
. Über den Querschnitt A fliesst
l
ΔT
also der Wärmestrom P=λ⋅A⋅
l
Mit den Werten A = 1,5 mm² = 1,5 · 10−6 m², l= 3 cm = 0,03 m, ΔT = 200 K und λ = 350 W/(m·K)
−6 2
W
Δ T 1.5⋅10 m ⋅350 m⋅K⋅200 K
ergibt sich ein Wärmestrom von P=λ⋅A
=
=3.5W
l
0.03 m
Wärmewiderstand
Der (absolute) Wärmewiderstand (auch Wärmeleitwiderstand, thermischer Widerstand) Rth ist ein
Wärmekennwert und ein Mass für die Temperaturdifferenz, die in einem Objekt beim
Hindurchtreten eines Wärmestromes (Wärme pro Zeiteinheit oder Wärmeleistung) entsteht. Der
Kehrwert des Wärmewiderstands ist der Wärmeleitwert des Bauteils. Das Hantieren mit Widerstand
statt mit Leitwert ist praktischer in Situationen, in denen Widerstände in Reihe auftreten, wie
Wärmeübergang auf einen Kühlkörper/Wärmeleitung im Kühlkörper / Wärmeübergang an die Luft.
Definition
Für einen homogenen Körper mit über die Längel l konstanter Querschnittsfläche A lässt sich Rth
l
über die Wärmeleitfähigkeit λ des Materials berechnen: Rth =
λ⋅A
ΔT ΔT
P=λ⋅A
=
Es gilt dann:
Die Einheit des Wärmewiderstands ist K/W.
l
Rth
Aufgabe 1
Wie gross ist der Wärmestrom PQ durch ein 1 m2 grosses Fenster mit einfacher, 4 mm dicker
Verglasung (Wärmeleitfähigkeit λ = 1 W/(mK)), wenn die Temperatur an der Innenseite 20°C und
an der Aussenseite 5 °C beträgt?
Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt
Lösung:
Der Wärmestrom PQ durch das einfach verglaste Fenster kann direkt mit Hilfe der WärmeleitungsFormel berechnet werden. Mit A = 1 m2 , λ = 1 W/(mK), l = 4 mm und ΔT = 20°C – 5° C = 15 K
folgt: PQ = 3750 W
Der Wärmestrom ist mit 3750 W sehr hoch. Man würde eine ebenso hohe Heizleistung benötigen,
um den Wärmeverlust zu kompensieren, andernfalls würde die Temperatur im Zimmer absinken.
Aufgabe 2
Wie gross ist der Wärmestrom PQ durch ein A = 2 m2 grosses Fenster mit doppelter Verglasung
(Dicke der Scheiben je 4 mm, Wärmeleitfähigkeit λ = 1 W/(mK)), zwischen denen ein 1 cm breiter
Luftspalt mit einer Wärmeleitfähigkeit von λ = 0.025 W/(mK) liegt? Die Temperatur an der
Innenseite beträgt wiederum 20°C und an der Aussenseite 5° C .
Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt
Lösung:
Bei einem Wärmestrom durch ein doppelt verglastes Fenster sind die einzelnen Wärmewiderstände
in Reihe geschaltet; es addieren sich somit die einzelnen Wärmewiderstände. Alle Widerstände
haben die gleiche Querschnittsfläche A1 = A2 = A3 = 2 m2, zudem sind die Schichtdicken l1 = l3 = 4
mm sowie die Wärmeleitfähigkeiten λ = λ1 = λ2 = 1 W/(mK) der beiden Glassscheiben identisch.
Mit der Schichtdicke l2 = 1 cm des Luftspalts und dessen Wärmeleitfähigkeitλ2 = 0.025 W/(mK)
folgt für den Gesamtwiderstand:
Für den Wärmewiderstand gelten die gleichen Formeln wie für den elektrischen Widerstand.
( )
R ges=R1 + R2 + R 3=2 R1 + R2 =2⋅
(
R ges=2⋅
)
l1
l
+ 2
λ 1⋅A1 λ 2⋅A2
0.004
0.01
K
+
=0.204
1⋅2
0.025⋅2
W
Für den Wärmestrom gilt damit:
P Q=
ΔT
15
=
=73.5 W
R ges 0.204
Obwohl das Fenster eine doppelt so grosse Fläche A hat wie das einfach verglaste Fenster im letzten
Beispiel, ist der Wärmestrom in diesem Fall erheblich geringer. Aus diesem Grund werden
inzwischen fast nur noch doppelt (oder sogar dreifach) verglaste Fenster in Häuser eingebaut.
Aufgabe 3
Welche Wärmemenge geht täglich durch eine 24 m2 grosse beidersets verputzten Ziegelwand von
43 cm Dicke, wenn dei Wandtemperaturen inne 20°C bzw. aussen -5°C betragen.
λ = 2.5 kJ/(mhK) = 0.7 W/(mK)
Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt
ΔT
W
P=λ⋅A
=0.7
⋅24 m 2 25 K=¿ 0.43 m=976,7441860=977W
Lösung:
l
m⋅K
W =P⋅t=977 W⋅86400 s=84 390 697.67=84.4 MJ
W =P⋅t=977 W⋅24 h=23440.8 Wh=23.4 kWh
Aufgabe 4
Wie dick muss eine Holzwand [λ1 = 1.05 kJ/(mhK) = 0.3 W/(mK)] sein, wenn sie je m2 nicht mehr
Wärme ableiten soll, als eine gleich grosse 38 cm dicke Ziegelwand [λ2 = 1.7 kJ/(mhK) = 0.47 W/
(mK)]?
l1
l
λ
0.3
Lösung:
= 2 ⇒ l 1=l 2⋅ 1 =38 cm⋅
=24.255319148=24 cm
λ
λ1⋅A1 λ 2⋅A2
0.47
2
Aufgabe 5
Ein massiver Kupferstab von 1.8 cm2 Querschnitt wird am oberen Ende geheizt und auf der
konstanten Temperatur 600 K gehalten. Das untere Ende taucht in schmelzendes Eis. Die freie
Stablänge zwischen Heizung und Eis beträgt 10 cm.
Wie viel Energie fliesst in dieser Anordnung in 15 Minuten durch den Stab hindurch?
Lösung:
0°C = 273 K
Hochreines Kupfer: λ == 400 W/(mK)
P=λ⋅A
(600 K−273 K )
ΔT
W
=400
⋅1.8⋅10−4⋅
=235.44=235 W
l
m⋅K
0.1 m
Aufgabe 6
Eine Hauswand besteht innen aus einer Isolierplatte von 6 cm Dicke mit der Wärmeleitfähigkeit
λ1 = 0.071 W/(m·K), aussen aus der 12 cm dicken, tragenden Betonwand mit λ2 = 1.17 W/(m·K).
a) Welche Temperatur herrscht an der Berührungsfläche der Isolier- und der Betonplatte, wenn die
Oberflächentemperatur der Innenwand + 18 °C, diejenige der Aussenwand - 12 °C ist?
b) Welche Energie geht in jeder Sekunde durch 1 m2 dieser Wand nach aussen?
c) Welche Dicke müsste eine äquivalente Wand aus Ziegelmauerwerk mit λ2 = 0.70 W/(m·K) bei
denselben Oberflächentemperaturen besitzen?
Lösung:
( )
R ges=R1 + R2 =2 R1 + R2 =
(
R ges=
)(
l1
l
+ 2
λ 1⋅A1 λ 2⋅A2
)
0.06
0.12
K
K
+
=(0,8450+ 0,1026 ) =0.9476
0.071⋅1
1.17⋅1
W
W
b)
a)
P Q=
ΔT
30
=
=31.7 W
R ges 0.9476
Elektrizitätslehre Serie:
0.1026
30⋅
=3,248 ° C
0.9476
also
– 8.75 °C
Dampfsperre wegen dem Taupunkt.
c)
R=
l2
⇒l =R⋅λ 2=0.9471⋅0.70=0.66297=0.66 m
λ 2⋅A2 2
Aufgabe 7
Wie viel Wärmeenergie geht stündlich durch ein Fenster von 1,80 x 1,20 m2 bei Einzelverglasung
mit 4 mm dickem Glas verloren, wenn die Innentemperatur des Raumes 20°C und die
Aussentemperatur -10°C beträgt? Der Wärmeleitungskoeffizient von Glas beträgt: 0,84 J s-1m-1K-1.
J 1 1
1 1
W
0.84 J⋅s−1⋅m−1⋅K −1 =0.84 ⋅ ⋅ =W⋅ ⋅ =
Hinweise:
s m K
m K m⋅K
Hinweis: Wärmeübergangskoeffizient nicht berücksichtigt
2
1,80 m x 1,20 m=2.16 m
Lösung:
P=λ⋅A
Δ T 2.16⋅0.84⋅30
=
=13608 W =13.6 kW
l
0.004
Wärmeübergangskoeffizient
Der Wärmeübergangskoeffizient α oder γ (engl. h für heat transfer coefficient), auch
Wärmeübergangszahl oder Wärmeübertragungskoeffizient genannt, ist ein Proportionalitätsfaktor,
der die Intensität des Wärmeübergangs an einer Grenzfläche bestimmt. Der
Wärmeübergangskoeffizient in W/(m²·K) ist eine spezifische Kennzahl einer Konfiguration von
Materialien bzw. von einem Material zu einer Umgebung in Form eines Fluids.
Einzelne Disziplinen, darunter die Bauphysik, nutzen europaweit seit Juli 1999aufgrund
international angepasster Normen statt α oder γ das englische Formelzeichen h. Diesem Umstand
wird in den entsprechenden Abschnitten Rechnung getragen.
Formel für den Wärmestrom:
P=γ⋅A⋅(T 1 – T 2)
Aufgabe 8
Welche Wärmeleistung muss ein nackter Mensch aufbringen, der sich in einem Raum von 20°C
befindet, um den Konvektionswärmeverlust auszugleichen? Die Oberfläche des Menschen sei ca.
1,5 m2, der Wärmeübergangskoeffizient γ= 6 Wm-2K-1.
Lösung:
Beim Mensch beträgt die Oberflächentemperatur ungefähr 33 °C
P=γ⋅A⋅( T 1 – T 2)=6 mW2⋅K⋅1.5 m2⋅(33° C−20 ° C )=117 W