Vektorräume, Determinanten, lineare Abbildungen, Eigenwerte und

Förderkurs Grundlagen des Bauingenieurwesens 2016/2017
6. Aufgabenblatt:
Eigenvektoren
1
Vektorräume, Determinanten, lineare Abbildungen, Eigenwerte und
1. Zeigen Sie, dass die Menge Pn aller Polynome n-ten Grades über R mit der üblichen Addition und
Multiplikation mit einem Skalar ein R-Vektorraum ist.
2. Begründen Sie, welche der folgenden Mengen U1 , ..., U6 Unterräume des R-Vektorraums R2 sind und
welche nicht:
a) U1 := {(x, y) ∈ R2 : x = 0, y ∈ Z}
b) U2 := {(x, y) ∈ R2 : x − 374y = 0}
c) U3 := {(x, y) ∈ R2 : ∃λ ∈ R : x = 2λ, y = 43 λ}
d) U4 := {(x, y) ∈ R2 : y > −3}
e) U5 := {(x, y) ∈ R2 : x3 + y 3 = 0}
f) U6 := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 +
1
2
> 0}
3. Berechnen Sie die folgenden Determinanten
−1 5 a) 2 7
1 λ
1 b) 2 0 3 −1 0 −1 1−a
0
0 c) 2
−a
5 0
0 3−a
1
0
d) 1
−1
0
1
1
2
1 0 0 2 1 2 1 −1 1
4 −2 e) 0 −2 7 0
0 3
1
2
f) 3
4
a
0
g) 0
0
0
2
3
4
0
0
3
4
0 0 0 4
0
b
0
0
0
0
c
0
0 0 0 d
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2
4. Sind diese beiden Gleichungssyteme eindeutig lösbar? Wenn ja, geben Sie die Lösung an.
x1
+ x3
=
x2
+ 2x4 =
b)
x1 + x2 + x3 + 2x4 =
−x1 + 2x2 + x3 − x4 =
x1 + λx2 + x3 = 1
a) 2x1
+ 3x3 = 5
−x1
− x3 = −2
1
1
1
1
5. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität und geben Sie gegebenenfalls deren Abbildungsmatrix bezüglich der natürlichen Basis an:
a) f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (2x − z, 4y).
b) f : R2 → R2 , f (x, y) = xy.
c) f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (x + 1, y + z).
d) f : R3 → R, f (x) = kxk.
6. Gegeben ist die lineare Abbildung f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (2x1 − x!
Sie die
2 , x1 + 3x2 ). Bestimmen
!
1
2
Abbildungsmatrix von f in der Basis, die durch die Vektoren ~b1 =
und ~b2 =
gegeben ist.
2
1
7. Gegeben seien die Matrizen


−1 3 −3



A =  −3 5 −3 
−6 6 −4
und


B=


0 −3 1 2
−2 1 −1 2
−2 1 −1 2
−2 −3 1 4



.


a) Berechnen Sie die Eigenwerte beider Matrizen.
Welche algebraische Vielfachheit liegt jeweils vor?
b) Berechnen Sie die Eigenvektoren beider Matrizen.
Wie lauten die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte?
c) Beschreiben Sie die Eigenunterräume geometrisch.
8. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen:


3 0 0


a)  0 −1 0 
0 0 2


1 1 1


b)  0 2 2 
0 0 3


−1 0 0


c)  1 2 0 
3 −2 1
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9.
3
a) Bestimmen Sie alle Zahlen λ ∈ C, für die das Gleichungssystem
1−λ
3
3
1−λ
!
~x = 0
keine eindeutige Lösung hat.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
M=
1
3
!
3
.
1
c) Berechnen Sie die Eigenvektoren der Matrix M .
d) Geben Sie eine zu M ähnliche Diagonalmatrix Λ und eine Matrix S an, so dass gilt: S −1 M S = Λ


 
 
3 0 4
2
0


 
 
10. Gegeben sei die symmetrische Matrix A :=  0 −5 0 . Man zeige, dass ~v1 :=  0  , ~v2 :=  1  und
4 0 −3
1
0


1


~v3 :=  0  Eigenvektoren der Matrix A sind und paarweise senkrecht aufeinander stehen.
−2
11. Sei A =
11
6
−18 −10
!
.
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren.
b) Sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal?
c) Führen Sie die Diagonalisierung aus.
d) Wie kann man An (n ∈ N) auf einfache Weise berechnen?
e) Berechnen Sie A5 und A2 − A − 2E.
!
a b
12. Sei A =
eine beliebige Matrix in R2×2 .
c d
a) Ermitteln Sie die Eigenwerte!
b) Wann hat die Matrix zwei verschiedene reelle Eigenwerte?
c) Wann hat die Matrix zwei voneinander verschiedene komplexe Eigenwerte mit nicht verschwindendem Imaginärteil?
d) Wann hat die Matrix einen doppelten reellen Eigenwert, zu dem zwei voneinander linear unabhängige Eigenvektoren gehören? Geben Sie in diesem Falle auch die Eigenvektoren an!
e) Wann hat die Matrix einen doppelten reellen Eigenwert, zu dem es nur einen linear unabhängigen
Eigenvektor gibt?