Stochastische Prozesse
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Sommersemester 2004
Übungsblatt 2
Institut für Stochastik und Anwendungen (ISA)
Prof. Dr. C. H. Hesse
Stochastische Prozesse
Aufgabe 1: Sei Xn eine homogene Markov Kette auf N0 mit Übergangswahrscheinlichkeiten (siehe Blatt 1, Aufgabe 3)
a) Pi, i+1 =
1
,
i+2
Pi,0 =
i+1
,
i+2
i = 0, 1, 2, . . .,
b) Pi, i+1 =
i+1
,
i+2
Pi,0 =
1
,
i+2
i = 0, 1, 2, . . .,
Stellen Sie fest, ob die Zustände im endlichen wiederkehrend sind und bestimmen Sie ggf.
die stationäre Verteilung.
Aufgabe 2:
a) Falls {Xn } ein Galton–Watson Verzweigungsprozess ist, zeigen Sie, daß
n
2 n−1 µ − 1
σ µ
für µ 6= 1
,
var(Xn |X0 = 1) =
µ−1
nσ 2
für µ = 1
wobei µ und σ 2 Erwartungswert und Varianz der Verteilung der Anzahl der Nachkommen bezeichnen.
b) Falls die Verteilung der Anzahl der Nachkommen Binomial (2, p), p > 21 und die
Verteilung von X0 Poisson (λ) ist, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die
Population ausstirbt.
Aufgabe 3: Betrachten Sie die folgende Modifikation des Galton–Watson Verzweigungsprozesses: Falls die n–te Generation aus Zn = k Teilchen besteht und Xn, 1 , . . . , Xn, k die
Zahl der Nachkommen bezeichnen (unabhängig, identisch verteilt mit Verteilungsfunktion
F (x)), dann bestehe die (n + 1)ste Generation aus Zn+1 = max{Xn, 1 , . . . , Xn, k } Teilchen.
a) Bestimmen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten der zugehörigen Markov Kette.
b) Für den Fall F (x) = 1 − 1/x für x = 1, 2, 3, . . . zeigen Sie, daß
−1
lim P (Zn+1 ≤ kx|Zn = k) = e−x , x > 0.
k→∞
