¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg WS 2010/2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. G. Christoph Dr. B. Leneke Übungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Blatt 5* - Abgabe bis Donnerstag, 11.11.2010, 14:00 Uhr (G 18 - 158) 24. (3 P) Ein Call-Center wurde mit der Durchführung einer Telefonumfrage unter Sportlern beauftragt, um herauszufinden, ob diese schon einmal bei einem Wettkampf gedopt waren. Da eine ehrliche Auskunft nicht erwartet werden kann, wird folgende Verfahrensweise angewendet, bei der Anonymität gewahrt bleibt: Der Sportler soll unauffällig eine Münze werfen. * Wenn Kopf“ eintritt, soll er auf die Frage Waren Sie jemals bei einem ” ” Wettkampf gedopt?“ mit JA oder NEIN antworten. * Wenn Zahl“ eintritt, soll er nochmals unauffällig die Münze werfen und ” auf die Frage Trat bei diesem zweiten Versuch Kopf“ ein? mit JA oder ” ” NEIN antworten. Im Ergebnis dieser Umfrage antworteten 33 % aller befragten Sportler mit JA. Bestimmen Sie den Anteil der Sportler, die schon einmal bei einem Wettkampf gedopt waren. 25. (3 + 3 P) Eine Münze wird dreimal geworfen. a) Es sei A das Ereignis, dass bei mindestens zwei Würfen Kopf“ auftritt, B ” das Ereignis, dass beim ersten Wurf Kopf“ auftritt und C das Ereignis, ” dass der zweite und der dritte Wurf der Münze dasselbe Ergebnis liefern. Sind A, B, C stochastisch unabhängig? b) Seien A und B die Ereignisse, dass im ersten bzw. zweiten Wurf Kopf“ ” auftritt und C das Ereignis, dass der erste und der zweite Wurf dasselbe Ergebnis liefern. Sind A, B, C stochastisch unabhängig? 1 26. (3 +2 + 2 P) Drei Reisende besteigen unabhängig voneinander einen leeren Zug mit drei nummerierten Wagen, wobei sich jeder Reisende rein zufällig für einen der drei Wagen entscheide. Die Zufallsvariable Xj beschreibe die Anzahl der Reisenden in Wagen Nr. j (j = 1, 2, 3). Modellieren Sie diese Situation durch einen geeigneten W-Raum und bestimmen Sie a) die gemeinsame Verteilung von X1 , X2 und X3 , b) die Verteilung von X1 , c) die Verteilung der Anzahl der leeren Wagen. 27. (1 + 4 P) Die Anzahl N der α - Teilchen, die eine radioaktive Probe innerhalb einer Stunde emittiert, folge einer Poissonverteilung mit Parameter λ, d.h. k P (N = k) = λ e−λ für k = 0, 1, ... k! Eine Messvorrichtung soll die Anzahl der emittierten Teilchen pro Stunde aufzeichnen, wobei angenommen wird, dass die Teilchen unabhängig voneinander detektiert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der ausgesendeten Teilchen detektiert wird, betrage p, (0 < p < 1). Sei X die Anzahl der detektierten Teilchen innerhalb einer Stunde. a) Welche Verteilung besitzt X, gegeben dass n α - Teilchen emittiert wurden? b) Bestimmen Sie die Verteilung von X. 28. (3 P) Eine exponential-λ-verteilte Zufallsgröße X beschreibt die Länge eines Telefongesprächs in Minuten. Das Telefongespräch werde im 60-Sekunden-Takt abgerechnet, d.h. jede angefangene Minute des Gesprächs zählt als (volle) Einheit. Ermitteln Sie die Verteilung der Einheitenanzahl Y eines Telefongesprächs. Sei λ = 0.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch mehr als drei Einheiten dauert? * Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/wtheorie ws1011.html 2
