Blatt 7

Institut für Stochastik und Anwendungen (ISA)
Prof. Dr. C. H. Hesse
Wintersemester 2005/06
Übungsblatt 7
Stochastische Prozesse
Aufgabe 1: {N (t) : t ≥ 0} sei ein Poisson Prozess mit Parameter λ. Gegeben N (t) = n
bestimmen Sie die Dichtefunktion des Zeitpunktes Wr , des Auftretens des r–ten Ereignisses
für r ≤ n.
Aufgabe 2: Fahrgäste treffen an einer Bushaltestelle gemäß einem Poisson Prozess N (t)
mit Parameter λ = 2 pro Zeiteinheit ein. Zur Zeit t = 0 ist der letzte Bus abgefahren ohne
jemanden zurückzulassen. Sei T die Ankunftszeit des nächsten Busses. Die Zufallsvariable
T sei unabhängig vom Poisson Prozess und habe folgende Dichte
(
1 für 1 ≤ t ≤ 2
fT (t) =
0 sonst .
a) Bestimmen Sie die bedingten Momente E(N (T )|T = t) und E (N (T ))2 T = t .
b) Bestimmen Sie Erwartungswert E(N (T )) und Varianz var(N (T )).
Aufgabe 3: Seien {Ni (t) : t ≥ 0} i = 1, 2, . . . , n unabhängige Poisson Prozesse mit
demselben Parameter λ.
Bestimmen Sie die Verteilung der Zeit T = inf{t ≥ 0 : Ni (t) ≥ 1 für alle i = 1, . . . , n} zu
der in allen Prozessen mindestens ein Ereignis stattgefunden hat.
Aufgabe 4: Ein radioaktives Material sendet gemäß einem Poisson Prozess mit Intensität
λ α–Teilchen aus. Jedes α–Teilchen existiert für eine zufällige Zeitspanne bevor es erlischt.
Yk bezeichne die Lebensdauer des k–ten Teilchens und Y1 , Y2 , . . . seien unabhängig mit
Verteilung G(y) = P (Yk ≤ y) für alle k. Sei M (t) die Zahl der zur Zeit t existierenden
α–Teilchen. Bestimmen Sie die Verteilung von M (t), falls M (0) = 0.