zu Aufgabe 6

N
Aufgabe 6 Sei (Ω, A, P) = ∞
j=1 {0, 1}, P({0, 1}), Pj mit Pj ({0}) = p und Pj ({1}) =
1−p, 0 < p < 1, j ∈ N, das stochastische Modell einer unendlichen Folge von unabhängigen
Würfen einer nicht notwendigerweise fairen Münze. Die Münze werde nun so oft geworfen,
bis das erste Mal Kopf (Kopf = 1) erscheint. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
folgenden Ereignisse:
a) A: die Münze wird mindestens k mal geworfen (k ∈ N);
b) B: die Münze wird eine gerade Anzahl oft geworfen.
Lösung: Sei X : Ω → N die Zufallsvariable, die die Anzahl der Würfe angibt, bis das erste
Mal Kopf erscheint. Dann gilt wegen der Unabhängigkeit
P(X = 1) = P1 ({1}) = 1 − p,
P(X = 2) = P1 ({0})P2 ({1}) = p(1 − p),
P(X = 3) = P1 ({0})P2 ({0})P3 ({1}) = p2 (1 − p),
..
.
P(X = k) = P1 ({0}) . . . Pk−1 ({0})Pk ({1}) = pk−1 (1 − p),
k ∈ N.
a) Mit obiger Feststellung erhalten wir also
P(A) = P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) = 1 −
k−1
X
pj−1 (1 − p)
j=1
= 1 − (1 − p)
k−2
X
pj = 1 − (1 − p)
j=0
k−1
=p
1 − pk−1
1−p
.
b) Ähnlich wie oben folgt hier
P(B) =
∞
X
P(X = 2k) =
k=1
= p(1 − p)
∞
X
p2k−1 (1 − p)
k=1
∞
X
j=0
p2j = p(1 − p)
1
1 − p2
p
=
.
1+p
Für eine faire Münze (p = 21 ) erhalten wir also P(B) = 13 , d.h. die Wahrscheinlichkeit
ungerade oft zu werfen ist hier doppelt so groß wie gerade oft zu werfen.
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