1. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2016
1. Übung zur Mathematik II für Biologen
(Abgabe in der ersten Übungsstunde)
Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http://www.mi.uni-koeln.de:8932
Gruppe B fällt am kommenden Montag, dem 18.04., leider aus. Die betroffenen
Studierenden geben Ihre Übung stattdessen bitte nach der nächsten Vorlesung,
am 20.04., ab und besuchen nächste Woche bitte ausnahmsweise eine der anderen
Übungsgruppen.
Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) Ein Würfel wird zweimal nach jeweils
gutem Schütteln geworfen. Geben Sie den zugehörigen Ereignisraum Ω an und
bestimmen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit die Augensumme 7 auftritt?
Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) Es werden vier faire (unterscheidbare)
Münzen geworfen.
(a) Bestimmen Sie den Ereignisraum Ω und die Anzahl der Elemente von Ω.
(b) Drücken Sie die folgenden
Ereignisse in Mengenschreibweise aus, d.h. in der
Form A = {ω ∈ Ω . . .}.
(i) A = Alle Münzen zeigen das Gleiche“.
”
(ii) B = Die erste Münze zeigt Kopf“.
”
(iii) C = Mindestens eine Münze zeigt Kopf“.
”
(iv) D = Die vierte Münze zeigt Zahl“.
”
(c) Drücken Sie die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise und in Worten
aus.
(i) A ∩ C.
(ii) Ω \ C.
(iii) A ∩ C ∩ D.
(iv) B ∪ D.
(v) A \ D.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Mengen in (c).
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) In einer Familie mit drei Kindern sei das
Auftreten der acht Fälle (J,J,J), (J,J,M), (J,M,J),. . . ,(M,M,M), wobei J für Junge
und M für Mädchen steht, gleichwahrscheinlich. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Familie mit drei Kindern
(a) höchstens ein Junge ist,
(b) wenigstens ein Junge ist,
(c) das älteste Kind ein Junge ist,
(d) mehr Jungen als Mädchen sind.
Aufgabe 4. (mündlich) Für ein Gruppenfoto sollen 2n Personen (paarweise)
unterschiedlicher Größe in zwei gleichlangen Reihen aufgestellt werden. Wie viele
mögliche Anordnungen gibt es, wenn die Person in der ersten Reihe jeweils kleiner
sein soll als die hinter ihr stehende Person in der zweiten Reihe?
Aufgabe 5. (mündlich) Erscheint in einem Zufallsexperiment ein Laplace-Modell
angemessen, so werden Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen des jeweils günstigen
und der insgesamt möglichen Ergebnisse bestimmt. Die Kombinatorik, d.h. die Lehre des Abzählens, liefert in diesem Zusammenhang
ein wichtiges Hilfsmittel, den Bi
nomialkoeffizient. Der Binomialkoeffizient nk ist für natürliche Zahlen n ≥ k ≥ 0
n!
und soll im Folgenden genauer untersucht werden.
definiert durch nk = k!·(n−k)!
Es sei daran erinnert, dass n! die Fakultät von n bezeichnet und gegeben ist durch
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 mit der Konvention 0! = 1.
(a) Erläutern Sie, warum nk die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer
n-elementigen Menge angibt. (b) Berechnen Sie die Ausdrücke 32 , 52 und 53 .
(c) Überlegen
Sie sich mithilfe des Aufgabenteils (a), warum ganz allgemein
n
n
=
k
n−k gilt.