`Stochastik` WiSe 2012/2013 und SoSe 2013

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 7 (Bayessche Formel)
In einer Urne befinden sich zwei Münzen A und B. Münze A ist symmetrisch, so dass Wappen mit der Wahrscheinlichkeit 12 fällt. Münze B ist so
asymmetrisch, dass die Wahrscheinlichkeit für Wappen 32 beträgt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei willkürlich gezogener
und geworfener Münze mit dem Ergebnis Wappen“ um Münze A handelt?
”
Konstruieren Sie das zugehörige wahrscheinlichkeitstheoretische Modell und
berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit.
Lösungsskizze
Es handelt sich um ein zweistufiges Experiment. Man wähle die Bezeichnungen A (bzw. B) für die Ereignisse Münze A (bzw. B) wird gezogen“ und
”
W (bzw. Z) für die Ereignisse die Münze zeigt Wappen (bzw. Zahl)“. Diese
”
bilden auf der jeweiligen Stufe des Experiments ein disjunkte Zerlegung des
jeweiligen Ereignisraums. Also erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit
mit der Formel von Bayes:
P (A|W ) =
=
P (A)P (W |A)
P (A)P (W |A) + P (B)P (W |B)
1
2
·
1 1
·
2 2
1
+ 21
2
·
2
3
=
1
4
1
4
+
1
3
=
3
(≈ 43%).
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