¨Ubung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS 2015

Übung zur Vorlesung Statistik I für
Biowissenschaften
WS 2015-2016
Übungsblatt 5
13. November 2015
Aufgabe 12 (4 Punkte:
A
In einer Studie werden n = 15 Patienten behandelt. Die Wahrscheinlichkeit für die Heilung eines Patienten sei p = 0.8. Berechnen Sie mit R
die Wahrscheinlichkeiten für höchstens und für mindestens k = 10 und
k = 12 Heilungen.
B
In einer anderen Studie werden n = 150 Patienten behandelt. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit für höchstens und für mindestens k = 100 und
k = 120 Heilungen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Heilung sei wieder
p = 0.8.
C
Zwei faire Würfel werden n = 150 mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man genau k = 30 mal einen Pasch wirft. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wirft man mindestens k = 30 mal einen Pasch?
D
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass sich unter den n Würfen
k = 0, 1, . . . , n mal ein Pasch befindet. Für welches k wird die Wahrscheinlichkeit maximal?
Hinweis: Die Elementarwahrscheinlichkeiten b(k, n, p) der Binomialverteilung werden in R mit der Funktion dbinom berechnet. Die kumulierte
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in der Funktion pbinom implementiert.
Weiter nützliche Funktionen: max und which.
Lösung:
A
>
>
>
>
k <- c(10,12)
n <- 15
# höchstens k Heilungen:
pbinom(k,n,0.8)
[1] 0.1642337 0.6019768
> # mindestens k Heilungen:
> 1 - pbinom(k-1,n,0.8)
[1] 0.9389486 0.6481621
B
>
>
>
>
k <- c(100,120)
n <- 150
# höchstens k Heilungen:
pbinom(k,n,0.8)
[1] 8.845197e-05 5.325434e-01
> # mindestens k Heilungen:
> 1 - pbinom(k-1,n,0.8)
[1] 0.9999577 0.5486532
C
1
.
Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Pasch zu werfen, beträgt 36
1
Daher ist die Wahrscheinlichkeit irgendeinen Pasch zu werfen p = 6 . Die
Wahrscheinlichkeit für genau k = 30 mal Pasch ist dann:
> dbinom(30,150,1/6)
[1] 0.0458725
Mindestens 30 mal Pasch erhält man mit der Wahrscheinlichkeit
> 1-pbinom(29,150,1/6)
[1] 0.1617218
D
Die Wahrscheinlichkeiten für k = 0, . . . , n mal Pasch erhält man in R am
einfachsten durch
> n <- 150
> WS <- dbinom(0:n,n,1/6)
> WS
[1]
[4]
[7]
[10]
[13]
[16]
[19]
[22]
[25]
[28]
[31]
[34]
[37]
[40]
[43]
[46]
[49]
[52]
[55]
[58]
[61]
[64]
[67]
[70]
[73]
[76]
[79]
[82]
[85]
[88]
[91]
[94]
[97]
[100]
[103]
[106]
[109]
[112]
[115]
[118]
[121]
[124]
[127]
1.326823e-12
5.851822e-09
1.214054e-06
5.634876e-05
9.370491e-04
7.060383e-03
2.775665e-02
6.255222e-02
8.641205e-02
7.692888e-02
4.587250e-02
1.888979e-02
5.505658e-03
1.158912e-03
1.791388e-04
2.061861e-05
1.787773e-06
1.179200e-07
5.965373e-09
2.330369e-10
7.069612e-12
1.673165e-13
3.100474e-15
4.510830e-17
5.162495e-19
4.652997e-21
3.303997e-23
1.847636e-25
8.127706e-28
2.807105e-30
7.590939e-33
1.601417e-35
2.623599e-38
3.319154e-41
3.220565e-44
2.377164e-47
1.321811e-50
5.472809e-54
1.663983e-57
3.653816e-61
5.678741e-65
6.094934e-69
4.381612e-73
3.980470e-11
4.301089e-08
4.994965e-06
1.589035e-04
1.989427e-03
1.191440e-02
3.856713e-02
7.335669e-02
8.710335e-02
6.758752e-02
3.551420e-02
1.300062e-02
3.392676e-03
6.431964e-04
8.998600e-05
9.412844e-06
7.442972e-07
4.490032e-08
2.082457e-09
7.473252e-11
2.086115e-12
4.548917e-14
7.774322e-16
1.043935e-17
1.103218e-19
9.183546e-22
6.022475e-24
3.109436e-26
1.262185e-28
4.019263e-31
1.001003e-33
1.942145e-36
2.921120e-39
3.385537e-42
3.001692e-45
2.018347e-48
1.018643e-51
3.811421e-55
1.041798e-58
2.043660e-62
2.815905e-66
2.654246e-70
1.656042e-74
5.930900e-10
2.511836e-07
1.785700e-05
4.044816e-04
3.893593e-03
1.878269e-02
5.052294e-02
8.164918e-02
8.375322e-02
5.686674e-02
2.641368e-02
8.617552e-03
2.017749e-03
3.451298e-04
4.376592e-05
4.165684e-06
3.006961e-07
1.660465e-08
7.065481e-10
2.330641e-11
5.989169e-13
1.203713e-14
1.897849e-16
2.352529e-18
2.295886e-20
1.765149e-22
1.068989e-24
5.094980e-27
1.907954e-29
5.599873e-32
1.283895e-34
2.289686e-37
3.159579e-40
3.352017e-43
2.713067e-46
1.659949e-49
7.593523e-53
2.563433e-56
6.286713e-60
1.099111e-63
1.338709e-67
1.104166e-71
5.951402e-76
[130] 2.029935e-77 6.558253e-79 2.002520e-80
[133] 5.764830e-82 1.560405e-83 3.959237e-85
[136] 9.384858e-87 2.070189e-88 4.231044e-90
[139] 7.971532e-92 1.376380e-93 2.162882e-95
[142] 3.067918e-97 3.888910e-99 4.351228e-101
[145] 4.230361e-103 3.500988e-105 2.397937e-107
[148] 1.305000e-109 5.290540e-112 1.420279e-114
[151] 1.893706e-117
Die maximale Wahrscheinlichkeit beträgt damit
> WSmax <- max(WS)
> WSmax
[1] 0.08710335
Die Position von WSmax im Vektor kann durch
> pos <- which(WS==WSmax)
> pos
[1] 26
ermittelt werden. Da der erste Eintrag im Vektor WS k=0 entspricht, wird
bei
> pos-1
[1] 25
mal Pasch die maximale Wahrscheinlichkeit erreicht.
Aufgabe 13 (6 Punkte):
A
Simulieren Sie ein Münzwurfexperiment mit n = 150 unabhängigen Würfen. Eine Seite der Münze sei mit 1, die andere mit 0 bezeichnet. Die
Wahrscheinlichkeit für 1 sei p = 0.53 (die Münze ist also nicht fair!).
Hinweis: Schreiben Sie das Ergebnis der Simulation in einen numerischen
Vektor der Länge 150. Benutzen Sie die Funktion rbinom. Initialisieren
Sie den Zufallszahlengenerator mit der Funktion set.seed.
B
Bestimmen Sie die absolute Häufigkeit k der Einsen in Ihrer Simulation.
C
Angenommen das gleiche Münzwurfexperiment wird nun mit einer fairen Münze wiederholt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
mindestens max{k, n − k} oder höchstens min{k, n − k} Einsen erzielt
werden. Könnte Ihr Ergebnis der Simulation auch durch Werfen einer
fairen Münze zustande gekommen sein?
D
Wiederholen Sie alle Schritte der vorangegangenen Teilaufgaben mit n =
2000 unabhängigen Wiederholungen. Würde man jetzt noch annehmen,
dass das Ergebnis durch das Werfen einer fairen Münze zustande gekommen sein könnte?
Lösung:
A
>
>
>
>
set.seed(12006)
n <- 150
Z <- rbinom(n, size=1,prob=0.53)
Z
[1]
[28]
[55]
[82]
[109]
[136]
B
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
> table(Z)
Z
0 1
70 80
oder
> k <- sum(Z)
> k
[1] 80
C
> pbinom(min(c(k,n-k)),size=n,prob=0.5) +
+ 1- pbinom(max(c(k,n-k))-1,size=n,prob=0.5)
[1] 0.4625495
Das Ergebnis der Simulation könnte durchaus auch durch das Werfen
einer fairen Münze zustande gekommen sein.
D
>
>
>
>
n <- 2000
Z2 <- rbinom(n, size=1,prob=0.53)
k <- sum(Z2)
k
[1] 1077
> pbinom(min(c(k,n-k)),size=n,prob=0.5) +
+ 1- pbinom(max(c(k,n-k))-1,size=n,prob=0.5)
[1] 0.0006199947
Es ist sehr unwahrscheinlich, dass ein Münzwurfexperiment mit einer
fairen Münze zu einem solchen Ergebnis führt.
Aufgabe 14 (4 Punkte): Eine faire Münze wird n = 15 mal geworfen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für k = 0, 1, . . . , 15 mal Kopf unter
der Bedingung, dass die Anzahl Kopf gerade ist. Stellen Sie diese bedingten
Wahrscheinlichkeiten zusammen mit den absoluten Wahrscheinlichkeiten in
einem Stabdiagramm dar.
Lösung: Ist k ungerade, dann gilt P(k mal Kopf) = 0. Sei G das Ereignis “die
Anzahl der Würfe ’Kopf’ ist gerade“. Ist k gerade, dann gilt
P(k mal Kopf) =
>
>
>
>
>
>
>
BW <- numeric(16) # Bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Gerade <- seq(0,15,2)
Ungerade <- seq(1,15,2)
BW[Ungerade+1] <- 0
BW[Gerade+1] <- dbinom(Gerade, 15,0.5)/sum(dbinom(Gerade, 15,0.5))
AW <- dbinom(0:15, 15,0.5)
BW
[1]
[5]
[9]
[13]
>
>
>
+
b(15, k, 0.5)
.
P(G)
6.103516e-05
8.331299e-02
3.927612e-01
2.777100e-02
0.000000e+00
0.000000e+00
0.000000e+00
0.000000e+00
6.408691e-03
3.054810e-01
1.832886e-01
9.155273e-04
0.000000e+00
0.000000e+00
0.000000e+00
0.000000e+00
plot(x=0:15,y=BW, col="red", type="h", xlab="Anzahl 'Kopf'", ylab="")
points(x=0:15+0.1,y=AW, col="blue", type="h")
legend("topright", lty=1, col=c("red", "blue"),
legend=c("Bedingte WS.", "Absolute WS."))
0.4
0.0
0.1
0.2
0.3
Bedingte WS.
Absolute WS.
0
5
10
15
Anzahl 'Kopf'
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 22.11.2015 direkt an
Ihre(n) Tutor(in):
[email protected] (Ivo Soares Parchao)
[email protected] (Ben Hillmer)