Blatt 3 - Mathematik - Universität Paderborn
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Universität Paderborn Institut f. Mathematik Grundlagen der Stochastik G. Berschneider SoSe 2013 Blatt 3 Hausaufgabe 1 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit/Formel von Bayes) Zeigen Sie Satz 2.3.4 und Korollar 2.3.5 in der folgenden Variante: Sei M ⊆ N nichtleer und (BnS )n∈M eine disjunkte Zerlegung von Ω, d. h. Bn sind paarweise unvereinbare Ereignisse mit n∈M Bn = Ω. Sei P(Bn ) > 0 für alle n ∈ M . (a) Dann gilt für ein Ereignis A P(A) = X P(A|Bn )P(Bn ). n∈M (b) Dann gilt für jedes Ereignis A mit P(A) > 0 P(Bk |A) = P P(A|Bk )P(Bk ) , n∈I P(A|Bn )P(Bn ) k ∈ M. [6 Punkte] Hausaufgabe 2 Wir suchen einen Brief, der mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0; 1) im Schreibtisch liegt. Dabei liegt der Brief mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem der acht Schubfächer des Schreibtisches. Wir haben bereits in sieben der Schubfächern vergeblich gesucht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Brief im achten Schubfach liegt. Geben Sie dazu einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an. [6 Punkte] Hausaufgabe 3 In einem Sack seien 1.000 Münzen enthalten, 999 faire und eine Münze, welche auf beiden Seiten Zahl zeigt. Es wird eine Münze aus dem Sack gezogen und zehnmal geworfen. Dabei zeigt die Münze stets Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, (a) dass es sich um die falsche Münze handelt? (b) dass auch im elften Wurf wieder Zahl erscheint? [8 Punkte] 1 Universität Paderborn Institut f. Mathematik Grundlagen der Stochastik G. Berschneider SoSe 2013 Präsenzaufgabe 1 Wir betrachten ein (fehleranfälliges) Übertragungssystem für digitale Signale (bestehend aus Nullen und Einsen). Bei der Übertragung werden im Schnitt 6% der gesendeten Nullen in Einsen und 4% der Einsen in Nullen umgewandelt. Im Mittel sind 60% der übertragenen Zeichen Nullen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine empfangene Null auch als Null gesendet wurde? Präsenzaufgabe 2 Bei der Produktion eines Gerätes wird ein wesentliches Bauteil von zwei verschiedenen Zulieferbetrieben angeboten. Dabei produziert Betrieb A das Bauteil mit einem Ausschussanteil von 2% und B mit 5% Ausschuss. Wie sollten die Lieferquoten vereinbart werden, damit mindestens 97% der Endgeräte ordnungsgemäß arbeiten? (Das Gerät funktioniert genau dann, wenn das Bauteil korrekt arbeitet.) Abgabe der Hausaufgaben im grünen Postkasten mit der Nr. 112 (D1-Flur) bis spätestens Montag, den 29.04.2013, 16 Uhr. 2
