Blatt 5 - Institut für Mathematik

Grundlagen der
Stochastik
Universität Paderborn
Institut f. Mathematik
G. Berschneider
SoSe 2013
Blatt 5
Hausaufgabe 1
Aus einer Urne mit N nummerierten Kugeln ziehen wir nacheinander n Kugeln. Wir betrachten die Zufallsvariable X, welche uns die kleinste gezogenen Nummer angibt. Geben
Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an und bestimmen Sie Bildbereich und Verteilung von X.
[4 Punkte]
Hausaufgabe 2 (Gedächtnislosigkeit)
Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N. Zeigen Sie:
(a) Ist X geometrisch verteilt mit Parameter p ∈ (0; 1), so gilt für alle n, k ∈ N
P(X ≥ n − 1 + k|X ≥ n) = P(X ≥ k).
(?)
(b) Gilt für alle n, k ∈ N die Beziehung (?), so ist X geometrisch verteilt.
Leiten Sie dazu zunächst aus (?) die Beziehung
P(X ≥ k) = P(X ≥ 2)k−1 ,
k ∈ N,
her.
[10 Punkte]
Hausaufgabe 3
Bei der Qualitätsprüfung von Bauteilen besteht ein einzelnes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0002 den Test nicht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass
(a) höchstens zwei von 5.000,
(b) genau eines von 1.000,
(c) keines von 100
Bauteilen den Test nicht bestehen exakt und approximativ.
1
[6 Punkte]
Universität Paderborn
Institut f. Mathematik
Grundlagen der
Stochastik
G. Berschneider
SoSe 2013
Präsenzaufgabe 1
Betrachten Sie Ω = {−1, 1}n mit der Laplace-Verteilung und sei
X0 = 0, Xk =
k
X
ωj ,
ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω, 1 ≤ k ≤ n.
j=1
(a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von k den Bildbereich sowie die Verteilung der Zufallsvariablen Xk ;
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt Xn = 0?
Präsenzaufgabe 2
Nehmen Sie an, für die kommende Ausspielung des Lottos 6 aus 49 wären 100 Mio. unabhängige Tippreihen abgegeben worden.
(a) Wie ist die Anzahl der Tippreihen mit 6 Richtigen verteilt? Wie ist sie approximativ
verteilt?
(b) Geben Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens 3 mal
6 Richtige auftreten werden.
Abgabe der Hausaufgaben im grünen Postkasten mit der Nr. 112
(D1-Flur) bis spätestens Montag, den 13.05.2013, 16 Uhr.
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