Elektrodynamik - Theoretische Physik - Christian

Theoretische Physik II:
Elektrodynamik
Michael Bonitz
Institut für Theoretische Physik und Astrophysik
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Vorlesungsskript (nicht zur Verbreitung)
Kiel, 2017
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Gegenstand der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundbegriffe und Grundgleichungen der ED
2.1 Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ladungen und Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Eigenschaften der Delta-Distribution . . . . . . . . .
2.1.3 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung . . . .
2.1.5 Satz von Gauß und die Divergenz . . . . . . . . . . .
2.2 Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern . . . . . . .
2.2.1 Eigenschaften der Vektoranalysisoperatoren . . . . .
2.2.2 Fundamentalsatz der Vektoranalysis . . . . . . . . .
2.3 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Kräfte und Einheitensysteme der Elektrodynamik .
2.3.2 Die Quellen des E-Feldes (Coulomb-Gesetz) . . . . .
2.3.3 Quellen des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Wirbel des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Wirbel des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes . . . . .
2.4.1 Mechanische Energie-/Impulsbilanz . . . . . . . . . .
2.4.2 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes . . . .
2.4.3 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Zusammenfassung und Anwendungen . . . . . . . .
2.4.5 Wirkung des EM-Feldes auf makroskopische Objekte
2.5 Elektromagnetische Potentiale und Eichung . . . . . . . . .
2.5.1 Eichinvarianz, Lorentzeichung und Coulombeichung
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3 Das zeitunabhängige EM-Feld
3.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Einfache Anwendungen und Lösungs-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Allgemeine Lösung der Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Ableitung der Lösung der Poissongleichung aus den Green’schen Identitäten
3.1.4 Methode der Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Methode der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Elektrostatische Multipol-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Ladungen im externen elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Grundgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Anwendungen und Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Magnetostatische Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Energie des magnetostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Magnetisches Moment in einem externen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . .
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4
INHALTSVERZEICHNIS
4 Zeitabhängiges Elektromagnetisches Feld
4.1 Freie Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Monochromatische Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Superposition ebener monochromatischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Erzeugung und Abstrahlung EM-Felder/ Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Potential und Feld einer bewegten Punktladung. Lienard-Wiechert-Potentiale
4.2.3 EM-Strahlung einer entfernten Quelle. Multipolstrahlung . . . . . . . . . . .
4.2.4 Dämpfung einer strahlenden Ladung (Energieverlust) . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Strahlungsverlust eines klassischen Elektrons im Atom . . . . . . . . . . . . .
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5 Spezielle Relativitätstheorie
5.1 Historische Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Objektivität und Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Objektiver Charakter physikalischer Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Messungen in verschiedenen Inertialsystemen. Galilei-Transformation . . . . . .
5.2.3 Relativitätsprinzip und die Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Einsteins Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Das Ende des Äthers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Einsteins Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Die Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Zur Relativität der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relativistische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Metrik des Minkowski-Raums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Lorentz-Transformation von Vierer-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Vierdimensionale Differentialoperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Vierer-Geschwindigkeit und Vierer-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 Lagrange-Funktion. Prinzip der kleinsten Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7 Impuls. Masse. Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8 Relativistische Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Vierer-Vektoren der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Relativistische Feld-Marterie-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Tensor des EM Feldes. Relativistische Bewegungsgleichung geladener Teilchen.
5.6.4 Lorentz-Transformation der Felder E und B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.5 Lagrange-Funktion des Feldes. Maxwell-Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Delta-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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155
158
158
160
161
162
Kapitel 1
Einführung
1.1
Gegenstand der Elektrodynamik
In der Mechanik beschäftigt man sich mit der Bewegung von Massen im Feld von Kräften. Es gilt für im
Allgemeinen N Massen m1 , ..., mN
mi r̈i = F i
Hierbei gibt es zwei Arten von Kräften:
1. externe (äußere) Felder, die externe Kräfte erzeugen: F1 , ..., FN
2. Wechselwirkungen zwischen zwei Massen (innere Kräfte) Fij
Betrachten wir das Beispiel von drei Teilchen:



m1 r̈1 = F 1 + F 13 + F 12
m2 r̈2 = F 2 + F 23 + F 21
m3 r̈3 = F 3 + F 32 + F 31


→ Lösung: ri (t), ṙi (t)
Hierbei werden in der Mechanik keine Aussagen über den Ursprung der Kräfte getroffen.
Elektrodynamik:
• Teilchen mit Ladung im Feld von elektrischen oder magnetischen Kräften
• diese Kräfte werden durch Ladungen erzeugt (Ladungen in Ruhe, bzw. in Bewegung)
Ladung ist eine Grundeigenschaft der Elementarteilchen (e, p, n). Es existiert eine Elementarladung e0 mit:
e0 = 1, 6 · 10−19 C ,
1C = 1A · s (SI)
In der Elementarteilchenphysik gibt es noch kleinere Ladungseinheiten: Quarks können eine Ladung
tragen. Die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen e1 , e2 hat folgende Proportionalität:
|FC | ∝
e1 e2
2
r12
Betrachte folgende Skizze:
r 12
e1
e2
r2
r1
0
Abbildung 1.1: Richtungsabhänigkeit der Coulombkraft
5
1
3
oder
2
3
6
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Hier ist
r12 = r2 − r1
der Abstandsvektor. Also ist die Coulomb-Kraft zwischen e1 und e2 proportional zu:
|F 12 | ∝
e1 e2
|r12 |2
Die Coulombkraft ist parallel zum Verbindungsvektor r12 . Der Einheitsvektor in dieser Richtung ist:
r̂12 =
r12
|r12 |
Wir schreiben in Zukunft r12 = |r12 |. Das Coulombsche Kraftgesetz schreiben wir also mit einer Konstante c
an zu:
Coulomb-Kraft:
FC = c
e1 e2
3 r 12
r12
(1.1)
1. Die erste Möglichkeit zur Beschreibung der ED-Probleme ist die Lösung der mechanischen Bewegungsgleichungen mit der Coulombkraft. Hierbei treten folgende Probleme auf:
• Das Coulomb Gesetz beschreibt eine instantane Kraftwirkung. Wenn e1 und e2 sehr weit voneinander
entfernt wären, würde die damit verbundene unendlich große Übertragungsgeschwindigkeit der Relativitätstheorie widersprechen. Es muss eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraftwirkung
existieren, somit ist dieser Zugang problematisch.
• Die Berechnung von r12 beim Fall ausgedehnter Körper mit räumlicher Ladungsverteilung ist unklar.
• Befinden sich zwei Ladungen in einem Medium (Moleküle, Ionen,...), so reagiert das Medium auf die
Ladung durch Stromfluss oder Polarisation. Außerdem sorgt die Abschirmung für eine qualitative
Veränderung der Wechselwirkung und das Gesetz 1.1 ist zu modifizieren.
2. Ein alternatives Vorgehen ist, die zwei Ladungen zu entkoppeln. Die erste Ladung erzeugt (ohne die
zweite) ein ”elektrische Feld”(Wirkung). Die Coulombkraft folgt dann aus der Wirkung des Feldes auf
die zweite Ladung. Das Feld erhält man, indem man aus der Kraft die Ladung e2 eliminiert:
FC = c
e1 e2
3 r 12 = E 1 · e2 = E 2 · e1
r12
Diese Prozedur ist natürlich symmetrisch. Das elektrische Feld einer Punktladung e1 , die sich am Ort
r1 = 0 befindet:
E 1 (r) = c
e1
r
r3
Für den allgemeinen Fall, dass sich e1 am Ort r1 befindet, gilt:
E-Feld einer Punktladung am Ort r1 :
E 1 (r) = c
e1
(r − r1 )
|r − r1 |3
(1.2)
Wie wir sehen werden, lassen sich mit diesem Zugang die genannten Probleme lösen. Fazit:
• an Stelle der Fernwirkungstheorie”(FC ) tritt jetzt eine Nahwirkungstheorie”(EC ).
• Die Kraftwirkung einer Ladung e1 wird durch ein Vektorfeld E 1 (r) mit r ∈ R beschrieben. Die Orientierung
ist radial von/zu einer Punktladung.
• Das elektrische Feld E besitzt eine eigenständige Realität, es existiert auch ohne eine Punktladung.
1.2. HISTORISCHE BEMERKUNGEN
7
• Das Magnetfeld B(r) wird analog zur obigen Beschreibung eingeführt. Es existiert eine Kraftwirkung
zwischen Strömen (Ampère-Gesetz)
FI ∝ I1 I2 → Feldbeschreibung durch B(r)
die einer Fernwirkung“entspricht. Die zugehörige Nahwirkungstheorie wird über das Magnetfeld B for”
muliert.
Wie wir sehen werden, sind die beiden Felder
• E und B abhängig voneinander (Maxwell Gleichungen)
• E und B sind abhängig vom Bezugsystem (Relativitätstheorie)
Fragen:
• Was sind die Bewegungsgleichungen für E(r) und B(r)?
• Wie werden die Felder erzeugt?
• Was sind die Wechselwirkungen von Ladungen und Strömen mit E und B?
1.2
Historische Bemerkungen
Im Folgenden sind einige der grundlegenden Beiträge zur modernen Elektrodynamik zusammengestellt (diese
Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit):
• 1785, A. Coulomb: Entdeckung des Kraftgesetzes zwischen Ladungen
• 1820, Oersted: Ablenkung von Magneten durch Ströme
• 1822, A.-M. Ampere: Strom als Ursache des Magnetismus
• 1831, M. Faraday: Induktionsgesetz (Erzeugung eines Stroms durch einen bewegten Magneten); Einführung
des Feldbegriffs
• 1864, J.C. Maxwell: Entdeckung der Bewegungsgleichungen des elektromagnetischen Feldes; Vorhersage
elektromagnetischer Wellen
• 1880, H.Hertz: Experimenteller Nachweis elektromagnetischer Wellen
• 1899-1900, M.Planck: Entdeckung der Quantennatur des elektromagnetischen Feldes; Strahlungsgesetz
• 1905, A. Einstein: Spezielle Relativitätstheorie; endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit EM Wellen (c);
Äquivalenz von elektrischem und magnetischem Feld
• bis 1950: R. Feynman, Tomonaga, F. Dyson, J. Schwinger u.a.: Formulierung der Quantentheorie des EM
Feldes (Quantenelektrodynamik, QED)
Mehr Informationen findet man z.B. bei Greiner [Gre08].
8
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Kapitel 2
Grundbegriffe und Grundgleichungen
der ED
2.1
2.1.1
Ladungen und Ströme
Ladungen und Ladungsdichte
Bisher haben wir eine Punktladung e1 am Ort r1 mit einer Trajektorie (r1 (t), v 1 (t)) betrachtet. Allgemein haben
Ladungen aber eine endliche Ausdehnung bzw. es liegt eine räumliche Verteilung der Ladung vor. Analog zur
Massendichte in der Mechanik definieren wir die Ladungsdichte ρ(r, t) = ρ(x, y, z, t):
∆Q
ρ(r, t) := lim
∆V →0 ∆V
Z
∆Q(t) :=
ρ(r, t)dV Gesamtladung in ∆V
(2.1)
∆V
Betrachte hierzu folgende Skizze. ∆Q ist die Ladung des Volumens ∆V .
Abbildung 2.1: Zur Definition der Ladungsdichte
Diese Definition stellt die Grundlage zur Kontinuumsbeschreibung im Rahmen einer Feldtheorie dar. Eine Frage
ist jetzt: Wie ist ρ sinnvoll für den Spezialfall Punktladungen zu verstehen? Betrachte den Grenzwert in der
Umgebung einer Punktladung e1 :
lim ∆Q = e1 , was bedeutet: ρ(r1 ) = lim
∆V →0
∆V →0
9
e1
∆Q
=
=∞
∆V
lim ∆V
∆V →0
10
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Hier macht die Verwendung der sogenannten Delta-Funktion δ(x) Sinn:
(
0 , x 6= 0
δ(x) =
∞ ,x = 0
∞
Z
mit
δ(x)dx = 1
(2.2)
(2.3)
−∞
Diese Distribution δ(x) beschreibt das Modell einer Punktladung. Die Divergenz tritt aber in der Realität
nicht auf, in der keine wirklichen Punktladungen existieren. Hierzu betrachte die folgende Skizze und folgendes
Beispiel auf der rechten Seite:
Abbildung 2.2: Ladungsdichte von Elementarladungen. Auch sie besitzen eine endliche
Ausdehnung.
Abbildung 2.3: Ladungsdichte eines Wasserstoffatoms
Für das Beispiel gilt aB ∝ 0, 5 · 10−10 m. Die Ladungsdichte des Elektrons schätzen wir ab zu:
e0
ρ0 a3B ∝ −e0 → ρ0 ∝ − 3
aB
Das allgemeine Resultat für eine Punktladung e1 bei r1 = (x1 , y1 , z1 ) ist in R3 :
ρ(r) = e1 δ(x − x1 )δ(y − y1 )δ(z − z1 )
oder kompakt: ρ(r) := e1 δ(r − r1 )
(2.4)
Dies gilt wegen der Normierung:
Z
3
ρ(r)d r = e1
Z∞
−∞
δ(x − x1 )dx
Z∞
−∞
δ(y − y1 )dy
Z∞
−∞
δ(z − z1 )dz = e1
Die Verallgemeinerung auf N Punktladungen mit e1 bei r1 ,...,eN bei rN ergibt:
Ladungsdichte von N Punktladungen:
ρ(r) =
N
X
i=1
2.1.2
ei δ(r − ri )
(2.5)
Eigenschaften der Delta-Distribution
Man beweise die folgenden Eigenschaften der Delta-Distribution. Die Beweise finden sich in Abschnitt 5.8.1.
1. Behauptung:
Es gilt für eine stetige Funktion f (x):
Z∞
−∞
δ(x − x0 )f (x)dx = f (x0 )
(2.6)
2.1. LADUNGEN UND STRÖME
2. Behauptung:
11
Es gilt
Z∞
−∞
3. Behauptung:
4. Behauptung:
5. Behauptung:
δ ′ (x − x0 )f (x) = −f ′ (x0 )
Die Delta-Distribution ist achsensymmetrisch. Es gilt also:
δ(x) = δ(−x)
(2.8)
f (x)δ(x) = f (0)δ(x).
(2.9)
Es gilt:
Sei h eine Funktion und seien xi mit i = 1, ..., N einfache Nullstellen von h. Dann gilt:
δ[h(x)] =
N
X
δ(x − xi )
i=1
6. Behauptung:
Distribution:
|h′ (xi )|
(2.10)
Mit den Eigenschaften der Fouriertransformation erhält man folgende Darstellung der Delta-
δ(x − x0 ) =
2.1.3
(2.7)
1
2π
Z∞
eik(x−x0 ) dk
(2.11)
−∞
Strom und Stromdichte
Die Ladungsdichte ist bestimmt durch die Anzahl der Ladungen im Volumen ∆V .
Strom ist eine Größe, die beschreibt, wie viele Ladungen ∆Q durch eine Fläche ∆F pro Zeit ∆t gehen.
∆I(t) := lim
∆t→0
∆Q
(∆F, t)
∆t
(2.12)
mit der Einheit:
[I] =
[Q]
C
=
=A
[t]
s
Es gibt nun zwei mögliche Fälle:
1. Es liegt eine kontinuierliche Stromverteilung vor.
2. Es liegen diskrete sich bewegende (Punkt-) Ladungen vor.
Der Fall 1. legt folgende Definition der Stromdichte j(r) nahe.
Wir definieren die Stromdichte durch:
I(t) :=
Z
j(r, t)df
(2.13)
∆F
Wobei n||df gilt.
Das obige Integral ist ein vektorielles Flächenintegral, oder Flächenintergral zweiter Art. Der Vektor n ist der
Normalenvektor auf der Fläche ∆F . Hat die Fläche ∆F eine Parametrisierung ϕ(x, y), für die gilt,
ϕ : U → R3
12
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
so ist das obige Integral explizit:
I(t) :=
Z
j(r, t)df =
∆F


Z
 ∂ϕ

∂ϕ


(x, y) d(x, y)
j(ϕ(x, y)) ◦  (x, y) ×
∂y
 ∂x

{z
}
|
U
n
Diese Definition ist anschaulich, da für ein kleines Flächenelement df gilt:
j(r, t) ◦ df = dI(t)
Abbildung 2.5: Zerlegung der Fläche ∆F in
Flächenelemente ∆Fi
Abbildung 2.4: Stromdichte j durch einen
Leiter mit Radius R
Alternativ kann man die Stromdichte über folgende Summe definieren:
Strom und Stromdichte:
I(t) =
lim
∆Fi →0
N →∞
N
X
j(r, t)∆F i
(2.14)
i=1
∆F =N ∆Fi
Bei beiden Definitionen ist der Vektorcharakter zu beachten. j ◦ ∆F ist ein Skalarprodukt, und daher wird der
Integrand für j||n maximal und für j ⊥ n wird der Integrand gleich Null.
Der Fall 2. legt folgende Definition der Stromdichte für Punktladungen (e1 , r1 , v 1 ),...,(eN , rN , v N ) nahe:
Stromdichte von Punktladungen:
j(r, t) =
N
X
i=1
Für die Einheit der Stromdichte gilt: [j] =
[Q]
[t][l2 ]
ei ṙi (t)δ[r − ri (t)]
=
(2.15)
A
m2
Beispiel:
Betrachte eine stationäre Strömung von geladenen Teilchen mit der Geschwindigkeit u. Betrachtet man folgende Abbildung
2.1. LADUNGEN UND STRÖME
13
Abbildung 2.6: Stationäre Strömung durch eine Fläche ∆F
so ergeben sich
x
∆t
∆V = x∆F
u=
u||nF
N
Außerdem definieren wir die Teilchendichte n = ∆V
. Dann gilt für die Ladungsdichte ρ :=
und ρ zeitunabhängig. Für die Gesamtladung Q gilt:
eN
∆V
, hier sind also n
Q = eN = en∆V = enx∆F
Mit dem Strom I =
Q
∆t
ergibt sich die Stromdichte zu:
j=
Q
enx∆F
enx
I
=
=
=
= enu
∆F
∆t∆F
∆t∆F
∆t
Damit gilt also:
Stromdichte eines stationären Stroms:
j = enu
(2.16)
Beachte, dass im Allgemeinen nicht j ∝ dρ
dt gilt, da hier ρ̇ = 0 , aber j 6= 0. Danach sind ρ und j nicht unabhängig
voneinander. Wie der Zusammenhang aussieht ist Gegenstand der Kontinuitätsgleichung.
2.1.4
Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung
Eine Gesamtbilanz von Ladungen ergibt sich
über den Zu- und Abfluss von Ladungen.
Sei F die Oberfläche des Volumens V dann
gilt nach vorigem Abschnitt für den Gesamtstrom durch F :
I
IF (t) =
j(r, t)df ,
F =∂V
wobei das Integral mit df ||n nach außen zeigenden Normalenvektoren versehen ist.
Abbildung 2.7: Strom und Ladungsbilanz in
einem Volumen V
14
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Hierbei gilt für den Gesamtstrom durch die Fläche F :


> 0, Strom aus V dominiert
IF =


< 0, Strom in V dominiert
Wir postulieren folgenden Zusammenhang. Wenn das System abgeschlossen ist, also Ladungen weder erzeugt
noch vernichtet werden (keine Ionisation, Paarerzeugung, etc.), muss die Gesamtzahl der Ladungen erhalten
bleiben. Es gilt also folgende integrale Gesamtbilanz:
Ladungserhaltungssatz:
d
QV + IF = 0.
dt
(2.17)
Das bedeutet, dass sich die Gesamtladung QV im Volumen V nur ändern kann, wenn es einen Strom durch die
Oberfläche ∂V gibt. Hieraus kann man jetzt eine lokale Ladungsbilanz ableiten. Diese stellt einen Zusammenhang
zwischen ρ(r, t) und j(r, t) für alle r ∈ R3 und t ∈ R dar:
I
Z
d
j(r, t)df = 0.
(2.18)
ρ(r, t)dV +
dt
V
F (V )
Um dies einfacher zu schreiben, benötigen wir den Satz von Gauß und die Definition der Divergenz.
2.1.5
Satz von Gauß und die Divergenz
Die Beziehung (2.18) soll in eine lokale Form ohne Integrale umgeformt werden. Hierfür benutzen wir den Satz
von Gauß, der für ein beliebiges differenzierbares Vektorfeld A(r, t) folgendes aussagt:
Satz von Gauß:
I
A(r, t)dV =
Z
div A(r, t)dV
(2.19)
V
F (V )
Hierbei ist die Divergenz eines beliebigen Vektorfeldes A(r) = {Ax (r), Ay (r), Az (r)} wie folgt definiert1 :
div A(r) =
Übungsaufgabe:
∂Ax (r) ∂Ay (r) ∂Az (r)
+
+
.
∂x
∂y
∂z
(2.20)
Man beweise den Satz von Gauß2 .
Benutzt man diesen Satz in (2.18), so folgt:
Z
Z
dρ(r, t)
dV + div j(r, t)dV = 0
dt
V
V
Z d
⇔
ρ(r, t) + div j(r, t) dV = 0
dt
V
Da dies für alle ρ(r) und j(r) gilt, muss der Integrand verschwinden. Es folgt also die lokale Form der Ladungserhaltung:
Kontinuitätsgleichung:
dρ(r, t)
+ div j(r, t) = 0
dt
1 Das
2 Die
Resultat ist ein Skalar, das ortsabhängig ist, also ein skalares Feld.
Lösung findet sich in Abschnitt 5.8.2
(2.21)
2.2. MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG VON VEKTORFELDERN
15
Bemerkungen:
• Ladungserhaltung ist nicht gleichbedeutend mit Teilchenzahlerhaltung. Fügt man z.B. ein Teilchenpaar
mit positiver und negativer Ladung, q+ = −q− hinzu, so ändert sich die Anzahl N der Teilchen, aber
trotzdem ist Q =const.
• Man bezeichnet den Strom IF auch als die Quellstärke des Vektorfeldes j.
IF =
I
Z
jdf =
div jdV
V
F
Hierbei bezeichnet man div j als Quelldichte oder als Quellstärke pro Volumen. Das Veranschaulichen wir
durch Betrachtung eines kleinen Volumens. Hier wird dann mit:
Z
X
dV ⇒
∆V
und für ein kleines Volumen ∆V :
div j =
IF
∆V
so dass damit dann div j = const gilt.
• Definiere den Fluss des Vektorfeldes A durch eine Fläche F als
I
ΦA =
A · df
F
Der Satz von Gauß ist ein Spezialfall.
2.2
Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern
Der Gegenstand der Elektrodynamik sind die Felder E, B, j und ρ. Die ersten drei sind Vektorfelder, und ρ ist
ein Skalarfeld. Wir betrachten die Eigenschaften im Folgenden an Hand eines allgemeinen Vektorfeldes F (r).
• Der Satz von Gauß, der ein Flächenintegral in ein Volumenintegral überführt (2.19).
• Zusätzlich kann man noch das Linienintegral längs einer Kurve γ betrachten:
Z
X
F (r)∆ri
F (r)dr = lim
∆ri →∞
N →∞
γ
(2.22)
i
Dieses ist also abhängig von F und γ. Man bezeichnet das obige Integral auch als vektorielles Kurvenintegral oder Kurvenintegral zweiter Art.
• Betrachtet man der Spezialfall einer geschlossenen Kontur γ so gilt der
Satz von Stokes:
I
γ(A)
F (r)dr =
Z
rot F (r)df
A
Man intepretiert dieses als die Wirbelstärke der in γ eingeschlossenen Fläche.
Übungsaufgabe:
3 Die
Man beweise den Satz von Stokes3 .
Lösung findet sich in Abschnitt 5.8.3.
(2.23)
16
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Definition der Rotation:
nieren:
Betrachten wir noch einmal den Differentialoperator Rotation genauer. Wir defirot F (r) : = ∇ × F
= êx (∂y Fz − ∂z Fy ) + ...
X
ǫijk (∂xj Fk − ∂xk Fj )
=
(2.24)
(2.25)
(2.26)
i
Hierbei ist ǫijk der antisymmetrische Tensor.


1,
ǫijk = 0,


−1,
2.2.1
i<j<k
i = j oder i = k oder j = k
i<k<j
Eigenschaften der Vektoranalysisoperatoren
Es gelten folgende Relationen, die wir als Behauptungen formulieren4 . Hierbei seien im Folgenden U (r) ein
Skalarfeld und F (r) ein Vektorfeld des R3 .
1. Behauptung:
div grad(U (r)) = ∆U (r)
(2.27)
Hierbei ist ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 der sogenannte Laplace-Operator.
2. Behauptung:
grad div(F (r)) − ∆F = rot rot F
3. Behauptung
Für eine beliebiges F (r) gilt
div rot F = 0
4. Behauptung:
(2.28)
(2.29)
Für ein beliebiges skalares Feld ρ(r) existiert eine eindeutige Lösung der Poissongleichung:
∆U = ρ(r),
(2.30)
   
U1
ρ1
die auf ∆ U2  = ρ2  verallgemeinert werden kann. Der Beweis folgt später.
U3
ρ3
2.2.2
Fundamentalsatz der Vektoranalysis
Satz: Alle Vektorfelder F (r) mit lim F (r) = 0 und lim ∂ri F (r) mit i = 1, ..., 3 lassen sich eindeutig
|r|→∞
|r|→∞
darstellen als Summe eines quellenfreien und eines wirbelfreien Beitrages. Also gilt:
F (r) = F q (r) + F w (r)
mit div F q = 0 und rot F w = 0. Dies kann man auch umformulieren zu:
div F (r) = div F w (r)
Dies sind die Quellen von F = QF .
rot F (r) = rot F q (r)
Die sind die Wirbel von F = W F .
4 Die
Beweise finden sich im Abschnitt 5.8.4.
(2.31)
2.3. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
2.2.2.1
17
Beweis:
1. Zunächst konstruieren wir den quellenfreien Anteil F q aus einem bekannten F . Betrachte eine Formulierung in obigem Satz und wende auf beide Seiten die Rotation an:
rot F = rot F q
rot rot F = rot rot F q = grad(div F q ) − ∆F q ,
| {z }
=0
Also erhält man wegen (2.28) eine Bestimmungsgleichung des quellenfreien Anteils F q zu:
rot rot F = −∆F q .
Dies ist die Poissongleichung, die eine eindeutige Lösung besitzt (siehe Behauptung 4 des vorigen Abschnitts).
2. Jetzt konstruieren wir die Bestimmungsgleichung des wirbelfreien Anteils F w des gegebenen Feldes F .
Auf die zweite Formulierung des Satzes
div F = div F w
wird der Gradient angewendet:
grad div F = grad div F w = rot rot F w +∆F w ,
| {z }
=0
wobei wieder Gleichung (2.28) verwendet wurde, so dass folgende Bestimmungsgleichung gilt:
grad div F = ∆F w
3. Also ist auch die Summe ∆F = ∆(F w + F q ) nach vorigem Abschnitt eindeutig lösbar. Als Fazit kann
man also feststellen, dass ein allgemeines Vektorfeld eindeutig durch seine Quellen und Wirbel bestimmt
ist. Wir benutzen den Satz im Folgenden, um das Gesamtfeld F zu finden.
In der Elektrodynamik gibt es zwei relevante Felder (E, B), und es interessieren uns die Bewegungsgleichungen dieser Felder. Wir benötigen also Kenntnis von den Quellen und Wirbeln von E und B:
QE , QB , W E , W B .
Um die Felder E und B zu bestimmen, hat man also folgende Gleichungen zu lösen, welche auch gleich
die allgemeinste Struktur der Feldgleichungen für E(r) und B(r) darstellen:
div E = QE
div B = QB
rot E = W E
rot B = W B
Im folgenden Abschnitt bestimmen wir diese Anteile aus der Erfahrung mit elektromagnetischen Prozessen
(Experimenten), die wir so weit wie möglich verallgemeinern.
2.3
Die Maxwell-Gleichungen
Die Maxwellgleichungen sind ein Postulat. Wir können sie jedoch durch Verallgemeinerung der Experimente
und Benutzung der allgemeinen Feldgleichungen sehr gut begründen. Bevor wir hierzu kommen, besprechen wir
noch kurz die Einheitensysteme der ED.
2.3.1
Kräfte und Einheitensysteme der Elektrodynamik
Folgende Tabelle erlaubt uns, zwischen dem CGS- und dem SI-System zu wechseln. Für theoretische Betrachtungen eignet sich das CGS System besser, weil es eine erhöhte Symmetrie vieler Gleichungen liefert. Für die
Ermittlung von Werten ist das SI System intuitiver.
18
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
kq
kq
kI
kB
kI
CGS
SI
1
4π
1
4πǫ0
1
ǫ0
µ0
4π
1
c2
1
c
4π
c
1
µ0
Tabelle 2.1: CGS- und SI-Wert einiger Konstanten.
Die hier vorkommenden Konstanten sind die elektrische Feldkonstante
A·s
ǫ0 = 8, 85 · 10−12
V ·m
die magnetische Feldkonstante
µ0 = 1, 26 · 10−6
N
A2
und die Lichtgeschwindigkeit
c= √
1
m
= 299.792.458 .
ǫ 0 µ0
s
Größe
Symbol
SI-Einheit
Gaußsche Einheit
Ladung
Strom
Spannung
q
I
U
1 Coulomb (C)
1 Ampere (A)
1 Volt (V)
Elektrische Feldstärke
Elektrische Verschiebung
Magnetische Feldstärke
Magnetische Induktion
Magnetischer Fluß
E
D
H
B
Φ
V
1m
A·s
1 m2
A
1m
V ·s
1 m2 = 1Tesla (T )
1 Weber (W b)
3 · 109 stat Coul
3 · 109 stat Amp
1/3 · 10−2 stat Volt
1/3 · 10−4 stat Volt/cm
4π · 3 · 103 stat Volt/cm
4π · 10−3 Oersted (Oe)
104 Gauß (G)
108 Maxwell (M x)
Widerstand
Kapazität
Induktivität
R
C
L
1 Ohm (Ω)
1 Farad (F )
1 Henry (H)
1/9 · 10−11 s/cm
9 · 1011 cm
1/9 · 10−11 s2 /cm
Tabelle 2.2: Umrechnungsfaktoren zwischen Gauß- und SI-Einheiten ([Gre08])
2.3.2
Die Quellen des E-Feldes (Coulomb-Gesetz)
Die Erfahrung bzw. das Experiment verrät uns folgendes über die Kraftwirkung zwischen zwei geladenen Teilchen
q und Q. Die Konstante aus dem einführenden Abschnitt heißt hier kq :
F = kq
Qq r
= E(r) q,
| {z }
r2 r
von Q
wobei r der Verbindungsvektor der Teilchen ist. Die Kraft kann anziehend oder abstoßend sein. Außerdem folgt
die radialsymmetrische Feldverteilung einer Punktladung bei r = 0:
E(r) = kq
Qr
r2 r
q
r
Q
Abbildung 2.8: Kraft und Feld einer Punktladung Q
2.3. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
19
Jetzt verallgemeinern wir dieses Ergebnis schrittweise.
1. Wir betrachten den Fluss der E-Feldes, ΦE , durch eine Fläche df . Betrachte hierzu zunächst eine Kugel
um Q. Es gilt dann:
dV = dr r2 sin(θ)dθdϕ
| {z }
dΩ
{z
}
|
df
Das Feld E ist radial gerichtet. Betrachtet man also ein Flächenelement df , so ist der Flächennormalenvektor
ein radialer und es gilt: df = df rr . Also gilt für den Fluss dΦE durch ein Flächenelement df :
Qr 2 r
r dΩ
r2 r
r
dΦE = kq QdΩ
dΦE
= kq Q
dΩ
dΦE = Edf = kq
Dieses Ergebnis ist deshalb bemerkenswert, weil es nur von der Ladung abhängt und nicht von r oder von
einem Winkel. Der Fluss durch die gesamte Kugel ergibt sich folgendermaßen:
I
(2.32)
ΦE =
Edf = E4πr2 = kqQ4π
F (V )
R=const.
Abbildung 2.9: Zur Definition des Raumwinkel- und Flächenelements
2. Wir verallgemeinern dieses Ergebnis nun auf beliebige Oberflächen. Betrachte hierzu folgendes Volumen
V , welches durch die beiden Flächen K und F begrenzt wird.
Abbildung 2.10: Volumen V , das von den Oberflächen F und K begrenzt wird.
Hierbei sind die Flächennormalenvektoren für F definiert zu:
E ◦ nF > 0
und für K definiert zu:
E ◦ nK < 0
20
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Die Gesamtoberfläche O ist O = F ∪ K. Der Gesamtfluss durch O ergibt sich zu:
I
I
Z
I
div EdV,
ΦE |O = Edf = Edf − Edf =
F
O
K
V (O)
wobei die letzte Gleichung aus dem Gaußschen Satz folgt. Wir betrachten nun den Integranden:
r
3
1
3
1
∇r
−
=
kqQ
=0
div E = kq Q∇ 3 = kq Q
+
r∇
r
r3
r3
r3
r3
Hierbei wurde benutzt:
div r =
∂
∂
∂
(x) +
(y) +
(z) = 3
∂x
∂y
∂z
und
grad
r r
r2
1
= −3 4 = −3 5
3
r
r r
r
Hieraus folgt also insgesamt:
ΦE | O = 0
Da dieses Resultat für ein beliebiges Volumen V gilt, ziehen wir das Fazit:
Der Fluss von E durch eine geschlossene Oberfläche hängt nur von der eingeschlossenen Ladung ab.
Verallgemeinert man dieses Ergebnis auf N Punktladungen, die von einer Oberfläche F eingeschlossen sind, so
gilt:
I
N
X
Edf = kq
Qi
i=1
F
Wir gehen jetzt über zu einer lokalen Betrachtung. Sei eine Ladung Q bei r = 0 gegeben. Sei K(R) eine
Kugeloberfläche mit Radius R um die Ladung. Es gilt dann:
Z
kq Q =
div EdV
V (K)
Hier wurde mit Gleichung (2.32) und dem Satz von Gauss argumentiert. Dieses Resultat ist unabhängig von
R. Das heißt bei dV → 0 muss div E → ∞ gelten. Also für R = r. Also muss div E von der Form einer
Deltafunktion sein. Es gilt:
Z
δ(r)dV = 1
Also muss gelten:
div E = kq Qδ(r)
Dieses verallgemeinern wir auf N Ladungen an den Orten ri :
div E(r) = kq
N
X
i=1
|
Qi δ(r − ri )
{z
}
ρ(r) ist die Ladungsdichte für N Punktladungen
Verallgemeinert man dies auf eine beliebige (auch räumlich ausgedehnte) Ladungsdichte ρ(r), so erhält man die
Integrale Form der ersten Maxwell-Gleichung:
Z
I
ΦE = Edf = kq QGes = kq
F
d3 rρ(r)
(2.33)
V (F )
Überführt man den Fluss mit dem Satz von Gauss in ein Volumenintegral so ergibt sich die lokale Form:
2.3. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
21
Differentielle Form der ersten Maxwell-Gleichung:
div E(r, t) = kq ρ(r)
2.3.3
(2.34)
Quellen des Magnetfeldes
Die Frage ist jetzt, ob punktförmige Quellen für das Magnetfeld B existieren. Das Experiment hat bisher keine
gefunden, sondern bisher nur dipolartige Felder festellen können. Also folgt für die Quellen des Magnetfeldes:
Lokale Form der zweiten Maxwell-Gleichung:
div B(r, t) = 0
Integrale Form der zweiten Maxwell-Gleichung:
I
Bdf = 0
(2.35)
(2.36)
F
2.3.4
Wirbel des elektrischen Feldes
Versuche der Form, dass man einen Stabmagnet durch eine Leiterschleife bewegt und einen Stromfluss misst,
führten zur Entdeckung des Induktionsgesetzes durch Faraday. Es entsteht ein Stromfluss in vielen Situationen,
z.B. bei
• einer zeitlichen Änderung des Magnetfeldes →
d
dt B
6= 0
• Bewegung der Kontur L
• Deformation der Kontur L
Abbildung 2.11: Versuch zum Induktionsgesetz
Man fasst alle diese Effekte in einer einzigen Größe zusammen: dem magnetische Fluss ΦB |A(L) des Magnetfeldes
durch die von L begrenzte Fläche A,
I
ΦB |A(L) =
Bdf
A(L)
Der induzierte Strom ist also verknüpft mit einer zeitlichen Änderung von ΦB . Andererseits ist ein Stromfluss
I die Reaktion auf eine induzierte Spannung UR . Der Zusammenhang ist hier als Verallgemeinerung des Falls
eines homogenen elektrischen Feldes U = E · d, wobei d der Abstand ist, aus
22
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Abbildung 2.12: Elektrisches Feld zwischen zwei Platten im Abstand d.
zu erkennen:
UR =
X
E i dri
i
beziehungsweise:
I
Edr = UR
L(A)
Abbildung 2.13: Berechnung der Ringspannung in einem geschlossenen Leiter L.
Das Experiment zeigt den globalen Zusammenhang zwischen der induzierten Spannung und dem Magnetfeld.
Insbesondere beobachtet man ein negatives Vorzeichen - man nennt dies Lenz’sche Regel:
UR = −kB
dΦB
dt
Hieraus kann man über den Satz von Stokes zur lokalen Form übergehen:
Z
I
Z
d
dΦB
|A =
Edr =
Bdf = −kB
− kB
rot Edf
dt A
dt
A
(2.37)
(2.38)
L(A)
Z A
d
rot E + kB B df = 0
dt
(2.39)
Letzteres gilt für eine beliebige Fläche. Damit müssen die Integranden gleich sein, und es folgt das Resultat für
die Wirbel des elektrischen Feldes, und damit die
Lokale Form der dritten Maxwell-Gleichung:
rot E(r, t) = −kB
d
B(r, t))
dt
Integrale Form der dritten Maxwell-Gleichung:
Z
I
d
Bdf
Edr = −kB
dt A
L(A)
(2.40)
(2.41)
2.3. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
2.3.5
23
Wirbel des Magnetfeldes
Wir fragen uns jetzt, was die Ursachen für ein magnetisches Wirbelfeld sind. Das Experiment zeigt, dass ein
Strom I ein Magnetfeld erzeugt (Ampere-Gesetz). Dieses Magnetfeld ist ein Wirbelfeld (geschlossene Feldlinien)
und die Feldstärke folgt folgender Proportionalität:
I
r
Dieses Magnetfeld ist parallel zum Vektor êϕ in Zylinderkoordinaten.
B∝
L
êϕ
B
I
Abbildung 2.14: Ringförmiges Magnetfeld in Folge eines Stroms, senkrecht zur Blattebene
Durch Einführung einer konstanten ergibt sich die Gleichung
B(r) =
kI I
,
2π(r
4π
c ,
mit: kI =
µ0 ,
CGS
SI
Analog zum Vorgehen des vorigen Abschnitts finden wir die magnetische Ringspannung:
I
kI I
B(r)dr = B(r)2πr =
2πr = k I · I,
2π r
L
die durch den Strom I hervorgerufen wird. Die Auswertung des Linienintegrals im ersten Schritt ist in Ordnung,
da L einen Kreis mit Radius r parametrisiert und aus dem Experiment folgte, dass B(r) auf einem solchen Kreis
konstant ist. Dieses Ergebnis wird wieder schrittweise verallgemeinert:
1. Es liegen nun N Ströme vor. Dann gilt
Iges =
N
X
Ii
i=1
und das Magnetfeld wird durch Iges erzeugt. Dies gilt natürlich nur mit der Additivität und der Unabhängigkeit der Einzelströme (Hypothese).
2. Analog zum Vorgehen bei der Ladungsdichte, möchten wir jetzt auch Ströme mit endlicher Ausdehnung
betrachten. Wir führen folgende Ersetzung durch:
Z
X
Ii →
jdf
Iges :
i
F (L)
Es folgt die vorläufige Form der vierten Maxwell-Gleichung (Integralform):
I
Bdr = kI Iges |F (L)
(2.42)
L
Der Übergang zur lokalen Form geschieht mit dem Satz von Stokes und dem Argument, dass die Integranden übereinstimmen müssen (beliebige Kontur L)
Z
Z
jdf
rot Bdf = kI
F (L)
F (L)
⇒ rot B(r, t) = kI j(r, t)
(2.43)
24
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Dies ist die vorläufige lokale Form der 4.Maxwell-Gleichung. Diese Maxwell-Gleichung wollen wir noch testen,
indem wir die Divergenz dieser Gleichung bilden. Nach dem Fundamentalsatz müsste die Divergenz des magnetischen Wirbelfelds rot B null sein. Hieraus folgt aber auch:
kI div j = 0
⇒ div j(r, t) = 0
Dies ist ein Ergebnis, das fragwürdig erscheint. Wir zeigen mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung den auftretenden
Widerspruch. Nach dieser gilt:
∂ρ
+ div j = 0
∂t
Obiges Ergebnis für die Stromdichte führt hier auf das Ergebnis:
ρ̇(r, t) = 0
Das heißt, es dürfte keine zeitlich veränderte Ladungsdichte geben. Bildet man die Zeitableitung der ersten
Maxwell-Gleichung, führt dies außerdem auf:
div Ė(r, t) = kq ρ̇(r, t) = 0
Da es aber Experimente mit div Ė 6= 0 gibt – s. z.B. Abb. ?? – ist dies ein Widerspruch. Die Relation ρ̇ = 0 kann
also nicht immer gelten, und die vierte Maxwell-Gleichung kann noch nicht vollständig sein. Maxwells Ansatz
zur Lösung des Problems war, die Stromdichte in Gleichung (2.43) durch eine Gesamtstromdichte zu ersetzen:
j → j ges
Mit j ges = j + j s soll
div j ges = 0
(2.44)
gelten und so die obige Gleichung erfüllen. Die zweite eingeführte Stromdichte j s stammt aus der zeitlichen
Änderung des elektrischen Feldes und wird als Verschiebungsstromdichte bezeichnet. Aus der Kombination
von Kontinuitätsgleichung und erster Maxwell-Gleichung folgt nun ähnlich wie oben:
1
div Ė = − div j s
kq
1
⇒ div j s + Ė
=0
kq
1
⇒j s = − Ė
kq
ρ̇ =
Hiermit folgt die korrekte differentielle Form der vierten Maxwell-Gleichung zu:
Lokale Form der vierten Maxwell-Gleichung:
rot B = kI
j+
1
Ė
kq
(2.45)
Die integrale Form dieser vierten Maxwell-Gleichung erhält man durch Integration über die Fläche und anschließende Anwendung des Satzes von Stokes auf die linke Seite:
Integrale Form der vierten Maxwell-Gleichung:
I
Z 1
Bdr = kI
j + Ė df
kq
L(F )
F (L)
(2.46)
2.3. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN
25
Wir besprechen nun ein Beispiel für einen Verschiebungsstrom j s ohne bewegte Ladungen. Betrachte folgende
Skizze eines kurzschließbaren Kondensators:
Abbildung 2.15: Beim Kurzschließben des Kondensators bricht das Feld zusammen. Die zeitliche Änderung von
E hat die gleiche Wirkung wie ein Stromfluss (“Verschiebungsstrom”) und führt ebenfalls zur Erzeugung eines
Magnetfelds.
Ein Schließen dieses Schalters bewirkt nach endlicher Zeit E = 0. Zuvor ist jedoch ∂E
∂t 6= 0, daher ist die
Verschiebungsstromdichte js 6= 0 und bewirkt, nach der vierten Maxwell-Gleichung, ein magnetisches Wirbelfeld. Da nun eine Änderung eines magnetischen Feldes stattgefunden hat, entsteht wiederum nach der dritten
Maxwell-Gleichung ein elektrisches Feld. Dieser Prozess setzt sich im Idealfall fort. Das Experiment bestätigt
vielfach diese wechselseitige Kopplung. Das bekannteste Beispiel sind die hierbei entstehenden elektromagnetischen Wellen. In folgender Tabelle fassen wir noch einmal die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen:
MW.-Gl.
Differentielle Form
1
div E = kq ρ
2
div B = 0
3
rot E = −kB Ḃ
rot B = kI j + kĖ
4
Integralform
R
Edf = kq ρdV = kq Qges
V
F
R V
Bdf = 0
F
H
R
d
Edr = −kB dt
Bdf
L
F (L) H
R
Bdr = kI
j + kĖ df
H
q
L
F (L)
q
Experimente
Coulombgesetz
∄ magn. Monopole
Induktionsgesetz
Ampère Gesetz
Tabelle 2.3: Maxwell-Gleichungen in differentieller und integraler Form.
Durch Verwendung der Konstanten ist diese Schreibweise unabhängig vom Einheitensystem.
2.3.5.1
Diskussion der Lösung
• Die Maxwell-Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen für die Felder E und B. Die Struktur der Gleichung ergibt, dass beide Felder gekoppelt sind.
• Es gibt jeweils zwei Gleichungen für E und B, als Konsequenz des Fundamentalsatzes.
• Das Gesamtfeld besteht aus der Summe von wirbelfreien und quellenfreien Anteilen.
• Insgesamt zählt man 8 skalare Gleichungen für 6 Unbekannte Größen (Ex , ..., Bz ). Es stellt sich also die
Frage, ob das Problem überbestimmt ist. Diese Frage wird im Abschnitt der Eichung geklärt werden.
2.3.5.2
Maxwell-Gleichungen im CGS-System
Im CGS-System notieren wir die Gleichungen unter Verwendung von Tabelle (2.1) folgendermaßen:
div E(r, t) = 4πρ(r, t),
1 ∂
rot E(r, t) = −
B(r, t),
c ∂t
div B(r, t) = 0
4π
1 ∂
rot B(r, t) =
j(r, t) +
E(r, t)
c
c ∂t
26
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Zusätzlich benötigen wir physikalische Randbedingungen insbesondere ist zu fordern:

E





B



∂E
∂t
lim
∂
|r|→∞ 

 ∂t B

∂



∂r E

∂
∂r B
=0
Das ergibt sich aus der Endlichkeit von Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes.
2.4
Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes
Das Noether Theorem verknüpft Symmetrien mit Erhaltungssätzen wie der Teilchenzahl, Ladung, Energie,
Impuls, Drehimpuls,.... Betrachten wir allgemein eine Größe Q in einem Volumen V . Betrachten wir die zeitliche
Änderung dieser Größe Q so können folgende Terme eine Rolle spielen:
+/−
JQ
: Zu- und Abfluss in/aus dem Volumen V
+/−
ẆQ
: Erzeugung und Vernichtung von Q im Volumen V pro Zeiteinheit
Abbildung 2.16: Gesamtbilanz der Größe Q im Volumen V
Es gilt also ganz allgemein folgende Gleichung:
∂
+
−
− JQ
+ ẆQ+ − ẆQ−
∆Q = JQ
∂t
V
(2.47)
Ein Beispiel, das wir schon kennen, ist die Erhaltung der Ladung, wir werden im Folgenden sehen, dass ähnliche
Bilanzgleichungen für Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes gelten.
2.4.1
Mechanische Energie-/Impulsbilanz
Betrachte N Punktteilchen mit den Massen mi . Für die gesamte kinetische Energie T und den Gesamtimpuls
P ergibt sich:
T =
N
X
mi
i=1
P =
N
X
i=1
2
ṙ2i
mi ṙi
2.4. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
27
Jetzt betrachten wir die zeitliche Änderung dieser beiden Größen, was der Leistungsformulierung des Energiesatzes und dem Impulssatz entspricht:
Energiesatz:
Ṫ =
N
X
mi ṙi r̈i =
i=1
Ṗ =
Impulssatz:
N
X
N
X
F i ṙi
i=1
mi r̈i =
i=1
N
X
Fi
i=1
Jetzt nehmen wir dieses allegemeine mechanische Resultat und wenden es auf den Fall geladener Teilchen an, die
sich in einem elektromagnetischen Feld befinden. Dazu ersetzen wir die Kraft Fi durch die kombinierte Lorentzund Coulombkraft von Teilchen der Ladung qi :
h
i
(2.48)
F i = qi E(r, t) + kB ṙi × B(r, t)
Setzt man dies in obige Gleichungen ein, so ergeben sich:
Ṗ =
N
i
h
X
qi E(ri ) + kB ṙi × B(ri )
(2.49)
i=1




 X

N



=
qi E(ri )r˙i
E(r
qi 
Ṫ =
)
ṙ
+
k
ṙ
×
B(r
)
◦
ṙ
B
i i
i

} i
| i {z
 i=1

i=1


⊥ṙ i
{z
}
|
N
X
(2.50)
=0
Das heißt, das Magnetfeld verrichtet keine Arbeit an einer Punktladung. Jetzt führen wir wieder die Verallgemeinerung von Punktladungen und Strömen auf allgemeine Verteilungen durch und führen dazu zunächst die
Ladungs- und Stromdichte für ein System von Punktladungen ein:
ρP L (r, t) =
Ladungsdichte:
N
X
i=1
j P L (r, t) =
Stromdichte:
N
X
i=1
qi δ[r(t) − ri (t)]
qi ṙi (t)δ[r(t) − ri (t)]
Im Weiteren wenden wir folgende Verallgemeinerung an:
Z
X
qi →
ρ(r)dV
V
i
und nutzen dabei folgende Eigenschaft der Delta-Funktion:
Z
f (r)δ[r − ri ]dV = f (ri )
Mit Hilfe dieser Ersetzungen kann man Gleichung (2.50) wie folgt schreiben (Überprüfung durch Rückeinsetzen
einfach):
Z
(2.51)
Ṫ (t) = j(r, t) ◦ E(r, t)dV
Weiter definiere:
Ṫ (t) =
Z
ṫ(r, t)dV,
mit
ṫ(r, t) = j(r, t) ◦ E(r, t) =
Energiedichte
= Leistungsdichte
Zeit
(2.52)
28
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Analog kann man Gleichung (2.49) wie folgt formulieren:
Z
Ṗ (t) =
ρ(r, t)E(r, t) + kB j(r, t) × B(r, t) dV
(2.53)
und wir definieren wieder:
Ṗ (t) =
Z
ṗ(rt) d3 r
(2.54)
mit
ṗ(rt) = ρ(r, t)E(r, t) + kB j(r, t) × B(r, t) =
Impulsdichte
= Kraftflussdichte
Zeit
(2.55)
Aus diesen Formeln und den Maxwell-Gleichungen leiten wir jetzt die Energie- und Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes her.
2.4.2
Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes
In Gleichung (2.52) haben wir mit Hilfe von j ◦ E die Leistungsdichte identifiziert, die geladene Teilchen aus
dem EM Feld aufnehmen (oder an das Feld abgeben). Mit der Änderung von Energie und Impuls der Teilchen
muss somit eine Änderung von Energie und Impuls des Feldes einhergehen.
Im Folgenden finden wir diese Größen und ihre Bewegungsgleichungen. Dazu drücken wir jetzt die Größe j ◦ E
mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen durch Feldgrößen aus [Gre08]. Zunächst nehmen wir die vierte MaxwellGleichung und multiplizieren sie mit E:
4π
1
j + Ė
c
c
4π
1
j · E + E · Ė
E · rot B =
c
c
rot B =
(2.56)
Nun nehmen wir die die dritte Maxwell-Gleichung und multiplizieren diese mit B:
1
rot E = − Ḃ
c
1
B · rot E = − B · Ḃ
c
(2.57)
Nun berechnen wir die Differenz der Gleichungen (2.56) und (2.57):
4π
1
1
j · E + E · Ė + B · Ḃ
c
c
c
4π
1 ∂
2
j·E+
(E + B 2 )
E · rot B − B · rot E =
c
2c ∂t
c
∂ E2 + B2
(E · rot B − B · rot E)
=j·E+
|
{z
} 4π
∂t
8π
E · rot B − B · rot E =
div(B×E)
∂ (E 2 + B 2 )
∂t
8π
∂ (E 2 + B 2 )
+ div(E × B)
−j · E =
∂t
8π
− div(E × B) = j · E +
Diese Gleichung hat bereits die Form eines lokalen Erhaltungssatzes für die Energie pro Volumen. Wir identifizieren darin die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
u(r, t) :=
E 2 (r, t) + B 2 (r, t)
8π
und außerdem den Vektor der Energiestromdichte (auch Poynting-Vektor genannt):
(2.58)
2.4. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
S(r, t) =
c
E(r, t) × B(r, t)
4π
29
(2.59)
Dazu interpretieren wir den Term −j · E als zeitliche Änderung der Feldenergiedichte durch Wechselwirkung
−− .
mit Materie. Er beschreibt also den Energieaustausch zwischen Feld und Ladung und erhält das Zeichen ẇ←
FM
Es gilt:


Feldenergie bleibt erhalten
0,
−−
ẇ←
>
0,
Feld
gewinnt Energie
FM 

< 0, Feld verliert Energie
Mit diesen Größen wird die Energiebilanz für das elektromagnetische Feld zu:
∂
−− (r, t)
u(r, t) + div S(r, t) = ẇ←
FM
∂t
(2.60)
Die Energieerhaltung gilt also nicht für das Feld allein. Betrachtet man die Energiebilanz aus der Sicht der
Teilchen, so gilt für die Leistungsdichte der Materie (d.h. der Ladungen, zur Verdeutlichung fügen wir dem
Subskript “M” an):
−− = −ẇ−−→
ṫM = ẇ←
FM
FM
Die Energiebilanz des gesamten System hat also folgende Form:
∂
u(r, t) + tM (r, t) + div S(r, t) = 0
∂t
(2.61)
Lokale Form der Energiebilanz für Feld plus Teilchen
Das System ist abgeschlossen, wenn keine anderen Kräfte als die Lorentzkraft (z.B Reibungskräfte) existieren.
Die globale Form folgt aus der lokalen Form, indem man obige Gleichung über das Volumen V integriert:
I
Z Z
∂
∂
S(r, t)df = 0,
(u(r, t) + tM (r, t))dV +
(u + tM ) + div S dV =
∂t
∂t V
V
F (V )
wobei wir beim Integral über den Poynting-Vektor denH Satz von Gauss angewendet haben und F (V ) die das
Sdf := ΦS ist der Fluss der Energiestromdichte (des
Volumen V einschließende Oberfläche ist. Die Größe
F (V )
Poynting-Vektors) durch die Oberfläche F . Da das Integral über die Leistungsdichte der Materie die kinetische
Energie T ist, intepretieren wir die globale Energiebilanz in folgende Form:
∂
[WEM + T ] +
∂t
I
Sdf = 0
(2.62)
F (V )
Globale Form der Energiebilanz für Feld plus Teilchen
Hierbei können wir ablesen:
WEM =
Z
Gesamtenergie des elektromagnetische Feldes.
V
E 2 (r, t) + B 2 (r, t) 3
d r
8π
(2.63)
30
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Betrachte den Spezialfall, dass V = R3 ist. Dann wird der Fluss durch die Oberfläche F gleich Null, da das Feld
im Unendlichen verschwindet, und es gilt:
∂
[WEM + T ] = 0,
∂t
(2.64)
das heißt, die Summe aus Teilchen- und Feldenergie im gesamten Raum bleibt erhalten.
2.4.3
Impulsbilanz
Wir starten nun bei Gleichung (2.55):
ṗ = ρ(r, t)E(r, t) + kB j(r, t) × B(r, t).
Zunächst beschaffen wir uns die Ladungs- und Stromdichte aus den Maxwellgleichungen. Für die Ladungsdichte
gilt mit der ersten Maxwell-Gleichung:
div E = 4πρ
1
∇◦E
ρ=
4π
Für die Stromdichte betrachten wir wieder die vierte Maxwell-Gleichung:
4π
1 ∂E
∇×B =
j+
c
4π ∂t
1 ∂E
c
(∇ × B) = j +
4π
4π ∂t
c
1 ∂E
j=
∇×B−
4π
c ∂t
Setzen wir nun die Gleichungen (2.65) und (2.66) in Gleichung (2.55) ein, so erhalten wir:
1
1
1 ∂E
ṗ =
∇×B−
×B
(∇ · E) · E +
4π
4π
c ∂t
1
1 ∂E
E · (∇ · E) + (∇ × B) × B −
×B
=
4π
c ∂t
(2.65)
(2.66)
(2.67)
Um diese Gleichung bezüglich E und B zu symmetrisieren addieren wir eine Null, mit Hilfe der dritten MaxwellGleichung:
∇ · B = 0 = (∇ · B) · B
Außerdem betrachten wir folgenden Ausdruck:
∂
(E × B) =
∂t
∂E
×B =
∂t
∂E
∂B
×B+E×
∂t
∂t
∂
∂B
(E × B) − E ×
∂t
∂t
Damit wird Gleichung (2.67) zu:
1
1 ∂
1
∂B
E · (∇ · E) + (∇ · B) · B + (∇ × B) × B −
(E × B) + E ×
ṗ =
4π
c ∂t
c
∂t
(2.68)
Jetzt benutzen wir die dritte Maxwell-Gleichung:
∇×E =−
1 ∂B
c ∂t
Diese setzen wir in (2.68) ein und erhalten:
1
1 ∂
ṗ =
E · (∇ · E) + (∇ · B) · B + (∇ × B) × B −
(E × B) − E × (∇ × E)
4π
c ∂t
i
1 ∂
1 h
ṗ +
(2.69)
E · (∇ · E) + (∇ · B) · B + (∇ × B) × B − E × (∇ × E)
(E × B) =
4πc ∂t
4π
Hierbei definieren wir den Vektor der Impulsdichte, der mit dem Poynting-Vektor zusammenhängt:
2.4. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
31
Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes:
π(r, t) =
1
E(r, t) × B(r, t)
4πc
(2.70)
1
S(r, t)
c2
(2.71)
Zusammenhang mit dem Poynting-Vektor:
π(r, t) =
Dieses Ergebnis zeigt, dass das elektromagnetische Feld nicht nur Energie, sondern auch Impuls trägt, der durch
π gegeben ist. Im Folgenden betrachten wir die rechte Seite von Gleichung (2.69). Da dies etwas aufwändig ist,
ist dies ein extra Abschnitt.
2.4.3.1
Maxwell’scher Spannungstensor
Wir leiten nun Stück für Stück die Umformung für die rechte Seite von Glg. (2.69) her, siehe auch [Gre08].
Hierbei benutzen wir zur Abkürzung die Einstein-Konvention für Summen. Sie besagt, dass über doppelt
vorkommende Indizes summiert wird. Wir betrachten dies an zwei Bespielen an einem Vektorfeld F , die wir
auch im folgenden benötigen werden:
div F =
3
X
i=1
3
ei
3
XX
∂
∂Fj
∂Fj
ei · ej
·F =
= ei · ej
∂xi
∂x
∂xi
i
i=1 j=1
und:
rot F =
3
X
i=1
3
ei
3
XX
∂
∂Fj
∂Fj
×F =
= ei × ej
ei × ej
∂xi
∂x
∂xi
i
i=1 j=1
Wir betrachten nun folgenden Teil der Gleichung (2.69):
(∇ · E) · E + (∇ × E) × E := aE
aE =
ei · ej
∂Ej
∂xi
∂Ej
Ek e k + e i × e j
× Ek e k
∂xi
Wir benutzen folgende Identität:
(a × b) × c = (a · c) · b − (b · c) · a
und erhalten:
∂Ej
∂Ej
∂Ej
aE = δij
Ek ek + (ei · ek Ek )
·e −
e · e Ek e i
∂xi
∂xi j
∂xi j k
∂Ej
∂Ej
∂Ej
Ek ek + δik Ek
e − Ek
δjk ei
= δij
∂xi
∂xi j
∂xi
In den Ausdrücken mit den Kronecker-Deltas bleiben nun nur die Summanden mit i = j, k = i und j = k. Die
Benennung in der folgenden Gleichung hätte man auch anders machen können. Anschließend führen wir eine
erneute Umbenennung durch, so dass wir ei ausklammern kann.
∂Ei
∂Ej
∂Ej
E k e k + Ei
e j − Ej
ei
aE =
∂xi
∂xi
∂xi


 ∂E ∂Ei
∂Ej 


j
+ Ej
− Ej
=  Ei
e
∂xj
∂xj
∂xi  i

|
{z
}
i-te Komponente
32
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Betrachten wir die i-te Komponente:
i
h
∂Ei
∂Ej
∂Ej
+ Ej
− Ej
(∇ · E) · E + (∇ × E) × E = Ei
∂xj
∂xj
∂xi
i
∂
1 ∂
=
(Ei Ej ) −
(Ej Ej )
∂xj
2 ∂xi
1
∂
Ej Ei − δij (Ek Ek )
=
∂xj
2
und völlig analog erhalten wir den anderen Teil von Gleichung (2.69):
h
i
1
∂ (∇ · B) · B + (∇ × B) × B =
Bj Bi − δij (Bk Bk )
∂xj
2
i
Alle Komponenten gemeinsam bilden dann die Divergenz des sogenannten (Maxwell Tensor):
Maxwellscher Spannungstensor des elektromagnetischen Feldes:
Tij =
für: i, j, k = 1, 2, 3.
i
1 h
Ei Ej + Bi Bj − δij u
4π
(2.72)
Hierbei ist u wie im Abschnitt vorher definiert. Er wird auch Impulsstromdichte-Tensor genannt. Wie schon
∂
auf diesen Tensor. Dieser Operator wirkt hier als Divergenz
erwähnt, wirkt in der Impulsbilanz der Operator ∂x
j
einer Matrix, welche vektorwertig ist. Zusammenfassend ergibt sich dann die Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes zu:
∂
−−
π + div(−Tij ) = ṗ←
FM
∂t
(2.73)
Lokale Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes.
Die globale Impulsbilanz erhalten wir wieder durch Integration über das Volumen V und Anwendung des Satzes
von Gauss:
∂
∂t
Z
V
I
π k (r, t)dV + P k (t) =
In Matrixform hat der Maxwell-Tensor folgende Gestalt:

Ex2 + Bx2
Ex Ey + B x B y
1 
Ex E y + B x B y
Ey2 + By2
Tij =
4π
E x Ez + B x B z E y E z + B y B z
2.4.4
(2.74)
Tik df i
F (V )
 
E x Ez + B x B z
u
Ey Ez + B y B z  −  0
0
Ez2 + Bz2
0
u
0

0
0
u
(2.75)
Zusammenfassung und Anwendungen
Insgesamt liegt also ein gekoppeltes System aus Ladungen und dem elektromagnetischen Feld vor. Das Feld
erzeugt eine Kraft auf die Teilchen, die man Lorentzkraft nennt:
1
F i = qi E + v i × B
c
Ladungen und ihre Bewegungen sind die Quellen und Wirbel des Feldes:
(
div E = 4πρ
1
rot B = 4π
c j + c Ė
2.4. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
33
Die Erhaltungssätze gelten nur für das Gesamtsystem. Das Feld trägt also auch Energie und Impuls. Die
vorhergegangenen definierten Größen sind in folgender Tabelle nochmals dargestellt:
CGS
2
1
8π (E
Feldenergiedichte u(r, t)
+ B2)
SI
1
2
ǫ0 E 2 +
2
1
µ0 B
Energiestromdichte/Poynting-Vektor S(r, t)
c
4π E
×B
1
µ0 E
Impulsdichte π(r, t)
1
4πc E
×B
ǫ0 E × B
1
4π (Ei Ej
Impulsstromdichte Tij (r, t)
+ Bi Bj ) − δij
ǫ 0 E i Ej +
×B
1
µ0 Bi Bj
− δij u
Die am Teilchensystem verrichtete Arbeit pro ∆V , ∆t(Leistungsdichte) ist
−−
−j · E = ẇ←
FM
und der auf das Teilchensystem pro ∆V , ∆t übertragene Impuls (Impulsdichte) ist
1
−−
− ρE + j × B = ṗ←
FM
c
Darüber hinaus sind die Bilanzgleichungen/Erhaltungssätze eine direkte Konsequenz aus den Bewegungsgleichungen der Teilchen (Newton) und der Felder (Maxwell). Sie enthalten keine Näherungen. Die einzige Ausnahme ist, dass bei den Teilchen keine nicht-elektromagnetischen Wechselwirkungen auftreten. Unsere Resultate
sind allgemeingültig und gelten für ein beliebiges Feld. Sie enthalten natürlich auch wichtige Spezialfälle wie
zum Beispiel den des elektrostatischen Feldes, des magnetostatischen Feldes (zeitunveränderliche Felder) oder
auch den Fall EM-Strahlung
2.4.4.1
Kommentar: Feldenergie und WW-Energie
Aus der schon bekannten Definition des Potenzials erhalten wir die potentielle Energie W12 von zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand r12 :
W12 =
Q1 Q2
|r12 |
Alternativ können wir sagen, die Ladung Q1 erzeugt das Feld E 1 und die Ladung Q2 das Feld E 2 . Hier ergibt
sich die Energiedichte des Gesamtfeldes zu:
1
(E + E 2 )2
8π 1
1 2
1 2
1
=
E +
E +
E E
8π 1 8π 2 4π 1 2
u=
Wie in einer Übungsaufgabe gezeigt wird, ist (die Lösung ist in Abschnitt xxx zu finden):
Q1 Q2
1
E E =
4π 1 2
|r12 |
Die anderen Terme sind die sogenannten Selbst-Wechselwirkungsenergien der Punktladungen. Sie sind unphysikalisch und divergieren. Um eine korrekte Behandlung zu gewährleisten, sind diese also zu eliminieren. Sie sind
ein Artefakt des unphysikalischen Konzeptes der idealen Punktladung.
2.4.4.2
Spezialfall: ebene monochromatische Welle
Für den wichtigen Modellfall der ebenen monochromatischen elektromagnetischen Welle finden wir jetzt die
Energiedichte, den Druck, die Intensität, etc. Weitere Details zur Herleitung und Eigenschaften der Welle folgen
in Kapitel IV. Wir nutzen, dass sich das elektrische Feld hier ausdrücken lässt über:
E(r, t) =
E 0 −iwt+ik·r
+ c.c.
e
2
34
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Analog lässt sich auch B formulieren. Außerdem nutzen wir, dass diese Welle transversal ist:
B⊥E⊥k
Weiter gilt im Zeitmittel im CGS-System
2
E =B
2
bzw. im SI-System:
2
ǫ0 E =
2
B
µ0
Die oben definierte Größen sind dann in diesem Spezialfall leicht berechenbar (SI-Einheiten):
• Energiedichte:
ǫ0 2
1 2
E +
B = ǫ0 E02
2
2µ0
u = u(t) =
(2.76)
• Intensität:
I=
Leistung
Energie ∆x
=
=u·c
Fläche
Volumen ∆t
(2.77)
• Poynting-Vektor:
1
E×B
µ0
r
n
E 2 ǫ0
E0 · B 0 = n 0
S=
= n · c · u,
µ0
2
µ0
S=
(2.78)
(2.79)
mit n||k.
• Strahlungsdruck:
Ps = −
X
ij
Tij ni nj = −
X
Tii n2i δi1 = u =
i
I
c
Diese Formel wird im nächsten Abschnitt hergeleitet.
2.4.4.3
Vergleichswerte
1. Die mittlere Sonnenintensität auf der Erdoberfläche bei senkrechtem Einfall ist
IS ≈ 1, 4
was einem Strahlungsdruck von
PS =
kW
,
m2
IS
N
≈ 4, 3 · 10−6 2
c
m
entspricht.
2. Das elektrische Feld im H-Atom ist am Ort des Elektrons (Grundzustand)
EM = |E M | =
V
e 1
≈ 5, 14 · 1011 ,
4πǫ0 a2B
m
wobei aB der Bohrsche Radius ist. Das entspricht einer Intensität von
IM = ǫ 0 · c
2
EM
W
≈ 3, 5 · 1016 2
2
cm
3. Ein moderner Laser mit kurzen Pulsen (10fs) hat bei einer Feldenergie von 100J ein Intensität IL :
WL ≈ 100J → IL ≈ 1018
W
cm2
(2.80)
2.4. ENERGIE UND IMPULS DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES
2.4.5
Wirkung des EM-Feldes auf makroskopische Objekte
2.4.5.1
Joulsche Wärme:
35
Das Feld verrichtet an der Materie Arbeit, die pro Zeiteinheit folgender Leistung entspricht:
Z
d
−→ =
j · EdV
W−
dt F M
V
Nehmen wir als Beispiel einen Metalldraht. Das Feld beschleunigt Ladungen und verliert dabei Energie. Die
Ladungen geben einen Teil der Energie an das Kristallgitter des Drahtes ab. Dies führt zu einer Erwärmung,
die man Joulsche Wärme nennt. Hierbei ist wichtig das der Energieaustausch zwischen Ladung und Feld
reversibel sein kann während die Energieabgabe an das Kristallgitter im allgemeinen kein reversibler Prozess ist
(Dissipation).
2.4.5.2
Kraftwirkung auf eine Oberfläche:
Es gilt:
Kraft =
Impuls
Zeit
Zuvor haben wir den Impulsfluss des Feldes pro Fläche und Zeit als Tij berechnet. Integriert man über die
Fläche ∆F , so ergibt sich damit der Impuls pro Zeit und damit eine Kraftwirkung ∆k auf die Fläche ∆F :
Z
∆kk =
−Tij ◦ df i
∆F
Hierbei wurde wieder die Einsteinkonvention verwendet. Betrachten wir ein kleines ∆f so ist die Kraft auf ∆F :
∆kk (∆F ) = −Tij ni ∆F
∆k ◦ n = −Tij ni nk ∆F
(2.81)
Diese Kraft ist abhängig von der Eigenschaften der Oberfläche.
• Bei einer schwarzen Oberfläche oder wenn die Fläche nicht ausweichen, kann kann ein vollständiger Impulsübertrag bei vollständiger Absorption des Feldimpulses stattfinden.
• Liegt eine reflektierende Oberfläche vor, so ändert sich der Impuls ∆k → −∆k. Die Kraft auf die Oberfläche
ist dann:
−2Tij ni nk ∆F
2.4.5.3
Druck des EM-Feldes:
Es gilt, dass eine Kraft auf eine Fläche einen Druck bewirkt. Also gilt:
pF =
∆k F
n = −Tij ni nk
∆F
(2.82)
Beispiele hierfür sind der Lichtdruck (bekannt durch Kometen im Feld der Sonne) oder den Druck den ein Laser
auf eine Oberfläche bewirken kann.
2.4.5.4
Drehimpuls
Der Drehimpulsdichte ist mit der Impulsdichte verknüpft über:
lF = r × π F =
1
r × (E × B)
4πc
(2.83)
Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich nach Integration über das Volumen. Ein ausführliche Diskussion dieser Größe
findet man im Buch von Greiner [Gre08].
36
2.5
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Elektromagnetische Potentiale und Eichung
Wir wollen nun die scheinbare Überbestimmtheit der 6 Feldgrößen, für die die Maxwell-Gleichungen 8 skalare
Gleichungen liefern, klären. Hierfür führen wir die Potentiale ein. Aus der Nichtexistenz magnetischer Monopole
(2te Maxwell-Gleichung) folgt, dass man das Magnetfeld B über ein stetig differenzierbares Vektorfeld A(r, t)
gemäß
B = rot A
(2.84)
ausdrücken kann. Dies ist zulässig, da gilt:
div rot A(r, t) = 0,
für alle A. Definiert man so das Vektorpotenzial A, so gibt es durch die Maxwell-Gleichungen eingeschränkte
Möglichkeiten für das Potential des elektrischen Feldes. Wir setzen nun A in die dritte Maxwell-Gleichung ein:
1
1 ∂
rot E = − Ḃ =
rot A
c
c ∂t
1
= rot Ȧ
c 1
⇒ rot E + Ȧ = 0
c
Da die obige Form allgemeingültig ist und auch rot grad Φ = 0 gilt, wobei Φ(r, t) ein zweifach stetig differenzierbares Skalarfeld ist, definieren wir das skalare Potential gemäß:
1
− grad Φ = E + Ȧ
c
(2.85)
Setzen wir nun A und Φ in die Maxwell-Gleichungen ein, so erhalten wir ein Gleichungssystem für diese Größen.
Die Größen selbst implizieren die zweite und dritte Maxwell-Gleichung. Für die Erste erhalten wir:
4πρ = div E
= div − grad Φ −
= − div grad Φ +
1
Ȧ
c
1
Ȧ
c
Mit der Verwendung von ∆ = div grad und rot rot = grad div −∆ erhält man:
−4πρ = ∆Φ +
1
div Ȧ
c
(2.86)
Nun setzen wir die Potentiale in die vierte Maxwell-Gleichung ein:
−
4π
1
· j = rot B − Ė
c
c
= rot rot A +
1
1
Ä + grad Φ̇
2
c
c
Wir verwenden wieder obige Beziehungen des Laplace-Operators:
1
1
4π
· j = ∆A − grad div A − grad Φ̇ − 2 Ä
c
c
c
4π
1
· j = − grad div + A − grad Φ̇
−
c
c
−
(2.87)
Hierbei ist der D’Alembertoperator (oder Wellen-Operator):
=∆−
1 ∂2
c2 ∂t2
Insgesamt erhalten wir also das folgende gekoppelte System:
(2.88)
2.5. ELEKTROMAGNETISCHE POTENTIALE UND EICHUNG
37
Allgemeine Bewegungsgleichungen der Elektromagnetischen Potentiale:
−4πρ = ∆Φ +
−
1
div Ȧ
c
4π
1
· j = − grad div + A − grad Φ̇
c
c
(2.89)
(2.90)
Dieses gekoppelte System liefert 4 skalare Gleichungen für die vier unbekannten Größen (Φ, Ax , Ay , Az ). Es ist
äquivalent zu den Maxwell-Gleichungen. Damit gibt es also keine Überbestimmtheit der Maxwell-Gleichungen.
Aus diesen System folgen die Felder Φ und A. Allerdings ist dieser Zusammenhang nicht eindeutig bestimmt.
Die dabei auftretenden Freiheiten bezeichnet man als Eichfreiheit. Dies untersuchen wir im nächsten Abschnitt.
2.5.1
Eichinvarianz, Lorentzeichung und Coulombeichung
2.5.1.1
Behauptung:
Die Potentiale A und Φ sind nicht eindeutig bestimmt.
2.5.1.2
Beweis:
Nehme zunächst an, A ist eine Lösung. Dann ist auch à eine Lösung für B mit
à = A + grad f,
(2.91)
mit einem skalaren Feld f (r, t). Die gilt mit:
rot à = rot A + rot grad f = B
| {z }
=0
Diese Freiheit der Lösung von A hat Konsequenzen für das elektrische Feld. Da dieses als Messgröße invariant
sein muss gilt:
1
Φ̃ = Φ − f˙
c
(2.92)
Das diese Transformation die Felder invariant lässt zeigen wir jetzt:
1
1 !
E = − grad Φ − Ȧ = − grad Φ̃ − Ã˙
c
c
1 ∂
1 ˙
A + grad f
= − grad Φ − f −
c
c ∂t
1 ˙ 1 ∂
1
= − grad Φ + grad f −
A − grad f˙
c
c ∂t
c
1 ∂
= − grad Φ −
A
c ∂t
Wir fassen zusammen:
Die Felder E und B bleiben invariant unter Eichtransformationen f (r, t) gemäß:
A → Ã = A + grad f
1
Φ → Φ̃ = Φ − f˙
c
(2.93)
(2.94)
Diese Eichtransformation f (r, t) ist eine wichtige Eigenschaft der Maxwell-Gleichungen. Solche Transformationen sind auch analog in anderen Feldtheorien zu finden. Es gilt folgender Zusammenhang:
38
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Die vollständige Lösung der Maxwell-Gleichungen ist äquivalent zur Lösung der Potentialgleichungen (2.89
und 2.90) für A und Φ und der Gesamtheit aller f (r, t).
Der Vorteil ist jetzt die Eichfreiheit, welche durch geschickte Wahl von f (r, t) die Potentialgleichungen wesentlich
vereinfacht, wobei die Felder invariant bleiben. Wir besprechen im folgenden zwei spezielle Eichungen.
2.5.1.3
Lorentz-Eichung
Unser Ziel mit dieser Eichung ist die Entkopplung der Potentialgleichungen. Betrachte hierzu die Gleichung für
A in folgender Weise:



4π
1
1 

· j = 2 Ä + grad 
div A + c Φ̇ − ∆A
c
c
{z
}
|
=0
Behauptung: Es existiert immer ein f (r, t), so dass gilt:
Lorentzeichung
1
div à + Φ̃˙ = 0
c
(2.95)
Im Allgemeinen gilt für A und Φ
1
g(r, t) := div A + Φ̇ 6= 0
c
Setzt man nun die Transformation ein, so erhält man:
1
1
Φ̃˙ + f˙
g(r, t) = div à − grad f +
c
c
1˙
1 ¨
= div à + Φ̃ − div grad f + 2 f
c
{z c }
|
:=0
= −f (r, t)
Diese Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung, welche immer eine Lösung besitzt (siehe später). Also ist
die Lorentz-Eichung immer möglich. Schauen wir uns die entstehende Form der Potentialgleichungen an (mit
Gleichung (2.95)):
1
div Ã˙
c
1
1¨
= ∆Φ̃ +
− Φ̃
c
c
−4πρ = ∆Φ̃ +
= Φ̃
und
−
4π
1
j = − grad div + Ã − grad Φ̃˙
c
c
= − grad div + Ã + grad div Ã
= Ã
Fassen wir zusammen:
Die Lorentzeichung (2.95 führt auf folgende entkoppelte Form der Potentialgleichungen:
Φ̃ = −4πρ
4π
à = − j
c
(2.96)
(2.97)
2.5. ELEKTROMAGNETISCHE POTENTIALE UND EICHUNG
2.5.1.4
39
Coulomb-Eichung
Hier ist das Ziel eine Eichung mit div A = 0, das heißt A ist quellenfrei.
Coulomb-Eichung:
div A = 0
(2.98)
Die Behauptung ist wieder, dass die Coulomb-Eichung immer möglich ist. Im Allgemeinen ist wieder:
g(r, t) : = div A 6= 0
= div à − div grad f
= ∆f
Hier liegt also eine Poissongleichung vor die ebenfalls immer eindeutig lösbar ist (siehe später). Also ist auch
die Coulomb-Eichung immer möglich. Schaut man sich die Potentialgleichungen nun an, so ergibt sich:
In der Coulomb-Eichung (2.98) nehmen die Potentialgleichungen folgende Gestalt an:
∆Φ̃ = −4πρ
4π
1
à = − j + grad Φ̃˙
c
c
(2.99)
(2.100)
Das heißt, das Potential Φ genügt der Poissongleichung, wie im Fall des zeitunabhängigen Feldes, siehe Kapitel
3.
40
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE UND GRUNDGLEICHUNGEN DER ED
Kapitel 3
Das zeitunabhängige EM-Feld
In diesem Kapitel beschäftige wir uns mit der Elektro- und Magnetostatik. In allen Prozessen gilt hier ∂t = 0,
was eine deutliche Vereinfachung der Maxwell-Gleichungen und der Potentialgleichungen bewirkt.
Die Maxwell-Gleichungen des zeitunabhängigen EM-Feldes lauten:
div E = 4πρ(r)
rot E = 0
div B = 0
4π
j(r)
rot B =
c
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Für die Potentialgleichungen des zeitunabhängigen Feldes in Lorentzeichung gilt:
∆Φ = −4πρ(r)
4π
∆A = − j(r)
c
(3.5)
Hier entkoppeln also die Maxwell-Gleichungen für E und B. Es lassen sich also zwei Teilgebiete seperat behandeln. Dies sind die Elektrostatik für das elektrische Feld und die Magnetostatik für das magnetische Feld.
3.1
Elektrostatik
In diesem Teilgebiet sind folgende Gleichungen relevant:
div E = 4πρ
rot E = 0
und, äquivalent dazu,
∆Φ = −4πρ
Typisch für die Elektrostatik sind, bei gegebener Ladungsdichte ρ(r), folgende Fragestellungen:
• Wie sieht das E-Feld in bestimmte Volumina und im R3 aus?
• Wie sieht das Potenzial aus?
• Welchen Einfluss haben Medien (Luft, Metall,...)?
Die Lösung ergibt sich dann mit den Randbedingungen
lim ρ(r) = 0
(3.6)
lim Ei (r) = 0.
(3.7)
|r|→∞
|r|→∞
41
42
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
3.1.1
Einfache Anwendungen und Lösungs-Verfahren
Ist eine Ladungsdichte ρ(r) gegeben, so gibt es zwei Lösungsstrategien:
1. finden E(r) → daraus ϕ
2. finden ϕ(r) → daraus E(r)
Wir besprechen zwei Beispiele für die beiden Verfahren.
3.1.1.1
A) Homogen geladene Kugel
Gegeben ist eine homogen geladene Kugel mit Radius R und eine Ladungsdichte:
(
ρ0 , r ≤ R
ρ(r) =
0, r > R
ρ
ρ0
R
ρ=0
ρ0
r
R
Abbildung 3.2: Ladungsdichte einer homogen
geladenen Kugel mit Radius R.
Abbildung 3.1: Homogen geladene Kugel
Die Gesamtladung Q ergibt sich zu:
Q=
Z
ρ0 dV = ρ0
4π 3
R
3
V
Hieraus folgt die Ladungsdichte bei gegebener Gesamtladung Q:
ρ0 =
Q
3 Q
=
V
4π R3
Für dieses Problem wollen wir das elektrische Feld direkt berechnen und durch Integration am Ende das Potential
erhalten. Wir teilen das Problem auf in zwei Teilprobleme, im Innenraum bzw. im Außenraum,
(
E i (r), r ≤ R
E(r) =
E a (r), r > R
wobei aus Stetigkeitsgründen E i (R) = E a (R) gilt. In beiden Fällen nutzen wir die Kugelsymmetrie und setzen
an:
r
E(r) = E(r)
r
mit r = |r|. Es liegt also eine radiale Orientierung des Feldes vor. Wir beschäftigen uns zunächst mit dem
inneren Feld und legen den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt der Kugel.
ρ
−r
−R
−r
r
r
x
R
3.1. ELEKTROSTATIK
43
Sei V das Volumen der Kugel und F die zugehörige Oberfläche. Dann liefert die Integration der ersten MaxwellGleichung unter Verwendung des Gaußschen Satzes,
div E ( r) = 4πρ0
Z
Z
div E i (r)dV = 4πρ0
V (r)
dV
V (r)
I
E i df = (4π)2
ρ0 r3
3
F (r)
I
r r
ρ0 r3
Ei (r) · df = (4π)2
r r
3
F (r)
I
df = (4π)2
ρ0 r3
3
Ei (r) · 4πr2 = (4π)2
ρ0 r3
3
Ei (r)
| {z }
F (r) =const auf F (r)
Ei (r) =
ρ0
4πr
3
Betrachten wir nun das äußere Feld und legen den Ursprung wieder in den Mittelpunkt.
ρ
−r
r
x
R
−R
Es gilt wieder mit den selben Schritten wie zuvor:
div E a (r) = 4πρ(r)

 R
Zr
Z
4πr2 Ea (r) = 4π  ρ0 r2 sin θdrdθdϕ + 0 · r2 sin θdrdθdϕ
0
R
2
4πr Ea (r) = 4πρ0 · V
r2 Ea (r) = Q
Q
Ea (r) = 2
r
Die Kugel verhält sich also im Außemraum wie eine Punktladung. Wir testen noch die Stetigkeitsbedingung:
Ei (R) =
4π
4π
ρ0 R =
3
3
Q
4π 3 R
3 R
=
Q
= Ea (R)
R2
Das Gesamtfeld einer homogen geladenen Kugel ist damit:

 4π ρ0 r, r ≤ R
r3
E(r) =
r
Q
r>R
r2 ,
(3.8)
Betrachte abschließend den radialen Gesamtfeldverlauf in Abbildung (3.3). Das Potential folgt schließlich durch
Integration nach r in beiden Teilbereichen.
44
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
E(r)
∝
∝r
1
r2
r
R
Abbildung 3.3: Betrag des elektrischen Feldes einer homogen geladenen Kugel mit Radius R.
Jetzt wollen wir noch den zweiten Weg gehen und zuerst das Potential ϕ(r) bestimmen. Die Potentialgleichung
der Elektrostatik ist:
∆ϕ(r) = −4πρ(r)
Aus der Kugelsymmetrie folgern wir, dass der Laplace-Operator hier keine Winkelabhängigkeit besitzt:
∆rθϕ = ∆r .
Also gilt auch wieder:
ϕ(r) = ϕ(r).
In Kugelkoordinaten ist der Radialteil des Laplace-Operators gegeben durch:
∆r =
1 ∂
r2 ∂r
r2
∂
∂r
.
Hiermit nimmt die Poissongleichung folgende Gestalt an:
1 ∂
r2 ∂r
∂
r
∂r
2
ϕ(r) = −4πρ(r),
für alle r ∈ R3 . Auch ϕ betrachten wir seperat im Innen- und Außenraum.
ϕ=
(
ϕi (r),
ϕa (r),
r≤R
r>R
Mit der Ladungsdichte ρ(r) (3.8) und Gleichung (3.9) gilt zunächst im Innenraum:
∂r (r2 ∂r )ϕi (r) = −4πρ0 r2
Zr
0
r
2
ϕ′i (r)
∂r r2 ϕ′i (r) = −4πρ0 r2
Zr
′ ′2 ′ ′
′
∂r r ϕi (r )dr = −4πρ0 r′2 dr′
0
−r 2
r=0
ϕ′i (0)
4π
= − ρ0 r 3
3
Die verbleibende Gleichung integrieren wir noch einmal unbestimmt von 0 bis r:
4π
ρ0 r
3
4π
ϕi (r) − ϕi (0) = − ρ0 r2
6
2
ϕi (r) = − πρ0 r2 + ϕi (0)
3
ϕ′i (r) = −
3.1. ELEKTROSTATIK
45
Im Außenraum gilt für alle r > R ρ(r) = 0. Also folgt daraus, mit C = const für die zweite Integration:
r2 ϕ′a (r) = C
Z∞
Z∞
1 ′
dr
r′2
r
r
∞
1
ϕa (∞) − ϕa (r) = −C ′
r r
C
ϕa (∞) − ϕa (r) =
r
C
ϕa (r) = ϕa (∞) −
r
Nun gelten folgende Randbedingungen für r = R:
ϕ′a (r′ )dr′
=C
ϕa (R) = ϕi (R)
ϕ′a (R) = ϕ′i (R)
Die erste Randbedingung führt auf:
2
C
− πρ0 R2 + ϕi (0) = ϕa (∞) − ,
3
R
Und die zweite Bedingung liefert:
−
4π
C
ρ0 R = 2
3
R
4π
C = − ρ0 R 3
3
C = −Q
Setzt man dieses Ergebnis in die erste Randbedingung ein, so gilt:
4π 2π
ρ0 R 2
+
ϕi (0) = ϕa (∞) +
3
3
Q
ϕi (0) = 2π 4π 3 R2
3 R
3Q
ϕi (0) =
2R
Hierbei haben wir ϕa (∞) = 0 gesetzt.
Das Gesamtpotential einer homogen geladenen Kugel ist:
(
Q
3Q
2
− 2π
ρ
r
+
=
0
3
2R
2R 3 −
ϕ(r) =
Q
−r,
r2
R2
,
r≤R
r>R
Abbildung 3.4: Potentialverlauf einer homogen geladenen Kugel
(3.9)
46
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Dieses Ergebnis stimmt mit dem des ersten Weges überein. Das prüft man durch die Berechnung E = −∇ϕ.
3.1.1.2
B) Dünne Kugelschale
Nun betrachten wir eine dünne Kugelschale, die ebenfalls homogen geladen sein soll. Für die Ladungsdichte gilt
hier:
ρ(r) = σδ(r − R)
mit |r| = r und der Flächenladungsdichte σ. Hierbei sei die Dichte vernachlässigbar gegenüber dem Radius, so
dass die Deltafunktion eine adäquate Näherung ist. Man findet σ aus der Gesamtladung Q:
Z
Z
Q = ρ(r)dV = σ
δ(r − R)dV
V
Z ∞
= σ4π
r2 δ(r − R)dr = σ4πR2
0
Q
⇒σ=
4πR2
Zunächst untersuchen wir das elektrische Feld wie zuvor im Innen- und Außenraum. Es folgt analog zu obigen
Ergebnissen. Für r < R, also im Innenraum finden wir:
Ei (r)4πr2 = 0
⇒ Ei (r) = 0
Hierbei verwenden wir wieder das Argument der Kugelsymmetrie und des damit verbundenen radialen Feldverlaufs. Im Außenraum r > R gilt:
Ea (r)4πr2 = 4πQ
Q
⇒ Ea (r) = 2
r
Das Feld hat also bei r = R eine Unstetigkeitsstelle. Diese folgt aus der deltaförmigen Ladungsdichte. Der
Potentialverlauf der Kugelschale ist eine Übungsaufgabe.
3.1.2
Allgemeine Lösung der Poissongleichung
Wir stellen uns nun die Frage, ob es bei einer beliebigen Ladungsverteilung ρ(r) eine Lösung der Poissongleichung
gibt. Die Antwort wird ja sein. Wir konstruieren die Lösung der Gleichung
∆ϕ = −4πρ(r)
durch schrittweise Verallgemeinerung:
1. Nehmen wir an, wir haben eine Punktladung q im Ursprung. Dann ist die Ladungsdichte:
ρ(r) = qδ(r)
Wie wir bereits gesehen haben, führt diese Ladungsdichte auf das Potential
ϕ(r) =
Q
r
2. Dieses Resultat verallgemeinern wir nun auf eine Punktladung im Punkt ri . Wir haben dann folgende
Ladungsdichte:
ρ(r) = qi δ(r − ri )
Dies führt auf das Potential:
ϕi (r) =
qi
|r − ri |
3. Durch Superposition von N Ladungen qi an den Orten ri erhält man leicht folgendes Potential:
ϕ(r) =
N
X
i=1
qi
|r − ri |
4. Wenn wir nun auf eine kontinuierliche Ladungsdichte erweitern, erwarten wir das Potential in folgender
Form:
Z
ρ(r′ )
ϕ(r) =
(3.10)
|r − r′ |
3.1. ELEKTROSTATIK
3.1.2.1
47
Beweis:
Wir zeigen nun, dass Gleichung (3.10) die Poissongleichung löst:
Z
1
∆r ϕ(r) = ρ(r′ )∆r
|r − r′ |
1
Betrachte wir den Term ∆r |r−r
′ | . Es gilt:
∆r
1
= −4πδ(r).
r
Also folgt:
∆r
1
= −4πδ(r − r′ ),
|r − r′ |
Und damit wird
∆r ϕ(r) = −4π
Z
ρ(r′ )δ(r − r′ ) = −4πρ(r),
womit die Behauptung bewiesen ist. Betrachte folgende Abbildung zur Superposition der Ladungsträger. Diese
folgt aus der Linearität der Maxwell-Gleichungen:
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung zur Superposition des Potentials
3.1.2.2
Bemerkung:
Die Poissongleichung und ihre Lösung spielen eine fundamentale Rolle in der theoretischen Physik und der
Chemie. Sie ermöglicht zumindest die numerische Berechnung der Potentiale von Orbitalverteilungen in Atomen.
ϕ wird auch als Hartrl-Potential bezeichnet. Es bleiben nun noch die Randbedingungen, das asymptotische
Verhalten und die Eindeutigkeit von ϕ zu klären.
3.1.2.3
Randbedingungen:
Wir betrachten nun das Verhalten bei |r| → ∞.
Z
lim ϕ(r) = ρ(r′ ) lim
1
d3 r ′ = 0
|r
−
r′ |
|r|→∞
|r|→∞
und ebenso:
lim ∇r ϕ(r) =
|r|→∞
Z
ϕ(r′ ) lim −
|r|→∞
r − r′
=0
|r − r′ |3
Die Lösung der Poissongleichung verschwindet im Unendlichen zusammen mit ihren Ableitungen.
48
3.1.2.4
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Eindeutigkeit
Seien ϕ1 und ϕ2 Lösungen der Poissongleichung mit den obigen Randbedingungen. Es gilt also
∆ϕ1 = ∆ϕ2
und
lim ϕ1/2 (r) = 0
|r|→∞
lim ∇r ϕ1/2 (r) = 0
|r|→∞
Betrachte nun die Differenz Ψ:
Ψ = ϕ1 − ϕ2
Dann gilt:
∆Ψ = ∆ϕ1 − ∆ϕ2 = 0
Aus den Randbedingungen folgt im eindimensionalen Beispiel:
∂2
Ψ = ∂x Ψ′ = ∂x (ϕ′1 − ϕ′2 ) = 0
∂x2
für alle r ∈ R3 . Hieraus folgt Ψ = const. für alle r ∈ R3 und Ψ(∞) = 0. Weiter gilt auch Ψ′ = 0 für alle r und
damit folgt Ψ = const. für alle r und Ψ(∞) = 0. Also gilt Ψ = 0 und damit auch ϕ1 = ϕ2 . Es existiert also
eine eindeutige Lösung der Poissongleichung mit Ψ = Ψ′ = 0, für |r| → ∞. Damit ist auch der Fundamentalsatz
bewiesen. Für den Fall von Randbedingungen auf einer Oberfläche enthält ϕ(r) Zusatzbeiträge ϕ|F und ∇ϕ|F .
Die allgemeine eindeutige Lösung der Poissongleichung ist gegeben als:
Z
ρ(r′ )
ϕ(r) =
|r − r′ |
(3.11)
mit folgenden Randbedingungen:
lim ϕ(r) = 0
(3.12)
lim ∇r ϕ(r) = 0
(3.13)
|r|→∞
|r|→∞
3.1.3
Ableitung der Lösung der Poissongleichung aus den Green’schen Identitäten
Diese Methode ist wichtig für spätere Randwertprobleme und stellt eine Lösung für ein allgemeines Volumen V
mit einer beliebigen Begrenzung dar F . Wir benutzen den Satz von Gauß für ein allgemeines Vektorfeld A
I
Z
div AdV = Adf
A lässt sich darstellen über zwei Skalarfelder ϕ und Ψ:
A = ϕ · grad Ψ.
Es gilt dann für alle ϕ und Ψ:
div A = grad ϕ · grad Ψ + ϕ∆Ψ.
Und somit:
Z
[grad ϕ · grad Ψ + ϕ∆Ψ] dV =
I
ϕ grad ψ · df
Vertauscht man nun in Gleichung 3.14 ϕ und Ψ und subtrahiert diese Gleichung so erhält man:
(3.14)
3.1. ELEKTROSTATIK
49
Z
ϕ∆ΨdV =
Z
Ψ∆ϕdV +
I
[ϕ · grad Ψ − Ψ · grad ϕ] df
(3.15)
Wir konstruieren jetzt die Lösung der Poisson-Gleichung durch geeignete Wahl in Gleichung 3.15:
Ψ(r′ ) = −
1
4π|r − r′ |
Es ist das ϕ(r′ )-Potential gesucht mit
∆ϕ = −4πρ.
Wir bezeichnen r′ als die Integrationsvariable in Gleichung 3.15.
∆r′ Ψ(r′ ) = δ(r − r′ )
Z
→ ϕ(r′ )∆r′ Ψ(r′ ) = ϕ(r)
∆r′ ϕ(r′ ) = −4πρ(r′ )
Damit erhält man in Gleichung 3.15 die Lösung für das Potential.
ϕ(r′ ) =
Z
V
1
ρ(r′ )
dr′ +
′
|r − r |
4π
I
F (V )
∇r′ ϕ(r′ )
1
′
′
)∇
df ′
−
ϕ(r
r
|r − r′ |
|r − r′ |
(3.16)
Damit ist die Verallgemeinerung von Gleichung 3.10 auf ein allgemeines Randwertproblem gelungen. ϕ ist
eindeutig bei der Vorgabe von ρ(r) in V , sowie von ϕ und grad ϕ auf F (V ). Wir zeigen später, dass die Vorgabe
einer Funktion aϕ + bn grad ϕ auf F (V ) genügt. Weiter lässt sich Gleichung 3.16 für den Grenzwert V → ∞
und für den Eindeutigkeitsbeweis verwenden.
Da ϕ(r → ∞) = 0 gilt, gilt auch grad ϕ(r → ∞) = 0. Hieraus
H
ebenfalls verschwindet. Es bleibt
folgt, dass das Oberflächenintegral
F (V )
ϕ(r) =
Z
ρ(r′ ) 3 ′
d r
|r − r′ |
übrig. In Gleichung der zweiten Laplace Gleichung für die Differenz ∆Ψ ist nun ρ = 0 und damit folgt:
Ψ(r′ ) = ϕ1 (r) − ϕ2 (r) = 0.
Damit ist die Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung bewiesen.
3.1.4
Methode der Green-Funktion
Wir lernen jetzt eine weitere Lösungsmethode für diese und ähnliche Differentialgleichungen kennen. Betrachte
die folgende inhomogene Differentialgleichung:
Lr f (r) = g(r),
(3.17)
wobei Lr ein Differentialoperator wie zum Beispiel ∆r ist. g(r) ist unabhängig von f und stellt den inhomogenen
Teil der DGL dar. Das Verfahren wird jetzt sein, eine bestimmte Lösung f ∗ zu finden und aus dieser dann die
allgemeine Lösung zu berechnen. Betrachte folgenden Fall der Funktion g:
Lr f ∗ (r) = δ(r − r′ )
In diesem Fall ist
f ∗ = G(r, r′ )
die Greenfunktion. Wir suchen nun also die Lösung für folgende Differentialgleichung:
Lr G(r, r′ ) = δ(r − r′ )
(3.18)
50
3.1.4.1
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Behauptung:
Die Lösung von Gleichung (3.18) folgt aus der Gleichung (3.17) mit:
Z
f (r) = G(r, r′ )g(r′ )d3 r′
3.1.4.2
(3.19)
Beweis:
Setze Gleichung (3.19) in Gleichung (3.17) ein:
Z
Lr f (r) = Lr G(r, r′ )g(r′ )d3 r′
Z
= g(r′ )Lr G(r, r′ )d3 r′
Z
= g(r′ )δ(r − r′ )d3 r′
= g(r)
3.1.4.3
Spezialfall: Poissongleichung
Wir betrachten jetzt den Fall ,dass (3.17) die Poissongleichung ist. Es ist also Lr = ∆r , g(r) = −4πρ und
f (r) = ϕ(r).
∆ϕ = −4πρ.
Also ist die allgemeine Lösung:
ϕ(r) =
Z
G(r, r′ ) · (−4πρ)d3 r′
Wir suchen jetzt also die Greenfunktion G(r, r′ ) für den Fall der Poissongleichung. Wir erinnern uns an den
Fall der Poissongleichung für eine Punktladung mit:
∆r
1
= −4πδ(r − r′ )
|r − r′ |
Hieraus lesen wir die Greenfunktion folgendermaßen heraus:
G(r, r′ ) = −
1
1
+ F (r, r′ ),
4π |r − r′ |
mit
∆r F (r, r′ ) = 0
Die Wahl von F ist bedingt durch die Randbedingungen. Da gilt:
lim ϕ′ = 0,
|r|→∞
folgt:
F =0
Setzt man dies in die Lösung für ϕ ein, so erhält man folgendes Ergebnis.
Die exakte allgemeine Lösung der Poissongleichung ist mit den obigen Randbedingungen gegeben durch:
Z
ρ(r′ ) 3 ′
d r
(3.20)
ϕ(r) =
|r − r′ |
3.1. ELEKTROSTATIK
3.1.5
51
Methode der Fouriertransformation
Eine weitere Methode, die Poissongleichung zu lösen, ist die der Fouriertransformation. Wir definieren die
Fouriertransformation mit folgenden Vorfaktoren:
1
f (x) = √
2π
1
f˜(k) = √
2π
Z∞
−∞
Z∞
eikx f˜(k)dk
(3.21)
e−ikx f (x)dx
(3.22)
−∞
Hierbei wird die Rücktransformation auch als inverse Fouriertransformation bezeichnet.
3.1.5.1
Behauptung:
Die Fouriertransformation ist für alle relevanten Fälle f (x) eindeutig.
3.1.5.2
Beweis:
Wir zeigen, dass Hin- und Rücktransformation ohne Mehrdeutigkeiten in sich schlüssig sind:
1
f (x) = √
2π
1
=√
2π
1
=
2π
=
1
2π
Z∞
eikx f˜(k)dk
Z∞

−∞
−∞
Z∞
−∞
Z∞
−∞


1
eikx  √
2π
Z∞
f (x̃)e
Z∞
−∞
e−ikx̃ f (x̃)dx̃ dk
ik(x−x̃)
−∞


dx̃ dk
f (x̃)2πδ(x − x̃)dx̃
= f (x)
Hierbei haben wir folgende Eigenschaft der Delta-Distribution benutzt:
Z∞
−∞
3.1.5.3
eik(x−x̃) dk = 2πδ(x − x̃)
Bemerkung:
Man nennt f˜(k) das Spektrum von f (x). Im physikalischen Fall ist oft x die Koordinate und k die Wellenzahl
(oder die Zeit t bzw. die Frequenz ω).
f (t)
f˜(ω)
t
(a) einfache periodische Funktion im Zeit-Raum
Betrachte ein weiteres Beispiel zur Fouriertransformation:
ω0
(b) einfache periodische Funktion im FrequenzRaum
ω
52
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
f (t)
f˜(ω)
t
ω2
ω1
ω
ω3
(b) zugehörige Funktion im Frequenz-Raum
(Spektrum)
(a) allgemeine periodische Funktion im ZeitRaum
Solange eine Funktion f periodisch ist kann sie durch eine Zahl von verschiedenen Frequenzen im k-Raum
dargestellt werden.
3.1.5.4
Idee und Verfahren:
Die Idee ist jetzt, das Potential ϕ(r) durch die Fouriertransformierte ϕ̃(k) zu ersetzen und so die Poissongleichung
im k-Raum so zu vereinfachen, dass die Lösung einfacher sichtbar wird. Anschließend wird diese gefundene
Lösung zurücktransformiert. Hierfür benötigen wir zunächst die Fouriertranformation in drei Dimensionen. Es
gilt:
Z
1
eik·r f˜(k)d3 k
(3.23)
f (r) =
3
(2π) 2
3
R
Z
1
e−ik·r f (r)d3 r
(3.24)
f˜(k) =
3
(2π) 2
R3
Wir setzen diese Fouriertransformation in die Poissongleichung ein:


Z
1
eik·r ϕ̃(k)d3 k 
∆r ϕ(r) = ∆r 
3
(2π) 2
3
Z R
1
ϕ̃(k)∆r eik·r d3 k
=
3
(2π) 2
(3.25)
R3
Betrachte den Ausdruck mit dem Laplace-Operator ∆r = ∂x22 + ∂y22 + ∂z22 :
∆r eik·r = ∆r eikx x+iky y+ikz z
= ∆r eikx x · eiky y · eikz z
= (ikx )2 + (iky )2 + (ikz )2 ) · eik·r
= −k 2 eik·r
Setzt man dies in Gleichung (3.25) ein, so erhält man:
∆r ϕ(r) = −
1
3
(2π) 2
Z
k 2 eik·r ϕ̃(k)d3 k
R3
Auch die rechte Seite der Poissongleichung transformieren wir:
Z
1
ik·r 3
−4πρ(r) = −4π
d k
3 ρ̃(k)e
(2π) 2
R3
Kombiniert man (3.26) und (3.27), so erhält man:
Z
h
i
1
ik·r
− k 2 ϕ̃(k) + 4π ρ̃(k) = 0
3 e
(2π) 2
R3
(3.26)
(3.27)
3.1. ELEKTROSTATIK
53
Da die Beiträge eik·r für verschiedene k immer unabhängig sind, gilt äquivalent:
−k 2 ϕ̃(k) + 4π ρ̃(k) = 0
Die Fouriertransformierte der Poissongleichung ist gegeben durch:
ϕ̃(k) =
4π ρ̃(k)
k2
(3.28)
Wir machen hierzu ein paar Bemerkungen:
• Diese Form ist eine algebraische Gleichung für ϕ̃(k) und keine Differentialgleichung mehr.
• Die Ursache hierfür ist das die Poissongleichung linear in ϕ ist. Also kann man ϕ(r) als Superposition
aller Spektralkomponenten schreiben, was letztlich aus der Linearität der Maxwell-Gleichungen folgt.
• Die Lösung für das Potential im r-Raum folgt durch die Rücktransformation:
Z
ρ̃(k)
4π
ϕ(r) =
eik·r 2 d3 k
3
k
(2π) 2
(3.29)
R3
Diese Lösung ist äquivalent zu den vorher gefundenen.
3.1.6
Elektrostatische Multipol-Entwicklung
Wir betrachten eine beliebige Ladungsverteilung ρ(r′ ) in einer relativ zur Ausdehnung d der Ladungsverteilung
großen Entfernung r. Ziel ist es, eine Näherung für das Potential und Feld einer solchen Situation zu erhalten.
Man nennt diese Näherung Multipol-Entwicklung. Die Voraussetzung hierfür ist also r − r′ ≈ r, oder
|r| ≫ d
Hierbei werden Details der Ladungsverteilung unwichtig werden und wir werden den Parameter
benötigen. Betrachte folgende Abbildung:
d
r
= α ≪ 1
Abbildung 3.8: Skizze zur elektrischen Multipol-Entwicklung. Es wird der Fall r ≫ d betrachtet (“Fernfeld”).
Wir möchten den Ausdruck
ϕ(r) =
Z
ρ(r′ ) 3 ′
d r
|r − r′ |
in eine Taylorreihe um r′ = 0 entwickeln. Speziell interessiert und also die Entwicklung des Terms
1
|r − r′ |
Da wir um r′ = 0 entwickeln, fassen wir f als eine Funktion von r′ auf.
f (r′ ) =
1
|r − r′ |
54
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Hierbei ist:


x1
r = x 2 
x3
und
 ′
x1
r′ = x′2 
x′3
Hierzu müssen wir uns zunächst die mehrdimensionale Taylorformel anschauen [Kle]. Für das n-te Taylorpolynom einer Funktion f : Rd → R zum Entwicklungspunkt a gilt:
Ta,n =
X Dk f (a) · (r′ − a)k
,
k!
|k|<n
und für den Spezialfall a = 0 gilt:
T0,n =
X Dk f (0) · (r′ )k
,
k!
|k|<n
hierbei ist k eine Indexmenge mit k = {(k1 , k2 , k3 )} ⊂ N3 . Man definiert folgende Eigenschaften:
|k| = k1 + k2 + k3
k! = k1 ! · k2 ! · k3 !
′k
′k
r′k = x′k
1 · x2 · x3
Dk = D1k D2k D3k
Der Differentialoperator D ist für eine Wirkung auf r′ wie folgt zu verstehen. D12 steht für
∂2
∂x′ ∂x′
2
∂2
∂x′2
, D21 D31 steht für
1
. Die Taylorreihe zum Entwicklungspunkt 0 ist gegeben durch:
3
f (r′ ) =
∞
X
T0,n
n=0
Zunächst schauen wir uns die Index-Mengen k an:
|k| = 0
|k| = 1
k = {(0, 0, 0)}
k = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
|k| = 1
...
k = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)}
...
Diese Form der mehrdimensionalen Taylorreihe wird sehr schnell unübersichtlich und führt leicht zu Rechenfehlern. Im R3 gibt es folgenden äquivalente Formulierung. Mit den obigen Setzungen gilt:
1 2
∇ f (r) ◦ (−r′ ) ◦ (−r′ ) + ...
2!
3
3
3 X
X
X
∂
1 ∂2
= f (r) +
f (r) · (−x′i ) +
f (r) · (−x′i ) · (−x′j ) + ...
∂x
2!
∂x
∂x
i
i
j
i=1
i=1 j=1
f (r − r′ ) = f (r) + ∇f (r) ◦ (−r′ ) +
Betrachte nun folgende Terme einzeln:
f (r) =
1
r
3
3
X
X
∂
∂ 1
· (−x′i )
f (r) · (−x′i ) =
∂x
∂x
r
i
i
i=1
i=1
=
=
3 X
xi − 3 · (−x′i )
r
i=1
3
X
1
x x′
3 i i
r
i=1
3.1. ELEKTROSTATIK
55
3
3
3 X
3
X
1 ′ ′
1 X X ∂2
1 ∂2
′
′
xi · xj
f (r) · (−xi ) · (−xj ) =
2!
∂x
∂x
2!
∂x
∂x
i
j
i
j r
i=1 j=1
i=1 j=1
=
=
3
3
∂ h xi i ′ ′
1 XX
−
x ·x
2! i=1 j=1 ∂xj r3 i j
3
3
1 XX
∂
1 ∂ ′ ′
1
− xi
+
x
xi · xj
i
2! i=1 j=1
∂xj r3
r3 ∂xj
3
3
1
xi xj
1 XX
− −3 5 + 3 δij x′i · x′j
=
2! i=1 j=1
r
r
3
=
3
1 XX 1
2! i=1 j=1 r3
3xi xj
′
′
−
δ
ij xi · xj
r2
Fasst man diese Ergebnisse zusammen und benutzt die Einsteinsche Summenkonvention, so gilt die
Multipolentwicklung des elektrostatischen Potentials (kartesische Koordinaten):
Z
3xi xj
1
1 xi x′i
′
′
x
·
x
+
...
d3 r ′
+ 3 + 3
−
δ
ϕ(r) = ρ(r′ )
ij
i
j
r
r
2r
r2
(3.30)
Man schreibt nun
ϕ(r) =
Q P ◦ r 1 Qij xi xj
+ 3 +
+
...
,
r
r
2 r5
(3.31)
mit der Gesamtladung der Ladungs-Verteilung in V (Skalar):
Z
Q := ρ(r′ )d3 r′ ,
(3.32)
V
dem Dipolmoment der Verteilung in V (Vektor):
Z
P := ρ(r′ ) · r′ d3 r′ ,
(3.33)
V
und dem Quadrupolmoment der Verteilung in V (Tensor):
Z
Qij := ρ(r′ )(3x′i x′j − r′2 δij )d3 r′
(3.34)
V
3.1.6.1
Diskussion
• Die Multipolentwicklung gibt ϕ im sogenannten Fernfeld“, wobei nach Potenzen von α =
”
wurde.
d
r
≪ 1 entwickelt
• Also ist der n-te Term proportional zu αn
• Jeder Term der Entwicklung enthält eine Mittelung über die Ladungsdichte ρ(r). Die Gesamtladung Q
kann man sich als konzentriert im Ladungsschwerpunkt vorstellen, also bei r = 0. Das Dipolmoment P
kann man sich als (+ und -) Pole im Ursprung mit räumlicher Ausdehnung d denken.
3.1.6.2
Beispiel
Wir betrachten 2 Punktladungen gleichen Betrags aber unterschiedlichen Vorzeichens und finden das Potential
welches sie bewirken.
56
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
−q
0
d
r
+q
Abbildung 3.9: Symmetrischer Dipol
Schon vor einer Rechnung ist klar, dass der Monopolbeitrag verschwinden muss:
Q=q−q =0
In exakter Form sieht das Potential folgendermaßen aus:
q
−q
ϕ(r) =
+
|r + 21 d| |r − 12 d|
Wir betrachten nun das Potential für weit entfernte Punkte, also α = dr ≪ 1. Daher können wir schreiben:
−1 −0.5
2
r ± 1 d = r 2 + d ± r ◦ d
2 4
−0.5
2
≈ r ±r◦d
−0.5
1
r◦d
=
1± 2
r
r
Definiere
g(x) :=
1
1
√
r 1±x
Mit x = r12 · r ◦ d ∝ α ≪ 1 kann g(x) in eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt x = 0 entwickelt werden.
Diese brechen wir nach dem linearen Glied ab.
g(x) = g(0) + g ′ (0)(x)1 + ...
Es ist
g(0) =
1
r
und
1
1
3 2r (1 ± x) 2 x=0
1
=∓
2r
g ′ (0) = ∓
Zusammenfassend gilt also:
Dies setzen wir in das Potential ein:
−1
r ± 1 d ≈ 1 1 ∓ d ◦ r
2 r
2r2
q
−q
+
1
|r − 2 d| |r − 12 d|
1
1
=q −
+
|r + 12 d| |r − 12 d|
1
d◦r
d◦r
1
+
1−
1+
≈q −
r
2r2
r
2r2
q
d◦r
d◦r
=
−1 +
+1+
r
2r2
2r2
d◦r
=q· 3
r
Ein Vergleich mit der elektrostatischen Mulitpolentwicklung (3.31) liefert
ϕ(r) =
3.1. ELEKTROSTATIK
57
das Dipolmoment zweier Punktladungen im Abstand d, wobei d von der negativen zur positiven Ladung
definiert ist:
P =q·d
(3.35)
Dieses Ergebnis testen wir noch mit der Integraldefinition des Dipolmomentes (3.33). Die Ladungsdichte ist
gegeben durch:
1
1
ρ(r) = qδ r − d − qδ r + d
2
2
Hiermit ergibt sich das Dipolmoment zu:
Z
ρ(r) · rd3 r =
1
1
d− d
=q·
2
2
P =
Z
1
1
q · r · δ r − d − q · r · δ r + d d3 r
2
2
=q·d
Dies ist das bereits zuvor erhaltene Ergebnis. Das Potential
ϕDipol (r) =
P ◦r
r3
ist also proportional zu cos(<
) (P , r)) und damit richtungsabhängig, was folgende Abbildung verdeutlicht:
−q
r
ϕM ax
r
ϕM in
+q
+q
−q
Abbildung 3.10: Richtungsabhängigkeit des Dipolpotentials
Für eine allgemeine Verteilung ρ(r) ist der Dipolbeitrag analog zu zwei Punktladungen. Es lässt sich immer ein
Schwerpunkt der positiven und negativen Ladungen bestimmen. Die Multipolentwicklung setzt sich mit dem
Quadrupol- und Oktupolbeitrag fort. Ein Beispiel hierfür ist die Ladungsverteilung im Atom. Der Grundzustand
ist isotrop und die angeregten Zustände sind anisotrop.
3.1.6.3
Elektrisches Feld des Multipol-Potentials
Es gilt:
E = −∇ϕ
Wir betrachten zunächst das Monopolfeld E M , welches sich aus dem entsprechenden Potential ergibt:
E M = −∇
Q
Q
= 2 êr
r
r
58
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Hieraus folgt für das Dipolfeld:
E D = −∇
P ◦r
r3
1
1
= − 3 · ∇ (P ◦ r) − P ◦ r · ∇
r
r3
1
3
= − 3 ∇ (Px · x + Py · y + Pz · z) − P ◦ r − 4 · êr
r
r
3
P
= − 3 + 5 r · (P ◦ r)
r
r
Erweitern des ersten Terms mit r2 und anschließendes Tauschen der Reihenfolge liefert folgende wichtige Formel
für das Dipolfeld:
E D (r) =
3r · (P ◦ r) − P · r2
r5
(3.36)
Betrachten wir die Richtungsabhängigkeit des elektrischen Dipolfeldes:
−q
r
θ
P
+q
Abbildung 3.11: Richtungsabhängigkeit des Dipolfeldes
• Für P ⊥ r, also für θ =
π
2,
gilt:
ED = −
P
r3
• Für P ||r, also für θ = 0, gilt:
ED =
3.1.7
2·P
r3
Energie des elektrostatischen Feldes
Wir kehren nun zurück zu einer beliebigen Ladungsverteilung. Wir hatten bereits das Resultat für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes gefunden zu:
1 2
|E| + |B|2
u(r) =
8π
In der Elektrostatik sind das elektrische und magnetische Feld nun entkoppelt. Also muss für die Energiedichte
des elektrostatischen Feldes gelten:
uE (r) =
1
|E(r)|2 ,
8π
womit dann für die Gesamtenergie wie gewohnt folgt:
Z
WE = uE (r)d3 r
V
(3.37)
(3.38)
3.1. ELEKTROSTATIK
59
Im Folgenden leiten wir eine alternative Form der Energie des elektrostatischen Feldes über das Potential her.
Hierfür verwenden wir wieder:
E = −∇ϕ
Also:
WE =
1
8π
Z
V
1
=−
8π
E ◦ Ed3 r
Z
E ◦ ∇ϕd3 r
V
Um dies weiter umzuschreiben, betrachte:
∇(ϕ · E) = ∇ϕ ◦ E + ϕ · ∇E
∇(ϕ · E) − ϕ · ∇E = E ◦ ∇ϕ
Setzt man dies ein, so erhält man:
WE = −
1
8π
Z
∇(ϕ · E)d3 r +
V
1
8π
Z
ϕ · div(E)d3 r
V
Jetzt benutzen wir noch die erste Maxwell-Gleichung und wenden den Satz von Gauß auf das erste Integral an:
Z
Z
1
1
ϕ · EdA +
ϕ · 4πρd3 r
WE = −
8π
8π
V
∂V
Aus den Randbedingungen folgt:
lim
Z
V →∞
∂V
ϕ · EdA = 0
Die Energie des elektrostatischen Feldes im gesamten Raum lässt sich schreiben als:
Z
1
ϕ(r) · ρ(r)d3 r
WE =
2
(3.39)
R3
3.1.7.1
Diskussion:
WE ist die Hälfte der Potentiellen Energie einer Ladungsverteilung ρ(r) im Potential ϕ(r). Jetzt stellt sich die
Frage nach dem Grund für den Faktor 21 . Die Antwort ist, dass ϕ kein äußeres Potential ist, sondern durch
ρ(r) selbst erzeugt wird. Der Faktor 21 verhindert Doppelzählungen. Schauen wir uns dies am Beispiel von N
Punktladungen an:
ρ(r) =
N
X
i=1
ϕ(r) =
qi δ(r − ri )
N
X
i=1
qi
|r − ri |
Es folgt für WE :
WE =
Z
R3
=
N
N
X
1X
qj
qi δ(r − ri )
2 i=1
|r
−
rj |
j=1
N
1 X qi qj
2 i,j=1 |ri − rj |
60
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Hier wird also jedes Paar zweimal gezählt und dies wird durch den Faktor 12 korrigiert. Es gibt allerdings noch
ein Problem. Die sogenannten Selbstwechselwirkung i = j ist unphysikalisch und existiert daher nicht. Das
Resultat für N Punktladungen ist also:
N
1 X qi · qj
2 i,j=1 |ri − rj |
WE =
(3.40)
i6=j
3.1.7.2
Beispiel:
Wir betrachten das Beispiel einer kontinuierlichen Ladungsverteilung, nämlich einer geladenen Kugelschale mit
Radius R und der Gesamtladung Q = 4πσR2 . Für die Ladungsdichte galt:
ρ(r) = σδ(r − R)
Außerdem haben wir in einer Übungsaufgabe Feld und Potential dieser Ladungsverteilung berechnet:
(
0,
r≤R
E(r) = Q
r,
r
>R
r3
ϕ(r) = Q
(
1
R,
1
r,
r≤R
r>R
Wir verwenden nun beide oben beschriebenen Wege um die Gesamtenergie des Feldes zu berechnen.
Z
1
|E|2 d3 r
WE =
8π
=
4π
8π
V
Z∞
Q2
1
· r2 dr
r4
R
1 Q2
=
2 R
Der zweite Weg ergibt:
WE =
1
2
Z
ρ(r) · ϕ(r)d3 r
V
=
1
σ4π
2
Z∞
ϕ(r)δ(r − R) · r2 dr
R
2πQ 2 Q
=
R
4πR2
R
1 Q2
=
2 R
3.1.8
Ladungen im externen elektrostatischen Feld
Bisher haben wir Felder betrachtet, die von den Ladungen selbst erzeugt wurden. Jetzt betrachten wir den
anderen wichtigen Fall das ein externes Feld (ϕext ,E ext ) anliegt. Wir untersuchen die Wirkung von ϕext auf
diese Ladungen (Energie, Kraft, Drehmoment). Hierbei nehmen wir an, dass es keine Rückwirkungen auf das
externe Feld/Potential gibt.
3.1.8.1
Energie von Ladungen im externen Potential
Da das Potential nicht von den Ladungen selbst erzeugt wird haben wir keine Doppelzählungen (keinen Faktor
1
2 ) und die Energie nimmt folgende Form an:
W =
N
X
i=1
qϕext (ri )
3.1. ELEKTROSTATIK
61
Dann nimmt die Energie für die allgemeine Verteilung ρ(r) die Form
Z
W = ρ(r)ϕext (r)d3 r
(3.41)
an. Nun betrachten wir den wichtigen Fall, dass das externe Potential schwach veränderlich über die Ausdehnung
der Ladungsdichte ist. Sei R der Ladungsschwerpunkt der Ladungsdichte. Dann können wir eine Taylorentwicklung von ϕext (r) um r = R durchführen:
Abbildung 3.12: Ladungsdichte mit Schwerpunkt R
Die Taylorentwicklung bis zum linearen Glied um R ist:
ϕext (r) = ϕext (R) + ∇ϕext (r)
= ϕext (R) −
3
X
i=1
r=R
r′ + ...
(r − R)i · Eext,i (R) + ...
wobei r′ = r − R ist. Dies setzen wir ein in 3.41 ein:
Z
W = ρ(r)ϕext (r)d3 r
V
=
Z
ρ(r)ϕext (R)d3 r −
V
Z
ρ(r)E ext (R)(r − R)d3 r + ...
V
Vergleicht man dies mit 3.32 und 3.33 so erhält man:
W (R) = Q · ϕext (R) − E ext (R) ◦ P + ...
(3.42)
,wobei P das Dipolmoment bezüglich eines Koordinatensystems mit Ursprung bei R ist. Dies kann man am
Beispiel zweier Dipole nachvollziehen. Der erste Dipol erzeugt ein für den anderen Dipol externes Feld gemäß:
E ext =
3r · (p1 ◦ r) − p1 r2
r5
Für die Energie ist dann:
Wdd = −p2 ◦ E ext
3r · (p1 ◦ r) − p1 r2
= −p2 ◦
r5
1 2
= 5 r · p1 ◦ p2 − 3 · (p2 ◦ r) · (p1 ◦ r)
r
Mit n =
r
r
wird die Energie zweier Dipole zu
Wdd =
p1 ◦ p2 − 3 · (n ◦ p1 ) · (n ◦ p2 )
r3
(3.43)
62
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Für die obigen Überlegungen gilt folgende Skizze, wobei α =<
) (p1 , p2 ) ist.
p1 α
p2
r
0
Abbildung 3.13: Skizze zur Energie zweier Dipole
Die minimale potentielle Energie, also die stabile Position stellt sich für α = 0 und p1 ||p2 ||n ein:
p1
p2
r
Wmin = − 2pr13·p2
Abbildung 3.14: Stabile Position zweier Dipole
3.1.8.2
Kraft auf Ladungen im externen Feld
Für eine Kraft gilt:
F = − grad W
Betrachten wir Gleichung 3.42 für den Fall eines Koordinatensystems bei R = 0 so erhält man:
Hierbei ist
F = Q · E ext (0) + (P · ∇)E ext (r)
r=0
+ ...
(3.44)
F L = Q · E ext
die Lorentzkraft, die das externe Feld ausübt und
F D = (P · ∇)E ext
die Kraft auf den Dipol im externen Feld.
3.1.8.3
Drehmoment auf Ladungen im externen Feld
Für Punktladungen gilt:
M=
N
X
i=1
ri × F i
Wenn F die Lorentzkraft des externen Feldes ist gilt:
M=
N
X
i=1
M=
qi ri × E ext
N
X
i=1
pi × E ext
Hierzu kommen noch Terme höherer Ordnung der Taylorentwicklung (∇E ext usw.)
(3.45)
3.2. MAGNETOSTATIK
3.2
3.2.1
63
Magnetostatik
Grundgleichungen der Magnetostatik
Wir schon zuvor entkoppeln B und E für zeitunabhängige Prozesse. Die relevanten Maxwell-Gleichungen für
dieses Teilgebiet sind:
div B = 0
(3.46)
und
rot B =
4π
j
c
(3.47)
Man kann dies mit B = rot A und der Coulombeichung(div A = 0) schreiben als:
∆A = −
4π
j
c
(3.48)
Mit dieser festgelegten Eichungen sind die Gleichungen für B und A bis auf Konstanten äquivalent. Die Bewegungsgleichungen für A ist die Lösung der vektoriellen Poissongleichung (3 skalare Poissongleichungen):


 
∆Ax
jx
∆Ay  = − 4π jy 
c
∆Az
jz
(3.49)
Die allgemeine Lösung bekommt man durch die Analogie zur Lösung von ∆ϕ = −4πρ.
Die allgemeine Lösung der Poissongleichung für A ist gegeben durch:
Z
j(r′ ) 3 ′
1
A(r) =
d r
c
|r − r′ |
(3.50)
Dies gilt für:
lim j = lim ∇i j = 0
|r|→∞
|r|→∞
(3.51)
Ist die obige Randbedingung nicht erfüllt so gibt es Zusatzterme. Dies bedeutet, dass es in unserem Fall nur
räumlich begrenzte Stromdichten gibt. Ebenso gilt obige Lösung nur in der Abwesenheit anderer Körper, also
nur im Vakuum. Nun ist B aus der Lösung des Vektorpotentials zu finden:
B(r) = rot A(r)
Z
j(r) 3 ′
1
∇r ×
=
d r
c
|r − r′ |
Wir führen die folgende Nebenrechnung durch:
∇r
1
1
=−
(r − r′ )
′
|r − r |
|r − r′ |3
Wir tauschen nun den Vorfaktor im Kreuzprodukt und erhalten folgendes Gesetz.
Das Magnetfeld B(r) für eine beliebige Stromverteilung j(r) ergibt sich gemäß des Biot-Savart-Gesetzes:
B(r) =
1
c
Z
j(r′ ) ×
r − r′ 3 ′
d r
|r − r′ |3
(3.52)
64
3.2.1.1
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Spezialfall dünner Ströme
Äquivalent zum Modell der Punktladung für die Ladungsdichte besprechen wir nun das Modell des Linienstroms
für die Stromdichte. Als Linienstrom definieren wir einen dünnen Strom entlang einer Kontur L.
Abbildung 3.15: Modell des Linienstroms I entlang L
Da wir für die Magnetostatik analog vorgehen möchten macht es Sinn sich noch einmal das Modell in der
Elektrostatik in Erinnerung zu rufen.
Abbildung 3.16: Ladungsdichte für punktförmiges Modell
Für die Gesamtladung galt:
Q=
Z
M
X
ρd3 r ≈
∆Qi
i=1
Die Ladungsdichte ging mit dieser Überlegung in
ρ(r) =
lim
M
X
∆Vi →0
M →∞ i=1
Q=const
qi δ(r − ri )
über. Wir zerlegen die Stromdichte j in diskrete Beiträge. Wenn wir dann die Anzahl der Unterteilungen gegen
Unendlich und die Querschnittsflächen jeder Stromdichte gegen Null laufen lassen erhalten wir eine Summe von
Linienströmen entlang beliebiger Konturen Li . Analog Zerlegen wir nun einen Strom I in eine Überlagerung
von Strömen Ii entlang der Konturen Li
I=
Z
j(r)df ≈
M
X
i=1
j i ∆f i =
M
X
Ii
i=1
Wenn M groß genug wird, wird der Strom I in einer Querschnittsfläche ∆fi konstant entlang Li .
3.2. MAGNETOSTATIK
65
Abbildung 3.17: Stromdichte für linienförmiges Modell
Die Kontur L parametrisieren wir mit der Kurve γ gemäß
γ : s 7→ R3
mit s ∈ [smin , smax ] ⊂ R. Die Parametrisierung γ muss je nach Problemstellung geschickt gewählt werden. In
den Gleichungen 3.52 und 3.50 treten vektorielle Kurvenintegrale auf. Allerdings muss man vorsichtig sein mit
dem Begriff Kurvenintegral. In der Mathematik gibt es Kurvenintegral erster und zweiter Art und beide liefern
skalare Größen. Im zweiten Fall wäre dies zum Beispiel das Integral, welches die Arbeit liefert. Hier treten
auch Integrale auf die vektorwertige Größen liefern. Dies ist dann so zu verstehen, dass das Integral in jede
Komponente mit hereinzuziehen ist. Welche Variante verwendet wird ist aus dem Zusammenhang klar. In den
Gleichungen 3.50 und 3.52 erkennt man, dass wir folgendes Integral zu lösen haben:
Z
j(r′ )d3 r′ =
Z
df
Z
j(γ(s))γ ′ (s)ds
γ
Hier haben wir aus dem Volumenintegral ein Flächenintegral gemacht. Der Vektor γ ′ (s) steht für jeden Parameter s tangential zur Kontur L.
Abbildung 3.18: Kurve γ für den Linienstrom
66
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Für die Stromdichte eines Linienstroms Ii gilt:
j(r) ∝
(
I 6= 0,
0,
r∈L
r∈
/L
Man könnte also die Proportionalität j(r) ∝ δ(r − γ(s)) annehmen und wie folgt definieren.
Die Stromdichte eines Linienstroms entlang L parametrisiert durch γ ist gegeben durch:
j(r) = I
sZ
max
smin
δ(r − γ(s))γ ′ (s)ds
(3.53)
Eine andere Formulierung dieser Definition ist:
j(r) = I
Z
dγ(s)δ(r − γ(s))
(3.54)
L
Hierbei ist dγ(s) tangential zu L. Wir testen nun ob diese Definition konsistent ist indem wir folgendes berechnen:
Z
Z
Z
j(r)df = I γ ′ (s)ds δ(r − γ(s))df = I,
da man immer eine Parametrisierung nach Bogenlänge (γ ′ = 1) für jede Kurve γ finden kann. Dies bestätigt,
dass obige Definition sinnvoll war. Die Definitionen 3.53 und 3.54 sind vorteilhaft für dünne Leiter mit beliebiger
Form L. Hierdurch vereinfachen sich die Volumenintegrale in A und B zu Liniennintegralen. Dies zeigen wir
nun und bestimmenn A und B für einen Linienstrom. Hierzu setzen wir 3.53 in Gleichung 3.50 ein:
Z
Z
I
1
3 ′
A(r) =
δ(r′ − γ(s))γ ′ (s)ds
d r
c
|r − r′ |
A(r) =
I
c
V
sZ
max
smin
γ
1
γ ′ (s)ds
|r − γ(s)|
(3.55)
Analog erhält man das magnetische Feld aus Gleichung 3.52:
Z
Z
r − r′
I
d3 r′ dsδ(r′ − γ(s)) ×
B(r) =
c
|r − r′ |3
γ
B(r) =
I
c
sZ
max
smin
γ ′ (s) × (r − γ(s))
ds
|r − γ(s)|3
(3.56)
Durch direkte Rechnung kann
B = rot A
gezeigt werden.
3.2.2
Anwendungen und Lösungsverfahren
Sei j(r) gegeben. Wir suchen nun für bestimmte Fälle das Vektorpotential und das Magnetfeld im gesamten
Raum.
3.2.2.1
Beispiel 1: Langer gerader Leiter
Wir legen den Leiter parallel zu z-Achse. Also gilt:
j(r) = j eˆz
3.2. MAGNETOSTATIK
67
Wir wählen Zylinderkoordinaten (êρ , êϕ , êz ). Diese bilden ein orthonormales Dreibein und es gilt folgender
Zusammenhang mit den kartesischen Koordinaten:
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z=z
ρ = x2 + y 2
y
êϕ êρ
r
I
ϕ
x
Abbildung 3.19: Skizze zur Wahl der Koordinaten beim geraden Leiter
Wir diskutieren nun drei verschiedene Wege.
3.2.2.2
Beispiel 1: Magnetfeld aus der Maxwell-Gleichung finden
Die vierte Maxwell-Gleichung in Integralform lautet:
Z
Z
rot Bdf =
4π
jdf =
c
Bdr
L
F (L)
F (L)
I
Also Kontur L wählen wir den Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius ρ. Aufgrund der Zylindersymmetrie und
der dritten Maxwell-Gleichung ist das Magnetfeld tangential an dieser Kontur und es gilt:
B = B · êϕ ||dr
Auch ist B unabhängig von ϕ und damit konstant auf der Kontur. Mit diesen Vorbetrachtungen kann man sich
die Parametrisierung sparen und schreiben:
I
Bdr = B(ρ) · 2πρ
L
Nun verbleibt es noch die folgende Gleichung zu lösen:
2πρB(ρ) =
Z
4π
jdf
c
F (L)
4π
I
c
2I 1
·
⇒ B(ρ) =
c ρ
=
Um dies mit einer Richtung zu versehen machen wir eine Vorüberlegung:
êz × r = êz × (z · êz + ρ · êρ ) = êz × ρ · êρ = ρêϕ
Also können wir schreiben:
2I
êϕ
cρ
2
B(r) = 2 (I · êz ) × r
cρ
B(r) =
(3.57)
68
3.2.2.3
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Beispiel 1: Finde zunächst das Vektorpotential
Mit Formel ?? gilt für das allgemeine Vektorpotential:
1
c
A(r) =
Z
j(r′ ) 3 ′
d r
|r − r′ |
In unserem Fall gilt
j(r) = j · êz
Wir legen den langen Leiter so entland der z-Achse, dass er symmetrisch um den Nullpunkt liegt. Die jeweiligen
Endpunkte haben die Koordinaten (0, 0, l) und (0, 0, −l). Die Parametrisierung wählen wir demnach zu:
 
0
γ : [−l, l] 7→ R3 : s 7→ 0
s
Es ist also
γ ′ (s) = 1 · êz
Es kann wieder aufgrund der Zylindersymmetrie keine ϕ-Abhängigkeit geben. Wie bereits zuvor teilen wir das
Volumenintegral auf:
Z
Z
1
1
A(ρ, z) =
df j(γ(s))γ ′ (s)
ds
c
|r − γ(s)|
γ
1
= · êz
c
=
I
c
Zl
−l
Z
jdf
Zl
−l
1
p
1
p
ρ2
ρ2 + (z − s)2
+ (z − s)2
ds
ds
Hierbei haben wir benutzt, dass I und damit auch j konstant auf der Kontur γ(s) ist. Dieses Integral berechnet
sich zu:
q

ρ 2
I  1 + l + 1
(3.58)
A(ρ, z) = ln q
2
c
1 + ρl − 1
Betrachtet man nun den Fall des sehr langen Leiters (l ≫ ρ), so liefert eine Taylorentwicklung:
!
2 "
2 + 12 · ρl
I
A(r) ≈ ln
ρ 2
1
c
2 · l
"
!
I
4
= ln
+1
ρ 2
c
l
l2
I
≈ ln 4 · 2
c
ρ
Dies divergiert für l → ∞, was daran liegt, dass die Formel für A hier nicht gilt, weil die Randbedingungen
nicht erfüllt sind.
3.2.2.4
Beispiel 1: Magnetfeld aus Linienströmen berechnen
Das Biot-Savart-Gesetz für Linienströme war:
I
B(r) =
c
sZ
max
smin
γ ′ (s) × (r − γ(s))
ds
|r − γ(s)|3
3.2. MAGNETOSTATIK
69
Wir wählen die Parametrisierung wie im Verfahren zuvor und erhalten:
B(r) =
I
c
Zl
−l
êz × (r − s · êz )
p
3 ds
ρ2 + (z − s)2
I
= · êz × r
c
Zl
−l
Wir verwenden folgendes Integral:
Z
dx
(a2
+
3
x2 ) 2
1
p
=
ρ2
+ (z − s)2
3 ds
x
1
√
2
2
a
a + x2
Damit können wir das vorige Integral auswerten.
%l
#
s
I
p
B(r) = · êz × r
c
ρ2 ρ2 + (z − s)2 −l
#
%
I
1
l
1
= · êz × r 2 p
−p
c
ρ
ρ2 + (z − l)2
ρ2 + (z + l)2
Zieht man l wieder in die Klammer und betrachtet den Grenzübergang mit l >> ρ so folgt das oben bereits
erhaltene Ergebnis:
B=
2I
êz × r
cρ2
Diese Lösung ist für alle Längen l möglich. Wie auch in der Elektrostatik kann man hier alternativ auch über die
Greenfunktion oder die Fourier-Transformation vorgehen. Dies wollen wir hier aber nicht tun. Wir behandeln
noch ein Beispiel.
3.2.2.5
Beispiel 2: Kreisförmiger dünner Leiter
Wir betrachten nun einen kreisförmigen dünnen Leiter mit einem Radius R, der von einem Strom I durchflossen
wird. Wir wählen Zylinderkoordinaten und legen das System so, dass die Leiterschleife in der x,y-Ebene liegt.
y
L
I
−R
R
x
ϕ
r(ρ, ϕ, z)
z
Abbildung 3.20: Skizze eines kreisförmigen Leiters
Die Formel des Vektorpotentials war gegeben durch:
I
A(r) =
c
sZ
max
smin
1
γ ′ (s)ds
|r − γ(s)|
70
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Die Kurve γ welche die Kontur L parametrisiert definieren wir zu:


R cos t
γ : [0, 2π] → R3 ; t 7→  R sin t 
0
mit:
′
γ (t) =
−R sin t
R cos t
Der Vektor r ist in Zylinderkoordinaten gegeben mit:


ρ cos ϕ
r =  ρ sin ϕ 
z
, wobei r2 = ρ2 + z 2 gilt. Hiermit ergibt sich für das Vektorpotential:


Z2π −R sin t
1
 R cos t  

ρ cos ϕ − R cos t dt
0
0
 ρ sin ϕ − R sin t 
z
I
A(r) =
c
Betrachte nun zunächst den Teil |r − γ(t)|:
p
(ρ cos ϕ − R cos t)2 + (ρ sin ϕ − R sin t)2 + z 2
p
= ρ2 + R2 − 2ρR(cos t cos ϕ + sin ϕ sin t) + z 2
p
= ρ2 + R2 + z 2 − 2ρR cos(ϕ − t)
|r − γ(t)| =
Setzt man dieses Ergebnis in das Vektorpotential ein, betrachtet nur die Ax (r) Komponente und erweitert mit
1
r , so erhält man:
IR
êx
Ax (r) = −
rc
Z2π
IR
êx
rc
Z2π
=−
Sei nun x =
R
r
0
0
sin t
p
dt
2
2
2
ρ + z + R − 2ρR cos(ϕ − t) · 1r
sin t
q
1+
R2
r2
−
2ρ
r
·
R
r
dt
cos(ϕ − t)
und betrachte den Fall x ≪ 1, also r ≫ R:
IR
Ax (r) = −
êx
rc
Z2π
0
sin t
q
1 + x2 −
2ρ
r
dt
· x cos(ϕ − t)
Wir führen also eine Taylorreihenentwicklung für die Funktion f zum Entwicklungspunkt 0 durch mit:
f (x) = q
1
1+
x2
−
2ρ
r x cos(ϕ
− t)
f (0) = 1
− 23
2ρ
2ρ
1
2
2x −
cos(ϕ − t) · 1 + x − x cos(ϕ − t)
f (x) = −
2
r
r
ρ
′
f (0) = cos(ϕ − t)
r
′
3.2. MAGNETOSTATIK
Also gilt mit x =
R
r
71
nun wieder:
IR
Ax (r) ≈ −
êx
cr
=−
Z2π
0
IR h
êx
cr
ρR
sin t 1 + 2 cos(ϕ − t)
r
Z2π
sin tdt +
0
|
ρIR2
= − 3 êx
cr
Ax (r) =
Z2π
0
{z
=0
Z2π
0
}
i
ρR
cos(ϕ − t) sin tdt
2
r
cos(ϕ − t) sin tdt
|
{z
=π
IR2 ρ
· π(− sin ϕ)êx
cr3
}
analog folgen
Ay (r) =
IR2 ρ
· π(cos ϕ)êy
cr3
und
Az (r) = 0
Mit der Definition des Einheitsvektors entlang des Polarwinkels (êϕ = − sin ϕêx + cos ϕêy )erhält man:
A(r) =
IR2 ρ
πêϕ
cr3
Das heißt A ist parallel zur Richtung der Stromdichte. Führt man die folgende Größe ein
m=
πIR2
êz
c
(3.59)
die nur von den geometrischen Eigenschaften des Leiters abhängt, so folgt:
A(r) =
m×r
r3
(3.60)
Dies testen wir einmal:
ρêϕ = êz × êρ = êz × (r − zêz ) = êz × r
Diese Definition ist ein Spezialfall der Materialgröße magnetisches Dipolmoment. Gleichung 3.59 stellt also
das magnetische Dipolmoment eines kreisförmigen Stromes dar. Vergleicht man dieses mit dem Dipolmoment
der Elektrostatik so fällt eine gewissen Analogie auf:
p◦r
r3
m×r
A(r) =
r3
ϕD (r) =
3.2.3
Magnetostatische Multipolentwicklung
Genau wie in der Elektrostatik betrachten wir die Wirkung (das B-Feld) einer Stromverteilung auf Objekte in
großem Abstand. Wir wählen den Parameter α also wieder zu:
α :=
wobei L die Ausdehnung der Verteilung ist.
L
|r|
72
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Abbildung 3.21: Skizze zur magnetischen Multipolentwicklung
Wir erwarten dann, dass das Vektorpotential und damit auch das Magnetfeld in dieser Entfernung unabhängig
von Details der Stromverteilung j ist. Die Stromverteilung j(r) erzeugt am Ort r folgendes Vektorpotential:
A(r) =
1
c
Z
V
j(r′ ) 3 ′
d r
|r − r′ |
Die Entwicklung des Nenners kennen wir bereits aus der Elektrostatik:
xi · x′i
1
1
1
+
+ 5 (3xi · xj − r2 δij )xi · x′i
=
3
|r − r′ |
r
r
2r
|{z}
| {z } |
{z
}
M onopol
Dipol
Quaddrupol
Hierbei wurde wieder die Einstein Konvention verwendet.
Behauptung:
Der Monopolbeitrag verschwindet für alle Stromverteilungen j(r). Es gilt also:
Amono
1
=
rc
Z
j(r′ )d3 r′ = 0
V
Beweis:
Die dritte Maxwell-Gleichung div B = 0 besagt für alle r,j auch:
div j(r) = 0
Dann gilt aber auch für ein beliebiges x:
0=
Z
x · div(j)d3 r
Z
div(x · j)d3 r −
V
=
V
=
I
Z
V
x · jdf −
A(V )
Z
j grad x d3 r
| {z }
êx
j x d3 r
V
Im letzten Schritt haben wir mit Hilfe des Satz von Gauß das Volumenintegral über V in das geschlossene Integral
der Oberfläche A(V ) umgewandelt. Nutzen wir die Randbedingung, dass die Stromverteilung räumlich begrenzt
ist und legen die Fläche A ins unendliche so verschwindet das Oberflächenintegral und die jx -Komponente ist
null. Analoges gilt natürlich auch für die übrigen Komponenten. Alternativ kann man auch sagen, dass die
Verschiebungsstromdichte nicht existiert, da wir uns in der Magnetostatik befinden (∂t E = 0). Hieraus folgt
dann nach Anwendung der Divergenz auf die vierte Maxwell-Gleichung:
rot B = kI · j
div rot B = kI · div j
0 = div j
3.2. MAGNETOSTATIK
3.2.3.1
73
Dipolbeitrag
Daran das der Monopolbeitrag verschwindet sieht man schon, dass der Dipolbeitrag der dominierende sein wird.
Allgemein gilt nach vorigen Gleichungen:
Z
1
j(r)(r ◦ r′ )d3 r′
(3.61)
ADipol (r) = 3
cr
Man formt den Integranden mit folgender Beziehung um:
(r ◦ r′ ) · j(r′ ) = r ◦ j(r′ ) · r′ − r × r′ × j(r′ )
(3.62)
Nun benötigen wir folgende Zwischenbehauptung.
Behauptung:
Es gilt:
Z
Beweis:
(r ◦ r′ ) · j(r′ )d3 r′ = −
Z
r ◦ j(r′ ) · r′ d3 r′
Im Folgenden hängt j stets von r′ ab. Betrachte nun zunächst die linke Seite:
 
Z
jx
(x · x′ + y · y ′ + z · z ′ ) · jy  d3 r′
jz
Betrachtet man nun die x-Komponente des Terms:
Z
Z
Z
Z
(x · x′ + y · y ′ + z · z ′ ) · jx d3 r′ = x · x′ · jx d3 r′ + y · y ′ · jx d3 r′ + z · z ′ · jx d3 r′
Hiervon betrachten wir nun einen beliebigen Term wobei wir die ungestrichene Koordinate aus dem Integral
herausziehen können und zunächst vernachlässigen:
Z
Z ′
3 ′
y · jx d r =
∇′ · (x′ · j) y ′ d3 r′
Das dies gilt lässt sich wie folgt einsehen:
∇′ · (x′ j) = (∇′ x′ ) · j + x · ∇′ j = jx + x′ ∇′ j = jx
Hierbei haben wir benutzt ∇′ x′ = êx und div j = 0. Führt man in obigem Integral eine partielle Integration
aus, so erhält man:
Z
Z
Z ∇′ · (x′ · j) y ′ d3 r′ = y ′ ∇(x′ · j) − x′ · j∇′ y ′
Im Beweis für div j haben wir bereits gezeigt, dass der erste Term der partiellen Integration wegfällt. Benutzt
man weiter ∇′ y ′ = êy so erhält man:
Z Z
∇′ · (x′ · j) y ′ d3 r′ = − x′ jy d3 r′
Insgesamt haben wir also in den letzten Schritten
Z
Z
′
3 ′
y j x d r = − x′ j y d3 r ′
gezeigt. Formuliert man dies für beliebige Komponenten i und j so ergibt sich:
Z
Z
x′i · jk d3 r′ = − x′k · ji d3 r′
Wir ziehen nun wieder die zuvor vernachlässigte ungestrichene Koordinaten mit unters Integral. Da wir oben
nur einen Term der x-Komponente betrachtet haben bringen wir die anderen wie folgt ein und man erhält für
die i-te Komponente:
Z X
3
k=1
xk · x′k · ji d3 r′ = −
Z X
3
k=1
xk · jk · x′i d3 r′
74
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Dies ist das was wir zeigen wollten. Es gilt also für alle Komponenten:
Z
Z
(r ◦ r′ ) · j(r′ )d3 r′ = −
r ◦ j(r′ ) · r′ d3 r′
Wir nutzen nun Gleichung 3.62 und können schreiben:
Z
Z
2 j(r′ ) · (r ◦ r′ )d3 r′ = −r × (r′ × j(r′ ))d3 r′
Vergleicht man dieses Ergebnis mit (3.61), so stellt man für das Vektorpotential fest:
Z r
′
′
×
r
×
j(r
)
d3 r ′
ADipol = −
2cr3
Wir definieren das magnetische Dipolmoment (Magnetmoment) zu:
Z
1
r′ × j(r′ )d3 r′
m=
2c
(3.63)
(3.64)
Es ergibt sich der Dipolbeitrag zum Vektorpotential:
ADipol (r) =
Bemerkungen: Im SI-System gilt
und magnetischen Beiträgen:
1
2c
→
1
2.
m×r
r3
(3.65)
Im CGS-System herrscht Symmetrie zwischen den elektrischen
[A] = [ϕ]
[P ] = [m]
Analog findet man die magnetischen Quadrupolbeiträge und höhere Terme:
A(r) = ADipol + AQuad + ...
3.2.3.2
Das magnetische Dipolfeld
Als Messgröße interessiert nun das magnetische Dipolfeld. Es berechnet sich aus:
B Dipol (r) = rot ADipol
Wir haben also zu berechnen:
r
r
r
∇ × m × 3 = m ∇ 3 − (m∇) 3
r
r
r
Der zweite Term ist von der gleichen Struktur wie in der Elektrostatik [Herleitung von Gleichung (3.36)]. Schauen
wir uns den ersten Term an:
r
1
1
m ∇ 3 =m
+
r∇
∇r
r
r3
r3
3
3r
−r◦ 5
=m
r3
r
=0
Es bleibt also nur der zweite Term, der – wie schon erwähnt – folgendes Ergebnis liefert (P → m).
Das magnetische Dipolfeld ist:
B Dipol (r) =
3(m ◦ r) · r − mr2
r5
(3.66)
3.2. MAGNETOSTATIK
3.2.3.3
75
Vergleich von elektrischem und magnetischem Dipol
Wir vergleichen die Winkelabhängigkeit des elektrischen und magnetischen Dipols. Sei jeweils <
) (r, m/p) = θ.
Vergleichen wir also
ϕDipol (r) =
p◦r
1
= 3 p · r · cos θ
3
r
r
mit
ADipol (r) =
1
m×r
= 3 m · r · sin θ
3
r
r
Elektrisches und magnetisches Dipolmoment sind also um 90◦ phasenverschoben. Man sich hierüber sicherlich
weiter Gedanken machen.
3.2.3.4
Magnetisches Moment für eine ebene Leiterschleife
Wir wollen nun ein spezielle magnetisches Moment ausrechnen. Das Ergebnis wird für alle Ströme I und alle
Konturen L gelten, so lange die Kontur in einer Ebene liegt.
Z
1
r′ × j(r′ )d3 r′
m=
2c
Wir wählen eine geschlossene Kontur und können diese daher mit einer auf einem Intervall [0, 2π] definierten
Kurve γ parametrisieren. Die Stromdichte ergibt sich nach 3.53 zu:
j(r′ ) = I
Z2π
0
δ[r′ − γ(s)]γ ′ (s)ds
Also:
m(r) =
I
2c
Z
r′ ×
Z2π
0
δ[r′ − γ(s)]γ ′ (s)dsd3 r′
′
Da r nicht von s abhängt ziehen wir das s-Integral ganz nach außen:
I
m(r) =
2c
Z2πZ
0
=
I
2c
Z2π
0
r′ × δ[r′ − γ(s)]γ ′ (s)d3 r′ ds
γ(s) × γ ′ (s)ds
Die Ableitung der Parametrisierung ist immer der Tangentenvektor an der entsprechenden Stelle.
Abbildung 3.22: Parametrisierung von einer ebenen Schleife
Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b, so ist das Ergebnis ein Vektor der senkrecht auf der von
a und b aufgespannten Ebene steht. In unserem Fall also senkrecht auf der Leiterschleife (was auch der Grund
76
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
ist warum wir nur solche Kurven zugelassen haben). Wir nennen diese Richtung n. Als Betrag hat der Vektor
den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Teilt man diese Fläche durch 2 so erhält
man gerade die Fläche dF , die der ’Fahrstrahl’ in einem kurzen Winkelintervall (ds) überstreicht.
1
(γ(s) × γ ′ (s)) = dF (s) · n
2
Also erhält man:
I
m(r) = n
c
Z2π
dF (s)ds
0
m(r) =
I
Fn
c
(3.67)
Hierbei ist F die Gesamtfläche der Leiterschleife. Setzt man hier F = π · R2 ein, so erhält man das bereits
berechnete Magnetmoment eine kreisförmigen Leiters.
3.2.3.5
Magnetisches Moment einer sich bewegenden Punktladung
Bewegt sich eine Punktladung entlang einer geschlossenen Bahn so besitzt es auch ein magnetisches Moment.
Sei rT (t) die Trajektorie des Teilchens. Die Stromdichte ist in diesem Fall gegeben zu:
j(r, t) = q · ṙT (t)δ[r − rT (t)]
Streng genommen befinden wir uns hier nicht mehr in der Magnetostatik und wir werden später noch sehen,
dass dies eine Version des Hertz’schen Dipol ist. Mit dieser Stromdichte wird das magnetische Moment zu:
Z
1
q · r′ × ṙT (t)δ[r′ − rT (t)]d3 r′
m(t) =
2c
q
= rT (t) × ṙT (t)
2c
Benutzen wir die Beziehung des Drehimpulses
L=r×p
so erhalten wir das magnetische Moment zu:
mP L (t) =
q
L
2mc
(3.68)
Das magnetische Moment ist also proportional zum Bahndrehimpuls. Da auch die Masse vorkommt ist es
ebenfalls abhängig von der Teilchensorte und der Natur der Elementarteilchen. Betrachten wir den Fall eines
Elektrons; welches um den Atomkern “kreist” (bzw. sich in einem quantenmechanischen Eigenzustand mit dem
Drehimpuls-Eigenwert l befindet). Das Magnetmoment des Elektrons ist:
me− = −
e0
L
2me c e
Und da schon gilt |me | ≪ |mp |, dominiert das Magnetmoment der Elektronen im Atom. Im quantenmechanischen Fall kann man über die Quantelung des Drehimpulses dann die entarteten Drehimpulszustände erklären.
3.2.4
Energie des magnetostatischen Feldes
Wir beginnen wieder mit der allgemeinen Energiedichte
u=
1
(E 2 + B 2 )
8π
Der magnetische Anteil ist dann:
uB (r) =
1
(B(r))2
8π
Außerdem ergibt sich die Gesamtenergie des Magnetfeldes im Volumen V dann zu:
Z
1
WB =
B 2 (r)d3 r
8π
V
(3.69)
3.2. MAGNETOSTATIK
77
Wir versuchen nun wieder äquivalente Ausdrücke hierfür zu finden durch einige Umformungen. Wir nutzen
folgende Beziehung:
div(A × B) = B rot A − A rot B
Integrieren wir beide Seiten dieser Gleichung über ein Volumen V :
Z
Z
3
div(A × B)d r = B rot A − A rot Bd3 r
V
V
I
(A × B)df =
Z
B rot A − A rot Bd3 r
V
F (V )
Wir wählen das Volumen V nun groß, sodass die linke Seite durch die Randbedingungen verschwindet. Hieraus
folgt:
B rot A = A rot B
Nun können wir die Energie in folgender Weise umschreiben:
Z
1
WB =
A rot Bd3 r
8π
V
Hier haben wir ein B aus dem Quadrat in das Vektorpotential umgewandelt und gemäß obiger Gleichung
vertauscht. Nun können wir die vierte Maxwell-Gleichung mit Ė = 0 anwenden.
Die magnetostatische Energie in einem Volumen V ist:
Z
1
WB =
j(r) ◦ A(r)d3 r
2c
(3.70)
V
Wir haben hier also – wie in der Elektrostatik – eine Kopplung von der Teilcheneigenschaft j mit ihrem selbst
erzeugten Feld. Deshalb verhindert der Faktor 12 wieder Doppelzählungen. Man kann noch das Vektorpotential
A eliminieren.
Z
j(r′ ) 3 ′
1
A(r) =
d r
c
|r − r′ |
Setzt man dies in die Energie ein so erhält man:
1
WB = 2
c
Z Z
j(r) ◦ j(r′ ) 3 3 ′
d rd r
|r − r′ |
(3.71)
Dies ist die Feldenergie für eine beliebige Stromverteilung j und wiederum analog zur Elektrostatik.
3.2.4.1
Räumlich getrennte Ströme
Wir behandeln nun ein Beispiel in dem sich die Stromdichte als Summe von räumlich getrennten Stromdichten
schreiben lässt.
X
j α (r)
j(r) =
α
mit (die Teilvolumina seien nicht überlappend)
jα =
(
Z Z
X
1
j α (r) ◦ j β (r′ )
|r − r′ |
jα,
0,
r ∈ Vα
sonst.
Eingesetzt in obige Formel, ergibt sich:
1
WB = 2
2c
αβ
78
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
Dieses Ergebnis schreiben wir in folgender Form:
WB =
1X
Lα,β Iα Iβ
2
(3.72)
αβ
mit dem Induktionskoeffizienten:
Lα,β =
1 1
c2 Iα Iβ
Z Z j (r) ◦ j (r′ )
α
β
Vα V β
|r − r′ |
d3 r d 3 r ′
(3.73)
Dabei enthält Lαβ alle geometrischen Details der Stromverteilung. Für α 6= β spricht man vom “GegenInduktionskoeffizienten” und für α = β vom Selbstinduktionskoeffizienten.
3.2.5
Magnetisches Moment in einem externen Magnetfeld
Analog zu Ladungen in einem externen elektrischen Feld betrachten wir nun magnetische Dipole in einem
externen Magnetfeld bzw. Vektorpotential (B ext , Aext ). Hierbei gehen wir wieder davon aus, dass es keine
Rückwirkung der Dipole auf das externe Feld gibt. Unser Ziel ist es, die Energie des Dipols, die Kraft und
das Drehmoment auf das Dipolmoment m im externen Feld zu berechnen. Für die Energie gilt mit der zuvor
hergeleiteten Formel:
Z
1
j(r)Aext (r)d3 r.
WB =
c
Als externes Feld wählen wir ein nur schwach veränderliches, also im wesentlichen homogenes Feld [der kleine
Parameter ist wiederum das Verhältnis von räumlicher Ausdehnung des Magnetmomentes zu Längenskale, auf
der sich das Feld signifikant ändert]. Dann können wir das externe Potential in eine Taylorreihe entwickeln,
wobei nur das lineare Glied noch betrachten müssen. Als Entwicklungspunkt wählen wir das Zentrum der
Stromverteilung, in das wir den Koordinatenursprung legen (Entwiklung um den Punkt 0 herum),
Aext (r) = Aext (0) + (r∇)Aext (0) + ...
Das konstante Glied wird keinen Beitrag zur Energie liefern, da wie bereits zuvor gezeigt gilt:
Z
j(r)d3 r = 0.
V
Wir setzen also das lineare Glied in die Energie ein:
Z
1
WB =
j(r) {(r∇)Aext (0) + . . . } d3 r.
c
V
Solch einen Integranden haben wir bereits in der magnetischen Multipolentwicklung umgeformt. Hier läuft es
analog. Es gilt:
(r∇)Aext (0) = ∇(r ◦ Aext ) − r × (∇ × Aext (0)
2(r∇)Aext (0) = −r × (∇ × Aext (0))
1
(r∇)Aext (0) = − r × B ext (0)
2
Setzt man dies in die Energie ein, so erhält man:
Z
1
WB = −
j(r) ◦ (r × B ext (0))d3 r.
2c
V
Dieses Spatprodukt bleibt unverändert bei zyklischer Vertauschung,
Z
1
(j(r) × r) ◦ B ext d3 r
WB = −
2c
V
WB = −m ◦ B ext (r).
Hierbei wurde die Definition des Dipolmomentes eingesetzt und Ergebnis gleich auf beliebige Orte r verallgemeinert.
3.2. MAGNETOSTATIK
79
Die Energie eines magnetischen Dipols im externen Magnetfeld ist gegeben durch:
(3.74)
W = −m ◦ B ext
3.2.5.1
Wechselwirkungs-Energie zweier Dipole
Betrachten wir nun zwei magnetische Dipole m1 und m2 im Abstand r.
m2
m1
r
0
Abbildung 3.23: Zwei magnetische Momente im Abstand r
Der erste Dipol m1 erzeugt am Ort r folgendes Vektorpotential
A1 =
m1 × r
,
r3
welches das zuvor berechnete Magnetfeld erzeugt [Gleichung (3.66)]
B 1 (r) =
3(m1 ◦ r) · r − m1 · r2
r5
Nun gilt mit (3.74):
Wm1 ,m2 = −m2 ◦ B 1
=
m1 ◦ m2 − 3(n ◦ m1 )(n ◦ m2 )
,
r3
(3.75)
wobei hier ganz analog zu (3.43) gerechnet wurde und wieder gilt:
n=
r
r
Die minimale potentielle Energie, also der stationäre Zustand, wird wieder erreicht bei einer Anordnung, in der
beide Dipolvektoren m1 und m2 parallel zum Verbindungsvektor r sind.
3.2.5.2
Kraft auf einen Dipol im externen Feld
Die Kraft ist die Ableitung der potentiellen Energie (mal minus 1):
F = − grad W
= ∇(m ◦ B ext )
Ist die Dipolachse zum Beispiel durch eine Leiterschleife fixiert gilt in guter Näherung
F ≈ (m∇)B ext
3.2.5.3
Drehmoment auf einen Dipol im externen Feld
Schaut man sich den magnetischen Teil der Lorentzkraft als Kraftdichte an, so ergibt sich:
fB =
1
j × B ext
c
Hiermit folgt für das Drehmoment:
M=
1
c
Z
r × j × B ext d3 r.
80
Diese Gleichung ist bis auf einen Faktor
KAPITEL 3. DAS ZEITUNABHÄNGIGE EM-FELD
1
2
von der gleichen Struktur wie:
m × B ext .
Das Resultat für das Drehmoment ist dann:
M = m × B ext .
(3.76)
Dies gleicht wieder dem Ergebnis der Elektrostatik (P ×E ext ) und bewirkt, im Einklang mit (3.75), eine parallele
Ausrichtung des Dipol zum externen Magnetfeld.
Kapitel 4
Das zeitabhängige Elektromagnetische
Feld. Elektromagnetische Wellen
Nach Untersuchung des elektrostatischen und magnetostatischen Feldes in den letzen Kapiteln, kehren wir jetzt
zum allgemeinen Fall des zeitabhängigen Feldes zurück. Die Bewegungsgleichungen kennen wir bereits – die vier
Maxwell-Gleichungen. Der interessante neue Aspekt ist die wechelseitige Beeinflussung von elektrischem und
magnetischem Feld über die Terme mit den Zeitableitungen der Feldstärken.
4.1
Freie Wellen im Vakuum
Zunächst betrachten wir elektromagnetische Wellen im Vakuum, das heißt ohne materielle Ladungsträger:
ρ=0
und
j=0
Die Maxwell-Gleichungen nehmen dann folgende Gestalt an:
1
rot E = − Ḃ
c
1
rot B = Ė
c
div E = 0
div B = 0
Nun sind Ė und Ḃ ungleich Null. Es sind also keine statischen Felder mehr erlaubt. Wir finden nun – durch
Umformen der obigen Form der Maxwell-Gleichungen – die Wellengleichungen für die Felder. Wir wenden die
Rotation auf die dritte Maxwell-Gleichung an:
rot rot E = (grad div −∆)E
1
− Ḃ = grad div E −∆E
| {z }
c
=0
1
− 2 Ë = −∆E
c
1
∆E − 2 Ë = 0
c
Analog folgt für das Magnetische Feld:
1
B̈ = 0
c2
Diese Gleichungen sind homogene Wellengleichungen (elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordung). Diese
Kombination von Orts- und Zeitableitungen fassen wir zum Wellenoperator zusammen.
∆B −
Im Vakuum gelten die homogenen Wellengleichungen:
E(r, t) = 0
B(r, t) = 0
81
(4.1)
(4.2)
82
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Hierbei ist zu beachten, dass der Box-Operator – ebenso wie der Laplace-Operator – auf jede Komponente
der Felder wirkt. Man hat also eigentlich sechs Gleichungen. Für die Potentiale A und Φ gelten ebenfalls
Wellengleichungen. Für das Vektorpotential gilt dies in Lorentz- und Coulombeichung, für das skalare Potential
gilt dies nur in der Lorentzeichung. Wir wählen daher die Lorentzeichung.
Im Vakuum gelten in der Lorentzeichung für die Potentiale A und Φ:
Φ = 0
A = 0
(4.3)
(4.4)
Da die Wellengleichung gewonnen wurde in dem man den Rotation-Operator auf die Maxwell-Gleichung angewendet hat, ist es möglich, dass sich die Lösungsmenge geändert hat. Interessant sind für uns nur die Lösungen,
die alle Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen erfüllen.
Man beachte, dass die Bezeichnung “Wellengleichung” etwas missverständlich ist, da die Lösungen nicht notwendigerweise periodisch im Raum und in der Zeit sind, wie wir unten sehen werden.
4.1.1
Ebene elektromagnetische Wellen
Wir haben nun also folgende Gleichung zu lösen:
f (r, t) = 0
Hierbei ist f ∈ {Φ, Ei , Bi , Ai }. Sei nun n ein beliebiger Einheitsvektor und f genügend oft stetig differenzierbar.
Später werden wir sehen, dass n die Ausbreitungsrichtung angibt.
Behauptung:
Die Lösung der Wellengleichung f (r, t) = 0 ist gegeben durch:
f (r, t) = f (n ◦ r − ct) = f [α(r, t)]
(4.5)
Hierbei definieren wir:
α(r, t) := n ◦ r − ct
Beweis:
Wir zeigen durch Einsetzen:
f (r, t) = f (n ◦ r − ct)
1 ∂2
f (n ◦ r − ct)
c2 ∂t2
1
= ∂x22 f (α) + ∂y22 f (α) + ∂z22 f (α) − 2 ∂t22 f (α)
c
1 ∂ 2 α ∂ 2 f (α)
∂ 2 f (α)
2
2
2
− 2 2
= [∂x2 α + ∂y2 α + ∂z2 α]
∂α2
c ∂t
∂α2
2
2
1
∂ f (α)
∂ f (α)
− 2 · c2
= [n2x + n2y + n2z ]
c
∂α2
|
{z
} ∂α2
= ∆f (n ◦ r − ct) −
=1
= 0.
Damit wurde gezeigt, dass unser f die homogene Wellengleichung löst. Die Voraussetzung, dass n ein Einheitsvektor ist, war notwendig damit sich die Terme wegheben. Diese gefundene Lösung wollen wir nun auf ihre
Eigenschaften untersuchen. Man nennt die Funktion α(r, t) auch die Phase. Sie charakterisiert den geometrischen Ort und die Zeit gleicher Feldstärke (bzw. gleichen Potentials), da wenn α = const auch f (α) = const
gilt.
Betrachten wir einen beliebigen konstanten Zeitpunkt t0 und verlangen α = α0 = const, so folgt
n ◦ r = α0 + ct0 ,
und damit muss für eine konstante Phase
n ◦ r = const
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
83
erfüllt sein. Diese Gleichung beschreibt eine Ebene in Normalenform. Alle Punkte gleicher Phase (z.B. constanter
Feldstärke) liegen also in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies kann man einsehen, da für eine
späteren Zeitpunkt t1 > t0 die Projektion n ◦ r gewachsen sein muss, um konstante Phase zu gewährleisten. Die
Ebene breitet sich also in n-Richtung ohne Deformation mit Geschwindigkeit c aus. Die Geschwindkeit sieht
man wie folgt ein:
d
d
r|| = n ◦ r = c
dt
dt
v|| = c
t0
t1
r
0
n
r||
Abbildung 4.1: Ausbreitung der Ebene gleicher Phase in n-Richtung vom Zeitpunkt t0 bis t1 .
Die ebene Welle erfüllt zwar die Wellengleichung, ist aber eine Idealisierung realer Wellen, die immer nur von
einem endlich ausgedehnten Sender ausgestrahlt werden können (sonst würde die Welle eine unendlich hohe
Energie besitzen). Eine ebene Welle würde eine Randbedingung erfordern, die auf einer unendlich ausgedehnten
Ebene gegeben ist, was unphysikalisch ist. Allerdings können zum Beispiel Kugelwellen (dies besprechen wir
etwas später) in großem Abstand zum Sender in guter Näherung als ebene Wellen angesehen werden [Nol11].
4.1.1.1
Orientierung der Feldvektoren
Wir möchten nun herausfinden, ob unsere Lösung Informationen über die Orientierung der Felder zueinander
enthält. Wir haben also die Lösung für das Vektorpotential A:
A(r, t) = A(n ◦ r − ct)
und können das Magnetfeld wie gewohnt berechnen:
B(r, t) = rot A(α) = ∇ × A(α)


∂y Az (α) − ∂z Ay (α)
= ∂z Ax (α) − ∂x Az (α)
∂x Ay (α) − ∂y Ax (α)


∂α ∂Az
∂α ∂Ay
∂y ∂α − ∂z ∂α

∂Ax
∂α Az 
=  ∂α
∂z ∂α − ∂x ∂α 
∂α ∂Ay
∂α ∂Ax
∂x ∂α − ∂y ∂α
 ∂α 
∂x
 × ∂α A(α)
=  ∂α
∂y
∂α
∂z
= n × ∂α A(α)
84
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Also wissen wir bereits, dass B(r, t) ⊥ n gilt. Nun betrachten wir das elektrische Feld, für welches
1
E(r, t) = − grad Φ(α) − Ȧ(α),
c
gilt. Außerdem wissen wir aus der gewählten Lorentzeichung:
1
div A + Φ̇ = 0,
c
wobei Φ and A nur von α abhängen. Beginnen wir zunächst mit der ersten Gleichung:


 
Ax (α)
∂x
1
E(r, t) = − ∂y  Φ(α) − ∂t Ay (α) = −n∂α Φ(α) + ∂α A(α)
c
Az (α)
∂z
Formen wir nun die Lorentzeichung um, so erhalten wir:
0 = n∂α A(α) − ∂α Φ(α)
∂α Φ(α) = n∂α A(α)
Dies setzen wir ein und eliminieren Φ und erhalten für das elektrische Feld:
E(r, t) = −n(n∂α A(α)) − ∂α A(α)
Wenn wir nun n ◦ n = 1 nutzen können wir die Graßmann-Identität anwenden und erhalten:
E(r, t) = n × (∂α A × n)
= n × (−B(r, t))
= −n × B
Im letzten Schritt haben wir das Ergebnis für das magnetischen Feldes von oben benutzt. Aus dieser Gleichung
erkennen wir, dass das elektrische Feld sowohl senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung als auch auf der Richtung
des Magnetfeldes steht. E, B und n bilden also orthogonales Dreibein, und ebene elektromagnetische Wellen im
Vakuum sind transversal. Man kann sich nun die Frage stellen, ob E, B und n global oder lokal orthogonal
sind. Die Frage nach der Polarisation etwas später klären, welche Freiheiten hier bestehen.
B(α) = n × ∂α A(α)
E(α) = n × (∂α A(α) × n) = −n × B(α)
4.1.1.2
(4.6)
(4.7)
Energiedichte und Poynting-Vektor einer ebenen Welle
Aus Glg. (4.7) erhält man sofort:
E 2 (α) = B 2 (α),
das heißt, die Beträge von elektrischem und magnetischem Feld sind zu jeder Zeit und an jedem Ort gleich.
Damit wird die Energiedichte zu:
u(α) =
E 2 (α)
1
E 2 (α) + B 2 (α) =
.
8π
4π
(4.8)
Wir nutzen auch für den Poynting-Vektor die Beziehung (4.7) und erhalten:
c
E×B
4π
c
c
= n E ◦ B = n E 2 (α)
4π
4π
S = n · c · u(α)
S=
(4.9)
Damit haben wir die Beziehungen bestätigt, die wir bei der allgmeinen Diskussion von Feldenergie und -impuls
bereits verwendet hatten.
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
4.1.2
85
Monochromatische Ebene Welle
Bislang hatten wir keinerlei Annahmen über die Form der Funktion f (α) gemacht, außer, dass die Zeit und die
Koordinate nur über die Phase eingehen. Insbesondere hatten wir nicht verlangt, dass es sich um eine periodische
Funktion handelt. Diesen Speziafall betrachten wir im Folgenden.
Wir wählen nun eine spezielle Lösung der Wellengleichung zu:
f (α) = f0 eik(n◦r−ct)
Wir untersuchen diese Lösung im folgenden auf ihre Eigenschaften. Hierfür definieren wir noch
k := k · n
(4.10)
ω =k·c
(4.11)
und
Die monochromatische ebene Welle löst die Wellengleichung. Die Lösung hat die Form:
f (α) = f0 ei(k◦r−ωt)
(4.12)
Wir wissen, dass dies eine Welle ist, die periodisch in Raum und Zeit ist. Hierbei gelten die üblichen Beziehungen:
1
,
T
2π
k=
λ
ω = 2πf,
f=
ω=
2π
T
Hierbei sind T die Periodendauer und λ die Wellenlänge. Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich zu:
vph =
ω
λ
= =c
T
k
(4.13)
ω(k) = c · k
Die Dispersion einer elektromagnetischen Welle im Vakuum ist also linear. Dies gilt gleichermaßen für die
Relation zwischen Impuls (~k) und Energie (~ω), die wir in der Quantenmechanik kennenlernen werden. Man
beachte, dass diese lineare Dispersion fundamental anders ist als die klassischer Teilcher, wo eine parabolische
Dispersion gilt, E(p) = p2 /2m.
Die Grundeigenschaften der monochromatischen ebenen Welle sind nun bekannt. Wir wissen zum Beispiel, dass
(E, B) ⊥ k ist. Nun klären wir die Frage, ob sich dieses Dreibein drehen kann.
4.1.2.1
Polarisation ebener monochromatischer Wellen
Wir lassen nun für das elektrische Feld eine komplexe Form zu.
E ∗ (r, t) = E 0 ei(k◦r−wt)
Physikalische relevant ist hierbei nur der Realteil.
h
i
E(r, t) = ℜ E 0 ei(k◦r−wt)
Für die komplexe Amplitude können wir schreiben:
E 0 = E 01 + iE 02
Hierbei sind E 01 und E 02 zwei Komponenten und sind reell. Weiter berechnen wir den Realteil der elektrischen
Feldes:
E(r, t) = ℜ [(E 01 + iE 02 (cos kα + i sin kα))]
= E 01 cos kα − E 02 sin kα
86
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Die Orientierung in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Vektoren E 01 und E 02 kann also völlig
beliebig sein. Wir führen nun eine Koordinatentransformation durch, welche gewährleistet, dass Ẽ 01 ⊥ Ẽ 02 gilt.
Hierfür führen wir eine konstante Phase ϕ ein, die dieses sicher stellt. Also erhält man:
i
h
E(r, t) = ℜ (Ẽ 01 + iE˜02 )(cos k α̃ + i sin k α̃)
Hierbei haben wir
Ẽ 01 + iẼ 02 = E 0 · eiϕ
und
k α̃ := k ◦ r − ωt + ϕ
Wir wählen nun unser Koordinatensystem so, dass die Ausbreitungsrichtung n, k in êz -Richtung ist. Damit
liegen unsere transformierten Amplituden in der x, y-Ebene und der Realteil des elektrischen Feldes wird zu:
E(r, t) = |Ẽ 01 |êx cos(kz − ωt + ϕ) − |Ẽ 02 |êy sin(kz − ωt + ϕ)
{z
} |
|
{z
}
Ex (z,t)
−Ey (z,t)
Man sieht also das die x und y-Komponente eine analoge Orts- und Zeitabhängigkeit haben und sich nur um
eine Phase von π2 unterscheiden. Der Feldvektor rotiert mit wachsender Phase k α̃. Im Allgemeinen können wir
unterschiedliche Amplituden in x und y-Richtung haben. Dieser allgemeine Fall entspricht einer elliptischen
Polarisation. Sind die Amplituden gleich so haben wir eine zirkulare Polarisation und ist eine Amplitude so
haben wir eine lineare Polarisation.
4.1.3
Superposition ebener monochromatischer Wellen
Die Linearität der Maxwell-Gleichungen impliziert die Linearität der Wellengleichung und daraus folgt die
Gültigkeit des Superpositionsprinzips, da jede Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung der Wellengleichung ist. Als Teillösungen kann man monochromatische Wellen wählen. So erhält man den Vorteil, dass man
eine beliebige periodische Funktion mit einer geeigneten Superposition monochromatischer Lösungen darstellen
kann. Wir behandeln den Fall das alle Spektralkomponenten dieselbe Richtung haben. Also n1 = n2 = ....
Wir erhalten also eine Lösung der Wellengleichung zunächst aus einer endlichen Überlagerung von partikulären
Lösungen:
X
f (α) =
fj eikj α
j
Hierbei ist mit
α = n ◦ r − ct
auch
ωj = c · k j
gegeben. Ziel ist es nun die ωj kj zu finden. Hierfür kann man aus der endlichen Summe eine kontinuierliche
Verteilung machen und erhält die Fouriertransformationen.
1
f (α) = √
2π
1
f˜(k) = √
2π
Z∞
−∞
Z∞
eikα f˜(k)dk
(4.14)
e−ikα f (α)dα
(4.15)
−∞
Hierbei nennt man f˜(k) auch eine Spektralkomponente und alle f˜(k) bilden zusammen das Spektrum von f (α).
Zunächst schauen wir uns das Spektrum einer monochromatischen ebenen Welle an mit:
f (α) = f0 ei(k0 ·z−ω0 ·t) = f0 eik0 α
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
87
mit ω0 = c · k0 . Das Spektrum ergibt sich dann zu:
1
f˜(k) = √ f0
2π
Z∞
e−ikα+ik0 α dα
−∞
= f0 δ(k − k0 )
Abbildung 4.2: Spektrum einer monochromatischen Welle
Das Spektrum hat wie erwartet also nur eine Komponente, welche maximal lokalisiert ist. Die Breite des Peaks
ist also ∆k = 0. Die monochromatische ebene Welle ist unendlich ausgedehnt in α, das heißt auch unendlich
ausgedehnt in t und z. Die Breite ist hier also ∆α = ∞. Beides ist nicht ideal realisierbar. Reale Prozesse haben
immer eine endliche Breite in beiden Komponenten. Wir behandeln deshalb die Gaußfunktion, die einem realen
Prozess besser entspricht. Also definieren wir das Spektrum zu
f˜(k) = c · e−
a2 (k−k0 )2
2
und versuchen f (α) zu finden.
Abbildung 4.3: Gaußförmiges Spektrum
Zunächst bestimmen wir die Peakbreite unseres Spektrums. Aus k − k0 =
1
a
ergibt sich
1
1
f˜ k0 +
= c √ ≈ 0.6
a
e
Die Peakbreite ist also ∆k = a2 . Nun setzen wir die Fourier-Transformation an:
c
f (α) = √
2π
Z∞
−∞
e−
a2 (k−k0 )2
2
+ikα
dk
88
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Substituiere k = k − k0 . Also ist k = k + k0 und es gilt:
c
f (α) = √
2π
Z∞
eikα e−a
2 k2
2
eik0 α dk
−∞
c
= √ eik0 α
2π
Z∞
eikα e−
a2 k 2
2
dk
−∞
|
=
{z
α2
2π − 2a2
a e
√
}
Das Resultat mit α = n ◦ r − ct ist:
c i(k0 −ω0 t) − 12 (n◦r−ct)2
e
e 2a
a
= f0 (α) · ei(k0 ◦r−ω0 t)
f (n ◦ r − ct) =
(4.16)
Wir haben als Ergebnis eine monochromatische Welle (Trägerwelle) mit gaußförmiger Amplitude
f0 (α) =
2
c − 12 ( n◦r−ct
)
a
e
a
Abbildung 4.4: Phasenraum eines gaußförmigen Spektrums
Liest man die Peakbreite der Funktion f (α) ab so erhält man:
∆α = 2 · a
Halten wir eine Zeit t fest so gilt also ∆z = 2a. Multiplizieren wir die Peakbreite im Frequenzraum und im
Phasenraum so erhalten wir:
∆k · ∆z = 1
(4.17)
Dies gilt für eine Gaussfunktion für andere Amplitudenzusammenhänge gilt nur ∆k · ∆z = const. Hält man nun
den Ort fest so erhält man analog:
∆t · ∆ω = 1
(4.18)
Diese Zusammenhänge sind allgemeine Eigenschaften der Fourier-Transformation. Man bezeichnet dies als
“Unschärfe”, da eine präzise Orts(Zeit)-Messung, d.h. ∆z (∆t) klein, immer zur einer großen Ungenauigkeit in
der k (ω)-Messung führt (und umgekehrt)1 .
4.1.4
Kugelwellen
Es gibt auch noch andere Lösungen der Wellengleichung. Große physikalische Relevantheit haben die Kugelwellen. Man kann sich hier eine lokalisierte Abstrahlung (dies war bei der ebenen Welle ein Problem) und
eine Abstrahlung in den gesamten Raum vorstellen. Die Gesamtenergie wird dann nicht wie bei den ebenen
1 Dies ist übrigens auch der Grund für die Unschärferelation in der Quantenmechanik: dort werden Teilchen durch Wellen
repräsentiert, wobei der Impuls mit der Wellenzahl korrespondiert, p̂ = ~k̂. Relation (4.17) führt dann direkt auf die Orts-ImpulsUnschärfe-Relation von Heisenberg.
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
89
Wellen divergieren, sondern sich auf Kugeloberflächen verteilen. Wir suchen also nun eine isotrope Lösung der
Wellengleichung.
f (r) = f (r)
für:
f (r) = 0
1
∆f − 2 f¨ = 0
c
Für diese Gleichung benötigen wir offensichtlich den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten. Dieser ist:
∂
1 ∂
r2
+ ∆ϑ,ϕ
(4.19)
∆= 2
r ∂r
∂r
Wegen der Isotropie gilt:
∆ϑ,ϕ f = 0
Formen wir den Radialteil nun ein wenig um:
1 ∂
2 ∂
r
f
r2 ∂r
∂r
1
∂f
∂2f
= 2 2r
+ r2 2
r
∂r
∂r
2
∂
2 ∂
=
f (r)
+
∂r2
r ∂r
∆f =
Behauptung:
Es sind gleichwertig:
∂2
2 ∂
+
∂r2
r ∂r
f (r) =
1 ∂2
(r · f )
r ∂r2
Beweis:
∂f
1 ∂
1 ∂2
f
+
r
·
(r
·
f
)
=
r ∂r2
r ∂r
∂r
∂f
∂2f
1 ∂f
+
+r· 2
=
r ∂r
∂r
∂r
2 ∂f
∂2f
=
+ 2
r ∂r
∂r
Nun schreiben wir den zeitabhängigen Teil der Wellengleichung noch um:
−
1 ¨
1 1 ∂2
f =− 2
(r · f )
2
c
c r ∂t2
Fassen wir nun beides zusammen so erhalten wir:
1 1 2
1
∂ 2 (r · f ) = 0
∆(r · f ) −
r
r c2 t
(r · f ) = 0
g(r) = 0
Hierbei haben wir die Funktion g(r) := r · f (r) definiert. Die Lösung dieser Gleichung ist:
f (r, t) =
g− (r − ct) g+ (r + ct)
+
,
r
r
(4.20)
und enthält eine auslaufende (gi ) und eine einlaufende (g+ ) Lösung. Dies gilt nur für r 6= 0, und wir definieren
wieder die Phase:
α± := r − ct
Die Funktionen g± werden bestimmt durch die Anfangs- und Randbedingungen und sind ansonsten beliebig.
Wie bei der ebenen Wellen ist die r- und t-Abhängkeit wieder nur über die Phase α± gegeben. Linien konstanter
Amplituden sind hier Kugeloberflächen mit r = const.
90
4.1.4.1
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Orientierung der Feldvektoren
Eine direkte Übertragung der gefundenen Lösung auf die Wellengleichung für das Vektorpotential ist nicht
möglich. Das liegt daran, dass eine streng isotrope transversale Lösung für ein Vektorfeld nicht existiert. Denkbar
wäre nur eine isotrope Lösung, bei der das Vektorfeld radial orientiert wäre - dies wäre aber keine transversale,
sondern eine longitudinale Welle und damit nicht relevant für elektromagnetische Vorgänge.
Eine spezielle Lösung für das elektrische Feld findet man bei Griffiths [Gri09] in Kapitel 9:
sin(kr − ωt)
sin θ
cos(kr − ωt) −
eφ .
(4.21)
E(r, θ, φ, t) = A
r
kr
In dieser Lösung ist das elektrische Feld immer entlang des Azimutwinkels der Kugelkoordinaten orientiert und
darüber hinaus auch noch von θ abhängig. Man kann durch direkte Rechnung zeigen, dass diese Lösung die
Maxwell-Gleichungen erfüllt.
Analog lässt sich die Lösung für das Vektorpotential konstruieren, wobei wir die Zeitabhängigkeit frei lassen
(keine monochromatische Welle wie oben). Wir betrachten folgenden Ansatz:
A = (0, Aφ , 0),
Aφ = Aφ (r, θ)
(4.22)
Dies setzen wir ein in die Wellengleichung, wobei der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten verwendet wird
und die φ-Abhängigket entfällt. Der Ansatz
Aφ (r, θ) = sin θ
h(r)
r
(4.23)
führt auf die folgende Gleichung für h(r)
h′′ −
1
cos2 θ − sin2 θ
h = 0.
ḧ
+
c2
sin2 θ r2
(4.24)
Wegen des letzten Terms ist dies keine exakte Lösung, d.h. die Funktion r muss auch θ−abhängig sein. wir
sehen aber sofort, dass mit wachsendem Abstand vom Ursprung dieser Term schnell klein wird – außer für
kleine Werte von θ. Das bedeutet, dass im Fernfeld (große r) das Vektorpotential näherungsweise gegeben ist
durch
h+ (r + ct)
h− (r − ct)
sin θ +
sin θ eφ , r ≫ 1, θ 6= 0, π.
(4.25)
A(r, θ, φ) =
r
r
Diese Lösung enthält natürlich eine willkürlich ausgezeichnete Richtung – hier durch die z−Achse gegeben,
bezüglich derer der Winkel θ gemessen wird. Eine isotrope Lösung würde entstehen, wenn sehr viele Wellenprozesse mit unterschiedlich orientierten z-Achsen überlagert würden.
Es bleibt, aus diesem Ansatz das elektrische und magnetische Feld zu berechnen (Übungsaufgabe).
4.1.4.2
Energiedichte und Poynting-Vektor einer Kugelwelle
Aus dem zugehörigen elektrischen und magnetischen Feld findet man die Energiedichte und den Poyntingvektor.
Es ist klar, dass diese Größen im Fernfeld mit 1/r2 abfallen. Das heißt, durch jede geschlossene Fläche (in
beliebigem Abstand vom Ursprung) strömt die gleiche Gesamtenergie. Dies ist auch nicht anders zu erwarten,
so lange wir keine Energieverluste im System haben, da die Oberfläche einer Kugel mit dem Quadrat des
Abstandes wächst.
Abbildung 4.5: Energiefluss einer Kugelwelle durch eine geschlossene Fläche. Die Energiedichte fällt mit 1/r2
ab.
4.1. FREIE WELLEN IM VAKUUM
4.1.4.3
91
Lösung der Wellengleichung bei r=0
Wir kehren nun zur Lösung für das skalare Potential zurück, wobei wir uns auf die auslaufende Welle beschränken. Die Vermutung ist, dass es eine Quelle bei r = 0 geben muss. An dieser Stelle ist (4.20) nicht
gültig. Um die Gleichung zu finden, die auch bei r = 0 gültig ist, betrachten wir ein Volumenintegral über die
Wellengleichung:
Z 1 ∂ 2 g(r − ct) 3
∆− 2 2
d r=0
c ∂t
r
V (K)
Wir berechnen die Integrale einzeln:
I1 =
Z
div grad
I
grad
g(r − ct) 3
d r
r
V (K)
=
g(r − ct)
df
r
F (K)
Hier haben wir den Satz von Gauß benutzt. Wählen wir nun als Oberfläche eine Kugel um 0 mit Radius R, so
ist df ||n.
I
I ∂ g
∂ g
êr ◦ df =
df
I1 =
∂r r
∂r r
F (K)
F (K)
Außerdem sind g(r) und 1r und ihre Ableitungen isotrop, also konstant auf unserer gewählten Kugeloberfläche.
Daher lässt sich die Integration ausführen zu:
∂ g I1 =
· 4πR2
∂r
r
r=R
1 ∂g
1
· 4πR2
= −g 2 +
r
r ∂r r=R
g(R − ct)
2
2 ∂g(r − ct) =−
4πR
+
4πR
R2
∂r
r=R
∂g = −4πg(R − ct) + 4πR ∂α r=R
Lassen wir nun die Kugeloberfläche um die Quelle klein werden, so folgt:
lim I1 = −4πg(−ct)
R→0
= −4πg(R − ct)
Nun schauen wir uns das zweite Integral an:
I2 = −
Z
R→0
1 ∂ 2 g(r − ct) 3
d r
c2 ∂t2
r
V (K)
=
Z
1 ∂2g
(r − ct)d3 r
r ∂α2
V (K)
Mit der Funktionaldeterminante gilt folgende Proportionalität:
Z
I2 ∝
4πr · g ′′ d3 r
V (K)
und damit gilt:
lim I2 = 0
R→0
Das gesamte Integral ist im Grenzübergang also
lim I = −4πg(R − ct)
R→0
R→0
= −4π
Z
V (R)
R→0
Für R > 0 gilt die homogenen Wellengleichung und daher I = 0.
g(r − ct)δ(r)d3 r
92
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Die radiale Wellengleichung für alle r ist also
1 ∂ 2 g(r − ct)
= −4πδ(r)g(r − ct)
∆− 2 2
c ∂t
r
(4.26)
Diskussion: Die Kugelwelle ist die Lösung der Maxwell-Gleichungen für den Fall einer δ-Inhomogenität bei
r = 0. Es existiert also eine punktförmige Quelle der Welle (z.B. Punktladung, punktförmiger Strom). Das
Zeitverhalten g(−ct) bei r = 0 bestimmt die funktionale Form der Lösung g(r − ct) für alle r und t. Eine Welle
im herkömmlichen Sinn existiert nur, wenn die Quelle g(−ct) zeitlich periodisch ist.
4.2
Erzeugung und Abstrahlung EM-Felder/ Wellen
Der vorige Abschnitt hat gezeigt, dass nur eine zeitliche Änderung von g bei r = 0 eine elektromagnetische
Welle hervorruft. Das bedeutet, dass dort die Vakuum-Annahme nicht mehr zutrifft. Wir untersuchen deshalb
nun systematisch die allgemeine Lösung der Feldgleichungen für ρ(t) 6= 0 und j(t) 6= 0. In der Lorentzeichung
(div A + 1c ϕ̇ = 0) haben wir also folgende inhomogene Wellengleichungen zu lösen:
ϕ = −4πρ(r, t)
4π
A = − j(r, t
c
(4.27)
B = rot A
(4.29)
1
E = −∇ϕ − Ȧ
c
(4.30)
(4.28)
Hieraus folgen, wie gewohnt, die Felder durch
4.2.1
Allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung
Wir werden die Lösung der inhomogenen Wellengleichungen für Kugelwellen auf zwei verschiedenen Wegen lösen.
Zum einen werden wir die Greenfunktion direkt finden (Weg A) und zum anderen werden wir die Greenfunktion
aus der Fouriertransformation (Weg B) gewinnen.
4.2.1.1
Weg A: Greenfunktion für die inhomogene Wellengleichung
Wir werden das Resultat aus der Elektrostatik verallgemeinern für ∆ → und betrachten also die Differentialgleichung
Df (r, t) = g(r, t)
(4.31)
∂
ein allgemeiner linearer Differentialoperator in r und t, g die gegebene Inhomogenität
Hierbei ist D r, ∇, t, ∂t
und f die gesuchte Lösung. f steht also für (Φ, Ai , Ei , Bi ).
Behauptung:
Die Lösung von (4.31) ist gegeben durch die Greenfunktion G, entsprechend:
Z
f (r, t) = G(r, t, r′ , t′ )g(r′ , t′ )d3 r′ dt′
(4.32)
Hierbei gilt für die Greenfunktion (Voraussetzung):
DG(r, t, r′ , t′ ) = δ(r − r′ )δ(t − t′ )
(4.33)
Beweis: Der Beweis erfolgt durch einsetzen in Df . Der Differentialoperator D wirkt dann nur auf r und t
und kann in das Integral gezogen werden. Durch die Deltafunktionen ergibt sich dann das gewünschte Resultat.
Im Allgemeinen Fall besteht die Lösung aus der Lösung der homogenen Gleichung und den Rand- und Anfangsbedingungen. Wir finden jetzt die Greensche Funktion für den uns interessierenden Fall:
g(r − ct)
= −4πδ(r)g(r − ct)
r
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
93
Wir suchen also die Funktion G für die Gleichung
r,t G(r, t, r′ , t′ ) = δ(r − r′ )δ(t − t′ )
Um eine Idee hierfür zu bekommen setzen wir in (4.26) für g(r − ct) δ(r − ct) ein und erhalten:
δ(r − ct)
= −4πδ(r)δ(r − ct)
r
Dies ist schon nah an der gesuchten Lösung. Wir nutzen nun noch folgende Eigenschaft der Delta-Distribution:
r
1 ,
δ(r − ct) = δ t −
c
c
wobei wir auch die Achsensymmetrie der Delta-Distribution ausgenutzt haben. Schauen wir uns folgenden
Ausdruck an:
4π
4π
r
− δ(r)δ t −
= − δ(r)δ(t).
c
c
c
Dies gilt, da für r 6= 0 der gesamte Ausdruck gleich Null ist, und für r = 0 die zweite Delta-Distribution in δ(t)
übergeht. Insgesamt können wir also schreiben:
4π
δ(r − ct)
= − δ(r)δ(t)
r
c
cδ(r − ct)
= δ(r)δ(t)
−
4πr
(4.34)
Hiermit haben wir die Greenfunktion für den Fall r′ = t′ = 0 gefunden:
G(r, t) = −
c δ(r − ct)
4π
r
(4.35)
Physikalisch entspricht dies einer einmaligen Anregung bei t = 0, die nicht periodisch ist. Also haben wir nun
die Greenfunktion für eine Punktquelle, welche ein Spezialfall einer ausgedehnten stetig wirkenden Quelle g
ist, gefunden. Der nächste Schritt wird sein, dies auf beliebige r′ und t′ zu verallgemeinern. Hierfür führen wir
einfach eine Koordinatentransformation in (4.34) durch:
r → r − r′
t → t − t′ ,
dann erhalten wir folgende Gleichung:
1 2
G(r − r′ , t − t′ ) = δ(r − r′ )δ(t − t′ ),
∆r−r′ − 2 ∂t−t
′
c
und können schlussfolgern:
Die Greenfunktion der sphärischen Wellengleichung ist gegeben durch:
G(r, t, r′ , t′ ) = −
c δ[(|r − r′ |) − c(t − t′ )]
4π
|r − r′ |
(4.36)
oder
i
h
|r−r ′ |
′
δ
t
−
t
−
c
1
G(r, t, r′ , t′ ) = −
4π
|r − r′ |
Die mit der Koordinatentransformation gefundene Lösung löst tatsächlich (4.31), da
∂
∂
=
∂r
∂(r − r′ )
∂
∂
=
∂t
∂(t − t′ )
(4.37)
94
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Abbildung 4.6: Erzeugung einer Welle bei (r′ , t′ ) und Abstrahlung zu einem Punkt (r, t)
4.2.1.2
Weg B: Bestimmung der Greenfunktion über die Fouriertransformation
Wir versuchen zunächst wieder, die Greenfunktion für folgende Gleichung zu finden:
G(r, t) = δ(r)δ(t)
(4.38)
Als Ansatz für diese Greenfunktion wählen wir:
Z
1
ei(k◦r−ωt) G̃(k, ω)d3 kdω .
G(r, t) =
(2π)4/2
Wir setzen dies nun in die obige Gleichung ein und nutzen die Fouriereigenschaft der Delta-Distribution:
Z
eikx dk = 2πδ(x)
Der Box-Operator wirkt nur auf r, t, und wir erhalten deshalb:
Z
Z
Z
1
1
1
3
iωt
i(k◦r−ωt)
G̃(k,
ω)d
kdω
=
r,t
e
dω
·
e
eik◦r d3 k .
2π
(2π)4/2
(2π)3/2
Führt man nun die Ableitungen des Box-Operators aus, so erhält man folgende Beziehung:
ω2
1
−k 2 + 2 G̃(k, ω) =
c
(2π)2
Im Fourierraum entkoppeln die Greenfunktionen für alle Spektralkomponenten k und ω:
G̃(k, ω) =
c2
1
(2π)2 ω 2 − c2 k 2
(4.39)
Hier sind die ω, k beliebig und unabhängig. In der Welle gibt es aber einen Zusammenhang, nämlich die schon
erwähnte Dispersionsrelation. Diese entsteht beim Übergang zu G(r, t) durch die Rücktransformation,
Z i(k◦r−ωt)
Z
e
c2
c2
3
G(r, t) =
eik◦r · J(t, ck) d3 k
d
kdω
=
(4.40)
(2π)4
ω 2 − c2 k 2
(2π)4
wo wir definiert haben:
J(t, ω0 ) :=
Z∞
−∞
eiωt
.
ω 2 − ω02
Dieses Integral möchten wir nun berechnen. Hierfür benötigt man einige Resultate der Funktionentheorie. Wir
integrieren in der komplexen ŵ-Ebene. Man erkennt, das J Pole bei ω = ±ω0 besitzt.
ω ′′
ω̂
−∞
−ω0
+ω0
∞
ω′
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
95
Das Resultat ist also abhängig vom Integrationsweg. Wir wählen einen geschlossenen Weg und umgehen die
Pole. Diesen Integrationsweg motivieren wir physikalisch. Zu Zeiten t < 0 wird kein Feld erzeugt (vor der
Wirkung der Quelle), es ist also
G(r, t) = 0 ,
für alle t < 0 und für alle r. Wir fordern dann auch
J(t, ω0 ) = 0
für t < 0. Es gilt ω ′ = ℜ(ω) und ω ′′ = ℑ(ω), wobei ω ′ ,ω ′′ ∈ R, und es gilt ω zu: ω = ω ′ + i · ω ′′ . Dann schreiben
wir die Exponentialfunktion aus J zu:
′
e−i(ω +i·ω
′′
)t
′
= e−iω t · eω
′′
t
Unser Integrationsweg für t < 0 wird veranschaulicht durch die folgende Skizze.
Abbildung 4.7: Integrationsweg für t < 0
Hier ist, wie bereits erwähnt, J = 0, da der Beitrag für |ω| → ∞ verschwindet, und der Integrationsweg keine
Singularitäten umschließt.
Im Fall t > 0 wählen wir folgenden Integrationsweg:
Abbildung 4.8: Integrationsweg für t > 0
Auch hier ist der Beitrag von |ω| → ∞ gleich Null, aber der Integrationsweg umschließt zwei Singularitäten.
Nach dem Residuensatz gilt dann, für t > 0:
I
X
eiωt
J=
dω = −2πi
Res(±ω0 )
2
2
ω − ω0
±
Berechnet man die Residuen mit Hilfe von
ω 2 − ω02 = (ω + ω0 )(ω − ω0 ) ,
96
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
so erhält man
( 2π
− ω0 sin ω0 t,
e−iω0 t
eiω0 t
=
+
J(t, ω0 ) = −2πi
−2ω0
2ω0
0,
t>0
t≤0
Beide Fälle können wir vereinigen zu
J(t, ω0 ) = −Θ(t)
2π
sin ω0 t
ω0
(4.41)
Setzen wir dies in (4.40) ein, so bewirkt nur der Teil mit t > 0 einen Beitrag.
Z
sin ckt ik◦r 3
Θ(t) 2
c
e
d k
G(r, t) = −
2
(2π)
ck
Wir wählen das Koordinatensystem so, dass gilt
Abbildung 4.9: Orientierung von r und k
und substituieren, wie üblich, z = cos ϑ. Dann erhalten wir:
Z1
dz
eikrz
ikr
1
Θ(t) 2
c · 2π
G(r, t) = −
(2π)3
−1
Z∞
sin ckt 2 ikr·z
k e
dk
ck
0
Das z-Integral kann zuerst ausgeführt werden:
Z1
eikrz dz =
−1
=2
−1
sin kr
,
kr
und setzen dies in den Ausdruck für die Greenfunktion ein (definiere noch r± := r ± ct):
Θ(t) 2 · c
G(r, t) = −
(2π)2 r
=−
Θ(t) c
(2π)2 r
Z∞
0
Z∞
−∞
sin(ckt) · sin(kr) dk
|
{z
}
gerade Funktion
sin(ckt) · sin(kr)dk
Θ(t) c
1
=−
·
(2π)2 r (2i)2
Z∞
−∞
eikr+ + e−ikr+ − eikr− − e−ikri
Θ(t) 2 · c
1
=−
·
· 2π( 2 · δ(r+ ) −2 · δ(r− )
| {z }
(2π)2 r
(2i)2
=0 für r,t>0
=−
Θ(t) c (−4π)
·
δ(r− )
(2π)2 r (2i)2
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
97
Als exaktes Resultat für die Greenfunktion mit r′ = t′ = 0 erhalten wir:
G(r, t) = −Θ(t)
c δ(r − ct)
4π
r
(4.42)
Diese Greenfunktion der inhomogenen Wellengleichung genügt dem Kausalitätsprinzip durch die Wahl des
Integrationswegs, da die Wirkung (das Feld am Ort r zur Zeit t) immer später als die physikalische Ursache ist.
Die Abhängigkeit ist von der Form r − ct. Wir erhalten also wieder die retardierte Greenfunktion. Das Resultat
stimmt mit dem vorher gefundenen überein.
4.2.1.3
Konstruktion der Potentiale
Wir konstruieren nun mit Hilfe der gefundenen Greenfunktion (4.36) die Lösung der Wellengleichung mit beliebig
ausgedehnter Inhomogenität für die Potentiale Φ und A. Die Lösung der Gleichung
Φ(r, t) = −4πρ(r, t)
ergibt sich gemäß
Z
Φ(r, t) = −4π G(r − r′ , t − t′ )ρ(r′ , r)d3 r′ dt′
Z
ρ(r′ , t′ ) 3 ′ ′
d r dt
= c δ[|r − r′ | − c(t − t′ )]
|r − r′ |
Z ρ(r′ , t′ ) 3 ′ ′
|r − r′ |
d r dt
= δ t′ − t −
c
|r − r′ |
Z ρ r′ , t − |r−r′ |
c
d3 r ′
=
′
|r − r |
Für das Vektorpotential geht man analog vor, und wir können zusammenfassen:
Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen
Φ(r, t) = −4πρ(r, t)
4π
A(r, t) = − j(r, t)
c
sind gegeben durch die retardierten Potentiale:
Φ(r, t) = |{z}
1
SI:
1
4πǫ0
1
A(r, t) =
c
|{z}
SI:
µ0
4π
Z ρ r′ , t −
|r−r ′ |
c
|r − r′ |
Z j r′ , t −
|r−r ′ |
c
|r − r′ |
d3 r ′
d3 r ′
(4.43)
(4.44)
Diskussion: Diese Lösungen sind die partikulären Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen für die Potentiale. In großem Abstand vom Ursprung verschwinden sowohl die Lösungen las auch die ersten und höheren
Ableitungen (Gradienten). Die allgemeine Lösung würde zusätzlich noch eine allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung enthalten. Diese würde aber verschwinden, wenn wir ein Verschwinden der Lösung im Unendlichen
fordern.
Die Gleichungen (4.43) und (4.44) sind eine Verallgemeinerung der Resultate aus der Statik. Dieser Spezialfall
∂
→ 0. Das Potential in r ist eine Überlagerung der Beiträge aller Quellen bei r′ . Im zeitabhängigen Fall
folgt bei ∂t
98
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
breitet sich eine Ursache bei (r′ , t′ ) mit der endlichen Geschwindigkeit c aus, und die Laufzeit dieser Anregung
vom Ort r′ zum Ort r ist
∆t(r′ ) =
|r − r′ |
c
Betrachte hierzu folgende Abbildung.
Abbildung 4.10: Entstehung der retardierten Potentiale
Ein Empfänger in (r, t) registriert die Signale aus P1′ , P2′ , ... die zur Zeit (i = 1, 2)
t−
|r − r′i |
c
ausgesandt wurden. Wir prüfen nun die Konsistenz der Lösungen für Φ und A, das heißt wir testen, ob die
Lorentzeichung erfüllt ist:
1
1
div A + Φ̇ = ∇r A + Φ̇t
c
c
Z j(r′ , t′ )
1 ρ̇(r′ , t′ ) 3 ′
=
∇r
d r
+
c|r − r′ | c |r − r′ |
Wir betrachten nun zunächst den ersten Summanden unter dem Integral. Indem wir r und r′ entsprechend
tauschen, erhalten wir:
j(r′ )
1
1
1
= − j(r′ )∇r′
∇r
′
c
|r − r |
c
|r − r′ |
Da
Z
lim ∇r′
′
|r |→∞
j(r′ )
|r − r′ |
d3 r ′ = 0
gilt, folgt mit der Produktregel
−j(r′ )∇r′
1
1
=
∇r′ j(r′ )
′
|r − r |
|r − r′ |
Setzen wir dies in die Lorentzeichung ein, so erhalten wir


Z


1
1
1
 div j + ∂ ρ  = 0
∇r + Φ̇ =


′
c
c
|r − r |
|
{z ∂t }
=0, Kontinuitätsgl.
Damit sind die Lösungen konsistent. Die Felder E und B folgen direkt aus den Potentialen. Wir betrachten
diese später bei der Multipolentwicklung elektromagnetischer Wellen.
In den bisherigen Betrachtungen hatten wir zur Vereinfachung nur die retardierten Potential begrachtet, die zu
auslaufenden (retardierten) Lösungen (aus r = 0) führen. Völlig analoge Betrachtungen funktionieren auch für
die einlaufenden (avancierten) Lösungen.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
4.2.2
99
Potential und Feld einer bewegten Punktladung. Lienard-Wiechert-Potentiale
Für einige Spezialfälle ist eine exakte explizite Lösung der inhomogenen Wellengleichung möglich. Wir betrachten
hier das Beispiel, dass sich eine Punktladung q auf einer Trajektorie r0 (t) bewegt. Ladungs- und Stromdichte
ergeben sich also zu:
ρ(r, t) = qδ[r − r0 (t)],
j(r, t) = q ṙ0 (t)δ[r − r0 (t)].
Setzen wir dies in die allgemeine Lösung für Φ, Glg. (4.43), ein, so erhalten wir
′
|
Z
Z
δ t − t′ − |r−r
c
· δ(r′ − r0 (t′ ))
Φ(r, t) = q d3 r′ dt′
|r − r′ |
Z
1
|r − r0 (t′ )|
′
= q dt′
δ
t
−
t
−
|r − r0 (t′ )|
c
Diese Integration ist ausführbar mit
t ′ = t0 = t −
R(t0 )
,
c
wobei R(t) = |r − r0 (t)| gilt. t0 ist eine Nullstelle der Delta-Distribution. Das Problem ist nun, dass t0 von der
funktionalen Form von R(t) abhängig ist. Wir nutzen nun eine der Eigenschaften der Delta-Distribution (siehe
Behauptung 5 in 2.1.2) für eine Verkettung von Funktionen:
δ[f (x)] =
1
δ(x − x0 )
|f ′ (x0 )|
Hierbei ist x0 die einzige Nullstelle von f . Unsere Funktion f ist hier
f (t′ ) = t − t′ −
R(t′ )
c
mit der Ableitung
f ′ (t′ ) = −1 −
1
∂
R(t′ )
∂t′
c
Damit folgt:
δ(t′ − t0 )
|r − r0 (t′ )|
= δ t − t′ −
c
1 + 1c ∂t∂0 |r − r0 (t0 )|
δ(t′ − t0 )
δ(t′ − t0 )
=
= ṙ (t0 )R(t0 )
ṙ (t ) R(t ) 1 − 0 cR(t
1 − 0 c 0 R(t00 ) 0)
(4.45)
Im letzten Schritt wurde, wegen |v 0 | < c, der Betragsstrich weggelassen. Dies folgt aus der Relativitätstheorie,
ist für die Lösung an dieser Stelle aber nicht zwingend. Setzen wir (4.45) in das obige Integral ein so erhalten
wir die Lösung für das skalare Potential mit t′ = t0 :
Φ(r, t) =
Analog lässt sich das Vektorpotential berechnen.
1
q
h
R(t0 ) 1 − v ·
0
R(t0 )
cR(t0 )
i
Die Potentiale einer bewegten Punktladung (“Lienard-Wiechert-Potentiale”) ergeben sich mit
R = r − r0
und
t0 = t −
|r − r0 |
c
zu
Φ(r, t) =
q
1
c R(t0 )
R(t0 ) −
◦ v 0 (t0 )
1
qv 0 (t0 )
A(r, t) =
c R(t0 ) − 1c R(t0 ) ◦ v 0 (t0 )
(4.46)
(4.47)
100
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Bemerkungen: In obigen Gleichungen ist die Richtung und die Zeitabhängigkeit von v 0 beliebig. Die Potentiale sind retardiert und kausal. Für die Richtungsabhängigkeit definiere:
n0 :=
r − r0 (t0 )
R(t0 )
=
R
|r − r0 (t0 )|
Damit wird der Nenner der Potentiale zu:
1
Nenner = R(t0 ) 1 − n0 ◦ v 0
c
Abbildung 4.11: Definierte Größen einer bewegten Punktladung
Man erkennt nun, dass Φ minimal für ϑ = π wird. Dann entfernt sich die Ladung. Entsprechend wird Φ maximal
für ϑ = 0. Dann fliegt die Ladung auf den Beobachter zu. Beachte die Divergenz für |v 0 | → c.
4.2.2.1
Strahlung einer geradlinig gleichförmig bewegten Punktladung
Wir betrachten das Beispiel einer sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 bewegenden Punktladung.
Abbildung 4.12: Eine sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegende Punktladung und ihre Wirkung am Ort r
Die Größe r0 (t) gibt die aktuelle Position des Teilchens an. Diese kann man mit der Setzung r0 (0) = 0 zu
r0 (t) = v 0 · t0
berechnen. Der Winkel <
) (R, v 0 ) ist zeitabhängig. In unserem Spezialfall ist also das Potential:
Φ(r, t) =
q·c
|R|c − R ◦ v 0
(4.48)
Hierbei ist R = R(t0 ) und v0 = v0 (t0 ). Die allgemeine Gleichung für die Gesamtlaufzeit ist:
t − t0 =
R
>0
c
(4.49)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
101
Wir werden nun ein explizites Resultat für t0 = t0 (r, v0 , ϕ) aus
c(t − t0 ) = |r − v 0 · t0 |
(4.50)
berechnen. Es gilt
c2 (t2 − 2t · t0 + t20 ) = r2 − 2v 0 ◦ r · t0 + v02 t20
mit der Lösung:
t01/2
c2 · t − r ◦ v 0
±
=
c2 − v02
s
c2 t − r ◦ v 0
c2 − v02
2
+
r 2 − c 2 t2
c2 − v02
(4.51)
Aufgrund der Kausalität ist nur das negative Vorzeichen möglich, da für v0 → 0: t01/2 → t ± rc ≤ t gilt. Nun
setzen wir (4.51) in (4.48) ein und berechnen zunächst den Nenner. Es gilt hierbei R = r − v 0 · t0 .
R(t0 ) · c − R(t0 ) ◦ v 0 = (t − t0 )c2 − v 0 (r − v 0 · t0 )
= t0 (v02 − c2 ) + c2 t − r ◦ v 0
Im letzten Schritt wurde (4.49) benutzt. Weiter gilt:
2
2
2
v02 )
R(t0 ) · c − R(t0 ) ◦ v 0 = (c · t − r ◦ v 0 )(−1) + c t − r ◦ v 0 +(c −
{z
}
|
0
q
= (c2 t − r ◦ v 0 )2 + (c2 − v02 )(r2 − c2 t2 )
r
q
v2
2
2
2
2
2
= c Rt − r v0 sin ϕ = cRt 1 − 20 sin2 θ
c
s
c2 t − r ◦ v 0
c2 − v02
2
+
r 2 − c 2 t2
c2 − v02
Die Potentiale einer bewegten Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit sind:
Φ(r, t) =
A(r, t) =
4.2.2.2
q
q
v2
Rt 1 − c20 sin2 θ
q·
q
Rt 1 −
v0
c
v02
c2
(4.52)
(4.53)
sin2 θ
Feldstärken einer geradlinig gleichförmig bewegten Punktladung
Für diese Potentiale bestimmen wir nun die Feldstärken E und B durch:
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
B =∇×A
Aus den vorigen Überlegungen gilt nun
A=
v0
Φ,
c
und damit folgt:
B=
v0
× E,
c
da A||v 0 gilt. Setzen wir die Form des Potentials A nun in das elektrische Feld ein, so erhalten wir:
v0 ∂
E =− ∇+ 2
Φ
c ∂t
(4.54)
102
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Mit f (r, t) gilt:
qc
Φ(r, t) = √
f
qc 1
∇f
∇Φ = −
2 f 23
qc 1 ˙
∂t Φ = −
f.
2 f 23
Hierbei gilt:
f (r, t) = c2 Rt2 + (r ◦ v 0 )2 − v02 r2
= (c2 t − r ◦ v 0 )2 + (c2 − v02 )(r2 − c2 t2 ).
Die beiden benötigten Ableitungen ergeben sich zu:
r
∇f = −2(c2 t − rv0 )v 0 + 2r (c2 − v02 )
r
f˙ = 2c2 (tc2 − r ◦ v 0 ) − 2tc2 (c2 − v02 ).
Setzen wir dies nun in das elektrische Feld ein, so ergibt sich:
E=−


c2 v
qc 
v 
 2
v 0 − 2 0 −(c2 − v02 ) r − c2 t · 20 
3 (c t − r ◦ v0 )

c
f2
{z c }
|
{z
}
|
Rt
=0
Ersetzen wir nun wieder
f
1
2
= cRt
r
1−
v02
sin2 Θ,
c2
so erhalten wir folgendes Endresultat:
Die Feldstärke einer gleichmäßig geradlinig bewegten Punktladung ergibt sich mit
Rt = r − v 0 · t = r − r0 (t)
zu:
E(r, t) =
qRt
·
Rt3 h
1−
1−
v02
c2
v02
c2
2
sin θ
i3/2
(4.55)
Im Fall v0 ≪ c geht dies in das Feld einer ruhenden Punktladung über. Die Feldrichtung ist parallel zu Rt .
Man kann Gleichung (4.55) auch mit Hilfe einer Lorentztransformation aus dem mitbewegten System (v 0 )
berechnen2 .
Betrachten wir nun noch die Richtungsabhängigkeit des Feldes.
2 Anders
gesagt: wir haben hier direkt die Lorentz-Transformation der elektromagnetischen Potential und der Felder gefunden.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
103
Abbildung 4.13: Veränderung der Isotropie in der Nähe von c
Im linken Fall erkennt man die Isotropie. Wird die Punktladung jedoch schneller, erkennt man eine Stauchung
des Feldes in v 0 -Richtung. Insgesamt wird das Feld minimal für θ = 0, π:
v2
E ∝ 1 − 20
c
und maximal für θ = ± π2 :
E∝q
1
1−
v02
c2
Fazit: Die Lienard-Wiechert-Potentiale gelten für beliebig bewegte Punktladungen (beziehungsweise Systeme,
wenn die Ladung in Ruhe ist. Enscheidend ist nur die Relativ-Bewegung). Im zuvor behandelten Fall liegt
keine elektromagnetische Welle vor, sondern lediglich ein bewegtes Feld. Eine EM-Welle erfordert nämlich eine
beschleunigte Bewegung, wie wir in Kürze sehen werden.
4.2.2.3
Allgemeines Resultat für die Feldstärken einer bewegten Punktladung
Wir kehren nun noch mal zum allgemeinen Fall einer beliebigen Geschwindigkeit v 0 der Punktladung zurück.
Es gilt zunächst wieder
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
und
B = ∇ × A.
Für Φ und A gelten wieder die Zusammenhänge aus Gleichung (4.46) und (4.47). Diese beiden Potentiale hängen
von r und t nur über die retardierte Zeit t0 ab.
R(t0 ) = c(t − t0 )n = r − r0 (t0 ),
t0 = t0 (r, t)
Wir benutzen nun R2 = R2 und
R·
∂R
∂R
=R
= −Rv 0 (t0 )
∂t0
∂t0
um die folgende Kettenregel wie folgt umzuschreiben:
∂R
∂R ∂t0
=
∂t
∂t0 ∂t
Rv ∂t0
=− 0
R ∂t
(4.56)
104
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Gleichzeitig benutzen wir
∂t0
∂R
=c−c·
.
∂t
∂t
(4.57)
Setzt man (4.56) und (4.57) gleich so erhält man:
1
∂t0
=
v0 R
∂t
1 − cR
(4.58)
Analog betrachten wir
1
1 ∂R
R
∇r t0 = − ∇R(t0 ) = −
· ∇t0 +
c
c ∂t0
R
und erhalten
R
.
∇ r t0 = − v R
c R − 0c
(4.59)
Mit (4.58) und (??) ergibt sich die Berechnung der Felder. Für das Magnetfeld gilt:
B(r, t) =
mit
1
,
R × E
R
t0 (R,t)
v̇ 0 =
(4.60)
∂v 0
.
∂t0
Für das elektrische Feld gilt:
E(r, t) = q 1−
R−
v02
c2
R·v 0
c
3
R−
v
R × R − c0 R × v̇ 0 v0
·R +q
3
c
t0
t0
R·v
c2 R − c 0
(4.61)
Es gilt immer B ⊥ E und es gibt zwei physikalisch verschiedene Beiträge:
1. Ein Beitrag ist nur von v 0 abhängig und proportional zu 1/R2 bei R → ∞.
2. Der andere Beitrag ist proportional zu v̇ 0 und zu 1/R. Dieser wird assoziiert mit EM-Wellen.
4.2.3
EM-Strahlung einer entfernten Quelle. Multipolstrahlung
Wir geben zunächst noch einmal die allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung für Φ und A an.
Z ρ r′ , t − |r−r′ |
c
Φ(r, t) =
d3 r ′
|r − r′ |
Z j r′ , t − |r−r′ |
c
1
d3 r ′
A(r, t) =
c
|r − r′ |
Die spezielle Lösung für eine Punktladung haben wir im vorigen Abschnitt besprochen. Nun suchen wir die
Lösung im Grenzfall |r| ≫ L, wobei L die Ausdehnung der Ladungs- bzw. Stromdichte ist. Die Idee ist eine
Multipolentwicklung wie in der Elektro- und Magnetostatik, wobei nun eine t-Abhängigkeit (Retardierung)
vorliegt. Wir demonstrieren hier nur die Herleitung für die niedrigste Ordnung (Dipolstrahlung). Bisher haben
wir wie folgt entwickelt:
1
1
= + O(α)
|r − r′ |
r
Hierbei ist α =
L
r
≪ 1 der Entwicklungsparameter.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
105
Abbildung 4.14: Multipolentwicklung
Nun haben wir in den Argumenten der Dichtefunktionen folgenden Ausdruck zu entwickeln:



1
1
∂


|r − r′ | = r +
|r − r′ | ′ ·(r′ ) + O(r · α2 )
c
c
∂r

r =0
|
{z
}
= rr
Hiermit ist die Entwicklung am Beispiel der Ladungsdichte:
|r − r′ |
r r ◦ r′
′
′
ρ r ,t −
≈ ρ r ,t − +
c
c
cr
Wir definieren die retardierte Zeit, die der Laufzeit vom Ladungsschwerpunkt zum Betrachter entspricht
r
t− = t − .
c
(4.62)
Die tatsächlichen retardierten Zeiten, für alle r′ , weichen leicht davon ab, so dass wir diese Zeiten um t herum
entwickeln können. Wenn man das Zeitargument der Ladungsdichte weiterentwickelt so erhält man:
ρ(r′ , t− ) + ρ̇(r′ , t− ) ·
r ◦ r′
+ ...
cr
(4.63)
Die Konvergenz hängt nicht nur von α (also der Geometrie der Laudungsverteilung), sondern auch von der
t-Abhängigkeit von ρ ab. Die Anwendbarkeit der Taylorentwicklung (Multipolentwicklung) erfordert immer:
r′ ρ̇ ≪ |ρ|,
c
(4.64)
was natürlich auch von der zeitlichen Änderung der Ladungsdichte abhängt.
Beispiel: Wir prüfen obige Gleichung für den wichtigen Fall einer monochromatischen Zeitabhängigkeit der
Ladungsdichte:
ρ(t) = ρ0 eiωt
Dies führt zu:
′
r ρ̇ c |ρ|
Hierbei ist t′ =
wenn
r′
c
=ω·
r′
2π ′
=
·t
c
T
die Laufzeit innerhalb der Ladungsverteilung ρ. Das Konvergenzkriterium (4.64) ist erfüllt,
t′ ≪ T
gilt. Hierbei ist T = 2π/ω die Periode der Oszillation von ρ. Diese Bedingung lässt sich auch umformulieren für
ein Verhältnis der relevanten Längenskalen. Da die Laufzeit des Signals innerhalb von ρ maximal L/c betragen
kann und T = λ/c gilt, erhalten wir, nach Multiplikation der Ungleichung mit c, eine neue Ungleichung
L ≪ λ, r.
106
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Analog zu obiger Entwicklung der Ladungsdichte ist die Entwicklung der Stromdichte gegeben durch:
|r − r′ |
= j(r′ , t− ) + ...
j r′ , t −
c
(4.65)
Der Monopolbeitrag genügt an dieser Stelle. Setzt man die Entwicklung der Ladungsdichte in das Potential Φ
ein so erhält man:
Z 1
r ◦ r′
′
′
Φ(r, t) =
ρ(r , t− ) + ρ̇(r , t− )
+ ... d3 r′
r
c
i
1h
n
=
Q(t− ) + Ṗ (t− ) + ...
r
c
Dies gilt mit n =
r
r
und
d
Ṗ (t) =
dt
Z
′
′ 3 ′
ρ(r , t) · r d r =
Z
ρ̇(r′ , t) · r′ d3 r′
Der Monopolterm entspricht einer Erzeugung oder Vernichtung von Ladungen und ist daher meist konstant
oder langsam veränderlich. Die Zeitabhängigkeit wird daher vom Dipolbeitrag von Φ dominiert, welcher die
Bewegungen von Ladungen impliziert.
Der zeitabhängige Dipolbeitrag des Potentials Φ ist mit t− = t −
ΦD (r, t) =
r
c
gegeben durch:
1
n ◦ Ṗ (t− )
cr
(4.66)
Einsetzen in das Vektorpotential A liefert analog:
1
A(r, t) =
cr
Z
j(r′ , t− )d3 r′
Der zeitabhängige Monopolbeitrag des Potentials A ist mit t− = t −
AM (r, t) =
Beweis:
r
c
gegeben durch:
1
Ṗ (t− )
cr
(4.67)
Die obige Beziehung bedarf eines Beweises. Hierzu benutzen wir die Kontinuitätsgleichung.
Z
Ṗ (t) = ρ̇(r′ , t) · r′ d3 r′
Z
= − div j(r′ , t) ◦ r′ d3 r′
Z
= j(r′ , t)d3 r′
Wir beweisen dies noch für eine diskrete Ladungsverteilung mit:
j(r′ , t− ) =
N
X
i=1
qi v 0i δ[r′ − r0i (t− )]
Für eine fixiertes r gilt:
v 0i =
d
d
r (t− ) = r0i (t− )
dt− 0i
dt
Sei außerdem |r0i | ≪ |r| für alle i, damit die Retardierungszeit von qi bis P ungefähr konstant ist. Hiermit wird
der Monopolbeitrag des Vektorpotentials zu:
AM (r, t) =
N
1 X
1 d
qi ṙ (t− ) =
P (t− )
cr i=1 0i
cr dt
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
Diskussion:
107
In der Magnetostatik ist die Stromdichte stets stationär. Das heißt es gilt immer
Z
j(r′ )d3 r′ = 0
V
für ein endliches Volumen V . Hier ist j veränderlich und ortsabhängig. Ein gutes Beispiel hierfür ist der HertzDipol.
Abbildung 4.15: Hertz’scher Dipol
Das Dipolmoment ist hier, wie bereits vorher berechnet:
P (t) = qd(t),
wobei hier allerdings der Abstand d zeitabhängig ist. Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Schwingen die beiden
Punktladungen in Phase, so ist der Abstand d = const. und damit ist d˙ = Ṗ = 0. Liegt eine gegenphasige
Bewegung von q und −q vor, so wird ein Strom ohne einen geschlossenen Stromkreis erzeugt. Also ist dann:
Z
j(r′ )d3 r′ 6= 0
V
Nehmen wir für den Abstand folgende Form an:
d(t) = d0 cos ωt
Dies führt zu folgendem Monopolbeitrag der Vektorpotentials:
r
r
d
= −A0 sin ω t −
AM (r, t) = − 0 ωq sin ω t −
cr
c
c
mit
A0 (r) = qd0
4.2.3.1
ω
rc
Magnetfeld eines zeitabhängigen Dipols:
Wie gewöhnlich gilt:
B M (r, t) = ∇ × Am (r, t)
1
Ṗ (t− )
∇×
c
r
1
1
= ∇ × Ṗ (t− ) + O
rc
r2
| {z }
=
→0 für r→∞
Weiter ist:
∂ Ṗ ∂t−
1r
= P̈ (t− ) −
∇r Ṗ (t− ) =
∂t− ∂r
cr
108
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Mit den vorangegangenen Überlegungen gilt für das magnetische Feld eines zeitabhängigen Dipols:
B M (r, t) = −
4.2.3.2
1
n × P̈ (t− )
c2 r
(4.68)
Elektrisches Feld eines zeitabhängigen Dipols
Auch hier gilt, wie gewohnt:
E D (r, t) = −∇ΦD −
=−
1 ∂AM
c ∂t
i
1h
P̈
∇t− ·(n ◦ P̈ ) − 2
|{z}
cr
c r
− 1c n
1 = 2 n(n ◦ P̈ (t− )) − P̈ (t− )
c r
Für das elektrische Feld eines zeitabhängigen Dipols ergibt sich:
E D (r, t) = −
n
× (P̈ (t− ) × n)
c2 r
(4.69)
oder
E D (r, t) = B M × n
(4.70)
Hiermit ist auch die Frage nach der Orientierung der Feldvektoren geklärt. Folgende Skizze verdeutlicht dies.
Abbildung 4.16: Feldorientierung eines zeitabhängigen Dipols
4.2.3.3
Energiestromdichte der Dipolstrahlung
Wir können den Poynting-Vektor mit den vorigen Ergebnissen berechnen.
c
[E × B]
S ED (r, t) =
4π
c
1 1
=
n · B2 =
(n × P̈ )2 · n
3
2
4π
4π c r
t−
Der Poyntingvektor der elektrischen Dipolstrahlung ist gegeben durch:
1 1
2
×
P̈
)
(n
S ED (r, t) =
·n
4π c3 r2
t−
(4.71)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
109
Es gilt wieder
S =n·c·u
(4.72)
mit der Energiedichte u. Für die Intensität (Leistung pro Fläche) gilt:
I = c · u = |S ED |
(4.73)
Betrachten wir die Energiestromdichte durch ein Raumwinkelelement dΩ, so entspricht dies einer Fläche dF
mit:
dF = r2 dΩ
Abbildung 4.17: Raumwinkelelement
Die Strahlungsleistung ist dann:
dΦs =
i2
1 h
n × P̈ (t− ) dΩ
3
4πc
Die Strahlung besitzt also eine Verteilung bezüglich des Winkels θ =<
) (P̈ , n),
dΦs (θ) ∝ sin2 θ
Abbildung 4.18: Winkelabhängigkeit des Energiestromes der Strahlung in ein Winkelelement dΩ
Ein Maximum der Intensität wird also auf der Achse senkrecht zum Dipol erreicht. Auf der Achse des Dipols
ist keine Intensität vorhanden.
4.2.3.4
Gesamt-Leistung
Die Gesamt-Leistung ergibt sich nach Integration der Intensität über die Gesamt-Fläche (dieser Zusammenhang
folgt aus dem Energieerhaltungssatz):
Z
Zπ
dWED
1
= dΦs =
·
2π
sin θ|P̈ (t− )|2 sin2 θdθ .
dt
4πc3
0
110
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Setzt man z = cos θ und benutzt
Z1
−1
(1 − z 2 )dz =
4
,
3
so kann man das Integral leicht ausrechnen:
Die Leistung der elektrischen Dipolstrahlung durch eine geschlossene Oberfläche (Kugel), die den Dipol
enthält ist–bis auf die Retardierung–unabhängig von r.
dWED
2
(r, t) = 3 |P̈ (t− )|2
dt
3c
(4.74)
Beispiel: Wir behandeln nun die elektrische Dipolstrahlung einer mit ω oszillierenden Punktladung. Wir
definieren folgende Trajektorie:
rq (t) = r0 cos ωt
Abbildung 4.19: oszillierende Punktladung
Mit der Ladungsdichte
ρ(r) = qδ[r − rq (t)]
wird das Dipolmoment zu:
Pq =
Z
ρ(r′ ) · r′ d3 r′ = qrq (t)
Man erkennt also, dass eine unbewegte Ladung am Ursprung kein Dipolmoment besitzt (rq = P = 0). Eine
bewegte Ladung besitzt dagegen ein zeitabhängiges Dipolmoment.
P (t) = P 0 cos ωt
mit P 0 = qr0 (t). Jetzt können wir die Felder berechnen.
r
ω2
· n × (P 0 × n)
cos
ω
t
−
c2 r
c
=B×n
E(r, t) =
Also wird das Magnetfeld zu:
B(r, t) =
r
ω2
n × P0
cos
ω
t
−
c2 r
c
Mit den Feldern lässt sich die Intensität der elektrischen Dipolstrahlung einer geradlinig mit ω oszillierenden
Punktladung berechnen.
I(r, t) =
h ω4 1
r i
2
cos
ω
t
−
(n × P 0 )2
4πc3 r2
c
(4.75)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
111
Diskussion: Die Intensität ist proportional zu ω 4 und q 2 und beinhaltet wie die Energiedichte einen Abfall
mit r12 . Eine Ladung emittiert Strahlung, wenn r̈ 6= 0, d.h nur bei beschleunigter Bewegung. Das emittierte
elektromagnetische Feld hat dabei das gleiche Zeitverhalten wie rq (t). Wir haben oben erkannt das die Intensität
folgende Proportionalität hat:
I(θ) ∝ sin2 θ
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung und rq . Die Intensität erreicht also ein Maximum
senkrecht zu rq . Die Wechselwirkung zwischen Ladung und Feld ist reversibel. Eine beschleunigte Ladung
emittiert EM-Wellen und umgekehrt beschleunigt eine Feld die Ladung q. Also re-emittiert q. Die Emission
erfolgt hierbei dann in allen Richtungen.
Abbildung 4.20: Reversibilität WW Feld und Ladung
Bei diesem Prozess gibt es keine Dämpfung, d.h. keine Reduktion der Feldenergie. Die Ladung bewirkt nur eine
Umverteilung (Richtung) oder auch eine Streuung der Feldenergie. Die Gesamtenergie aus Ladung und Feld ist
konstant.
Beispiel 2: Nun betrachten wir eine Ladung, die eine Kreisbewegung vollführt. Die entsprechenden Größen
sind in der folgenden Skizze definiert.
Abbildung 4.21: kreisförmige Trajektorie einer Punktladung
Das Dipolmoment ist also parallel zum Einheitsvektor in ρ-Richtung. Dieser Einheitsvektor wird allerdings
gedreht und ist daher zeitabhängig,
P q (t) = P0 êρ (t)
mit P0 = q · ρ. Damit können wir das Magnetfeld berechnen
B ED (r, t) =
P̈ q × n
r
q·ρ × n.
= 2 ê¨ρ t −
2
c r
c r
c
Also ist B ED parallel zur z-Achse und das elektrische Feld ist E D = n × B ED . Außerdem gilt:
r
|B(t)| ∝ sin α t −
c
Weitere Beispiele für beschleunigte Bewegungen von Ladungen sind etwa die Streuung zweier Teilchen oder eine
Abbremsen im externen Feld (Bremsstrahlung).
112
4.2.3.5
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
EM-Strahlung höherer Multipol-Beiträge
Die elektrische Dipolstrahlung ist hat eine lange Reichweite (S ED ∝ r12 ) und dominiert das Strahlungsfeld,
wenn P̈ 6= 0 ist. Bei P̈ = 0 sind die nächsten Beiträge der Entwicklung die elektrische Quaddrupolstrahlung und
die magnetische Dipolstrahlung. Ein Beispiel für die magnetische Dipolstrahlung ist eine stationärer homogener
Kreisstrom.
Abbildung 4.22: Stationärer Kreisstrom
Hier ist dann P = 0, Q = const., Qij = 0 und I = I(t). Ein Beispiel für elektrische Quadrupolstrahlung sind
zwei Ladungen die auf einer Kreisbahn umeinander mit der Frequenz ω rotieren.
Abbildung 4.23: zwei rotierende Punktladungen
Nimmt man zum Beispiel q1 = q2 und r1 = −r2 so ist P = 0 aber Qij 6= 0 und es liegt elektrische Quaddrupolstrahlung vor.
Multipolentwicklung für das Vektorpotential Wir möchten nun die zeitabhängige Multipolentwicklung
für das Vektorpotential genauer betrachten. Bekannt ist bereits der Monopolbeitrag AM .
A = AM + AD + ...
Doch wenn der Monopolbeitrag verschwindet, dominiert der Dipolbeitrag und es macht daher Sinn sich über
ihn Gedanken zu machen.
Z
j(r′ , t− ) 3 ′
1
(r′ ∇)
d r
AD (r, t) = −
c
r
Z
∂j
1
(r′ ∇t− )
≈−
|{z} ∂t−
cr
− 1c n
Wir betrachten zunächst N Punktladungen mit der Stromdichte
j(r, t) =
N
X
i=1
qi ṙi δ(r − ri (t))
und dem Vektorpotential:
N
AD (r, t) =
1 ∂ X
q
(r
·
ṙ
◦
n)
i
i
i
c2 r ∂t i=1
t−
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
113
Hierbei müssen wir uns zunächst folgendes anschauen:
1 ∂
[(r ◦ n)ri ] +
2 ∂t i
1 ∂
[(r ◦ n)ri ] +
=
2 ∂t i
(ri ◦ n) · ṙi =
1
1
(r ◦ n)ṙi − (ṙi ◦ n)ri
2 i
2
1
n × (ṙi × ri )
2
Damit können wir das Vektorpotential in veränderter Form schreiben.
AD (r, t) =
N
1 ∂ X
∂
×
(
ṙ
q
[(r
◦
n)r
]
+
n
×
r
)
i
i
i
i
2c2 r ∂t i=1
∂t i
t−
Erinnern wir uns an die Definition des magnetischen Momentes
N
m(t) =
1 X
qi r (t) × ṙi (t)
2c i=1 i
und an das elektrische Quadrupolmoment
Qmk =
Z
ρ(r′ (3x′m x′k − r′2 δmk )
Wir können nun folgendes definieren:
Dk (t) := 3 ·
N
X
i=1
qi xim xik · nm = Qmk (t) · nm
Dies funktioniert, da der zweite
PSummand und dem Integral des Quadrupolmomentes ein irrelevanter Zusatzterm
zu D ist. Dies ist der Fall da i qi ri2 · n nicht zum Magnetfeld beiträgt wegen B ⊥ n.
Der Dipolbeitrag zur zeitabhängigen Multipolentwicklung der Vektorpotentials A ist:
AD (r, t) =
zugehöriges Magnetfeld:
gnetfeld.
1
1
D̈(t− ) + [ṁ(t− ) × n]
6c2 r
cr
(4.76)
Wir berechnen nun das zum Dipolbeitrag des Vektorpotentials gehörende MaB D = ∇ × AD (r, t− )
=
1 ∂2
1
[∇t− × Ḋ] + ∇t− (m̈ × n)
2
2
6c r ∂t
cr
Mit ∇t− = − 1c n erhält man dann die Felder.
Die Felder der elektrischen Quadrupol- und magnetischen Dipolstrahlung sind gegeben durch:
und
BD r,t
=
1 ∂3
1
D
(
m̈
×
n
×
n)
×
n
+
6c3 r ∂t3
c2 r
t−
t−
ED = BD × n
Strahlungsleistung:
dΦs =
c 2 2
B · r dΩ
4π
dΦED
1
=
(n × P̈ )2
dΩ
4πc3
(4.77)
(4.78)
114
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Also gilt:
2
3
2 3
1 1 1
dΦEQ
∂
∂
=
D
Q
∝
×
n
km
dΩ
36 4π c5 ∂t3
∂t3
1 1
dΦM D
=
((m̈ × n) × n)2
dΩ
4π c3
Betrachtet man das Größenverhältnis mit der charakteristischen Geschwindigkeit v der Ladungen:
v 2
c3 ṙ2
dΦEQ
∝ 5 =
dΦED
c
c
v 2
dΦM D
∝
dΦED
c
Die beiden Anteile haben dieselbe r-Abhängigkeit.
Gesamtstrahlungsleistung:
Nach Landau ist das Resultat [LL92]:
2
1
dW
2
(t) = 3 |P̈ (t− )|2 + 3 |m̈(t− )|2 +
dt
3c
3c
180c5
∂3
Qab
∂t3
2
Nun betrachten wir noch die räumliche Winkelverteilung.
D ∝ r ◦ n ∝ cos θ
und
B EQ ∝
∂3
D × n ∝ sin θ
∂t3
Hierbei ist θ <
) (r, n).
dΦEQ
(θ) ∝ cos2 θ · sin2 θ
dω
und der magnetische Dipolbeitrag ist proportional zu sin2 θ analog zum elektrischen Dipolbeitrag.
Spektralzusammensetzung der Strahlung: Ist die Quelle der Strahlung eine sich monochromatisch bewegende Ladung mit ri (t) ∝ cos(ωt), dann gilt P ∝ r und damit P̈ ∝ cos(ωt). Daraus folgt, dass die Felder E, B
ebenfall proportional zu cos(ωt) mit derselben Frequenz sind. Betrachten wir das Quadrupolmoment, welches
proportional zu ra rb ist, so gilt:
...
Qab ∝ sin2 (ωt)
Hieraus folgt dann:
E, B ∝ A sin(ωt) + B sin(2ωt).
4.2.4
Dämpfung einer strahlenden Ladung (Energieverlust)
Abstrahlung elektromagnetischer Wellen bedeutet einen Energieverlust des abstrahlenden Teilchens und unterliegt der Energieerhaltung für Feld und Materie. Wir nehmen eine Abschätzung für das elektrische Dipolmoment
bei einer harmonischen Bewegung vor. Es gilt:
2
dWED
= 3 |P̈ |2
dt
3c
Hierbei ist das Dipolmoment P gegeben durch:
P (t) = qr0 cos(ωt)
Außerdem gilt:
v = −ωr0 sin(ωt)
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
115
Der Energieverlust pro Zeit gemittelt über eine Periode ist:
dW
= FR · v
dt
(4.79)
Dieser Term ist nur qualitativ zu verstehen, da die Abstrahlung in alle Richtungen erfolgt. Wir finden die
zugehörige Kraft über:
2ω 4 2 2 2
q r0 cos (ωt) = −F R ωr0 sin(ωt)
3c3
Mit cos2 (ωt) = sin2 (ωt) gilt:
FR = +
2 q2
r ω 3 sin(ωt)
}
3 c3 |0 {z
v̈(t)
FR
2 q2
=
v̈
3 c3
(4.80)
Dieser Term beschreibt die Strahlungs-Dämpfungskraft“auf eine Ladung q. Es ist eine strenge Ableitung von
”
Gleichung (4.80) aus der Multipolentwicklung möglich.
4.2.5
Strahlungsverlust eines klassischen Elektrons im Atom
Im klassischen Bild bewegt sich das Elektron auf einer Kreisbahn. Diese Bewegung ist wegen der Richtungsänderung
beschleunigt. Die wirkende Kraft ist die Coulombkraft. Aus den vorigen Abschnitten wissen wir, dass beschleunigte Ladungen EM-Wellen abstrahlen. Dies würde zu einem Energieverlust der Elektronen führen. Die Fliehkraft würde abnehmen und der Radius Re der Kreisbahn würde kleiner werden. Abschließend kollabiert das
Elektron im Kern. Das klassische Atom ist also instabil.
Abbildung 4.24: Links ist die klassische Kreisbahn des Elektrons um den Kern zu sehen. Rechts ist die, aufgrund
der Abstrahlung eigentlich erwartete, Schraubenbewegung zu sehen.
Im Thomson-Atommodell lässt sich der Radius Re der Elektronenbahn aus dem Gleichsetzung von Coulombkraft
und Zentripetalkraft ermitteln.
|FC | = |FZ |
me v 2
Ze20
2
=
m
ω
R
=
e
e
Re2
Re
Hierbei ist Z die Ladungszahl des Kerns und e0 die Elementarladung. Für die Energie des Elektrons gilt:
Ee (Re ) =
me v 2
Ze20
Ze2
−
=− 0
2
Re
2R
Der Energieverlust durch Dipolstrahlung ergibt sich wie folgt:
dWED
2
Ze2 d
dEe
=−
= − 3 |P̈ |2 = − 0
dt
dt
3c
2 dt
1
Re
=
Ze20 dRe
2Re2 dt
(4.81)
116
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Hierbei wurde
|Qe|
= me ω 2 R
R2
(4.82)
benutzt. Das Dipolmoment eines klassischen Elektrons auf einer Kreisbahn ist:
P e (t) = −eRe · er (t)
| {z }
(4.83)
∝cos(ωt)
2
→ |P̈e | =
e20 Re2 ω 4
(4.84)
Es ist also nur die Orientierung zeitabhängig. Setzt man (4.84) in (4.81) ein, so erhält man:
dRe
4 R 2 e2 R 2 ω 4
= − 3 e 20 e 2 2
dt
3c Ze0
Ze0
me Re2
4 Ze4 1
= − 3 20 2
3c m R
| {z e} e
−ǫ
Definiere die Konstante aB , die eine charakteristische Länge darstellt (Bohr-Radius):
aB =
~2 4πǫ0
Zme · e20
(4.85)
Wir legen die positive Ladung in den Ursprung des Koordinatensystems und integrieren R(t) von aB bis 0.
Hierbei entspricht das Verschwinden des Abstandes, R(tz ) = 0, der Zerfallszeit tz
Z0
aB
Re2 dRe = −ǫ (tz − 0)
a3B 1
3 −ǫ
~
~6 (4πǫ0 )5 m2e c3
1
=
=
· α−5
4Z 4 m3e e60 e40
4Z 4 me c2
1
10−34
≈
α−5 · s
4Z 4 10−30 9 · 1016
1.3 · 10−11
s
≈
Z4
tz = −
Es wurde zur Abkürzung noch die dimensionslose Sommerfeldsche Feinstruktur-Konstante α eingeführt:
α=
e20
1
= 7.297353 · 10−3 ≈
4πǫ0 ≈ ~c
137
(4.86)
Abbildung 4.25: Verlauf des klassischen Elektronenbahnradius Re mit der Zeit und Kollaps wegen des strahlungsbedingten Energieverlustes.
Das heißt, ein klassisches Punktteilchen, dass durch ein Proton gebunden ist (klassisches Wasserstoff-Atom),
würde bereits nach 10 Pikosekunden in den Kern “gestürzt” sein, wobei die Energie des Systems divergieren
würde. Für einen Z-fach geladenen Kern wäre die Lebensdauer des Elektrons noch um den Faktor Z 4 geringer.
4.2. ERZEUGUNG UND ABSTRAHLUNG EM-FELDER/ WELLEN
117
In diesem Modell gäbe es daher keine stabilen Atome, was allerdings den experimentellen Beobachtugen diametral entgegensteht.
Die erste “Lösung” wurde von Niels Bohr vorgeschlagen, der postulierte, dass es eine diskrete Zahl von Bahnen
gibt, die strahlungsfrei sind. Diese Bahnen erlaubten es ihm, Teile des Energiespektrums des Wasserstoffatoms
korrekt vorherzusagen. Allerdings ist das Modell nicht haltbar, da das Verbot der Strahlung in krassem Widerspruch zur Elektrodynamik steht, wie wir gerade gesehen haben. In all unseren Ableitungen gibt es keinerlei
Anzeichen für besondere Bahnen, auf denen keine Emission erfolgen würde.
Die Ursache des Problems ist die Annahme, dass sich das Elektron im Atom wie eine Punktladung verhält, was
ganz offensichtlich nicht den experimentellen Befunden entspricht. Die korrekte Theorie, die dieses Problem löst,
ist die Quantenmechanik. Dort ergibt sich automatisch eine endliche Ausdehnung des Elektrons. Die quantenmechanische Lösung für das Wasserstoffatom führt auf die Eigenfunktionen des Elektrons, die tatsächlich alle
strahlungsfrei sind.
118
KAPITEL 4. ZEITABHÄNGIGES ELEKTROMAGNETISCHES FELD
Kapitel 5
Spezielle Relativitätstheorie
5.1
Historische Einführung
Der Wissenstand der Physik um 1880 teilte sich auf in 3 Fachgebiete, von denen die Mechanik das dominierende
Gebiet war.
Newtons Mechanik wurde als Grundlage der Physik verstanden, und es wurden rein mechanische Erklärungen
für alle Phänomene gesucht. Die Thermodynamik (Clausius, Helmholtz, Kirchhoff, Maxwell,...) war noch nicht
gleichberechtigt. Die Elektrodynamik (Maxwell) hatte zwar bereits Anerkennung erzielt, doch die Vorhersage
der elektromagnetischen Wellen wurde heftig diskutiert (Trägermedium-Äther, Eigenschaften, etc), da auch der
experimentelle Nachweis dieser Wellen noch ausstand. Dennoch war man überzeugt, dass das ganze Gebäude der
Physik “gesichert dasteht” (Planck). Zu dieser Zeit gab es lediglich einige kleine, als unbedeutend angesehene,
Widersprüche and den Grenzen der drei Teilgebiete:
1. Die Elektrodynamik sagt eine Universalität der Lichtgeschwindigkeit voraus, welche im Widerspruch zur
Galilei-Transformation der Mechanik steht.
2. Die Hohlraumstrahlung war durch die klassische Elektrodynamik nicht erklärbar (Widerspruch Thermodynamik- Elektrodynamik/Mechanik). Die Lösung erfolgte an dieser Stelle über die Quantenmechanik.
3. Ebenfalls nicht erklärbar war die Instabilität der klassischen Atoms (s. oben). Dieser Widerspruch zwischen
Mechanik und Elektrodynamik wird erst durch die Quantenmechanik gelöst und war Auslöser für deren
Entstehung.
Der erste Punkt war der Auslöser für die spezielle Relativitätstheorie, und wir werden dies im Folgenden
diskutieren.
5.2
Objektivität und Relativitätsprinzip
Bei der Entwicklung der (Natur)-Philosophie war über die Jahrhunderte gekennzeichnet von der Auseinandersetzung zwischen Objektivismus (Materialismus) und Subjektivismus sowie der Religion. Die Entwicklung
der Naturwissenschaften seit Kopernikus, Galilei und Newton brachte eine neue Kultur der Experiment(Fakt)–
basierten Wissenschaft hervor. Hierbei legt man Wert auf
• die Reproduzierbarkeit des Resultats
• die Objektivität der Ergebnisse bzw. die Unabhängigkeit von der Person der Wissenschaftlers.
Die Naturgesetze tragen einen objektiven, vom Menschen unabhängigen, Charakter. Dies wird besonders in der
Physik und Chemie deutlich. Dies sollte auch darüber hinaus gelten, allerdings sind “objektive” Experimente
im Bereich der belebten Natur oder der Gesellschaftswissenschaften wesentlich schwieriger.
119
120
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
5.2.1
Objektiver Charakter physikalischer Gesetze
In der Physik können wir Kräfte auf materielle Körper messen. Die Frage ist dann, ob die Kräfte (und allgemeiner – die Naturgesetze) für alle Beobachter gleich sind (Objektivität sei anerkannt). Wir betrachten nun die
Gewichtskraft F G einer Person in einem Kasten welcher sich in Ruhe (Fall 1.), mit konstanter Geschwindigkeit
in x-Richtung (Fall 2.) oder sich aber beschleunigt in y-Richtung bewegt (Fall 3.).
Abbildung 5.1: Gewichtskraft in verschiedenen Bezugssystemen
In den ersten beiden Fällen ist die Gewichtskraft F G in beiden System identisch, man nennt solche Systeme, die
sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, Inertialsysteme. Solche Systeme sind Gegenstand
der speziellen Relativitätstheorie. Im dritten Fall handelt es sich um die beschleunigte Bewegung des freien Falls.
Hier ist die Gewichtskraft nicht spürbar. Daher handelt es sich dann nicht um ein Inertialsystem. Mit solchen
Systemen beschäftigt sich die allgemeine Relativitätstheorie, die wir hier nicht behandeln. Das Problem ist nun,
dass die Systeme 1. und 2. nicht zu unterscheiden sind (etwa durch Messung der Gewichtskraft) und sich hieraus
die Frage ergibt, welches System überhaupt in Ruhe ist.
Frage: Dies führt uns zu der Frage, welche Größen überhaupt messbar sind. Wir untersuchen dies an einigen
Beispielen.
• In der Mechanik gibt es eine klare Messvorschrift für die Masse.
• Hingegen ist die Angabe einer absoluten Position r sinnlos. Relevant sind nur Abstände zu bestimmten
Bezugspunkten. Als Beispiel betrachten wir zwei Lineale.
Abbildung 5.2: Messgröße: Abstand
Hier ist nur der Abstand messbar. Hierbei ist der Koordinatenursprung r01 beliebig.
∆r = r1 − r01 = r2 − r02
• Auch bei der Zeit t ist nur die Angabe einer Zeitdifferenz sinnvoll,
∆t = t − t0 ,
wobei t0 der Nullpunkt der Uhr ist, der für verschiedene Uhren unterschiedlich sein kann.
In der Newtonschen Mechanik sind die Größen Masse (m), Abstand (∆r) und Zeitdifferenz (∆t) absolut.
Das heißt, dass sie unabhängig vom Beobachter und vom untersuchten Körper sind (diese Aussagen werden
wir unten noch präzisieren).
Hiervon kann man verschiedene andere Größen ableiten.
5.2. OBJEKTIVITÄT UND RELATIVITÄTSPRINZIP
121
• Betrachten wir zunächst die abgeleitete Größe Geschwindigkeit. Die Messvorschrift ist hier klar, da sie
sich leicht auf Abstände und Zeitdifferenzen zurückführen lässt.
v=
r − r1
∆r
= 2
∆t
t2 − t1
Dies ist identisch für alle Lineale und Uhren, da nur die Differenzen eingehen.
Man erhält das selbe Ergebnis, wenn v = 0 ist, mit der Messung eines Lineals, das sich mit u = −v bewegt.
Nur die Relativgeschwindigkeit zweier Objekte v 1 − v 2 ist eine sinnvolle Messgröße.
Die Absolutgeschwindigkeit ist sinnlos anzugeben und nicht messbar. Als Beispiel nehmen wir einen Körper
auf der Erde, der sich mit der Erde und auch mit dem Sonnensystem mit bewegt.
Abbildung 5.3: Ein sich auf der Erde bewegender Körper
Die Geschwindigkeiten v E und v Sonne haben offenbar keinen Einfluss auf die Dynamik des Körpers, und
die Frage ist, warum ist das so? Der Grund hier ist, das sowohl die Geschwindigkeit der Erde als auch die
der Sonne nahezu konstant und nahezu gleichförmig sind. Also ist die damit verknüpfte Beschleunigung
vernachlässigbar klein, und es existiert keine Kraftwirkung.
F =
5.2.2
d
(m · v) = 0
dt
Messungen in verschiedenen Inertialsystemen. Galilei-Transformation
Als Inertialsysteme bezeichnen wir relativ zueinander geradlinig und gleichförmig bewegte Systeme, wobei
es eine unendlich große Anzahl solcher Systeme gibt.
Begründet haben wir diese Definition damit, dass eine solche Bewegung keine zusätzlichen Kräfte produziert
und damit physikalische Prozesse nicht beeinflusst werden. Hieraus folgt direkt, dass physikalische Gesetze für
alle Intertialsysteme gleich sind. Anders gesagt: kein physikalischer Prozess erlaubt es, ein Inertialsystem von
einem anderen zu unterscheiden. Es sind also alle Inertialsysteme gleichberechtigt.
122
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Galilei-Transformation: Die Messergebnisse aus unserem System IS1 sind einfach umrechenbar (vorhersagbar) auf Messergebnisse in einem beliebigen IS2 mittels der Galilei-Transformation. Hierzu messen wir die
Koordinaten, die Zeit und die Geschwindigkeit eines Punktes P in zwei Inertialsystemen, die sich gegeneinander
mit u = (u, 0, 0) bewegen.
Abbildung 5.4: Zwei Inertialsysteme IS und IS ′ mit Relativgeschwindigkeit u
Der Punkt P hat die Koordinaten
(x, y, z, t)
in IS und
(x′ , y ′ , z ′ , t′ )
in IS ′ . Für die Umrechnungen gilt offensichtlich:
x′ = x − ut
y′ = y
z′ = z
t′ = t
Dies sind die Galilei-Transformationen für konstante u. Man kann auch die Geschwindigkeit des Punktes P in
IS und IS ′ berechnen. Nehmen wir o.B.d.A v||êx . Im ungestrichenen Inertialsystem ist die Geschwindigkeit
dann einfach
v=
dx
dt
und im gestrichenen System gilt
dx′
dx′
=
′
dt
dt
dx
d
=
− (ut)
dt
dt
v′ = v − u
v′ =
Dies gilt aufgrund von dt u = 0. Auch die Beschleunigung und Kraft auf den Massenpunkt P, m lässt sich
berechnen. In IS ist die Kraft gegeben durch:
F =m
d
v
dt
In IS ′ ergibt sich:
F′ = m
d ′
d
v = m (v − u) = F
dt
dt
In beiden Systemen wirkt also die selbe Beschleunigung und Kraft. Damit haben die Newtonschen Gleichungen
die gleiche Form. Man sagt die Newtonschen Gleichungen sind invariant unter Galilei-Transformationen.
Dies ist gleichbedeutend mit dem Relativitätsprinzip, welches besagt, dass alle Inertialsystem die gleichen physikalischen Gesetze beschreiben. Wir stellen nun die Galilei-Transformationen graphisch in der x − t-Ebene
dar.
5.2. OBJEKTIVITÄT UND RELATIVITÄTSPRINZIP
123
Im ungestrichenen Inertialsystem entspricht die x-Achse t = 0 und die t-Achse entspricht x = 0. Im gestrichenen System gilt ebenfalls, dass die x′ -Achse t′ = 0 und die t′ -Achse x′ = 0 entspricht. Es entsteht also im
ungestrichenen System eine Gerade gemäß ut = x.
5.2.3
Relativitätsprinzip und die Elektrodynamik
Frage: Genügen die Maxwell-Gleichungen dem Relativitätsprinzip? Oder anders gefragt: Sind die MaxwellGleichungen Galilei-invariant?
Wir betrachten als Beispiel die elektromagnetische Welle im Vakuum. Hier gilt:
f = 0
mit f = ϕ, Ai , .... Eine partikuläre Lösung war eine ebene monochromatische Welle. Wir setzen k||êx und können
schreiben:
(
f (kx − ωt),
c = ωk , IS
f (x, t) =
′
′
f (kx − ωt ), c′ =?, IS ′ .
Hierbei ist x′ = x − ut und t = t′ , gemäß der Galilei-Transformationen. Wir versuchen nun, c′ zu finden.
f [k(x − ct)] = f [k(x′ + ut − ct)]
= f [k(x′ − c′ t)]
Der Vergleich zeigt dann:
c′ = c − u
(5.1)
Abbildung 5.5: propagierende Wellenfront in unterschiedlichen Systemen
Die Wellenfront propagiert also mit c bzw. mit c′ . Im gestrichenen System IS ′ gilt also die Geschwindigkeitsaddition und es gibt eine andere Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Wellenausbreitung ist aber ein physikalisch
messbarer Prozess. Damit ist Abhängigkeit der Wellenausbreitung vom Inertialsystem ein fundamentaler Widerspruch zum Relativitätsprinzip. Es gibt nun verschiedene Lösungsansätze,
1. Es gibt einen Fehler in den Maxwell-Gleichungen. In der Tat wurde lange (aber erfolglos) nach Zusatztermen in den Gleichungen gesucht, die auf eine Übereinstimmung mit der Galilei-Transformation führen.
124
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
2. Die Galilei-Transformationen sind nicht anwendbar. Dann stellt sich aber die Frage, ob sie nur in der
Elektrodynamik nicht gelten und warum das so sein soll.
In der Tat werden wir später sehen, dass wir die Galilei-Transformationen aufgeben müssen und durch die
Lorentztransformationen ersetzen müssen. Die Maxwell-Gleichungen sind dann Lorentz-invariant.
Unterschied zwischen Teilchengeschwindigkeit und Wellengeschwindigkeit. Gleichung (5.1) kann
nicht richtig sein, da es einen fundamentalen Unterschied zwischen der Geschwindigkeit v einer Punktmasse
und c einer Welle (nicht nur EM-Welle!) gibt. Bei der Welle ist c nicht mit Massentransport verbunden, sondern
mit der Geschwindigkeit der Wellenfront (Phase). Als Beispiel nehmen wir eine transversale Wasserwelle.
Abbildung 5.6: Propagation einer Wasserwelle
Es gibt hier keine Teilchenpropagation parallel zum Wellenvektor k. Die Geschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Auslenkung relativ zur Teilchengeschwindigkeit, die hier zu Null gesetzt wurde. Die
Ausbreitungsgeschwindigkeit wird durch Marterialeigenschaften des Trägermediums der Welle bestimmt. Zum
Beispiel gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wasserwelle (Grenzfall geringer Wassertiefe d)
p
(5.2)
c = gd,
wobei g die Erdbeschleunigung ist. Zum Vergleich gilt im Festkörper
s
E
,
c=
ρ
(5.3)
wobei E das Elastizitätsmodul und ρ die Massendichte ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist relativ zum
Trägermedium, bzw. zu den Atomen und Molekülen zu messen, und damit als Relativgeschwindigkeit
beobachtbar und invariant in allen Inertialsystemen. Dies gilt für alle der folgenden Fälle.
1. Ein bewegter Beobachter misst dieselbe Relativgeschwindigkeit.
2. Hat man eine mit uQ bewegte Quelle und die Teilchengeschwindigkeit ist Null, so wird das Trägermedium
durch die Quelle nur lokal gestört und nicht mitbewegt. Damit bleibt die Relativgeschwindigkeit c.
3. Ein bewegter Empfänger hat ebenfalls keinen Einfluss auf c.
4. Ein ruhender Beobachter sollte die Frontgeschwingikeit eines bewegten Trägermedium uM durch c + uM
messen.
Die Punkte 2. und 3. haben zwar keinen Einfluss auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit c wirken aber gemäß
der Doppler-Effekts auf die Frequenz ω. Wir erwarten nach Punkt 4. also die Existenz eines ausgezeichneten
Inertialsystems, in dem die Moleküle ruhen, uM = 0. Dies ist kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip. Die
Theorie ist also erweiterbar auf Wellenphänomene in bewegten Medien.
Der Äther. Die oben aufgezählten Punkte 1.-4. wurden auch auf elektromagnetische Wellen übertragen. Die
Analogie zu elastischen Wellen in Festkörpern hat dazu geführt, dass auch für elektromagnetische Wellen eine
ähnliche mechanische Vorstellung gesucht wurde. Da es im Vakuum ja keine Teilchen gibt, die schwingen können,
wurde eine schwingendes Medium postuliert–der Äther. Aus der Analogie zu Wasser- oder Festkörperwellen folgt
dann:
5.2. OBJEKTIVITÄT UND RELATIVITÄTSPRINZIP
125
• Es existiert ein besonderes Inertialsystem, in dem das Trägermedium (der Äther) ruht.
• Die Gesamtphasengeschwindigkeit der Welle ergibt sich dann mit der Geschwindigkeit des Äthers zu:
cges = c + uAe
Nun ergeben sich verschiedene Folgerungen aus diesen Annahmen.
• Es müssten unterschiedliche Resultate für die Gesamt-Phasengeschwindigkeit messbar sein, da die sich je
nach Relativgeschwindigkeit des Beobachters zum Äther ändert.
• Die Natur dieses Mediums ist unklar, da elektromagnetische Wellen im Vakuum mit c = (ǫ0 µ0 )−1/2
propagieren. Dieses c ist also bestimmt durch die “Materialeigenschaften” des Vakuums (ǫ0 , µ0 ). Aus dem
Vergleich mit einer transversalen Welle in Stahl folgt (siehe 5.3):
EAe
ρAe
ESt
ρSt
∝
c
cSt
2
Hieraus folgen wiederum weitere Eigenschaften und Fragestellungen bezüglich des Äthers.
– Es gibt ein exotisches Verhältnis von Elastizität und Dichte des Vakuums.
– Es ist unklar, wie das Medium mit den Himmelskörpern wechselwirkt. Wird der Äther abgebremst
oder mitbewegt? Ändert sich die Äthergeschwindigkeit in der Umgebung der Erde? Wie hängt die
Äthergeschwindigkeit von der Orientierung zur Erdgeschwindigkeit ab?
Alle diese Punkte führten zu umfangreichen Experimenten in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts zum
Nachweis der Äthergeschwindigkeit und der Richtungsabhängigkeit der Geschwindigkeit c.
5.2.4
Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit
1. Eines der ersten Experimente kam von Ole Roemer 1673.
Abbildung 5.7: Verfinsterung des Mondes Io
Die Messung von c erfolgte über die Verfinsterung des Jupitermondes Io.
∆S ≈ 3 · 108 km
∆t ≈ 24min
km
∆s
≈ 214.000
c=
∆t
s
2. 1727 machte James Bradley Untersuchungen über die astronomische Aberration des Lichtes (Verschiebung
der Streuposition). Die Aberration wurde kompensiert durch Neigung eines Fernrohrs in Bewegungsrichtung der Erde.
126
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Abbildung 5.8: Astronomische Aberration
tan α =
vE
∝ 10−4
c
Nach einem halben Jahr wird α → −α und hieraus folgt die Lichtgeschwindigkeit mit
c ≈ 295.000
km
s
Außerdem erhielt er das gleiche Resultat für die Lichtgeschwindigkeit in den Positionen 1. und 2. Die
Schlussfolgerung war, dass es keine Mitführung des Äthers durch die Erde geben kann.
3. 1849 machte Hippolyte Fizeau Experimente zur Lichtausbreitung in bewegten Medien.
Abbildung 5.9: Lichtausbreitung in Medien
Wir bezeichnen n als Brechungsindex des Mediums und u als die Geschwindigkeit des Mediums. Die
Lichtgeschwindigkeit innerhalb des Mediums ist dann c′ , wobei gilt:
c′ =


c

± u 1 −
n

1
2
n
|{z}
Äther mitgeführt





Das Plusminus-Zeichen berücksichtigt Parallelität oder Antiparalleliltät von c und u.
4. Ein weiteres berühmtes (weil sehr genaues) Experiment stammt von Michelson und Morley (1887). Sie
benutzten ein Interferometer, um aus dem Gangunterschied des Lichts auf zwei Wegen auf eine mögliche
Mitbewegung des Äthers zu schließen.
5.2. OBJEKTIVITÄT UND RELATIVITÄTSPRINZIP
127
Abbildung 5.10: Michelson-Interferometer mit den beiden Lichtwegen. Die Erde bewegt sich in horizontaler
Richtung.
Ein Weg des Interferometers ist dabei parallel zur Erdbewegung und einer senkrecht zur Erdbewegung
orientiert. Die Arme haben die gleiche Länge L.
Wir berechnen nun das erwartete Ergebnis, wenn die Erde sich relativ zum Äther mit u bewegt. Dies ist
der Fall, wenn der Äther in Ruhe ist und nicht von der Erde mitbewegt wird. Für den Lichtweg 1 gilt
dann – unter der Annahme, dass die Galilei-Transformation gilt:
ct1 = L + ut1
ct2 = L − ut2
⇒ t1 + t2 =
L
2L/c
L
+
=
c−u c+u
1 − u2 /c2
Für den Lichtweg 2 gilt:
ct3 =
p
L2 + (ut3 )2
2t3 = p
2L/c
1 − u2 /c2
Auf dem Detektor erscheint eine Verstärkung oder Auslöschung, wenn für den Gangunterschied
s12 = k ·
λ
2
k ∈ Z gerade bzw. ungerade ist. Die Vorhersage für den Laufzeitunterschied in beiden Interferometerarmen
ist nun:
t12 = t1 + t2 − 2t3
=
2L/c
2L/c
−p
6= 0
1 − u2 /c2
1 − u2 /c2
Die Zeit t12 ist am Interferenzmuster ablesbar.
Das Messergebnis lieferte t12 ≈ 0 und sagt daher eine gleiche Lichtlaufzeit für den parallelen und den
senkrechten Arm voraus. Als Fazit können wir also die Annahme machen, dass die Erde sich relativ zum
Äther mit uE bewegt. H.A.Lorentz
p sagte voraus, dass t12 = 0 gilt, wenn es eine Längenkontraktion parallel
zu uE gäbe. Das heißt L → L · 1 − u2 /c2 (das war aber nur eine Spekulation). Wir halten nun kurz die
Schlussfolgerung dieses Experimentes fest, die sich aus der vorliegenden Messgenauigkeit ergaben:
• Die Relativgeschwindigkeit von der Erde zum Äther ist kleiner als 8 km
s .
128
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
• Verbesserte aktuelle Messung mit längeren Interferometerarmen und erhöhter Messgenauigkeit sagen
eine Relativgeschwindigkeit von weniger als 25 m
s voraus.
Aufgabe: man wiederhole die Rechnung unter der Annahme, dass
a.) der Äther von der Erde “mitgeführt” wird
b.) der Äther von der Erde “teilweise mitgeführt” wird.
5.3
Einsteins Spezielle Relativitätstheorie
5.3.1
Das Ende des Äthers
Aus den zuvor besprochenen Experimenten gibt es einige Feststellungen zu bilanzieren:
• Eine Geschwindigkeit des Äthers (z.B. relativ zur Erde) ist nicht festzustellen.
• Ebenso ist keine Mitführung des Äthers durch die Erde festzustellen.
• Das Äther-Modell ist voller Widersprüche, damit ist die mechanische Deutung (der Ausbreitung) elektromagnetischer Wellen gescheitert.
Experimente zur Wellengeschwindigkeit – etwa in Flüssigkeiten oder Festkörpern – in verschiedenen Inertialsystemen haben zu Folgendem geführt:
• Es existiert ein besonderes Inertialsystem, in welchem das tragende Medium ruht.
′
vM
= vM − u = 0
In diesem System sind die Fronten von Kugelwellen auch Kugeln. In anderen Inertialsystemen gibt es eine
Deformation.
• Im Gegensatz zu Wellen in Flüssigkeiten oder Festkörpern gibt es bei EM Wellen allerdings kein spezielles
Koordinatensystem, in dem das Trägermedium (der Äther) ruht (vgl. Michelson-Experiment).
5.3.2
Einsteins Postulate
Albert Einstein löste diese Widersprüche durch zwei einfache Postulate [Ein05b]:
Einsteins Postulate.
1. Relativitätsprinzip: alle physikalischen Prozesse laufen in allen Inertialsystemen gleich ab. ⇒ es
existiert kein Äther ⇒ es existiert kein besonderes Inertialsystem.
2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit c ist invariant (Vakuum) in allen Inertialsystemen.
Diese beiden Postulate sind ausreichend für eine widerspruchsfreie Elektrodynamik ruhender und bewegter
Körper bei ausschließlicher Verwendung der Maxwell-Gleichungen.
Das zweite Postulat in Verbindung mit den Maxwell-Gleichungen steht allerdings im Widerspruch zur GalileiTransformation und der Galilei-Invarianz. Die Auflösung diese Widerspruches erfolgt nicht durch eine Revision
der Elektrodynamik, sondern durch eine Revision der Galilei-Transformationen. Das heißt wir müssen unsere
Vorstellungen von Raum und Zeit ändern.
• Dies geht einher mit einer Revolution der Physik und der gesamten Wissenschaft.
• Das Primat der Mechanik (Fernwirkung und Äther) wird ersetzt durch eine Feldtheorie (Nahwirkung).
Die Maxwell-Gleichungen, Quantenfeldtheorie und andere Verallgemeinerungen (QCD, etc.) sind hier zu
nennen.
5.3. EINSTEINS SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
129
Wir kennen bereits die Transformationen zwischen Inertialsystemen der Potentiale der Elektrodynamik. So sind
ϕ und A für eine gleichmäßig, geradlinig bewegte Ladung mit v 0 ⊥ n.
q
γ
Rt
q v0
A(r, t) =
γ
Rt c
ϕ(r, t) =
Hierbei ist
1
γ=q
1−
v02
c2
Das Inertialsystem IS’ sei mit q mitbewegt. Also v 0 = u und q ruht.
q
Rt
A=0
ϕ=
Damit sind die Koordinatentransformationen von ϕ und A sowie von E und B bekannt. Diese Transformationen
zwischen IS und IS’ ist die sogenannte Lorentz-Transformation. Wir untersuchen die Transformation und
Invarianz der Maxwell-Gleichungen systematisch in Abschnitt V.
5.3.3
Die Lorentz-Transformationen
Diese Transformationen wurden bereits 1877 von Voigt gefunden. H.A. Lorentz fand die formale Transformation (x, t) → (x′ , t′ ) unter denen die Maxwell-Gleichungen invariant sind. Die physikalische Deutung mit den
grundlegenden Eigenschaften von Raum und Zeit erfolgte erst durch Einstein.
Die Ableitung dieser Transformationen erfolgt aus Einsteins Postulaten. Für eine elektromagnetische Kugelwelle
in allen Systemen IS und IS’(u) gilt
c = c′
Abbildung 5.11: Kugelwellen in verschiedenen Inertialsytemen
Also gilt für die Front der Welle:
(
r = ct,
r′ = ct′ ,
IS,
IS ′ ,
wobei r(0) = r′ (0) = 0 gelte. Hieraus folgt für die folgenden Größen s bzw. s′ :
s2 = (ct)2 − r2
= (ct′ )2 − r′2 = s′2
Wir suchen also eine Transformation Λ(u) mit
(x, y, z, t) →Λ (x′ , y ′ , z ′ , t′ )
mit s2 = s′2 . Wir benötigen also eine Transformation im Vierdimensionalen, welche den oben definierten Abstand, s2 , invariant lässt.
130
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Wir erinnern uns nun, welche Transformationen im R2 den Abstand invariant lassen. Dies sind Spiegelungen
und Rotationen. Eine Rotation ist:
(
x = x′ cos ϕ + y ′ sin ϕ,
y = −x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ,
Diese lässt also den üblichen Abstand, s22D = x2 + y 2 = x′2 + y ′2 = s′2
2D , invariant bei
(x, y) →Rot (x′ , y ′ ).
Dieses Ergebnis kann man nun direkt auf den R4 verallgemeinern. Man nennt folgenden vierdimensionalen Raum
den Minkowski-Raum:
(ict, x, y, z).
Die Norm dieses verallgemeinerten Orts-Zeit-Vektors ergibt genau −s2 . Ein Vektor a in diesem Raum hat dann
die Komponenten
 
x0
x1 

a=
x2  ,
x3
wobei −(x20 + x21 + x22 + x23 ) = invariant gilt. Wir versuchen nun, die Rotation im Minkowski-Raum um einen
Winkel ϕ(u) zu finden. Sei hierfür zunächst u = (u, 0, 0). Dann gilt y = y ′ und z = z ′ . Wir drehen also in der
x − ict-Ebene:
(
x = x′ cos ϕ + ict′ sin ϕ,
(5.4)
ict = −x′ sin ϕ + ict′ cos ϕ.
Betrachten wir den Fall x′ = 0, so gilt:
1
x
= tan ϕ(u) = u.
ict
ic
Also folgt:
→ tan2 ϕ = −
u2
.
c2
(5.5)
Wir definieren nun folgende Abkürzungen:
u
c
1
γ = [1 − β 2 ]− 2
β=
Außerdem nutzen wir:
tan ϕ
sin ϕ = p
1 + tan2 ϕ
1
cos ϕ = p
1 + tan2 ϕ
(5.6)
(5.7)
Beachte hierbei: 1 ≤ cos ϕ < ∞. Einsetzen von (5.7) in (5.4) ergibt schon die gesuchten Transformationen.
Die Lorentz-Transformationen zwischen zwei Systemen mit der Relativgeschwindigkeit u = uêx sind:
x = (x′ + ut′ )γ
x′ u
′
t= t + 2 γ
c
(5.8)
(5.9)
y = y′
(5.10)
′
(5.11)
z=z
5.3. EINSTEINS SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
131
Wir untersuchen nun den nichtrelativistischen Grenzfall
u
→0
c
Dann entstehen wieder die Galilei-Transformationen:
h
(
x = x′ + ut′ + O
t = t′ + O uc
u 2
c
i
,
wobei wir auch relativistische Korrekturen finden können.
Damit haben wir die Lorentz-Transformationen Λ(u) gefunden.
• Sie sind im Einklang mit dem universellen Relativitätsprinzip der Elektrodynamik, Mechanik und weiteren
Gebieten.
• Es gibt keinen absoluten Raum und keine absolute Zeit. Raum und Zeit sind abhängig von der Bewegung
(u) des Koordinatensystems.
• Es existiert nun eine einzige vierdimensionale Raum-Zeit. Weder Längen |r| noch Zeiten sind invariant.
Nur ihre Kombination
s2 = (ct)2 − r2
ist invariant für alle Inertialsysteme.
Schauen wir uns die Größe s noch einmal genauer an. Man kann sie mit Hilfe des Minkowski-Kegels interpretieren.
Abbildung 5.12: Minkowski-Kegel
Der Minkowski (Licht)-Kegel ist eine vierdimensionale Oberfläche und beschreibt die Gesamtheit aller RaumZeitpunkte, die Licht (EMW im Vakuum) erreichen kann. Im Inneren dieses Kegels ist
s2 > 0
und man nennt solche Abstände zeitartig. Im Außemraum des Kegels gilt
s2 < 0
Diese Punkte nennt man raumartig verbunden. Vergleiche hierfür:
s 2 = c 2 t2 − x 2
Physikalische Ereignisse für Körper mit endlicher Masse (v < c) liegen im kleineren Kegel. Physikalische Prozesse
werden durch Linien im Minkowski-Raum beschrieben (“Weltlinien”).
132
5.3.4
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Zur Relativität der Gleichzeitigkeit
Max Born hat ein einfaches Beispiel vorgestellt, das verdeutlicht, dass selbst unter Verwendung der GalileiTransformation keine absolute Gleichzeitigkeit existiert. Das erläutern wir im Folgenden: Nehmen wir an, wir
haben drei Schiffe, welche fest miteinander in gleichen Abständen verbunden sind. Also
xAC = xBC
Abbildung 5.13: drei äquidistante Schiffe im System IS
Das Signal, welches bei C losgeschickt wird, wird in A und B gleichzeitig empfangen. Im ungestrichenen Koordinatensystem IS befinden sich die Schiffe in Ruhe. Nun betrachten wir drei identische Schiffe, die mit konstanter
Geschwindigkeit u an den Punkten A, B und C (am System IS) vorbeifahren. Die Uhren sind auch in diesem
bewegten System IS’ analog synchronisiert. Also kommt das Signal aus C ′ gleichzeitig in A′ und B ′ an.
Abbildung 5.14: drei äquidistande Schiffe im bewegten System IS ′
Jetzt stellt sich die Frage, welches Messergebnis (Zeitpunkkt) für das Eintreffen des Signals in B bzw. in C der
Betrachter im Ruhesystem IS registriert. Mit der Galilei-Transformation folgt offensichtlich:
xBC
,
vph − u
xAC
xBC
=
=
,
vph + u
vph + u
t′BC =
t′AC
da die Strecken in beiden Systemen die gleichen sind. Dies sind die Zeiten, bei der der Betrachter in IS das
Eintreffen des Signals in den Punkten B’ bzw. A’ im bewegten System registriert, s. auch Skizzen 5.15 and 5.16.
Die experimentelle Überprüfung würde so verlaufen, dass sich der bewegte und der unbewegte Beobachter treffen
(Begegnung findet statt bei A = A′ und B = B ′ ) und ihre Uhren vergleichen, die jeweils das selbe Ereignis
– Eintreffen des Signals aus C bzw. C’ – registriert haben. Der Uhrenvergleich liefert dann unterschiedliche
Resultate. Selbst wenn tA = tA′ sein sollte, wäre immer tB 6= tB ′ , das heißt, zwei Ereignisse, die in IS’ gleichzeitig
sind, erscheinen in IS zu unterschiedlichen Zeitpunkten.
Eine Uhren-Synchronisierung ist in jedem System möglich. Aus der Gleichberechtigung aller Inertialsysteme
folgt die Nichtexistenz einer absoluten Gleichzeitigkeit.
Die Kausalität ist jedoch absolut. Das heißt wenn in IS tA > tB gilt, so gilt für alle Inertialsysteme IS ′ auch
tA′ ≥ tB ′ . Es existiert also keine Willkür in der Reihenfolge von Ereignissen.
So wie für die Galilei-Transformation gilt das Fehlen einer absoluten Gleichzeitigkeit auch für die LorentzTransformation. In einem Diagramm kann man dies durch die Weltlinien der Punkte A, B, C parallel zu ct
veranschaulichen.
5.4. RELATIVISTISCHE KINEMATIK
133
Abbildung 5.15: Weltlinien der Schiffe aus
Abb. 5.13 in IS
5.4
Abbildung 5.16: Weltlinien der Schiffe aus
Abb. 5.14 in IS ′
Relativistische Kinematik
In diesem Abschnitt wenden wir die Lorentz-Transformation (LT) auf die Größen der Mechanik an.
1. LT von Längen:
Betrachten wir zwei Systeme IS und IS ′ (u) und messen in ihnen die Länge l bzw. l′ .
Abbildung 5.17: Längenmessung
Im System IS, in welchem der Stab ruht rechnen wir einfach:
l0 := l = x2 − x1
Dies bezeichnen wir als Eigenlänge. Diese Messung ist für alle Zeitpunkte möglich. Messen wir nun in IS ′ :
l′ = x′2 − x′1
t′ = t′1 = t′2
Hier erfordert die Längenmessung eine Uhrensynchronisierung. Nun versuchen wir den Zusammenhang l − l′ zu
finden.
l0 = (x′2 + ut′ )γ − (x′1 + ut′ )γ = γl′
Die relativistische Längenkontraktion ist gegeben durch:
r
l′ (u) = l0 ·
1−
u2
c2
(5.12)
134
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
• Die Länge ist also eine Größe, welche abhängig vom Bezugssystem ist. Dies steht im Widerspruch zu
Newton und Galilei, wo Abstände invariant in Inertialsystemen sind, vergleiche Abschnitt 5.2.2.
• Die maximale Länge ist die Eigenlänge im Ruhesystem. Das heißt, in jedem bewegten (relativ zum Objekt) System verkürzen sich Strecken. Einen experimentellen Nachweis werden wir bei den π-Mesonen
besprechen.
• Die Verkürzung ist unabhängig von der Richtung von u. Es gibt also eine u → −u-Symmetrie.
• Es gibt keine Symmetrie zwischen IS und IS ′ .
2. LT von Flächen: Betrachten wir eine Fläche A in einem bewegten Bezugsystem. Alle Längen senkrecht
zu u sind nach dem zuvor besprochenen Punkt invariant. Daher gilt:
r
u2
′
A (u) = A0 · 1 − 2
c
Hierbei bezeichnen wir A0 als die Eigenfläche.
Abbildung 5.18: LT von Flächen
3. LT von Volumina Analog zu den Flächen verläuft die LT von Volumina.
r
u2
V ′ (u) = V0 · 1 − 2
c
Hierzu analog kann man eine Transformation der Dichte vornehmen.
n=
N
→ n′ (u) = n0 · γ
V
4. Zeitintervall (-Dauer) Betrachten wir nun das Inertialsystem IS, in welchem Uhren in Ruhe sind und
messen ein Intervall am selben Ort x1 = x2 = x. Im Inertialsystem IS ′ messen wir die Zeitdauer:
∆t′ = t′2 − t′1
xu xu = t2 − 2 γ − t1 − 2 γ
c
c
= ∆t · γ
Bezeichnen wir nun die Zeitdauer im unbewegten System als Eigenzeit t0 .
Die relativistische Zeitdilatation ist:
∆t′ (u) = ∆t0 γ
(5.13)
• Im bewegten System vergeht die Zeit schneller.
• Die Eigenzeit ∆t0 ist die Zeitdauer auf Uhren, die relativ zu einem Objekt in Ruhe sind. Es existiert für
alle Körper ein besonderes Inertialsystem. In diesem sind nicht nur Uhren, sondern auch alle Naturprozesse
langsamer!
5.4. RELATIVISTISCHE KINEMATIK
135
• Es existiert keine absoluten Zeit (Newton), sondern nur eine vom Bezugsystem abhängige.
• Die Zeit-Dilatation folgt aus x′1 6= x′2 und der Invarianz s2 = s′2 . Wegen
ds2 = c2 dt2 − |{z}
dx2 = c2 dt′2 − dx′2
=0
ist die Bedingung für die Eigenzeit:
dt2 = dt20 ⇔ dx2 = 0
(5.14)
Hierbei wurde am selben Ort gemessen und der Messpunkt war in Ruhe. Ansonsten wäre
dt′2 c2 = c2 dt20 + dx′2 ≥ c2 dt20
Wir betrachten dies am Beispiel des Zwillingsparadoxons [Tip94].
Abbildung 5.19: “Zwillingsparadoxon” unterschiedlich schnell alternder Zwillinge
Die Menschen 1 und 2 seien eineiige Zwillinge. Nummer 2 reist mit hoher Geschwindigkeit zu einem weit
entfernten Planeten, dreht dort um und kehrt mit ebenso hoher Geschwindigkeit wieder zur Erde zurück. Die
Frage ist nun, welcher Zwilling ist nach der Rückkehr älter – oder sind beide gleich alt? Die richtige Antwort
ist, dass der zu Hause gebliebene Zwilling älter ist. Das Problem stellt ein Paradoxon dar, weil die Zwillinge
scheinbar symmetrische Rollen spielen, der Alterungsprozess jedoch asymmetrisch ist. Das Paradoxon lässt sich
lösen, wenn man sich vor Augen führt, dass die Rolle der Zwillinge in Wirklichkeit ebenfalls asymmetrisch
ist. Das relativistische Ergebnis widerspricht allerdings unserer Anschauung, die auf der festen, jedoch falschen
Vorstellung einer absoluten Gleichzeitigkeit beruht.
5. LT der Geschwindigkeit, Additionsgesetz:
IS.
Nun nehmen wir eine Geschwindigkeit vx im Bezugssystem
vx =
dx
dt
Diese Geschwindigkeit ist in IS ′ :
vx′ =
Erweitert man mit
1
dt
dx − udt γ
dx′
=
dt′
dt − cu2 dx γ
so erhält man folgendes Ergebnis:
Die LT der Geschwindigkeitskomponente parallel zu u ist:
vx′ =
vx − u
x
1 − uv
c2
(5.15)
136
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Die LT der Komponenten senkrecht zu u mit dy ′ = dy und dt′ 6= dt ist:
q
2
vy 1 − uc2
′
vy =
x
1 − uv
c2
(5.16)
Analog erhält man vZ .
Im Gegensatz zu Galilei-Transformation ist auch die senkrechte Geschwindigkeitskomponente beeinflusst.
Damit ist das Geschwindigkeits-Additions-Gesetz bekannt und wir wollen es an Hand einiger Beispiele untersuchen.
1. An der nichtrelativistischen Grenze, welche man formal mit c → ∞ beschreibt gilt:
vx′ → vx − u
vy′ → vy
vz′ → vz ,
in Übereinstimmung mit der Galilei-Transformation.
2. Im ultrarelativistischen Fall gilt für v = (c, 0, 0)
v′ =
c−u
c−u
=c
uc = c ·
1 − c2
c−u
Also hat ein Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die Geschwindigkeit c. Dieser
Sonderfall gilt also nicht nur für elektromagnetische Wellen. Damit sind alle astronomischen Experimente
zur Messung von c erklärt.
Obige Gleichung gilt auch für einen Beobachter, der sich mit u = c bewegt. Einsteins Gedankenexperiment
(Ein hypothetischer Beobachter, der sich mit u = c mit einem Lichtstrahl mitbewegt: sieht er eine stehende
Lichtwelle?) ergibt also, dass der Beobachter keine stehende Lichtwelle sieht.
3. Man kann sich nun fragen, ob eine Gesamtgeschwindigkeit > c durch Superposition möglich ist. Wir
nehmen eine bewegte Quelle mit u = vx′ = 0.9c.
vx =
1.8
2 · 0.9
vx′ + u
·c=
c≤c
=
x
2
1 + uv
1
+
(0.9)
1.81
2
c
4. Bei einer Relativgeschwindigkeit von u = const. folgt für alle Inertialsysteme IS und IS ′ für alle u.

′

vx < c → vx < c (1)
vx′ = c → vx = c

 ′
vx > c → vx > c (2)
Vom letzten Fall – einer Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit – kann man sich analog überzeugen.
Die Position des Weltpunktes innerhalb/ auf oder außerhalb des Lichtkegels ist unabhängig vom Inertialsystem.
Abbildung 5.20: Unabhängigkeit der Position von Weltpunkten relativ zum Lichtkegel vom Inertialsystem
5.4. RELATIVISTISCHE KINEMATIK
137
Hierbei ist zu beachten, dass u und vx gleichberechtigt sind (sofern u||v!) auch wenn nur u oder vx′ > c
folgt vx > c. Die spezielle Relativitätstheorie schließt vx > c nicht generell aus. Aber dann ist vx′ > c, da
alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind.
5. Es gibt Beispiele für v > c. Betrachten wir N Lichtquellen in Ruhe in einem Inertialsystem. Nun betrachten wir einen Einschaltmechanismus. Hierbei sei die Zeitdifferenz zwischen dem Anschalten zweier
benachbarter Lampen ∆t. Es gilt also
ti = t0 + i∆t
für i = 1, 2, ..., N . Dann ist eine Frontgeschwindigkeit
v=
L
>c
∆t
möglich.
Abbildung 5.21: Realisierung von v > c
Dies ist jedoch nur möglich falls,
(a) kein Massentransport geschieht. Andernfalls würde die Masse mit
m= q
m0
1−
v2
c2
divergieren. Hierfür wären dann aber unendlich große Kräfte und Energien nötig.
(b) kein Signaltransport geschieht. Das heißt es gibt keine Kopplung oder Wechselwirkung benachbarter
Elemente (vgl. Welle). Sonst gibt es eine Verletzung der Kausalität (vgl. retardierte Potentiale).
6. Schauen wir uns nun den schwach relativistischen Fall an. Also gilt:
u
≪1
c
Die Geschwindigkeit berechnen wir komponentenweise,
"
!
2
vx′
′
vx = vx + u 1 − 2 + O(β 2 ).
c
Die y-Komponente ist dann:
vy = vy′ − vx′ vy′ ·
u
+ O(β 2 ).
c2
Analog berechnen wir vz . Damit wird der Geschwindigkeitsvektor zu:
v(v ′ , u) = v ′ + u −
1
(u ◦ v ′ ) · v ′ + O(β 2 )
c2
(5.17)
7. Nun fehlt noch, eine mögliche Richtungsänderung der Geschwindigkeit in verschiedenen Inertialsystemen
zu betrachten. Aus den vorhergegangen Überlegungen ist klar, dass v nicht zwangsläufig parallel zu v ′ ist.
138
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Abbildung 5.22: Richtungsänderungen der Geschwindigkeiten beim Inertialsystemwechsel
Im Allgemeinen gilt:
p
v ′ 1 − u2 /c2 sin ϕ′
vy
= tan ϕ =
vx
v ′ cos ϕ′ + u
(5.18)
Bis auf die Wurzel entspricht dies dem Resultat der Galilei-Transformation.
Eine Anwendung findet dies in der Aberration, der Lichtablenkung. Also betrachten wir v = v ′ = c. Aus
Gleichung (5.18) folgt dann:
p
1 − u2 /c2
tan ϕ =
· sin ϕ′
(5.19)
u/c + cos ϕ′
Die Lichtablenkung, also die Korrektur der Teleskop-Ausrichtung ist für Himmelskörper (u ≪ c)
∆ϕ := ϕ′ − ϕ =
u
sin ϕ′
c
an der nichtrelativistischen Grenze.
Einige Punkte sind bisher noch offen geblieben, insbesondere:
• Die Lichteigenschaften Frequenz und Wellenlänge in verschiedenen Inertialsystemen.
• Die relativistische Dynamik (Newton-Gleichung).
• Die Lorentztransformationen der Maxwell-Gleichungen.
Für diese Punkte ist es zweckmäßig, eine andere mathematische Beschreibunt – eine Vierer-Notation – einzuführen, die die etwas künstliche bisher verwendete imaginäre Zeitkomponente vermeidet. Hierbei tritt an die
Stelle von Zeit und einem dreidimensionalen Raumvektor ein vierdimensionaler Raum-Zeit-Vektor (ct, r). Auch
lässt sich dann ein Vierer-Potential definieren (ϕ, A). Hiermit wird dann die Lorentzinvarianz der Elektrodynamik trivial.
5.5
5.5.1
Vierervektoren
Metrik des Minkowski-Raums
Für die Definition von Koordinaten im vierdimensionalen Raum gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine
Möglichkeit ist es komplexe Koordinaten so zu definieren, dass
s 2 = c 2 t2 − r 2
invariant ist.
(r, t) → (ict, r)
5.5. VIERERVEKTOREN
139
Die Möglichkeit, der wir nachgehen wollen, beinhaltet reelle Koordinaten aber zwei Typen von Vektoren. Man
definiert sogenannte Co-Variante-Vektoren und symbolisiert dies durch einen Index unten:
aµ = (a0 , −a1 , −a2 , −a3 ) = (a0 , −a)
(5.20)
Außerdem definiert man Contra-Variante-Vektoren und signalisiert einen solchen durch einen Index oben:
aµ = (a0 , a1 , a2 , a3 ) = (a0 , a)
(5.21)
Es ist hierbei µ = 1, 2, 3, 4 und a ∈ R. Weiter definiert man eine Verknüpfung zwischen beiden Arten von
Vektoren:
aµ = gµν aν
(5.22)
Hierbei wurde die Einstein’sche Summenkonvention benutzt, und es wird über doppelte Indizees summiert. gµν
bezeichnet dabei den metrischen Tensor:


1 0
0
0
0 −1 0
0

gµν = 
(5.23)
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
Es folgen sofort die Beziehungen
a0 = a0
(5.24)
ak = −ak
(5.25)
aµ aµ = (a0 )2 − (a)2
(5.26)
a µ bµ = a 0 b0 − a · b
(5.27)
und
mit k = 1, 2, 3. Die Norm von aµ
und das Skalarprodukt zweier Vierervektoren
bezeichnet man als invariante Lorentz-Skalare.
Weitere Eigenschaften der Vierer-Vektoren:
Die zu Gleichung (5.22) inverse Relation lautet:
aµ = (g −1 )µν aν
(5.28)
Eine alternative Norm wäre dann:
aµ aν = gµν aµ aν = (g −1 )µν aµ aν
Es gelten folgende Eigenschaften für gµν :
(g −1 )µν = g µν gµν
Es ist weiter gµν g νγ = δµγ mit der 4 × 4-Einheitsmatrix

1
0
γ
δµ = 
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Damit gelten:
aν = δνµ aµ
aµ = δνµ aν

0
0

0
1
(5.29)
140
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
5.5.2
Lorentz-Transformation von Vierer-Vektoren
Der erste für uns relevante Spezialfall von aµ ist
xµ = (ct, r)
(5.30)
xµ = (ct, −r)
(5.31)
x µ x µ = c 2 t2 − r 2 = s 2 .
(5.32)
mit dem Lorentzinvarianten Skalar s2
Wir kommen nun zur Vierer-Notation der Lorentz-Transformation (Gleichung 5.8-5.11). Die Transformation
lässt sich kompakt schreiben als:
x′µ = Λµν x0
(5.33)
Lorentz-Tensor:

γ
−βγ
µ
Λν = 
 0
0
−βγ
γ
0
0

0 0
0 0

1 0
0 1
(5.34)
p
Hierbei gilt, wie üblich, β = uc und γ = 1/ 1 − β 2 . Im Lorentztensor in der obigen Schreibweise bezeichnet
µ die Zeile und ν die Spalte. Dies ist ein Transformationsgesetz für alle Vierervektoren. Für die LorentzTransformation des metrischen Tensors gilt:
s′2 = x′µ x′µ
= gµα x′α x′µ
X
2
µ β γ
=
gµα Λα
µ Λγ x x = s
{z
}
|
β,γ
′ =g
gµα
µα
Analog verläuft die Transformation für jeden Lorentztensor. Wir besprechen dies später genauer.
Verallgemeinerung auf allgemeine Vierer-Vektoren:
zu s2 invariant. Die Lorentztransformation ist immer:
Für jeden Vierer-Vektor aµ ist die Norm analog
a′µ = Λµν aν .
Alle kovarianten Größen (Vektoren) lassen sich auf Vierer-Vektorform bringen. Das heißt, dass eine ViererVektorschreibweise der entsprechenden Gleichungen existiert. Die Voraussetzung dafür ist, es existiert ein physikalischer Zusammenhang zwischen a0 und a mit aµ aµ = const.
5.5.3
Vierdimensionale Differentialoperaturen
5.5.3.1
Wichtige Bespiele für Vierer-Vektoren
Der Gradient lautet in Vierer-Vektorschreibweise:
∂
∂
=
∂
=
,
∇
µ
∂xµ
∂ct
∂
∂
µ
=∂ =
, −∇
∂xµ
∂ct
(5.35)
Hierbei ist ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ). Man beachte, dass die Ableitung nach einem kontravarianten Vektor (1. Zeile)
wieder einen kontravarianten Vektor liefert (positives Vorzeichen), die Ableitung nach einem covarianten einen
covarianten Vektor1 .
1 Die
gebräuchliche Kurzschreibweise ∂µ und ∂ µ suggeriert einen co- bzw. kontravarianten Vektor und ist leider irreführend.
5.5. VIERERVEKTOREN
141
Der Laplace-Operator wird in der Vierer-Vektorschreibweise zum Box-Operator. Es handelt sich um die
Norm des Vektors ∂µ . Diese Norm ist Lorentz-invariant.
∂µ ∂ µ =
1 ∂2
− ∆ = −
c2 ∂t2
(5.36)
Hierbei gilt ∆ = ∇2 . Es handelt sich beim Box-Operator um den zentralen Operator der Elektrodynamik.
Beispielsweise verdeutlicht die Wellengleichung die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen. Details folgen hier
später. Auch die Divergenz ist als Skalarprodukt Lorentzinvariant.
∂ µ aµ =
∂a1
∂a2
∂a2
∂a0
∂a0
−
−
−
=
− div a
∂ct
∂x
∂y
∂z
∂ct
(5.37)
Nichtkommutativität der LT: Im allgemeinen kommutieren mehrere Lorentztransformationen bezüglich
Bewegungen in unterschiedliche Richtungen nicht. Es gilt:
Λ(ux )Λ(uy ) 6= Λ(uy )Λ(ux ),
wovon man sich durch direkte Rechnung überzeugen kann. Das ist eine Eigenschaft von Rotationen um verschiedene Achsen. Im Gegensatz hierzu ist die Galilei-Transformation kommutativ (Translation).
5.5.4
Vierer-Geschwindigkeit und Vierer-Beschleunigung
µ
Wir konstruieren aus v = dx
dt einen Vierervektor. Hierzu untersuchen wir die Differentiale dx → dx . Die Frage
ist nun was mit dem Differential dt passiert. Betrachte hierzu:
ds2 = −dx2 + c2 dt2
= −v 2 + c2 dt2
Hieraus ergibt sich:
dt =
1
ds
q
c
1−
(5.38)
v2
c2
Mit
dt0 =
ds
c
wird die invariante Eigenzeit bezeichnet. Dies wird durch
r
dt0 = dt ·
1−
(5.39)
v2
c2
deutlicher. Damit gilt:
Vierer-Geschwindigkeit:
vµ =
µ
µ

dx
dx
c
=
= q
1
dt
ds
0
c
1−
v2
c2
,q
v
1−
v2
c2


(5.40)
Dies wird bestätigt werden durch den Vierer-Impuls pµ = mv µ . Die Norm der Vierer-Geschwindigkeit berechnet
sich zu:
v µ vµ = c2
dxµ dxµ
= c2
ds2
(5.41)
Damit ist die Norm invariant, und die Geschwindigkeit ist ein korrekter Vierer-Vektor. Folgerichtig ergibt sich
die Vierer-Beschleunigung bµ .
142
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Vierer-Beschleunigung:
dv µ
d2 xµ
= 1 2
dt0
c2 ds
bµ =
(5.42)
Aus Gleichung (5.41) folgt:
d
(v µ vµ ) = 2bµ vµ = 0
dt0
Hieraus folgt, dass bµ senkrecht zu vµ im Minkowskiraum orientiert ist. Durch Gleichung (5.42) ist die explizite
Form der relativistischen Beschleunigung b = (b1 , b2 , b3 ) festgelegt.
5.5.5
Relativistische Dynamik
Wir begründen jetzt die relativistischen mechanischen Bewegungsgleichungen als Verallgemeinerung der Newtonschen Gleichungen, die Galilei invariant waren. Das Ziel ist eine Lorentz invariante Dynamik und Gleichungen
für Impuls, Kraft, Energie etc.
5.5.6
Lagrange-Funktion. Prinzip der kleinsten Wirkung
Mit der Lagrange-Funktion L definieren wir das Wirkungsintergral S.
S=
ZtE
L dt
(5.43)
tA
Dieses Wirkungsintegral soll – wie im nichtrelativistischen Fall – für die reale Dynamik zwischen der Anfangszeit
tA und der Endzeit tE minimal werden.
5.5.6.1
Nichtrelativistisches freies Teilchen
Die Lagrangefunktion für diesen Fall lautet:
L0 =
mv 2
2
(5.44)
Diese wird nur durch m charakterisiert. Für den Impuls gilt:
p=
∂L0
= mv
∂v
(5.45)
Die Hamilton-Funktion lautet:
H0 = p · v − L 0 =
p2
2m
(5.46)
Wie eingangs erwähnt, soll δS = 0 gelten (Extremum). Dies führt auf
d
p=F
dt
Man erhält also die Galilei-invariante Newtonsche Gleichung.
5.5.6.2
Relativistisches freies Teilchen
Wir nehmen jetzt die Verallgmeinerung auf eine Lorentz-invariante Form vor. Wir bezeichnen mit A und E
zwei Punkte im vierdimensionalen Minkowskiraum.
5.5. VIERERVEKTOREN
143
Abbildung 5.23: Verschiedene Weltlinien von einem Punkt A zu einem Punkt E im Minkowskiraum.
Die Integration erfolgt entlang dieser Weltlinien.
S0 = −α
ZE
ds,
(5.47)
A
wobei α ist eine Teilchen–spezifische Konstante ist. Dies wird weiter unten näher erläutert. Für ds gilt:
p
ds = c2 dt2 − dx2
mit
dx2 =
3
X
dx2i .
i=1
Betrachten wir nun zwei Inertialsysteme IS, mit v = 0, und IS’, mit v 6= 0.
Abbildung 5.24: Weltlinie eingezeichnet in zwei Inertialsystemen.
Im Inertialsystem IS mit v = 0 ist xA = xE und dx = 0. Damit wird ds maximal. Hier ist die Weltlinie also
eine Gerade. Es ist nun verwirrend das die Gerade zu einer maximalen Länge“führt. Dies liegt an der pseudo”
euklidischen Metrik. Dagegen ist im Inertialsystem IS’ mit v 6= 0 auch dx′ 6= 0 und damit ist die Weltlinie hier
gekrümmt. Es gilt:
ZE
ds <
ZE
A
A
IS′
IS
ds
Es folgt, dass
−
ZE
ds
A
ein Minimum besitzt. Dieses ist in IS. Das negative Vorzeichen resultiert aus Gleichung (5.47). Wir finden nun
L durch den Übergang zur Zeitintegration in Gleichung (5.47).
r
v2
(5.48)
ds = c dt0 = c dt 1 − 2
c
144
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Damit erhalten wir
S0 = −αc
−→ L0 = −αc
ZtE r
tA
r
v2
1 − 2 dt =
c
ZtE
tA
L0 dt
v2
1− 2.
c
(5.49)
Hierbei haben wir Gleichung (5.43) benutzt. Die Konstante α lässt sich nun mit Hilfe der nichtrelativistischen
Grenze bestimmen,
lim L0 = −αc +
v
c →0
αv 2
m
+ · · · = v2 .
2c
2
Es wurde hierbei Gleichung (5.44) benutzt. Der erste Term ist konstant und damit irrelevant für die Variation.
Es ergibt sich α = mc, und damit ist die
Lagrange-Funktion eines freien relativistischen Teilchens:
r
v2
2
L0 = −mc 1 − 2
c
5.5.7
(5.50)
Impuls. Masse. Energie
Mit Hilfe der eben gefundenen Lagrange-Funktion lassen sich nun Ausdrücke für den relativistischen Impuls,
die Masse und die Energie finden.
5.5.7.1
Relativistischer Impuls
Aus Gleichung (5.45) ergibt sich direkt:
p= q
5.5.7.2
mv
1−
v2
c2
(5.51)
Relativistische Energie
Aus Gleichung (5.46) ergibt sich direkt:
Betrachten wir nun die Energie im Grenzfall
v
c
E=q
mc2
1−
v2
c2
(5.52)
→ 0.
m
1 v2
= mc2 + v 2 + O(β 4 )
lim E = mc2 1 +
2
2c
2
v/c→0
2
Die nichtrelativistische kinetische Energie wird durch den bekannten Ausdruck m
2 v reproduziert. Interessanterweise gibt es aber einen Zusatzterm, mc2 . Dies ist die Ruheenergie, die immer exisitert, auch bei v = 0.
Gleichung (5.52) gilt universell, also sowohl für Elementarteilchen als auch für makroskopische Körper.
5.5.7.3
Hamilton-Funktion
Für die Hamilton-Funktion gilt:
H=v
∂L
−L
∂v
Wir finden nun H(p). Wir eliminieren als erstes die Geschwindigkeit aus obiger Gleichung. Aus den Gleichungen
(5.51) und (5.52) erhalten wir die relativistische Energie-Dispersion“.
”
E2
= p 2 + m2 c 2
c2
5.5. VIERERVEKTOREN
145
Vergleiche dies mit der nichtrelativistischen Dipsersion E(p) = p2 /2m. Man erhält nun die Hamiltonfunktion
für ein freies Teilchen:
p
(5.53)
H = ±c p2 + m2 c2
Abbildung 5.25: Vergleich von relativistischer mit nichtrelativistischer Energie-Dispersion
5.5.7.4
Relativistische Massenzunahme
Gleichung (5.52) enthält folgende Beziehung:
m
q
1−
v2
c2
= m(v),
(5.54)
das heißt, die Masse wächst mit der Geschwindigkeit. Hierbei ist m die Ruhemasse. Da gilt
lim m(v) = ∞,
v→c
ist die Beschleunigung von Teilchen mit m 6= 0 auf v = c unmöglich. Außerdem würden dann auch p und E
divergieren. Auch dieser Effekt wurde von Einstein gefunden [Ein05a].
Gleichung (5.51) und (5.52) liefern den wichtigen Zusammenhang:
p=
Ev
c2
(5.55)
Die ultrarelativistische Grenze wird beschrieben durch p2 ≫ m2 c2 . Es geht v → c und p → E/c. Dies ist exakt
für Teilchen mit m = 0, wie zum Beispiel für Photonen:
~k = ~
ω
c
Mit k = ω/c liegt eine lineare Dispersion vor. Für massebehaftete Teilchen gilt diese Disperion nur approximativ.
5.5.7.5
Vierer-Impuls
In der klassischen Mechanik gilt p = mv und E = − ∂S
∂t . Die Verallgemeinerung ist nun:
µ
µ
p = mv =
E
,p
c
Für die Norm gilt:
µ
p pµ =
E2
E
E
,p
, p = 2 − p 2 = m2 c 2
c
c
c
(5.56)
146
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Dies ist invariant. Wir betrachten nun die Lorentz-Transformation von p und E. Evident aus der Vierer-VektorStruktur ergibt sich:
p′µ = Λµν pν
(5.57)
Hierbei betrachten wir das Inertialsystem IS′ mit u = (u, 0, 0). Also gilt py = p′y und pz = p′z . Für die xKomponente und die Energie gilt:
u (5.58)
px = p′x + 2 E ′ γ
c
py = (E ′ + up′x ) γ
(5.59)
5.5.8
Relativistische Bewegungsgleichung
Wir teilen das Wirkintegral S0 nun auf in einen freien Anteil Sf rei und einen Wechselwirkungsanteil Sint auf.
Nun bestimmen wir die Vierer-Vektor-Notation für S. Für das Differential gilt:
p
ds = dxµ dxµ
Es ist nun:
−δSint = δS0 = mcδ
ZE
ds = −mc
A
ZE
dxµ δ dxµ
= −m
ds
A
ZE
vµ d δ xµ
A
Mit partieller Integration gilt nun:
ZE
E
dvµ
δS0 = −mvµ δx + m δxµ
ds ds
A
µ
A
Der erste Term ist Null, da in A und E δx = 0 gilt. Für ein freies Teilchen gilt also
δSint = 0
für alle δxµ . Hieraus folgt dann:
m
dvµ
=0
ds
Wir können nun als für ein wechselwirkendes Teilchen mit ds = c · dt0 die Viererkraft aufschreiben:
m
dvµ
= f µ.
dt0
(5.60)
Mit Gleichung (5.56) folgt nun:
d
pµ = f µ
dt0
(5.61)
Dies ist die relativistisch verallgemeinerte Newtonsche Gleichung und gilt für jede Kraft. Die Gleichung folgt
aus Sint und Lint . Mit Gleichung (5.56) gilt für die Kraftkomponenten:
dp
dE
fµ =
(5.62)
,c
c dt0 dt0
F ◦v
(5.63)
,F
=γ
c
q
2
Hierbei ist dt0 = dt 1 − vc2 , und F ist die bekannte Dreier-Kraft mit:
F =
Für die Leistung gilt dann auch F ◦ v =
dE
dt .
dp
.
dt
Es gilt weiter:
0 = fµ v µ
= f0 v 0 − F ◦ vγ = f0 cγ − F ◦ vγ
1
→ f0 = F ◦ v
c
5.6. KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
147
Ebenfalls gilt der Energieerhaltungssatz:
F ◦v
dE
=q
2
dt
1 − vc2
(5.64)
Für die Ortskomponenten von Gleichung (5.61) gilt mit Gleichung (5.63) nach dem Kürzen von γ:
d
mv
q
=F
dt 1 − v2
(5.65)
c2
Die Lorentzinvarianz der Mechanik erfordert also nur die Substitution
m
m→ q
1−
5.6
v2
c2
Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
Die Maxwell-Gleichungen genügen Einsteins Postulaten. So ist zum Beispiel die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit elementar und die Lorentz-Invarianz folgt direkt aus der Vierer-Vektor-Darstellbarkeit. Die Vierer-Vektor
oder Tensorstruktur ist eine intrinsische Eigenschaft der Elektrodynamik.
5.6.1
Vierer-Vektoren der Elektrodynamik
5.6.1.1
Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung in herkömmlicher Schreibweise war:
∂ρ
+ div j = 0
∂t
Die hier vorkommenden Ableitungen sind darstellbar als Vierer-Divergenz, vgl. Glg. (5.35).
∂
∂
=
,
∇
∂µ =
∂xµ
∂ct
Jeder Term in der Kontinuitätsgleichung ist ein Skalar. Damit ist der darstellbar als ein Skalarprodukt von zwei
Vierer-Vektoren2 .
∂µ j µ = 0 =
∂ 0
j + ∇j
∂ct
Der Vergleich zeigt nun:
Vierer-Stromdichte:
j µ = (cρ, j)
(5.66)
∂µ j µ = 0
(5.67)
Vierer-Kontinuitätsgleichung:
Die Lorentzinvarianz der Ladungserhaltung ist nun evident.
5.6.1.2
Lorentz-Transformation der Vierer-Stromdichte
Mit dem Lorentztensor und Gleichung (5.33) gilt:
β
j ′α (x′ ) = Λα
β j (x).
2 Man
ist.
beachte, dass hier kein Minuszeichen auftritt wegen der abweichenden Definition von ∂µ , das ein kontravarianter Vektor
148
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Ist u die Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsystem so wählen wir j || parallel zu u. Wir teilen die Stromdichte also in einen parallelen und in einen senkrechten Anteil zur Relativgeschwindigkeit auf:
j = j || + j ⊥ .
Setzen wir die Definition des Lorentztensors ein und benutzen Gleichung (5.66) so ist:
β
ρ′ (x′ ) = γ ρ(x) − j|| (x)
c
′
j⊥
(x′ ) = γ j|| (x) − βcρ(x)
(5.68)
Außerdem gilt j ′⊥ = j ⊥ . Dies wird aus Abbildung (5.26) deutlich. Die Änderung der Fläche ∆A wird durch die
Änderung der Zeit ∆t kompensiert.
Abbildung 5.26: Zur Transformation des senkrechten Anteils der Stromdichte.
Besprechen wir nun folgendes Beispiel. Im Inertialsystem IS gelte j = 0 und ρ 6= 0. Im Inertialsystem IS’, dass
sich mit der Geschwindigkeit u bewegt, gilt dann:
Für den Vektor j ′ gilt allgemein
4ρ(x)
j||′ (x′ ) = − q
6= 0
2
1 − uc2
j ′ (x′ ) = −uρ(x) · γ
und für die Ladung in IS gilt:
ρ=
dQ
dV
Betrachten wir nun die Lorentztransformation und benutzen dabei Gleichung (5.68):
ρ′ =
dQ′
dQ
′ = γρ = γ
dV
dV
Benutzen wir nun noch
dV′ =
dV
γ
so ergibt sich außerdem:
ρ′ =
dQ′
·γ
dV
Aus dem Vergleich beider Formeln ergibt sich also die Lorentzinvarianz der Ladung:
dQ′ = dQ
Die Ladung ist also unabhängig von ihrer Geschwindigkeit.
5.6. KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
5.6.1.3
149
Vierer-Potentiale
Wir rufen uns nochmals die Lorentzeichung (Gleichung (2.95)) in Erinnerung:
1 ∂ϕ
+ div A = 0.
c ∂t
Definiert man das Vierer-Potential Aµ durch
Aµ = (Φ, A)
(5.69)
∂µ Aµ = 0
(5.70)
so wird die Lorentzeichung zu:
5.6.1.4
Wellengleichung des Vierer-Potentials
Die Bewegungsgleichungen für Φ und A waren:
Φ = −4πρ
4π
A = − j
c
Mit Gleichung (5.66) ergibt sich nun die kovariante Maxwell-Gleichung für die Potentiale. Die Lorentzinvarianz
ist evident.
∂µ ∂ µ Aα (x) =
5.6.1.5
4π α
j (x)
c
(5.71)
Lorentztransformation der Potentiale
Wir betrachten folgende Transformation
β
A′α (x′ ) = Λα
β A (x)
mit der Relativgeschwindigkeit u = (u, 0, 0). Es gilt dann:
Φ′ (x′ ) = γ (Φ(x) − βAx (x)) .
Für eine allgemeines u wäre der zweite Term in der Klamme
u◦A
c .
(5.72)
Weiter gilt:
u
A′ (x′ ) = γ A − Φ(x)
c
(5.73)
Betrachten wir nun das Beispiel A(x) = 0. In diesem Fall nimmt die Transformation folgende einfache Gestalt
an:
Φ′ (x′ ) = γΦ(x)
u
A′ (x) = − γΦ(x) 6= 0
c
Dieses Ergebnis haben wir bereits in ähnlicher Form erhalten. Siehe hierzu die Gleichungen (4.52) und (4.53).
Beachte außerdem, dass Φ und A seperat nicht Lorentz invariant sind.
5.6.1.6
Eichtransformationen des Vierer-Potentials
In Abschnitt (2.5.1) haben wir gesehen, dass die Feldgleichungen invariant unter Eichtransformationen f (r, t)
sind, für die die Gleichungen (4.52) und (4.53) gelten. Es gibt hierzu eine äquivalente Formulierung mit dem
Vierer-Potential. Für jede Eichtransformation f (r, t) mit
õ = Aµ −
bleiben die Feldgleichungen invariant.
∂f
∂xµ
(5.74)
150
5.6.2
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Relativistische Feld-Marterie-Wechselwirkung
Die Kopplung von Ladung und elektromagnetischem Feld ist zum einen bedingt durch die Lorentzkraft in der
Bewegungsgleichung der Ladung und zum Anderen sind die Ladungsdichte und die Stromdichte die Quellterme
in der Maxwell-Gleichungen. Wir suchen nun die relativistische Verallgemeinerung und verwenden dafür den
Lagrange-Formalismus. Wir teilen das Wirkintegral für das Gesamtsystem
S=
ZtE
tA
L dt
auf in einen Feldanteil, einen Marterieanteil und einen Wechselwirkungsanteil.
S = SM + SF M + SF
mit
L = LM + LF M + LF .
Den Marterie-Anteil haben wir bereits zuvor besprochen. Es gelten folgenden Umbenennungen:
SM = S0
und
LM = L0 = −mc
2
r
1−
v2
c2
Nun beschäftigen wir uns mit der Frage nach dem Wechselwirkungsanteil LF M . Der Anteil ist sowohl eine
Eigenschaft der Ladung q (Lorentzinvariant), als auch eine Eigenschaft des Feldes Aµ (Vierer-Vektor). Betrachte
nun die einfachste Kopplung 1. Ordnung in q und Aµ .
SF M
q
=−
c
ZE
q
Aµ dx = −
c
µ
A
=q
ZtE
tA
ZE 1
Φ dt − A dr
c
A
LF M dt
Hieraus folgt die Lagrange-Funktion für die Ladungs-Feld-Wechselwirkung:
q
LF M = A ◦ v − qΦ.
c
Wir kennen also bereits:
r
v2
q
2
LM + LF M = −mc 1 − 2 + A ◦ v − qΦ
c
c
(5.75)
Betrachten wir nun den verallgemeinerten Impuls:
∂L
mv
q
=q
+ A
∂v
c
v2
1 − c2
q
P =p+ A
c
Außerdem betrachten wir nun die Hamilton-Funktion:
P =
H=v
Dies gilt aufgrund von:
(5.76)
∂L
mc2
+ qΦ = H(P )
−L= q
2
∂v
1 − vc2
q 2
P − A = p2 =
c
H − qΦ2
c
2
− m2 c 2 .
Damit sind wir in der Lage die Hamilton-Funktion einer Ladung im EM-Feld aufzuschreiben:
r
q 2
H(P, A, Φ) = m2 c4 + c2 P − A + qΦ
c
Den Anteil des Feldes besprechen wir etwas später.
(5.77)
5.6. KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
5.6.3
151
Tensor des EM Feldes. Relativistische Bewegungsgleichung geladener Teilchen.
Wir benutzen nun Gleichung 5.60 und setzen die Lorentzkraft ein.
0 = δ(SM + SM F ) = δ
ZE A
=−
ZE mc
q
−mc ds − Aµ dxµ
c
dxi d δ xi
q
q
+ Ai d δ xi + δAi dxi
ds
c
c
A
Hierbei wurde ds =
p
dxi dxi benutzt. Nun integrieren wir einmal partiell, verwenden
0=
ZE A
Dies gilt mit δxi A,E
q
q
m dvi δxi + δxi dAi − δAi dxi − mvi +
c
c
|
= 0. Weiter benutzen wir nun
dxi
ds
=
vi
c
und erhalten:
q i E
Ai δx c{z
A
}
=0
∂Ai k
δx
∂xk
δAi =
und
dAi =
∂Ai k
dx .
∂xk
Jetzt gilt:
0=
ZE
A
=


∂Ai

m dvi δxi + q ∂Ai δxi dxk − q
i
 |{z}
k
|{z}
c ∂x
c ∂xk dx δxk 
ZE A


vi
c
dvi
ds
dvi
q
m
−
ds
c
∂Ak
∂Ai
−
∂xi
∂xk
ds
vk
δxi · ds
c
Da δxi beliebig war gilt nun die relativistische Newtonsche Gleichung im Elektromagnetischen Feld:
m
dvi
q
= Fik · v k
ds
c
(5.78)
Es handelt sich hierbei um eine kovariante vierdimensionale Gleichung. Hierbei ist Fik der Tensor des Elektromagnetischen Feldes für den gilt:
Fik =
∂Ai
∂Ak
−
∂xi
∂xk
(5.79)
Wir behandeln nun einige Eigenschaften dieses Tensors.
• Der Tensor Fik ist antisymmetrisch mit Fik = −Fki und Fii = 0 für alle i.
• Für die Form F ik des Tensors gilt folgende Bestimmungsgleichung:
F ik =
∂Ak
∂Ai
−
.
∂xi
∂xk
• Weiter gilt:
∂Fkl
∂Fli
∂Fik
+
+
=0
∂xl
∂xi
∂xk
(5.80)
152
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
• Ausgeschrieben hat der Tensor folgende Gestalt:

0
Ex
−Ex
0

Fik = 
−Ey Bz 0
−Ez −By

Ez
By 


0
Ey
−Bz
−Bx
Bx
Bei unserer Bezeichnung ist k der Spaltenindex und i der Zeilenindex. Man erkennt, dass man F ik erhält,
wenn man E durch −E ersetzt.
Betrachte als Beispiel F01 .
F01 =
∂A1
∂A0
−
=−
∂x0
∂x1
∂Φ ∂Ax
+
∂x
c∂t
= +Ex
Hierbei ist Aµ = (Φ, −A) und xµ = (ct, +r). Wir betrachten nun nochmal die Kovariante Lorentzkraft, also den
Vierer-Vektor in Gleichung (5.78). Aus der Form von Gleichung (5.60) galt allgemein
m
dvµ
= f µ,
dt0
mit ds = cdt0 . Man erhielt:
m
dv µ
q
= F µν · v0 = fLµ .
dt0
c
Betrachte nun zunächst die Komponente µ = 1:
m


1
dvx
q
dv

=m
= cEx + Bz vy − By vz 
dt0
dt0
c
|
{z
}
(v×B)x
Für µ = 1, 2, 3 erhält man dann:
dv
1
m
=q·γ E+ v×B
dt0
c
(5.81)
Aus Gleichung (5.63) folgt nun:
fLµ
=γ
FL ◦ v
,FL
c
Es ist hierbei fL0 die Leistung der Lorentzkraft und F L = qE + qc v × B die dreidimensionale Lorentzkraft. Aus
Gleichung 5.65 erhält man schließlich:
mv
d
q
q
= qE + v × B
dt 1 − v2
c
(5.82)
c2
Den Vierer-Vektor des verallgmeinerten Impulses erhalten wir analog zu (5.56) mit Gleichung (5.77):
q
E
Pµ =
,p + A .
c
c
∂S
Hierbei ist E die Gesamtenergie mit E = Ekin + qΦ. Man kann der Impuls auch direkt aus − ∂x
i erhalten:
−
∂S
q
q
= mvi + Ai = pi + Ai ,
∂xi
c
c
wobei δS = − mvi + qc Ai δxi verwendet wurde.
5.6.4
Lorentz-Transformation der Felder E und B
Bei Fµν handelt es sich um einen Tensor 2.Stufe für den wir nun ein Tranformations-Gesetz finden. Allgemein
betrachten wir einen Vierer-Tensor N -ter Stufe.
Aµ1 ,...,µn
5.6. KOVARIANTE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
153
Dieses Tensorfeld ist abhängig von xµ . Insbesondere ist Aµ (x) als Vierer-Vektorfeld mit folgender Lorentztransformation bekannt:
A′µ (x′ ) = Λνµ Aν (x).
Hieraus leiten wir nun
A′µ1 ,...,µn (x′ ) = Λνµ11 · · · · · Λνµnn Aν1 ,...,νn (x)
(5.83)
ab. Dies ist die Lorentz-Transformation eines Vierer-Tensorfeld N -ter Stufe.
5.6.4.1
Lorentz-Transformation des Feldtensors
Betrachte nun den Spezialfall des Feldtensors. Es gilt:
′
Fαβ
(x′ ) = Λγα Λδβ Fγδ (x)
Hierbei ist
(5.84)
Λνµ :

Betrachte hierzu folgendes Beispiel:
γ
βγ
ν
Λµ = 
0
0
βγ
γ
0
0

0 0
0 0

1 0
0 1
′
= Λγ0 Λδ1 Fγδ = γ 2 F01 + β 2 F10 = γ 2 (1 − β 2 )F01 = Ex
Ex′ = F01
Die Feldkomponenten parallel zur Relativgeschwindigkeit sind also invariant.
Bx′ = Bx
Ex′ = Ex
Schauen wir uns nun die Transformation der Ey -Komponente an:
Analog gilt:
′
= Λγ0 Λδ2 Fγδ = Λ22 Λ00 F02 + Λ10 F12 = γ(Ey − βBz ).
Ey′ = F02
By′ = γ(By − βEz ).
Bevor wir diese Ergebnisse zusammenfassen definiern wir
u
β := .
c
Weiter benennen wir für jedes u den zu u parallelen Anteil des elektrische Feldes mit E || und den senkrechten
Anteil mit E ⊥ . Analog definieren wir das Magnetfeld.
Die Lorentztransformation der Feldvektoren für jede Relativgeschwindigkeit u ist:
E ′|| (x′ ) = E ′|| (x)
B ′|| (x′ ) = B ′|| (x)
E ′⊥ (x′ ) = γ E ⊥ (x) + β × B(x)
B ′⊥ (x′ )
= γ B ⊥ (x) + β × E(x)
(5.85)
Die Trennung des EMF in E- und B-Feld ist hierbei relativ und abhängig vom Inertialsystem. Sei zum Beispiel
im ruhenden Inertialsystem (u = 0) IS das Magnetfeld gleich Null (B = 0). Dann gilt im System IS’:
γ
B ′⊥ = − u × E.
c
Außerdem gilt B ′|| = 0. Ist im System das elektrische Feld gleich Null, so gilt:
γ
E ′⊥ = − u × B.
c
(5.86)
Das heißt, dass E ′ ⊥ B ′ im Inertialsystem IS’ gilt. Umgekehrt gilt auch, wenn das elektrische und das magnetische Feld orthogonal sind, so existiert ein Inertialsystem IS’, in dem E ′ = 0 oder B ′ = 0 gilt.
154
5.6.4.2
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Invarianten des EM Feldes
Wir suchen nun Funktionen Ψ(Fµν ), die invariant in allen Inertialsystemen sind. Solche Größen nennt man
Lorentz-Skalare. Die Norm von Fik ist ein solches Skalar:
Fik F ik = 2(B 2 − E 2 )
Außerdem ist folgender Ausdruck invariant:
ǫiklm Fik Flm = E ◦ B.
Weiter bedeutet dies: wenn das elektrische und magnetische Feld in einem Inertialsystem orthogonal sind, so
gilt die Orthogonalität in allen Inertialsystemen.
5.6.5
Lagrange-Funktion des Feldes. Maxwell-Gleichungen.
Wir konstruieren nun das Lorentz-Skalar:
Sf =
ZtE
tA
Lf dt
Wir versuchen dies durch Lorentzinvarianten auszudrücken. Die Feldgleichungen sind linear in E und B (Superpositionsprinzip). Diese sind nun ebenfalls linear in Fµν und folgen aus der Variation von δSf . Daher muss
Sf quadratisch in Fµν sein.
Sf = a
Z
dV
ZtE
Fik F ik dt
tA
Betrachte nun den Beitrag der zweiten Invariante des vorigen Abschnitts.
∂
∂
ǫiklm Fik Flm = 4 i eiklm Ak l Am
∂x
∂x
Die Vierer-Divergenz ist ein vollständiges Differential, liefert einen konstanten Beitrag zu Sf und ist daher
irrelevant. Wir können die Größe a aus obiger Gleichung etwas einschränken. Zum einen muss a < 0 gelten,
2
da S von unten begrenzt ist. Ansonsten würde kein Minimum existieren (dSf ∝ B 2 = E 2 ∝ − ∂A
+ . . . ).
∂t
Außerdem muss a dimensionslos sein, da
[S] = [W ] · [t]
und
2
[Fik
] = [E 2 ]
gilt. Im CGS-System ist die Energiedichte uf proportional zu
a=−
1
2
8π (E
+ B 2 ). Damit gilt also:
1
.
16π
Die Lagrange-Funktion des Feldes ist gegeben durch:
Z
Z
1
1
Lf = −
Fik F ik dV =
(E 2 − B 2 ) dV
16π
8π
(5.87)
Die Wirkung des EMF ist:
1
Sf = −
16πc
Z Z
Fik F ik c| dt{zd3}r
(5.88)
d4 Ω
Fik beschreibt das freie EM Feld im Vakuum. Dies ist direkt verallgemeinbar auf ein System mit Ladungen im
EMF. Es gilt dann:
S = SM + SM F + Sf .
5.7. AUSBLICK
155
Die Wirkung des Gesamtsystems aus EM-Feld und N-Ladungen (Marterie) ist:
S=−
N Z
X
i=1
mi c dsi −
N
X
q
i=1
c
Ak dxk −
1
16πc
Z
Fik F ik d4 Ω
(5.89)
Fik ist der Tensor für das Gesamtfeld. Er enthält sowohl interne (durch Ladungen erzeugte) als auch externe
Felder. Die gekoppelten Bewegungsgleichungen erhalten wir aus dem Minimum von S. Das heißt aus δS =
0 erhalten wir mit den Euler-Lagrange-Gleichungen die relativistische Newton Gleichung (5.71), die an die
Maxwell-Gleichungen (5.71) gekoppelt ist. Wir betrachten nun noch eine alternative Ableitung der MaxwellGleichungen für Fik aus Gleichung (5.71) für die Potentiale.
∂µ ∂ µ Aα (x) =
4π α
j (x)
c
Hierzu addieren wir
∂µ ∂ α Aµ (x) = ∂ α ∂µ Aµ (x) = 0.
Dies gilt wegen Gleichung (5.70). Schließlich erhalten wir mit Gleichung (5.80):
∂µ (∂ µ Aα − ∂ α Aµ ) = ∂µ F µα (x) =
4π α
j (x)
c
(5.90)
Dies ist die Kovariante Form der Maxwell-Gleichungen für die Felder und damit äquivalent zu:
div E = 4πρ, α = 0
rot B −
Ė
4π
=
j, α = 1, 2, 3
c
c
Das zweite Gleichungspaar der Maxwell-Gleichungen folgt aus der dritten Eigenschaft von Fik . Diese war:
∂Fik
∂Fkl
∂Fli
+
+
=0
∂xl
∂xi
∂xk
Weiter gilt:
2·
∂Flm
∂
F̃ik := ǫiklm
=0
∂xk
∂xk
(5.91)
Verjüngung bezüglich k, l, m führt auf vier Gleichungen für i = 0, 1, 2, 3. Wir haben hierfür die Vierer-Divergenz
des dualen Feldtensors“verwendent.
”


0 −Bx −By −Bz
Bx
0
Ez −Ey 

F̃ ik = 
By −Ez
0
Ex 
Bz
Ey −Ex
0
Äquivalent zu Gleichung (5.91) sind nun:
div B = 0, i = 0
rot E +
5.7
Ḃ
= 0, i = 1, 2, 3.
c
Ausblick
Im Bereich der klassischen Mechanik sind nun noch Massen in Kraftfeldern zu besprechen. Außerdem müssten
wir noch E/M-Felder von Ladungen und Strömen im Bereich der klassischen Elektrodynamik im Vakuum
besprechen. Aus diesen Bereichen ist dann eine einheitliche Theorie geladener Teilchen und elektromagnetischer
Felder zu entwickeln. Diese ist dann gleichberechtigt in allen Inertialsystemen. Die Behandlung der Gravitation
führt dann auch die allgemeine Relativitätstheorie. Hier ist dann vom Äquivalenzprinzip die Rede, welches
eine Ununterscheidbarkeit zwischen beschleunigten Koordinatensystem und der Gravitation beinhaltet. Damit
hätten wir eine einheitliche Theorie des Makrokosmos.
156
KAPITEL 5. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Auf der anderen Seite ist natürlich noch der Mikrokosmos zu betrachten. Die Quantenmechanik beschäftigt sich
mit der Struktur der Atome und mit Mikroteilchen – diese Quanteneffekte werden vor allem wichtig bei sehr
kleinem Abstand der Teilchen. Hiermit muss man sich dann mit Mikroteilchen in klassischen Elektromagnetischen Feldern beschäftigen. Tut man dies, wird aus der Schrödinger-Gleichung die Pauli-Gleichung. Bezieht man
nun noch hohe Geschwindigkeiten und Energien mit ein, so wird im Bereich der relativistischen Quantenmechanik die Dirac-Gleichung wichtig werden. Außerdem sind Elektromagnetische Felder in Materie (Medium) von
Interesse. Hierbei sind dann Aspekte wie Polarisation und Magnetisierung des Mediums zu beachten. Zusätzlich
ist die Modifikation des Feldes durch die Marterie interessant. Dies sind Bereiche mit denen sich die Plasmaphysik, die Festkörperphysik und verschiedene andere Fachgebiete beschäftigen. Diese Themen werden am ITAP
in der Vorlesung Plasmatheorie (Teilchen und Felder I) (H. Kählert, M. Bonitz) systematisch behandelt. Die
Quantentheorie ist Gegenstand der Vorlesung Teilchen und Felder II (M. Bonitz).
Literaturverzeichnis
[Ein05a] Einstein, Albert: Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig? Annalen der
Physik, 17:51, 1905.
[Ein05b] Einstein, Albert: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik, 17:26, 1905.
[Gre08] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik. Europa-Lehrmittel, 7 Auflage, 1 2008.
[Gri09]
Griffiths, David J.: Introduction to Electrodynamics. Pearson Education, 3 Auflage, 2009.
[Kle]
Klein, Hauke: Mathematik für Physiker II. Vorlesungsskript.
[LL92]
Landau, Lew D. und Jewgeni M. Lifschitz: Klassische Feldtheorie. Europa-Lehrmittel, 12. Auflage, 1992.
[Nol11]
Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik (Springer-Lehrbuch). Springer, 9. Auflage, 2011.
[Tip94]
Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 10 1994.
157